高等数学上公式

学姐偷懒直接从网上下了一份公式总结，然后按照咱们的考试要求改了一下，特别诡异的那些公式我都删掉了，剩下的都是可能会出现的，哪些必须记哪些可以记也都写在后面了，有的出题形式我也加在知识点后面了，可以做个参考。这上面的知识点不很全，但应付考试差不多了，上面没有的学霸们可以自己再看看书哈。重点关注黑体字电子版已发各部长，可以找部长要。祝大家都能考个好成绩~

——魏亚杰

高等数学（一）上 公式总结

第一章 一元函数的极限与连续

1、一些初等函数公式：（孩子们。没办法，背吧）

sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot αβαβαβ

αβαβαβαβ

αβαβ

αβαββα±=±±=±±=

⋅⋅±=±和差角公式：

sin sin 2sin

cos

22

sin sin 2cos sin 22

cos cos 2cos cos 22

cos cos 2sin sin 22

αβ

αβ

αβαβαβ

αβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式：

1

sin cos [sin()sin()]

21

cos sin [sin()sin()]

21

cos cos [cos()cos()]

21

sin sin [cos()cos()]

2

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：

222222sin 22sin cos cos 22cos 1

12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1

cot 22cot αααααααα

α

ααααα

==-=-=-=

--=

倍角公式：

22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin cos 2

21cos sin tan 2

sin 1cos 1cos sin cot

2

sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααα

αα

+=+=+=-===-===++===

-半角公式：,

（一般用倍角公式就可以了，这个不好记） 332

2()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)

126

n n n n +++++=

22

3

3

3

(1)124

n n n +++

+=

2、极限

➢

常用极限：1,lim 0n n q q →∞

<=

;1,1n a >=;1n =

➢ 两个重要极限

1

00sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x

→→∞→∞→==+==+

➢

:常用等价无穷小（一定要记！！一定记得是x 趋于0或者1/x 趋于无穷才能用）

211

1cos ~

; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x

--++++

极限运算法则（求极限必出，你得记住常用的，再用运算法则求要求的）

极限存在准则：夹逼准则、单调有界数列必有极限（大题里求极限可能用到夹逼准则，还是记一下吧）

3、连续：

定义：0

00

lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==

00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+

→→⇔==极限存在或

间断点：（填空选择考的概率很大！！） 第一类间断点（左右极限存在）

第二类间断点（不是第一类的都是第二类） （有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理，求零点的，有时间就看没时间就算了）

第二章 导数与微分

1、 基本导数公式：

00000000

()()()()()lim

lim lim tan x x x x f x x f x f x f x y

f x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-

_0+0()()f x f x -+

''⇔=导数存在

（记清楚导数概念，可能会有上面这个样子的题） （又是一波要记的，必须记！！，记清楚导数的，就等于记清楚常用微分，后面的那个常用积分就是把它反过来）

122220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();1111(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln 11a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x x x

-''''''======-''''=⋅=-⋅==''''=

===--2211

(arctan ); (cot );

11x arc x x x ''==-++

2、高阶导数：（有能力者自选~一般不会让求n 阶，要是考了就认命吧）

()()()()!

()()!; ()ln ()()!

n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=

⇒==⇒=-

()()()111

1(1)!1(1)!1!

(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22

n n n n kx k kx n kx k kx n ππ

=⋅+⋅=⋅+⋅

牛顿-莱布尼兹公式：

()

()()

0()(1)(2)

()()

()

()

(1)(1)

(1)2!

!

n

n k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++

++

+

+∑

3、微分：

0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=