河南省林州市林虑中学2020_2021学年高一数学下学期开学考试试题.doc

河南省林州市林虑中学2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}*A 2,n n x x N==∈，{}*2n,n B x x N ==∈，则（ ）A. A B ⊆B. B A ⊆C. A B ⋂=∅D. A B =2. 已知是R k ∈，直线3(2)y k x -=+总经过点（ ）A. (2,3)-B. (2,3)-C. (2,0)-D. (0,3)3. 已知2510a b ==，则11a b+的值为（ ） A. 1B. 2C. 7D. 104. 已知圆C 经过原点(0,0)O ，()4,3A ，(1,3)B -三点，则圆C 的方程为（ ）A. 22430x y x y +--=B.2230x y x y +-+=C. 22550x y x +--=D. 2270x y x y +-+=5. 已知水平放置的平面四边形ABCD ，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则ABCD 的周长为（ ）A. 2B. 6C. 422+D. 86. 已知,a b 为不同的直线，αβ，为不同的平面，有下列四个命题：①////a b a b αα⎧⇒⎨⊂⎩ ②a b a b αα⊥⎧⇒⊥⎨⊂⎩ ③a b b aαβαββ⊥⎧⎪⋂=⇒⊥⎨⎪⊥⎩ ④//a a a αββαα⊥⎧⎪⊥⇒⎨⎪⊄⎩. 其中正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知点(2,0)A 与()0,4B 关于直线0ax y b ++=对称，则,a b 的值分别为（ ）A. 1，3B. 12-，32-C. -2，0D.12，52- 8. 已知函数2()2f x x x a =++在区间(0,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,1)-∞B. (8,1]-C. (8,0)-D. [8,0]-9. 如图网格中是某几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ）A. 25 C. 4D. 510. 已知函数2()(2)f x x m x n =+-+为偶函数，那么函数()1log m g x x =-（ ）A. (,2]-∞B. (0,2]C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11. 已知圆221:64120C x y x y +-++=，圆222:142340C x y x y +--+=，两圆公切线的条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知ABCD 是边长为2的正方形，点E ，F 在平面ABCD 的同侧，AE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，且2AE DF ==.点Q 为DF 的中点，点P 是CE 上的动点，则PQ 长的最小值为（ ）2B. 25 D. 3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 已知三角形的三个顶点是(0,0)O ，(4,3)A ，(2,1)B -，则此三角形AB 边上的中线所在直线的方程为____________.14. 四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，各条棱长均为2.则异面直线VC 与AB 所成角的大小为____________.15. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =--，当1≥x 时，2()log f x x =，则不等式()2f x ≤的解集为____________.16. 在棱长为9的正方体ABCD A B C D ''''-中，点E ，F 分别在棱AB ，DD '上，满足2AE D E DFB F '==，点P 是DD '上一点，且//PB 平面CEF ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为____________.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知点()1,0A -，(3,2)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等.（1）求实数a的值；（2）已知2a >-，试求l 上点C 的坐标，使得A ，B ，C 构成以C 为直角顶点的直角三角形.18. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心.（1）求证:1B O//平面11DA C ; （2）求点O 到平面11DA C 的距离.19. 已知函数2320()10x x x x f x e x ⎧-+>=⎨+≤⎩.（1）若()1f a =，求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=恰有三个解，求实数m 的取值范围.20. 如图.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,90ACB ∠=︒,AE PB ⊥于E 点,AF PC ⊥于F 点,2PA AB ==,30BPC ∠=︒.（1）求PB AF ⊥；（2）求直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值.21. 已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足：1()()2x f x g x +-=.（1）求函数()f x 与()g x 解析式；（2）若对任意实数x ，都有()()0f x mg x +>恒成立，求实数m 的取值范围.22. 点(4,0)A ，圆22:(4)16B x y ++=，动点P 在圆B 上，Q 为PA中点，直线:2l y kx =+.（1）求点Q 的轨迹E 的方程；（2）若直线l 与曲线E 交于不同的两点S ，T ，坐标原点为O ，当△OST ∠SOT 为锐角时，求斜率k 的值；（3）若k =1，当过直线l 上的点C 能作曲线E 的两条切线时，设切点分别为M ，N ，直线MN 是否过定点？若过定点，请求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.林虑2020级高一下学期开学检测数学答案1. 【答案】A【解析】【分析】可根据特殊元素与集合的关系作答.【详解】A. *n 2,nN ∀∈为偶数，故2n B ∈，故A B ⊆ B. 6,6B A ∈∉，故B 错 C.4,4B A ∈∈，故A B ⋂=∅错 D. 6,6B A ∈∉,故D 错. 故选：A2.【答案】B【解析】【分析】把3(2)y k x -=+整理成()3(2)0y k x --+=，根据方程特点可得答案. 【详解】由3(2)y k x -=+得()3(2)0y k x --+=，对于R k ∈总成立，3020y x -=⎧⎨+=⎩，所以32y x =⎧⎨=-⎩，即总经过点是()2,3-. 故选：B. 3. 【答案】A【解析】【分析】由2510a b ==求出a 、b ，表示出11a b 、，进而求出11a b+的值. 【详解】252510log 10,log 10a b a b ==∴==，,11lg 2,lg5a b∴== 11lg 2lg5lg101a b∴+=+==. 故选：A 4. 【答案】D【解析】【分析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=()2240DE F +->，解方程组16943019300D E F D E F F ++++=⎧⎪++-+=⎨⎪=⎩即得解. 【详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->，把点(0,0)O ，(4,3)A ，(1,3)B -代入得16943019300D E F D E F F ++++=⎧⎪++-+=⎨⎪=⎩, 解得7D =-，1E =，0F =，所以圆的方程是2270x y x y +-+=． 故选：D ．5. 【答案】D【解析】【分析】根据斜二测画法可换元原图形，根据原图形计算周长即可. 【详解】由直观图可得原图形如图，根据斜二测画法可知，1AB CD ==,22AC =在Rt ABC 中,2222(22)13BC AC AB =+=+=,又AD BC =,所以四边形ABCD 的周长为23218⨯+⨯=,故选：D 6.【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判断定理判断①，根据线面垂直，面面垂直的性质定理判断②③④. 【详解】①不成立，缺少a α⊄这个条件；②不成立，不满足线面垂直的判断定理；③不成立，缺少条件b α⊂；④正确，根据面面垂直的性质定理判断.故选：A 7. 【答案】B【解析】【分析】点,A B 关于直线0ax y b ++=对称，则利用垂直关系，以及线段AB 的中点在直线0ax y b ++=上，列式求解.【详解】40202AB k -==--，若点(2,0)A 与()0,4B 关于直线0ax y b ++=对称，则直线AB 与直线0ax y b ++=垂直，直线0ax y b ++=的斜率是a -，所以()()21a -⋅-=-，得12a =-. 线段AB 的中点()1,2在直线0ax y b ++=上，则20a b ++=，得32b =- , 故选:B8. 【答案】C【解析】【分析】由函数零点问题，转化为22a x x =--，()0,2x ∈成立，求函数的值域. 【详解】220x x a ++=在区间(0,2)内有解，转化为22a x x =--，()0,2x ∈成立，()22211a x x x =--=-++，()0,2x ∈时，()8,0a ∈-. 故选：C9. 【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原几何体，计算体积即可.【详解】还原几何体如图，为四棱柱，底面积为11⨯，高为2 故体积为：2 故选：A 10. 【答案】B【解析】【分析】根据是偶函数求出m ，代入()1log m g x x =-中求解定义域即可 【详解】2()(2)f x x m x n =+-+为偶函数，故对称轴为202mx -==，故2m = 2()1log g x x =- 则0x >且2log 1x ≤ 解之得02x <≤ 故选：B11. 【答案】C【解析】【分析】首先判断两圆的位置关系，再判断公切线条数.【详解】圆()()221:321C x y -++=，圆心()13,2C -，半径11r =， 圆()()222:7116C x y -+-=，圆心()27,1C ，半径24r =，圆心距()()2237215d =-+--=，12d r r =+，所以两圆相外切，公切线条数是3条.故选：C 12. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，以A 为原点，AD 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，AE 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，把PQ 转化为2||365(02)PQ x x x =-+≤≤，利用二次函数求最小值.【详解】如图示，以A 为原点，AD 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，AE 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则A （0,0,0）、D （2,0,0）、C （2,2,0）、E （0,0,2）、F （2,0,2）、Q （2,0,1）、设P （x,y,z ）,由点P 是CE 上的动点，知(01)CP CE λλ=≤≤,即(2,2,)(2,2,2)x y z λ--=--，故P (x ,x ,2-x ),所以2222||(2)(0)(1)365(02)PQ x x x x x x -+-+-=-+≤≤ 当1x =时min ||3652PQ =-+=故PQ 长的最小值为2. 故选：A 13.【答案】30x y -=【解析】【分析】先求线段AB 的中点D 的坐标，再求直线OD 的方程. 【详解】()4,3A ，()2,1B -，线段AB 的中点是()3142,22D +-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即()3,1D ， 13OD k =，所以三角形AB 边上的中线所在直线的方程为13y x =，即30x y -=. 故答案为：30x y -=14.【答案】60°【解析】【分析】根据AB ∥CD ,得到异面直线VC 与AB 所成角即为∠VCD ,由△ VCD 为等边三角形，即可求解.【详解】如图示，因为ABCD 是正方形，所以AB ∥CD , 所以异面直线VC 与AB 所成角即为∠VCD. 又各条棱长均2，所以△ VCD 为等边三角形，所以∠VCD =60°，异面直线VC 与AB 所成角的大小为60°. 故答案为：60°15.【答案】(,4]-∞【解析】【分析】可求出分段函数在1x <时的解析式，分两种情况解不等式，求并集. 【详解】当1≥x 时，2()log f x x =，2log 2x ≤，则14x ≤≤当1x <时，21x ->，故()2()(2)log 2f x f x x =--=--，()2log 22x --≤，则()2log 22x -≥-，则124x -≥，则74x ≤，则此时1x <综上有4x ≤ 故答案为：(,4]-∞ 16. 【答案】178π【解析】【分析】以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设(0,0,)P t ，由//PB 平面CEF 可得P 点的坐标，根据四棱锥P ABCD -的特点可得外接球的直径可得答案. 【详解】以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，由2AE D E DFB F '==，则(9,6,0),(0,9,0)EC ，(0,0,3)F ，(9,9,0)B ，设(0,0,)P t ，∴()9,3,0EC =-， ()0,9,3CF =-，()9,9,PB t =- 设平面FEC 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0n EC n CF ⎧=⎨=⎩，即930930x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令3z =，则11,3y x ==，得1,1,33n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为//PB 平面CEF ，所以0PB n ⋅=，即1919303t ⨯+⨯-=，解得4t =，所以(0,0,4)P ，由PD ⊥平面ABCD ，且底面是正方形，所以四棱锥P ABCD -外接球的直径就是PB ，由()9,9,4PB =-，得229916178PB =++=，所以外接球的表面积241782PB S ππ⎛⎫⎪== ⎪⎝⎭. 故答案为：178π.【点睛】本题考查了四棱锥外接球的表面积的求法，关键点是建立空间直角坐标系，确定球的半径，考查了学生的空间想象力和计算能力. 17. 【答案】（1）12a =-或2a =-；（2）C 点的坐标为(0,1)-或163,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由点到直线的距离公式建立等式求解a 的值；（2）可求出以AB 为直径的圆的方程，与直线的方程联立即得C 点的坐标. 【详解】（12211a a =++即133a a -=+，133a a ∴-=+或1(33)a a -=-+，12a ∴=-或2a =-.（2）()1,0A -，(3,2)B 的中点为(1,1)MMA ==，以AB 为直径的圆的方程为22(1)(1)5x y -+-=，直角三角形ABC 的直角顶点C 是以AB 为直径的圆与直线l 的交点. 设(),C x y ，故满足22(1)(1)5x y -+-= 由2a >-知，12a =-，直线:220l x y --=， 又(),C x y 在:220l x y --=上联立方程22220,(1)(1) 5.x y x y --=⎧⎨-+-=⎩消去x 得：25230y y +-=，1y 或35y =. 0,1.x y =⎧∴⎨=-⎩或16,53.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C 点的坐标为(0,1)-或163,55⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】①A ，B ，C 构成以C 为直角顶点的直角三角形，等价于以AB 为直径的圆过点C ，且A ，B ，C 三点不共线.②处理圆与直线交点问题时，可由圆心到直线的距离与半径作比较，得出位置关系.联立两者方程，可求出交点坐标.18.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO ，证明11B O DO 是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明.（2）由题意可得平面11DA C ⊥平面11B D DB ，过点O 作1OH DO ⊥于H ，在矩形11B D DB 中，连接1OO ，可得1O OD OHD ∽△△，由三角形相似，对应边成比例即可求解. 【详解】（1）证明：连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO .11//O B DO 且11O B DO =， 11B O DO ∴是平行四边形.11//B O DO ∴.又1DO ⊂平面11DA C ，1B O ⊂/平面11DA C ，1//B O ∴平面11DA C .（2）1111A C B D ⊥，111AC BB ⊥，且1111BB B D B ⋂=，11A C ∴⊥平面11B D DB .∴平面11DA C ⊥平面11B D DB ，且交线为1DO .在平面11B D DB 内，过点O 作1OH DO ⊥于H ，则OH ⊥平面11DA C ， 即OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离.在矩形11B D DB 中，连接1OO ，1O OD OHD ∽△△，则11O D ODO O OH=， 22336OH ∴==. 即点O 到平面11DA C 23. 【点睛】关键点点睛：本题考查了线面平行的判定定理，点到面的距离，解题的关键是过点O 作1OH DO ⊥于H ，得出OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离，考查了计算能力.19. 【答案】（1）35a ±=；（2）()1,2. 【解析】【分析】（1）令()1f a =，分0a >和0a ≤两种情况解方程，求出a 的值；（2）在同一坐标系内分别作出1()=y f x 和2y m =的图像，观察交点的个数求出m 的取值范围.【详解】（1）当0a >，()1f a =即2321a a -+=，解得35a ±=，均满足条件. 当0a ≤时，0a e >，11a e +>，()1f a ∴=无解.故352a ±=. （2）如图示，在同一坐标系内分别作出1()=y f x 和2y m =的图像，当0x ≤时，()f x 单调递增，()12f x <≤； 当0x >时，()f x 在30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，3124f ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 故当12m <<时，方程()0f x m -=恰有三个解，即实数的取值范围是()1,2.【点睛】分离参数法求参数的范围：数形结合求零点个数的问题是转化为()f x k =，分别做出1()=y f x 和2y k =的图像，观察交点的个数即为零点的个数，根据交点个数求出m 的取值范围.20. 【答案】(1)证明见解析；6【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定可证得BC ⊥平面PAC ,则平面PBC ⊥平面PAC ,由AF PC ⊥,进而可得AF ⊥平面PBC ,即可证得结论.(2)由AF ⊥平面PBC ,则EF 就是AE 在平面PBC 内的射影,AEF ∠即为AE 与平面PBC 所成的角,计算即可求得结果. 【详解】(1)证明：PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC .BC PA ∴⊥.又BC AC ⊥,PA AC A =,BC ∴⊥平面PAC .∴平面PBC ⊥平面PAC .又平面PBC平面PAC PC =,AF ⊂平面PAC ,AF PC ⊥,AF ∴⊥平面PBC .又PB ⊂平面PBC ,AF PB ∴⊥.(2)由(1)知AF ⊥平面PBC ,连结EF ,则EF 就是AE 在平面PBC 内的射影.AEF ∴∠就是AE 与平面PBC 所成的角.22PB =2BC =2AC =222336AF ==. 2AE =在Rt AFE 中,6sin 3AF AEF AE ∠==. AE ∴与平面PBC 6. 21. 【答案】（1）()22x xf x -=-，()()22x xg x -=-+；（2）(,1]∞-. 【解析】【分析】（1）用x -代替x 代入1()()2x f x g x +-=中，得到另外一个式子，用方程思想求解()f x 与()g x 的解析式即可.（2）化简不等式，分离参数，转化为22()121x h x =-+求值域的问题.【详解】（1）用x -代替x 代入1()()2x f x g x +-=中，得1()()2xf xg x ----=，()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，1()()2x f x g x -∴--=，上式与1()()2x f x g x +-=联立，可得()22x x f x -=-，()()22x xg x -=-+.（2）()()0f x mg x ->即()2222xxxxm --->+，222121x x m -<+.令2221()21x x h x -=+，则22()121x h x =-+.x ∈R ，2211x ∴+>，210121x <<+，222021--<<+x，2211121x -<-<+. 1m ∴≤-，即实数m 的取值范围是(,1]∞-.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ； (2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .22.【答案】（1）224x y +=；（2）k =±；（3）直线MN 过定点(2,2)-. 【解析】【分析】（1）由Q 为PA 的中点，得122OQ PB ==，点Q 的轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆，直接写出圆的方程；（2）利用垂径定理，把△OST 的面积表示出来，求出斜率k ； （3）先表示出MN 的方程，在整理成点斜式002(2)2x y x x --=++，证明过定点（-2,2）. 【详解】（1）由题意知122OQ PB ==，则点Q 的轨迹E 是以O 为圆心，2为半径的圆，其方程为224x y +=.（2）设O 到直线l 的距离为d ，则ST =由△OST 12d ⋅⋅d = 1.当1d =时，SOT ∠为钝角，舍去，故d ==k =. （3）当1k =时，:2l y x =+.CM OM ⊥，CN ON ⊥，C ∴，M ，O ，N 四点在以OC 为直径的圆上.设()00,2C x x +，则以OC 为直径的圆的方程为()2220002022224x x x x x y +++⎫⎫⎛⎛-+-=⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭ 即()220020x y x x x y +--+=.()()2200002220,2404.x y x x x y x x x y x y ⎧+--+=⇒++-=⎨+=⎩. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则()0101240x x x y ++-=，()0202240x x x y ++-=.M ，N 的坐标都适合方程()00240x x x y ++-=，即直线MN 的方程为()00240x x x y ++-=，可整理为002(2)2x y x x --=++， ∴直线MN 过定点(2,2)-.【点睛】（1）待定系数法、定义法是求二次曲线标准方程的常用方法；（2）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算（3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )；②直线方程整理为点斜式y - y o =k (x- x 0)，过定点(x 0,y 0) ．。