等差数列前n项和ppt课件
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《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件
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COOPERATIVE INQUIRY
[跟踪训练] 2．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米， 开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的 路程总和最小，此最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 米.
解得 a 1＝－5 ，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2 d ＝1 0 ＋2×3 ＝1 6 ，
1 0 ×9 S 10＝1 0 a 1＋ 2 d ＝1 0 ×(－5 )＋5 ×9 ×3 ＝8 5 .
1 7 × a 1＋a 17
1 7 × a 3＋a 15
1 7 ×4 0
(2 )S 17＝
2
＝
2
＝
＝3 4 0 .
S 1，n ＝1 ，
项公式，那么数列{a n
}的通项公式要分段表示为
a
n
＝
S
n －S
n －1，n
≥2 .
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COOPERATIVE INQUIRY
等差数列前 n 项和公式的实际应用
例 3、某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来 之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同 型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用， 每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？
3，n ＝1，
∴a
n
＝ 2
n
，n
≥2
.
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
2 ．(变条件变结论)将本例中的条件“S n ＝2 n 2－3 0 n ”变为“正数数列{b n }的前 n 项和 S n
等差数列的前n项和 课件
典例导悟
类型一 等差数列前n项和公式的基本运算 [例1] 分别按等差数列{an}的下列要求计算： (1)已知a1 005＝411，求S2 009； (2)已知d＝2，S100＝10 000，求an.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①a1＋a2 009＝2a1 005；②an＝a1＋(n－1)d. 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利 用等差数列的性质解题．
[解] (1)∵a1＋a2 009＝2a1 005，
∴S2
009＝2
009a1＋a2 2
009＝2
009a1
005＝2
009×411＝49.
(2)由S100＝100a1＋
100×100－1 2
×2＝10
000，解得a1
＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
[点评] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn 都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中 可知三求二．即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知 三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立 得方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法， 在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的 运用．
(2)当已知首项a1，末项an，项数n时用公式Sn＝
na1＋an 2
求和，用此公式时，有时要结合等差数列的性
质．
(3)当已知首项a1，公差d及项数n时，用公式Sn＝na1＋ nn－2 1d求和．
4．数列前n项和Sn与通项an的关系是怎样的？
提示：∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， ∴Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)． 在n≥2的条件下，把上面两式相减可得an＝Sn－Sn－ 1(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1，所以an与Sn有如下关系： an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2.
等差数列前n项和的公式 PPT
(2)当m+n=p+q时， am+an=ap+aq
1+2+3+…+98+99+100=？
高斯10岁时曾很快算出 这一结果，如何算的呢？
高斯， (1777— 1855） 德国 著名数学家。
我们先看下面的问题。
怎样才能快速 计算出一堆钢管有 多少根呢？
一 二
4+10=14 5+9=14
三 四
6+8=14 7+7=14
1( 2
？首项 + ？尾项 )
？项数
Sn
n(a1 an) 2
以下证明 {an}是等差数列，Sn是前n项和，则
Sn
n(a1 an) 2
证：
Sn= 即Sn=
aa1+n+aa2n-+1+a3an+-2+…+a+a1…ana+-n21+a++na-32++aan-21++aan11
把+得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
n(n-1)
2
×4 =54
整理得： n 2－6n－27=0
解得： n1=9, n2=－3（舍去）
答： 等差数列－10，－6，－2，2，···前9项的和 是54。
.
例3 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上 每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支. 这个V 形架上共放着多少支铅笔？
多媒体教学课件
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
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CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列前n项和PPT优秀课件
n 个 2 S （ a a ) （ a a ) （ a a ) n 1 n 1 n 1 n
n （ a a ) 1 n
n （ a 1 a n) S n 2
等差数列的前n项和公式的其它形式
n （ a 1 a n) S n 2 n （ n 1 ) S na d n 1 2
解： 由题意 , m 是 7 的倍数 , 且 0 m 100 .
练习1.
课 堂 小 练
1. 根据下列条件，求相应的等差数列
a n 的 S
( 1 ) a 5 , a 95 , n 10 ; 1 n
( 2 ) a 100 , d 2 , n 50 ; 1
n
练习2.
解得： n = 4 或 n = 6 a1=6 或 a1= -2
M m |m 7 n ,n N , 且 m 100 例3. 求集合
的元素个数 , 并求这些元素的和 .
将它们从小到大排列得 ： ,7 7 0,7 1, 7 2, 7 , 14 , 21 , , 98 . 14 .即 共有 15 个元素 , 构成一个等差数列 ,记为 a , n 15 ( 0 98 ) a 0 , a 98 S 1 15 735 15 2 答 : 集合 M 共有 15 个元素 , 和等于 735 .
= 7260 120 = (1 + 120 ) · 2
120 (a1 a120) · 2
(三)构建数学:猜测
问题 1: 问题 2: S120=1+2+ · · · · · ·+12 0 120
(a1 a120 )· 2
等差数列的前n项和PPT优秀课件1
（2）100元“零存整取”的月利息为 100×1.725‰=0.1725（元）， 存3年的利息是
0.1725×(1+2+3+……+36)=114.885(元)， 因此李先生多收益
179.82－114.885×(1－20%)=87.912元.
答：李先生办理“教育储蓄”比“零存整 取”多收益87.912元
解：（1）100元“教育储蓄”存款的月利息是 100×2.7‰=0.27（元）， 第1个100元存36个月，得利息0.27×36（元）; 第2个100元存35个月，得利息0.27×35（元）; ………… 第36个100元存1个月，得利息0.27×1（元），
此时李先生获得利息
0.27×(1+2+3+……+36)=179.82(元)， 本息和为3600+179.82=3779.82元；
解 得 30AB2
S 3 0 9 0 0 A 3 0 B 3 0 ( 3 0 A B ) 6 0
解法三： 设a1+a2+……+a10=A， a11+a12+……+a20=B，
a21+a22+……+a30=C， 则A，B，C成等差数列， 且A=10，A+B=30, 解得B=20，
2.2.2等差数列的前n项和
如图堆放一堆钢管，最上一层放了4根， 下面每一层比上一层多放一根，共8层，这 堆钢管共有多少根？
这堆钢管从上到下的数 量组成一个等差数列。
其中a1=4，公差d=1. 最下一层中a8=11。
即求4+5+6+……+11=?
我们设想，在这堆钢管旁，如图所示堆放同 样数量的钢管，这时每层都有钢管(4+11)根.
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
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习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
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实例
总结词
等差数列的实例包括正整数序列、负数序列、斐波那契数列等。
详细描述
正整数序列1, 2, 3, ...是一个等差数列，其中首项a=1，公差d=1；负数序列-1, 2, -3, ...也是一个等差数列，其中首项a=-1，公差d=-1；斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, ...也是一个等差数列，其中首项a=0，公差d=1。
01
求等差数列3, 6, 9, ..., 3n的前n项和。
进阶习题2
02
求等差数列-2, -4, -6, ..., -2n的前n项和。
进阶习题3
03
求等差数列5, 10, 15, ..., 5n的前n项和。
高阶习题
1 2
Байду номын сангаас
高阶习题1
求等差数列-3, -6, -9, ..., -3n的前n项和。
高阶习题2
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数。
详细描述
等差数列通常表示为“an”，其 中a是首项，n是项数，d是公差 （任意两个相邻项的差）。
性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性、递减性等。
详细描述
等差数列的对称性是指任意一项与它的对称项相等，即a_n=a_(n+2m)，其中 m是整数；递增性是指如果公差d>0，则数列是递增的；递减性是指如果公差 d<0，则数列是递减的。
PART 04
等差数列前n项和的变式 与拓展
REPORTING
变式公式
01
02
03
04
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$
等差数列的前n项求和公式ppt课件
由等差数列的性质 即
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
Sn=n(a1+an)/2
5
如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，Sn也可 以用首项a1和公差d表示，即 Sn=na1+n(n-1)d/2 所以，等差数列的前n项求和公式是
-------方程、函数思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
15
A组2、4、5
16
谢谢观赏
17
S
n
n a1 a n 2
或
S
n
n a1
n n 1 d 2
6
例题
例1
54？
等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是
例2
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前 20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3
求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素 个数, 并求这些元素的和.
8a 52 d n 2 14n nn 1 d S na d
a
n 1
13 d 0 d 0 2
2
2
解2： S3 S11
即 n=7
a1 0
由等差数列构成的函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
12
an 例8.等差数列 的前项n和S n，且a3 12 ，S12 0, S13 0
4.2.2等差数列的前n项和公式PPT课件(人教版)
解：由已知可得：a1= -10,d=4
n(n 1)
S n 10n
4
2
2n 12n
2
令 2n 12 n 54
2
解得：n 9 或 n （舍）
3
所以数列前9项的和是54.
课堂小结
等差数列前n项和公式
n(a1 an )
Sn
2
n(n 1)
S n na1
101
算法过程：
由①+②，得
1
( + )
=
=
设 =1＋2＋3＋…＋100+101
①，则
=101＋100＋99＋…＋2+1 ②
2 = （＋）
合作探究
思考2：已知数列{an}是等差数列，如何求
= 1 + 2 + 3 +··· +−1 + 的值？
S n na1
d
2
名师点析：(1)两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d
五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也
是等差数列的基本问题情势之一.
( + )
(2)当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式Sn=
.用此公式时,有时要
A．230
B．420
C．450
D．540
20×19
解：S20＝20a1＋ 2 d＝20×2＋20×19＝420.
B
)
典型例题
例1 已知数列{an}是等差数列.
(1)若a1=7，a50=101，求S50;
(3)若a1= ，d=- ，
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2
2、结合二次函数图象求 Sn
的最值.
d 2
n2
(a1
d 2
)n
3. 在等差数列 {an} 中，如果已知五
个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三 个, 可以求出其余两个量 .
Sn
na1
n（n 2
1)
d
an 求 二
解题思路一般是:建立方程(组)求解
练习：已知数列{an}的前n项和为
Sn
1 4
n2
2 3
n3
求这个数列的通项公式.
an
59 12
,
6n5 12
n 1 ,n 1
例2：已知等差数列 5,4 2 ,3 4 的前n项和 77
为Sn，求使得 Sn最大的序号n的值.
练习：求集合M {m m 2n 1, n N, m 60}
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
形式1:
Sn
n（a1 2
an )
形式2:
Sn
na1
n（n 2
1)
d
练习：在等差数列{an }中，
（1）已知 a6 10, S5 5 ，求 a8 , S8.
（2）已知 a3 a15 40,求 S17 .
例求1这：个已数知列数的列通{项an}公的式前.这n项个和数为列S是n 等n差2 数12 列n， 吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
P53 习题2.3A组 5，6 B组 1,2,
的元素个数，并求这些元素的和.
练习：已知在等差数列{an}中，a10 23, a25 22,
S n为其前n项和.
（1）问该数列从第几项开始为负？
（2）求 S10 ; （3）求使 Sn 0 的最小的正整数n.
1.根据等差数列前n项和，求通项公式.
an
Sn
a1, n 1 Sn1, n