随机信号分析题目及答案
(完整版)随机信号处理考题答案
填空：1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=12.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。
1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。
4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。
5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。
6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。
1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。
随机信号分析(第3版)习题及答案
1. 有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。
第二批有500个零件，其中40%是次品。
第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。
我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。
（1） 问所选零件为次品的概率是多少？（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。
()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===2. 设随机试验X求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-3. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩4.求：（1）X 与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。
（北P181,T3） 解：（1）()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =+++-+-++-+--()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x y x y x y x y x y x y x y δδδδδδ=+++-+-++-+--（2） X 的分布律为()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++=Y 的分布律为()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P Y P Y P Y =-=+===+===+= （3）Z XY =的分布律为()()()()()()()()()()111,10.080001,00.400.320.72111,10.20P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== （4）因为()()()00.4010.600.6010.1500.5010.350.20E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=()()10.0800.7210.200.12E XY =-⨯+⨯+⨯=则()()()()ov ,0.120.600.200C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。
随机信号分析教程答案,李兵兵、马文平
第一章随机过程1.1二值过程定义为()X t A =或A -，(1)(0,1,2,)n T t nTn -≤≤=±±其中A 与A -等概出现，T 为一正常数。
（1）画出典型的样本函数图形； （2）将此过程归类；（3）该过程是确定性过程吗？ 解：（1）略；（2）此过程为离散型随机过程； （3）此过程是确定性过程。
1.2 随机过程()X t A Bt =+，其中A 和B 是相互独立的正态分布(0,1)N 的随机变量，试求()X t 的2维概率密度函数。
解：因为A 和B 都是服从标准正态分布，且相互独立，因此它们的线性组合也服从正态分布，故二维随机变量()12(),()X t X t 服从二维正态分布。
对于正态分布，只需求出数学期望和协方差即可确定概率密度函数。
数学期望：[()][][]0X m E X t E A E B t ==+=121222122112(,)[()()][]1X R t t E A Bt A Bt E A B t t ABt ABt t t =++=+++=+ 协方差：2121212(,)(,)1X X X K t t R t t m t t =-=+因此211221221111t t t t t t ⎡⎤++=⎢⎥++⎣⎦K 。
则()X t 的2维概率密度函数为：1212121/21(,;,)2T X f x x t t eπ--=X K XK其中：211221221111t t t t t t ⎡⎤++=⎢⎥++⎣⎦K ，()12,x x =X 。
1.3 考虑随机过程()cos ,X t X t t T ω=∈，此处ω为常数，X 服从标准正态分布。
试求()X t 的一维概率密度函数。
解：对于某一1t 时刻，1()X t 为X 的线性组合，因此1()X t 服从正态分布。
期望：[()][]cos 0X m E X t E X t ω===121221212(,)[cos cos ][]cos cos cos cos X R t t E X t X t E X t t t t ωωωωωω=== 方差：()222(,)cosX X X t R t t m t σω=-=则()X t 的一维概率密度函数为：222cos (,)x tX f x t ω-=1.4 离散随机过程的样本函数皆为常数，即()X t C ==可变常数，式中C 为一随机变量，其可能值为11C =，22C =及33C =，且它们分别以概率0.6、0.3及0.1出现。
随机信号分析(常建平-李海林版)课后习题答案
由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。
给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析 第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。
求（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。
随机信号习题及答案
3.
⎧0 ⎪ 已知随机变量 X 的分布函数为： FX ( x) = ⎨kx 2 ⎪1 ⎩
x<0 0 ≤ x < 1 ，求：①系数 k；②X 落在区间 x >1
0 < x < +∞,0 < y < +∞ 其它
（0.3，0.7）内的概率；③随机变量 X 的概率密度函数。
4.
⎧e − ( x + y ) 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为： f ( x, y ) = ⎨ ⎩0
求：①
分布函数 FXY ( x, y ) ；②（X，Y）落在如图所示的三角形区域内的概率。
y x+y=1
0
x
5. （续上题）求③边缘分布函数 FX ( x) 和 FY ( y ) ；④求边缘概率 f X ( x) 和 fY ( y ) 。 6. （ 续 上 题 ） ⑤ 求 条 件 分 布 函 数 FX ( x y ) 和 FY ( y x) ； ⑥ 求 条 件 概 率 密 度 f X ( x
103
9 若两个随机过程 X (t ) = A(t )cos t 和 Y (t ) = B(t )sin t 都是非平稳过程，其中 A(t ) 和 B (t ) 为相互独立，且 各自平稳的随机过程，它们的均值为 0 ，自相关函数 R A (τ ) = RB (τ ) = R (τ ) 。试证这两个过程之和
和 Y 的相关性及独立性。
11. 已知随机变量 X 的均值 m X = 3 ，方差 σ 2 X = 2 ，且另一随机变量 Y = −6 X + 22 。讨论 X 和 Y 的相关性和正交性。 12. 设随机变量 Y 和 X 之间为线性关系 Y = aX + b ，a、b 为常数，且 a ≠ 0 。已知随机变量 X 为正态分布，即：
随机信号分析(常建平李海林)习题答案解析
完美 WORD 格式1-9 已知随机变量X的分布函数为0 , x 02F (x) kx , 0 x 1X1 , x 1求：①系数 k；②X落在区间(0.3,0.7) 内的概率；③随机变量X的概率密度。
解：第①问利用F X (x) 右连续的性质k ＝1P 0.3 X 0.7 P 0.3 X 0.7 P X 0.7 第②问F 0.7 F 0.3第③问f (x)Xd F(x)Xdx2x 0 x 10 else专业知识分享完美 WORD 格式x1-10 已知随机变量X 的概率密度为( ) ( )f x ke xX（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X落在区间 (0,1)内的概率③随机变量 X的分布函数解：第①问f x dx 1 k12第②问x2P x X x F x F x f x dx1 2 2 1x1随机变量 X落在区间( x1 , x2 ] 的概率 P{ x1 X x2} 就是曲线y f x 下的曲边梯形的面积。
1P 0 X 1 P 0 X 1 f x dx1 2 1 e1第③问12 f x12xe xxe xxF x f ( x)dx1 1x x xe dx x 0 e x 02 20 1 1 1xx x xe dx e dx x 0 1 e x 02 0 2 2专业知识分享完美 WORD 格式1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000 辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于 2 的概率是多少？n=1- 分布 (0 1)n ,p 0,np=二项分布泊松分布n 成立，0不成立, p q高斯分布实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布n 10 p 0.1P X kk e＝＝np k!汽车站出事故的次数不小于 2 的概率P(k 2) 1 P k 0 P k 10.1P(k 2) 1 1.1e 答案专业知识分享完美 WORD 格式1-12 已知随机变量 (X,Y)的概率密度为f (x, y) XY(3 x 4 y),ke x 0, y 0, 其它0求：①系数k？②( X ,Y)的分布函数？③P{0 X 1,0 X 2} ？第③问方法一：联合分布函数F XY (x, y) 性质：若任意四个实数 a ab b ，满足1, 2, 1, 2a a bb ，满足a1 a2,b1 b2 ，则P{a X a ,b Y b}F XY(a ,b ) F XY(a ,b) F XY(a ,b ) F XY(a ,b)1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1P{0X 1,0 Y 2} F XY(1,2) F XY(0,0) F XY(1,0) F XY(0,2)方法二：利用P{( x, y) D } f XY u,v dudvD2 1P{0X 1,0 Y 2} f XY x,y dxdy0 0专业知识分享完美 WORD 格式1-13 已知随机变量(X,Y) 的概率密度为f (x, y)1, 0 x 1, y x0 , 其它①求条件概率密度 f X (x| y)和f Y ( y | x) ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
(完整word版)随机信号分析习题.(DOC)
随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数.并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。
2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩, 求{}10,10<<<<Y X P 。
3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π 求:（1）边沿密度)(x f X ,)(y f Y（2)条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。
(1）求Y 的可能取值 （2）确定Y 的分布. （3）求][Y E 。
5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为:)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1)X 与Y 不相关时的所有A 值。
（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。
6. 二维随机变量（X ，Y )满足:ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ,Y 的独立性与相关性。
7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ,求2bX Y =的概率密度)(y f .8. 两个随机变量1X ，2X ,已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。
随机信号分析试题
i 一.填空题(每空3分共18分)：1.随机信号功率谱的物理意义是。
22.广义各态历经是指。
33.白噪声通过理想低通系统后，功率谱为。
号；4.希尔伯特变换中系统的冲激响应h(t)传递函数；H( ) 。
5 5.随机信号x(t)的解析函信号是。
二.判断题(每小题3分共15分)题小答1.随机变量X, Y独立，则有E(XY) E(X)E(Y)。
() 不内2.理想白噪声过程在不同时刻的两个状态独立。
()封3.一可以成为平稳过程的自相关函数。
曲密()4.功率谱密度S x()是实函数并且是偶函数。
()5.实平稳随机过程X(t)通过线性时不变系统的输出为Y(t),则有S x( )S Y( ) S XY()S YX() ( )三.(12分)若有一随机变量X,其概率密度函数为f(t) -e ax u(t)o2 求：(1) a的值；(2) X的特征函数X v ；第1页共4页(3)随机变量Y 2X 1,求Y的一阶概率密度函数。
.( 15 分) 已知随机相位正弦信号X(t) cos 0t , 0为常数，为在［0, 2兀］内均匀分布的随机变量。
试求：(1) X(t)的数学期望和自相关函数；(2)判定X(t)是否为平稳过程；(3)计算x(t)的功率谱密度。
五.(15分)若输入信号X(t) X。
cos( o t )作用于图XX所示RC电路，其中X。
为［0,1］上均匀分布的随机变量，为［0,2兀］上均匀分布的随机变量，并且X。
与彼此独立。
求输出信号Y(t) 的功率谱与相关函数。
题业答专才不内线密六.(15分)复随机过程Z(t) e j(0t),式中。
为常数，是在。
2)：上均匀分布的随机变量。
求：(1)E［Z(t *(5和E［Z(t)Z(t)第3页共4页第4页共4页］;:(2)信号的功率谱。
七.(15分)平稳随机过程x(t)作用到冲激响应分别为几代)和卜2代)的 串联系统。
用h i (t)、h 2(t)和X(t)的自相关函数R x ()表示的Y i (t)和丫2⑴ 的互相关函数，并计算丫(t)和Y 2(t)的功率谱。
随机信号分析(常建平李海林)习题答案解析
y
y
0
1
1
e
e
y
3
2
1
0
else
1-17 已知随机变量 X,Y 的联合分布律为
P X m,Y n
m ne 5
32
, m,n 0,1,2,
m! n!
***
求： ① 边缘分布律
***
P X m (m 0,1,2, ) 和
②条 件分布律 P X m |Y
和 n
PY
n|X
m？
专业 知识分享
P Y n (n 0,1,2,
0.0001 ，若每天有 1000 辆汽车进
出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于
2 的概率是多少？
二项分布
n=1
- 分布 (0 1)
n
,p 0,np=
泊松分布
n
成立 ， 0 不成立
,p q
高斯分布
实际计算中，只需满足
，二项分布就趋近于泊松分布 n 10 p 0.1
ke PX k ＝
k!
＝ np
汽车站出事故的次数不小于
X
3
6
7
求： ①X 的分布函数
P 0.2 0.1 0.7 ② 随机变量 Y 3X 1 的分布律
1-15 已知随机变量 X 服从标准高斯分布。 求：①随机变量 Z X 的概率密度？ 的概率密度？ ② 随机变量
分析 : ① f Y (y)
h '(y)
f X h( y)
② f Y ( y) | h' 1 (y) | f X [h 1 ( y)]
第③问
fx Fx
1x 2e
0 x
1x
e 2
0 x
随机信号分析1-3部分答案
1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由 1)(=⎰∞∞-dx x f得2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A 21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。
随机信号分析CH6习题及答案
6.1 复随机过程0()()j t Z t e ω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。
求：（1）[()()]E Z t Z t τ*+和[()()]E Z t Z t τ+；（2）信号的功率谱。
解：(1) 0()()j t Z t eω+Φ=[][]0000()2200()cos sin 11cos sin 220j t j t j j tj t E Z t E e E e e E j e d d eωωωππωππ+ΦΦ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦=Φ+Φ⎡⎤=Φ⋅Φ+Φ⋅Φ⎢⎥⎣⎦=⎰⎰()0000[()][][()()]j t j t j j Z E Z t Z t E e e E e e R ωτωωτωτττ++Φ-+Φ*⎡⎤+=⎣⎦⎡⎤===⎣⎦[][][][][]000000[()][](2)2(2)2(2)2(2)[()()]cos 2sin 21cos 2sin 220j t j t j t j t j j t j t E Z t Z t E e e E e e E e e E j e j d ωτωωτωτωτπωττπ++Φ+Φ++Φ+Φ++⎡⎤+=⎣⎦⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦⎡⎤=Φ+Φ⎣⎦=Φ+ΦΦ=⎰ (2) 00()[()][]2()j Z Z S F R F e ωτωτπδωω===-6.2 6.36.4 已知()a t 的频谱为实函数()A ω，假定ωω>∆时，()0A ω=，且满足0ωω∆，试比较：（1） 0()cos a t t ω和0(12)()exp()a t j t ω的傅立叶变换。
（2） 0()sin a t t ω和0(2)()exp()j a t j t ω-的傅立叶变换。
（3）0()cos a t t ω和0()sin a t t ω的傅立叶变换。
解：由傅立叶变换的定义可以得到： （1）000001()cos [()()]211()()22FTj t FTa t t A A a t e A ωωωωωωωω←−→-++←−→- ()000()()cos ()sin j t a t e a t t ja t tωωω=+0()j ta t eω是0()cos a t t ω的解析信号01()2j t a t e ω的傅立叶变换是0()cos a t t ω的傅立叶变换的正频率部分。
随机信号分析课后习题答案
1第一次作业：练习一之1、2、3题1.1离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087813812411210)(][41==×+×+×+×===∑=i i i x X P x X E 81)873(81872(41)871(21)870(])[(][2224122×−+×−+×−+×−=−=∑=i i i P X E x X D 109.16471==1.2设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤−+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤−π==其他201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=∫∞∞−dx x f 得2A021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=−=−π∫∞∞−x x x A 21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==−π−−π=−=<<x P 1.1.33试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥−=−000e 1)(2x x x F x（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>−−=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>−−−=a a x u a xa x u a x x F2解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥−=−000e 1)(2x x x F x当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数；1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。
随机信号分析基础作业题
第一章1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。
如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。
如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？解：P (A )=0.3P (B )=0.2P (C )=0.1P (D )=0.4P (E |A )=0.25E －迟到，由已知可得P (E |B )=0.4P (E |C )=0.1P (E |D )=0全概率公式：P (E )=P (EA )+P (EB )+P (EC )+P (ED )贝叶斯公式：P (A |E )=P (EA )P (E |A )⋅P (A )0.075P (E )=P (E )=0.165=0.455P (B |E )=P (E |B )⋅P (B )0.08P (E )=0.165=0.485P (C |E )=P (E |C )⋅P (C )0.01P (E )=0.165=0.06P (D |E )=P (E |D )⋅P (D )P (E )=0综上：坐轮船⎧2x -x 3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为f ⎪e 2σX 2x(x )=⎨2,⎪σX⎩0,数σX>0，求期望E (X )和方差D (X )。
考察：已知f x(x )，如何求E (X )和D (X )？x >0式中，常x <E (X )=⎰x ⋅f (x )dx-∞22D (X )=E [(X -m x)]=⎰(X -m x)f (x )dx-∞∞∞D (X )=E (X )-E (X )⇒E (X )=⎰x 2⋅f (x )dx-∞222∞6、已知随机变量X 与Y ，有EX =1,EY =3,D (X )=4,D (Y )=16,ρXY=0.5，令U =3X +Y ,V =X -2Y ,试求EU 、EV 、D (U )、D (V )和Cov (U ,V )。
随机信号分析[常建平 李海林]习题答案解析
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1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P XF =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问()112f x d x k ∞-∞==⎰ 第②问 {}()()()211221x x P x X x F x F x f x d x<≤=-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y (34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
随机信号分析(常建平李海林)习题答案
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()112f xd x k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F xfx d x<≤=-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
《随机信号分析》试题09答案
一．填空题（共15分，每题3分）1．()D X t ⎡⎤⎣⎦=()()0725X X R R -∞=-=。
2. ()()()()()()00002222*j f t j f t j f j f z R E z t z t E ee E e e πτψπψπτπτττ++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+===⎣⎦⎣⎦⎣⎦3． ()()()()()()()00**YX X R R h h h u h v R u v dudv τττττ∞∞=-=+-⎰⎰。
4.22118()22411222214X Q S w dw dww w dw darctg w ππππππ∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞==+⎛⎫==== ⎪⎝⎭+⎰⎰⎰⎰ 5. ()()2XY X Y S w m m w πδ=。
二．回答题（共10分，每题2分）1. 答：随机过程X(t)在0t ∆→时满足()()()20E X t t X t ⎡⎤+∆-→⎣⎦，则称随机过程在t 时刻均方意义下连续。
2. 答：时间平均代替统计平均简化计算/工程应用3．答：均值函数和相关函数可以完全确定其n 维概率密度函数4．答：采样频率Fs=10/ k （Hz ）， k = 1, 2 ,3 …5. 答：对状态i ，若正整数集合(){}:1,0ii n n p n ≥>非空，则称该集合的最大公约数L 为状态i 的周期。
若L>1, 则称状态i 为周期的，否则为非周期的。
第2页 共 页三．（15分）答：均值[]()[]()00()cos cos 1*00E X t E w t E E w t =H +Φ=H +Φ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦………. 2 自相关函数()[]()()()()()()()[]2000002002222()()cos cos cos 22cos 2cos cos 5225X R E X t X t E w t w t w t w w E E w w E E E E τττττττσ⎡⎤=+=H +Φ++Φ⎣⎦++Φ+⎡⎤⎡⎤=H ⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=H =⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤H =+H =⎣⎦ (4)时间平均：()()()()()00000001()cos lim cos 21lim sin 21lim sin sin 20TTt TTt t X t w t w t dtTd w t Tw w T w T T w -→∞-→∞→∞=H +Φ=H +ΦH=+ΦH=+Φ--+Φ⎡⎤⎣⎦=⎰⎰ (2)相关函数平均()()()()()()()()()()()20020000020202()()cos cos 1limcos cos 2cos 22cos 1lim 22cos 1lim 22cos 2T Tt T T t T T t X X t X t w t w t w t w t dtT w t w w dt T w dt T w R ττττττττ-→∞-→∞-→∞+=H +Φ++Φ=H +Φ++Φ++Φ+=H =H =H ≠⎰⎰⎰.....................................4 因此不遍历 (3)四．（15分） 答：（1） (5)全为正常返态 （2）()21111111117312422222216p =++=……………………………………..4 （3）()111112,428f ==…………………………………………………………………2 ()1111131428f == (2)()111111111246...357...28163281632111115913...1/29/411/42816321115913...81632111111/25913...544..16326481632i ii n u nf n s s ∞=⎡⎤⎡⎤==⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+=+=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯+⨯+⎢⎥⎣⎦∑.11/495811/28⎡⎤⎢⎥⎣⎦=⨯+=- (2)第4页 共 页五．（20分）（1）()()()2222222224216424216242241620Y X w w w w w w w S w S w H w w w w w others⎧+<⎪+⎪⎪+⎛⎫->>=⎪ ⎪+==⎝⎭⎨⎪+⎛⎫⎪+->>=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎩ (6)（2）()()[]22max2240224211222424281214/38/3e w H w dwH w w dw dw w w dw ∞∆=⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=+-+=⎰⎰⎰⎰ (7)（3）()()()()()222241644X s s s S s s s s -+-+==-+-+()()()42s H s s +=+ (7)六．（10分）()()sin Y t Xt X t ==- (2)()[]()sin sin /2E Y t E X t t =-=-⎡⎤⎣⎦ (5)样本函数为：任意一条sin 函数的取反，幅值（0 1）之间即可，周期2pi (3)七．（15分）()()()()33ˆ()cos 210sin 210Y t X t t Xt t ππ=+…………………………………………4 ()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()3333ˆ3333ˆˆˆˆˆ()()cos 210cos 210cos 210sin 210sin 210cos 210sin 210sin 210,Y X XX XX X X X XX XX R E Y t Y t R t t R t t R t t R t t R R R R τττππττππττππττππτττττ=+=+++++++==-()()()()()33ˆcos 210sin 210Y X XX R R R ττπττπτ=+ (6)()()()()()()()()()()3333333333332102102(210)210(210)210210102(10)10(10)102X X Y X X X X Y X X S w S w S w jsgn w S w jsgn w S w j S f S f S f sgn f S f sgn f S f ππππππ++-=⎡⎤---+++⎣⎦+++-==⎡⎤---+++⎣⎦+ (3) (2)第6页共页9951000。
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1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数：
（1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++
解：（1）
()121222()jv X X jvX jv X jvX
X v E e E e E e e φ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （2）
()1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++⎡⎤⎡⎤==⋅⋅⎣⎦⎣⎦
2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问：
（1） 信号的均值函数()E X t ⎡⎤⎣⎦；
（2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+；
（3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。
解：（1）()10.410.60.2E X t =-⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦
(2) 当,t t τ+在同一个时隙时：
当,t t τ+不在同一个时隙时：
（3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++
3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0
ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。
（1） 试判断()X t 和()Y t 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性；
（2） 试判断()X t 和()Y t 是否联合广义平稳。
解：
（1） 由于X (t )和Y(t )包含同一随机变量θ，
因此非独立。
根据题意有12f ()θπ=。
[]001sin()02E[X(t )]E t sin(w t )d π
πωθθπ
-=+Θ=
+=⎰，
由于0XY XY R (t,t )C (t,t )==，X (t )和Y(t )在同一时刻正交、线性无关。
除()012w t t k π-=±外的其他不同时刻12120XY XY R (t ,t )C (t ,t )=≠，所以1X (t )和2Y(t )非正交且线性相关。
（2） 由于0E[X(t )]E[Y(t )]==，X (t )和Y(t )
均值平稳。
同理可得1212Y X R (t ,t )R (t ,t )=，因此X (t )和Y(t )均广义平稳。
由于
121201201122
XY XY R (t ,t )C (t ,t )sin[w (t t )]sin(w )τ==-=，因此X (t )和Y(t )联合广义平稳。
4. （10分）判断下列函数是否能作为实广义平稳随机过程的自相关函数（其中c ω均为常数）？如果不能，请写出理由。
（1）cos() ||4() 0 c c R πωττωτ⎧≤⎪=⎨⎪⎩
其它 （2）cos() ||2() 0 c c R πωττωτ⎧≤⎪=⎨⎪⎩
其它 （3）10cos() ||() 0 c c R πωττωτ⎧≤⎪=⎨⎪⎩
其它 （4）()=cos() ||c R τωττ≤∞ 解：（1）不能，因为零点连续，而4/π点
不连续。
（2）能。
（3）不能，因为20c R()R()π
ω=，而R()τ又
不是2c /πω的周期函数。
（4）能。
5. （10分）线性时不变系统的框图如下图所示。
若输入白噪声的双边功率谱密度0 1 W/Hz 2N =，求系统输出噪声的功率谱密度函数和自相关函数，以及输出噪声总功率。
解：系统的传递函数为
()11R H j R j L j ωωω==++，
则系统输出功率谱密度为
()()()222112121Y X S S H j ωωωωω=⨯==⋅++。
输出噪声的自相关函数为()12Y R e ττ-= 输出噪声总功率为102N Y P R ()(W )==
6. （10分）设随机信号
()()()()()sin Z t X t t Y t t ωω=-00cos ，其中ω0为常
数，()()X t Y t 和均为零均值的平稳随机过程，并且相互正交。
问：
（1） ()()X t Y t 和是否联合广义平稳？
（2） 假如()()X Y R R ττ=，()Z t 是否为广义平稳的随机信号？
证明：
（1） 由于()()X t Y t 和相互正交，所以(,)(,)0XY YX R t t R t t ττ+=+≡，与t 无关 ，又因为()()X t Y t 和均为零均值的平稳随机过程，所以()()X t Y t 和是联合广义平稳随机信号。
（2） 假如()()X Y R R ττ=，
由于()()X t Y t 和相互正交，所以
()()X Y R R τωττωτ==00cos cos ，与t 无关
所以()Z t 是广义平稳的随机信号。
7. （10分）下列函数中哪些是实广义平稳随机信号功率谱密度的正确表达式？若是，求该信号的平均功率；若不是，请说明原因。
（1） 2
29()69S ωωωω+++= （2）
2424()109S ωωωω+++=
（3） 210()010S ωωω⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ （4）
()()2S ωπδω=
解：
（1） 不可以。
不是偶函数。
（2） 可以。
()()42224111()109219S ωωωωω⎡⎤⎢⎥=-++++⎢⎥⎣⎦
=，所以 3()R e e τττ--+11=412，所以1(0)3
P R =+=11=412 （3） 可以。
10
101120()222P S d d ωωωπππ∞-∞-===⎰⎰
（4） 可以。
11()2()122P S d d ωωπδωωππ∞∞
-∞-∞===⎰⎰
8. （10分）某语音随机信号()X t 满足广义各态历经性，现将该信号经过无线信道进行传输，假设信道噪声为广义各态历经的加性高斯白噪声()N t 。
讨论：
（1） 收到的信号()()()Y t X t N t =+的均值各态历经性；
（2） ()Y t 满足广义各态历经性的条件。
解：
由()X t 满足广义各态历经性，所以()X t 广义平稳且满足：
同理，()N t 广义平稳且满足：
由于()X t 与()N t 是独立的，所以： 所以()Y t 是广义平稳的。
且有：
所以，
由于[][]()()X E Y t A Y t m ==，所以()Y t 是均值各态历经的。
假如[][]()()()()0A X t N t A X t N t ττ+++=，则()Y t 是广义各态历经的。
9. （10分）已知平稳随机信号()X t 的功率谱
密度 24()4X S ωω=+ 。
()X t 通过频率响应为
1()1
H j ωω=+ 的系统后得到()Y t 。
求： （1） ()Y t 的均值、平均功率；
（2） 系统的等效噪声带宽；
（3） 信号()Y t 的矩形等效带宽。
解: (1) 2 124()[]4
X R F e ττω--==+
()0X X m R =∞=， （2）()2
2211()()12h H r e u τωττω-=→=+
（3）信号()Y t 的矩形等效带宽 10. （10分）
00()()cos(2)()sin(2)N t X t f t Y t f t ππ=-设所表示的零均值平稳窄高斯随机信号的功率谱密度()N S f 如下图示，若0f 为100Hz ，试求：
（1） 随机信号()N t 的一维概率密度函数；
（2） ()()X XY R R ττ和；
（3） ()N t 的两个正交分量的联合概率密
度函数。
解：t t Y t t X t N 00sin )(cos )()(ωω-= ()()t Y t X ,也是高斯的
依题 ()()()0E N t E X t E Y t ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(1)
()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-⨯=48exp 341242exp 2421
;22n n t n f N ππ
（2）0f =100Hz ，根据X(t)和Y(t)的性质知
且 )()(00ωωωω-=+N N S S 则可得 0)(=τXY R ，)(f S X 如图 求)(f S X 的傅立叶反变换可得
(3) (
)21;exp 48X x f x t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭ ()ωN S Θ关于0ω对称，所以 ()(),X t Y t 在任意时刻正交,不相关,独立.。