课时跟踪检测(十二) 二次函数与幂函数

课时跟踪检测（十二） 二次函数与幂函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数y ＝x 的图象是( )解析：选B 由幂函数y ＝x α，若0＜α＜1，在第一象限内过(1,1)，排除A 、D ， 又其图象上凸，则排除C ，故选B.2．(2018·丽水调研)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R)，对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )成立，在函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的一个不可能是( )A ．f (－1)B ．f (1)C ．f (2)D ．f (5)解析：选B 由f (2＋t )＝f (2－t )知函数y ＝f (x )的图象对称轴为x ＝2. 当a >0时，易知f (5)＝f (－1)>f (1)>f (2)； 当a <0时，f (5)＝f (－1)<f (1)<f (2)， 故最小的不可能是f (1)．3．(2018·金华模拟)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选C 设幂函数f (x )＝x α， ∵f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14， ∴2α＝14，解得α＝－2，则f (x )＝x －2＝1x2，且x ≠0，∵y ＝x 2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，∴函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)．4．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈ [a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为____________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 5．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________. 解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上， 所以f (2)＝t ＋4＝0，所以t ＝－4. 答案：－4二保高考，全练题型做到高考达标1．已知f (x )＝x ，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1bB ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1aD ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C 因为函数f (x )＝x 在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b < 1b < 1a ，故选C.2．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 由A 、C 、D 知，f (0)＝c <0. ∵abc >0，∴ab <0，∴对称轴x ＝－b2a >0，知A 、C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c >0，∴ab >0， ∴x ＝－b2a<0，B 错误．故选D.3．(2018·诸暨月考)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解析：选B ∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n 是偶数，n 2－3n <0，解得n ＝1.4．(2016·浙江高考)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b24， 当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24，又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )＋b 22－b24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．选A. 5．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A ．[0,4]B ．⎣⎡⎦⎤32，4C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞D.⎣⎡⎦⎤32，3解析：选D 二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝⎛⎭⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎡⎦⎤32，3.6．(2018·宁波模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)，对于任意实数a ，总存在实数m ，当x ∈[m ，m ＋1]时，使得f (x )≤0恒成立，则b 的取值范围为________．解析：设f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝0，有两根x 1，x 2， ∴4b <a 2，x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b ，∵对于任意实数a ，总存在实数m ，当x ∈[m ，m ＋1]时，使得f (x )≤0恒成立， ∴(x 1－x 2)2≥1恒成立，∴a 2－1≥4b ， ∴b ≤－14，故b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－14. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－14 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.解析：因为函数f (x )是奇函数， 所以当x <0时，－x >0，所以f (x )＝x 2＋x ，f (－x )＝ax 2－bx ，而f (－x )＝－f (x )，即－x 2－x ＝ax 2－bx ， 所以a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0. 答案：08．(2018·余姚中学检测)已知幂函数f (x )过点(2，2)，则满足f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围是________．解析：设幂函数y ＝f (x )＝x α，α∈R ，其图象过点(2, 2)，∴2α＝2，解得α＝12，∴f (x )＝x ＝x ，∴不等式f (2－a )>f (a －1)可化为2－a >a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >a －1，a －1≥0，解得1≤a <32，∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，32. 答案：⎣⎡⎭⎫1，32 9．(2018·杭州五校联盟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]内的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)∵f (－1＋x )＝f (－1－x )， 可得f (x )的图象关于x ＝－1对称， ∴设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h ， ∵函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋ha ， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－4ha ＝2，解得a ＝－h ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]递增，又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x ＝⎝⎛⎪⎫x －k －222－(k －2)24，∴k －22≤－1，即k ≤0， 综上，实数k 的取值范围为(－∞，0]．10．(2017·绍兴期中)已知函数f (x )＝－x 2＋2bx ＋c ，设函数g (x )＝|f (x )|在区间[－1,1]上的最大值为M .(1)若b ＝2，试求出M ；(2)若M ≥k 对任意的b ，c 恒成立，试求k 的最大值．解：(1)当b ＝2时，函数f (x )＝－x 2＋2bx ＋c ＝－x 2＋4x ＋c ＝－(x －2)2＋4＋c ， 所以函数f (x )在区间[－1,1]上是增函数， 则M 是g (－1)和g (1)中较大的一个， 又g (－1)＝|－5＋c |，g (1)＝|3＋c |，则M ＝⎩⎪⎨⎪⎧|－5＋c |，c ≤1，|3＋c |，c >1.(2)g (x )＝|f (x )|＝|－(x －b )2＋b 2＋c |，①当|b |＞1时，y ＝g (x )在区间[－1,1]上是单调函数， 则M ＝max{g (－1)，g (1)}，而g (－1)＝|－1－2b ＋c |，g (1)＝|－1＋2b ＋c |，则2M ≥g (－1)＋g (1)≥|f (－1)－f (1)|＝4|b |＞4，可知M ＞2. ②当|b |≤1时，函数y ＝g (x )的对称轴x ＝b 位于区间[－1，1]之内， 此时M ＝max{g (－1)，g (1)，g (b )}， 又g (b )＝|b 2＋c |，a ．当－1≤b ≤0时，有f (1)≤f (－1)≤f (b )，则M ＝max{g (b )，g (1)}≥12(g (b )＋g (1))≥12|f (b )－f (1)|＝12(b －1)2≥12；b ．当0＜b ≤1时，有f (－1)≤f (1)≤f (b )．则M ＝max{g (b )，g (－1)}≥12(g (b )＋g (－1))≥12|f (b )－f (－1)|＝12(b ＋1)2≥12.综上可知，对任意的b ，c 都有M ≥12.而当b ＝0，c ＝12时，g (x )＝⎪⎪⎪⎪－x 2＋12在区间[－1,1]上的最大值M ＝12， 故M ≥k 对任意的b ，c 恒成立的k 的最大值为 12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·台州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋k (1－a 2)，x ≥0，x 2－4x ＋(3－a )2，x <0，其中a ∈R.若对任意的非零实数x 1，存在唯一的非零实数x 2(x 1≠x 2)，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则k 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(8，＋∞)C ．[8，＋∞)D ．(－∞，0]∪[8，＋∞)解析：选D 由于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋k (1－a 2)，x ≥0，x 2－4x ＋(3－a )2，x <0，其中a ∈R ，则x ＝0时，f (x )＝k (1－a 2)， 又由对任意的非零实数x 1， 存在唯一的非零实数x 2(x 2≠x 1)， 使得f (x 2)＝f (x 1)成立．∴函数必须为连续函数，即在x ＝0附近的左右两侧函数值相等， ∴(3－a )2＝k (1－a 2)，即(k ＋1)a 2－6a ＋9－k ＝0有实数解， 所以Δ＝62－4(k ＋1)(9－k )≥0，解得k ≤0或k ≥8. 故k 的取值范围为(－∞，0]∪[8，＋∞)．2．(2018·金华期末)已知f (x )＝mx 2＋(1－3m )x ＋2m －1.(1)设m ＝2时，f (x )≤0的解集为A ，集合B ＝(a,2a ＋1](a ＞0)．若A ⊆B ，求a 的取值 范围；(2)求关于x 的不等式f (x )≤0的解集S ；(3)若存在x ＞0，使得f (x )＞－3mx ＋m －1成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵m ＝2，∴f (x )＝mx 2＋(1－3m )x ＋2m －1＝2x 2－5x ＋3.又f (x )≤0，∴(x －1)(2x －3)≤0， ∴1≤x ≤32，∴A ＝⎣⎡⎦⎤1，32. ∵A ⊆(a,2a ＋1](a ＞0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥32，a <1且a ＞0，∴14≤a <1.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫14，1.(2)∵f (x )＝mx 2＋(1－3m )x ＋2m －1，f (x )≤0， ∴(x －1)[mx －(2m －1)]≤0，当m ＜0时，S ＝(－∞，1]∪⎣⎡⎭⎫2－1m ，＋∞； 当m ＝0时，S ＝(－∞，1]； 当0＜m ＜1时，S ＝⎣⎡⎦⎤2－1m ，1； 当m ＝1时，S ＝{1}； 当m ＞1时，S ＝⎣⎡⎦⎤1，2－1m . (3)∵f (x )＞－3mx ＋m －1，∴m >－xx 2＋1.令g (x )＝－x x 2＋1＝－1x ＋1x (x >0)，∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2，∴0<1x ＋1x ≤12，∴－12≤g (x )<0，∵存在x ＞0，使得f (x )＞－3mx ＋m －1成立， ∴m ＞[g (x )]min ，∴m >－12.∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。