第二节函数的求导法则

第二节 函数的求导法则要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠 实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少 人的思维活动.-------F. 莱布尼茨求函数的变化率——导数，是理论研究和实践应用中经常遇到的一个普遍问题. 但根据定义求导往往非常繁难，有时甚至是不可行的. 能否找到求导的一般法则或常用函数的求导公式，使求导的运算变得更为简单易行呢？从微积分诞生之日起，数学家们就在探求这一途径. 牛顿和莱布尼茨都做了大量的工作. 特别是博学多才的数学符号大师莱布尼茨对此作出了不朽的贡献. 今天我们所学的微积分学中的法则、公式，特别是所采用的符号，大体上是由莱布尼茨完成的.分布图示★ 引言 ★ 和、差、积、商的求导法则★ 例1-2 ★ 例3-4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 反函数的导数 ★ 例7 ★ 例8 ★ 复合函数的求导法则 ★ 初等函数的求导法则★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 隐函数的导数 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例19 ★ 对数求导法 ★ 例20 ★ 例21 ★ 例22 ★ 参数方程表示的函数的导数 ★ 例23 ★ 例24 ★ 高阶导数的定义 ★ 例25-26 ★ 例27-28 ★ 例29★ 例30 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 2- 2内容要点一、导数的四则运算法则二、反函数的导数：反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 三、复合函数的求导法则定理3 若函数)(x g u =在点x 处可导, 而)(u f y =在点)(x g u =处可导, 则复合函数)]([x g f y =在点x 处可导, 且其导数为)()(x g u f dxdy'⋅'= 或dxdudu dy dx dy ⋅= 注: 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 这一法则又称为链式法则.复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数的导数时, 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里, 逐层推进求导， 不要遗漏, 也不要重复. 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数. 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去做. 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.四、初等函数的求导法则：基本求导公式 函数的和、差、积、商的求导法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则五、隐函数的导数假设由方程0),(=y x F 所确定的函数为)(x y y =，则把它代回方程0),(=y x F 中，得到恒等式0))(,(≡x f x F利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x 求导，再解出所求导数dxdy，这就是隐函数求导法.六、对数求导法：对幂指函数)()(x v x u y =，直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x 求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法. 七、参数方程表示的函数的导数设⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，)(t x ϕ=具有单调连续的反函数)(1x t -=ϕ, 则变量y 与x 构成复合函数关系)].([1x y -=ϕψ 且 .dtdxdtdy dx dy =八、高阶导数如果函数)(x f y =的导数)(x f '仍可导, 则称)(x f '的导数))((''x f 为函数)(x f y =的二阶导数, 记为.)(,),(2222dxx f d dx y d y x f 或'''' 类似地，二阶导数的导数称为三阶导数, 记为33,),(dx yd y x f ''''''，或33)(dx x f d . 一般地, )(x f 的1-n 阶导数的导数称为)(x f 的n 阶导数,记为.)(,),()()(nn n n n n dxx f d dx y d y x f或 注: 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, )(x f 称为零阶导数; )(x f '称为一阶导数.例题选讲导数的四则运算法则的应用例1 (E01) 求x x x y sin 223+-=的导数. 解 )(sin )2()(23'+'-'='x x x y .cos 432x x x +-=例2 (E02) 求x x y sin 2=的导数.解 )sin (2)sin 2('='='x x x x y ])(sin )sin )[(2'+''=x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x x cos sin 212.cos 2sin 1x x x x+=例3 (E03) 求x y tan =的导数;解 '⎪⎭⎫ ⎝⎛='='x x x y cos sin )(tan ,cos )(cos sin cos )(sin 2x x x x x '-'= ,sec cos 1cos sin cos 22222x xx x x ==+= 即.sec )(tan 2x x =' 同理可得.csc )(cot 2x x -='例4 求x y sec =的导数;解 x x x x y 2cos )(cos cos 1)(sec '-='⎪⎭⎫ ⎝⎛='='.tan sec cos sin 2x x x x == 同理可得.cot csc )(csc x x x -='例5 (E04) 人体对一定剂量药物的反应有时可用方程：)32(2MC M R -=来刻画，其中，C 为一正常数，M 表示血液中吸收的药物量。

衡量反应R 可以有不同的方式：若反应R 是用血压的变化来衡量，单位是毫米水银柱；若反应R 用温度的变化衡量，则单位是摄氏度。

解)31()32(22-+-=M M C M dM dR 2M MC -= 例6 求x x y ln 2sin ⋅=的导数.解 因为,ln cos sin 2x x x y ⋅⋅=所以x x x x x x y ln )(cos sin 2ln cos )sin 2(⋅'⋅+⋅⋅'=')(ln cos sin 2'⋅⋅+x x xx x x x x x ln )sin (sin 2ln cos cos 2⋅-⋅+⋅⋅=xx x 1cos sin 2⋅⋅+ .2sin 1ln 2cos 2x xx x +=注: 此题如果利用后面讲到的复合函数的求导法则则计算过程更为简单.那时，不必按本题那样拆开为两项来计算 .反函数的导数例7 (E05) 求函数x y arcsin =的导数.解 y x sin = 在⎪⎭⎫⎝⎛-=2,2ππy I 内单调、可导,且,0cos )(sin >='y y∴在对应区间)1,1(-=x I 内有y y x cos 1)(sin 1)(arcsin ='='.11sin 1122xy -=-= 同理可得 ,11)(arccos 2xx --=' ,11)(arctan 2xx +='.11)cot (2xx arc +-='例8 (E06) 求函数x y a log =的导数.解 y a x = 在),(+∞-∞=y I 内单调、可导，且,0ln )(≠='a a a y y ∴在对应区间),0(+∞=x I 内有.ln 1ln 1)(1)(log a x aa a x yy a =='=' 特别地.1)(ln x x ='复合函数的求导法则例9 (E07) 求函数x y sin ln =的导数. 解 设,ln u y =.sin x u = 则 dx du du dy dx dy ⋅=x u cos 1⋅=xx sin cos =.cot x =例10 (E08) 求函数102)1(+=x y 的导数. 解 设.1,210+==x u u y 则x u dxdu du dy dx dy 2109⋅=⋅=.)1(202)1(109292+=⋅+=x x x x 注：复合函数求导既是重点又是难点.在求复合函数)]}([{x f y ψϕ=的导数时，要从外层, 逐层推进.先求f 对大括号内的变量u 的导数)]),([(x u ψϕ=再求ϕ对中括号内的变量v 的导数)),((x v ψ=最后求ψ对小括号内的变量x 的导数.在这里，首先要始终明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数;其次,在逐层求导时,不要遗漏, 也不要重复. 熟练之后可以不设中间变量的字母, 心中记住,一气呵成.例11 (E10) 求函数32)sin (x x y +=的导数.解 ])sin [(32'+='x x y )sin ()sin (3222'++=x x x x ])(sin sin 21[)sin (322'⋅++=x x x x).2sin 1()sin (322x x x ++=例12 (E09) 求函数)2(21ln32>-+=x x x y 的导数.解 ),2ln(31)1ln(212--+=x x y)2(2131)1(112122'-⋅-⋅-'+⋅+⋅='∴x x x x y )2(31211212--⋅+⋅=x x x .)2(3112--+=x x x例13求函数 )0(arcsin 22222>+-=a ax a x a x y 的导数. 解'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='a x a x a x y arcsin 22222'⎪⎭⎫ ⎝⎛+'-+-⋅'⎪⎭⎫ ⎝⎛=a x a x a x x a x arcsin 2)(2222222 2222222212)(21221⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'-⋅+-=a x a x a x a x a x x a2222222222121x a a x a x x a -+---= .22x a -=例14 求函数x x x y ++=的导数.解 )(21'++++='x x x x x x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+++++=)(21121x x xx x x x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=)211(21121x xx x x x .812422x x x x x x x x x x +⋅+++++=例15 求导数 x y x sin log =).1,0(≠>x x解 在函数表达式中,考虑到对数的底是变量,可用对数换底公式,将其变形为.ln sin ln xx y =这时x xx x x y 2ln sin ln 1ln cot -⋅='.ln sin sin ln sin ln cos 2xx x x x x x x ⋅⋅⋅-⋅=例16 求导数 .log /1xx x e y +=解 .ln 1ln ln log xx e e x ==)()(log /1'+'='∴xx x e y '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x e x ln 1ln 1'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x e x x x x ln 1ln 1ln 12 .ln 1ln 1212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=x x x x x x隐函数的导数例17 (E11) 求由方程1ln =+y xy 所确定的函数)(x f y =的导数.解 在题设方程两边同时对自变量x 求导，得0'1'=++y y xy y解得1'2+-=xy y y例18 (E12) 求由下列方程所确定的函数的导数.0)cos(sin =--y x x y . 解 在题设方程两边同时对自变量x 求导，得0)1()sin(sin cos =-⋅-+⋅+dxdyy x dx dy x y 整理得 x y y x dxdyx y x cos )sin(]sin )[sin(+-=-- 解得.sin )sin(cos )sin(xy x x y y x dx dy --+-=例19 求由方程0=+-yxe e xy 所确定的隐函数y 的导数 .,0=x dxdy dx dy解 方程两边对x 求导,0=+-+dxdy e e dx dy xy y x 解得 ,yx e x ye dx dy +-=由原方程知,0,0==y x 所以.1|000=+-====y x yx x e x y e dx dy对数求导法例20 (E13) 设),0(sin >=x x y x 求 y '. 解 等式两边取对数得x x y ln sin ln ⋅= 两边对x 求导得,1sin ln cos '1xx x x y y ⋅+⋅=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=x x x x y y 1sin ln cos '.sin ln cos sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=x x x x x x例21. (E14) 设y x x y )(sin )(cos =，求 y '.解 在题设等式两边取对数 x y y x sin ln cos ln = 等式两边对x 求导，得.sin cos sin ln cos sin cos ln xyy x y y y y xy ⋅+'='⋅- 解得.sin ln tan cot cos ln 'xy x xy y y +-=例22 (E15) 设xex x x y 23)4(1)1(+-+=, 求 y '. 解 等式两边取对数得,)4ln(2)1ln(31)1ln(ln x x x x y -+--++=上式两边对x 求导得,142)1(3111'-+--++=x x x y y ∴.142)1(3111)4(1)1('23⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+++-+=x x x e x x x y x参数方程表示的函数的导数例23 (E16) 求由参数方程 ⎩⎨⎧+==)1ln(arctan 2t y tx 所表示的函数)(x y y =的导数. 解.2111222t t t t dt dxdt dydx dy =++==例24 求由摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 所表示的函数)(x y y =的二阶导数.解 dtdx dt dydx dy =t a a t a cos sin -=tt cos 1sin -=),2(Z n n t ∈≠π ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy dx d dx y d 22⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t dx d cos 1sin dtdxt t dt d 1cos 1sin ⎪⎭⎫⎝⎛-= 2)cos 1(1)cos 1(1cos 11t a t a t --=-⋅--=).,2(Z n n t ∈≠π高阶导数的定义例25 (E17) 设,53223+-=x x y 求.y ''解 ,662x x y -=' .612-=''x y例26 (E18) 设,ln 2x x y =求).2(f '''解 ,ln 2)(ln ln )()ln (222x x x x x x x x x y +='+'='=' ,3ln 2+=''x y ,2xy =''' 所以.12)2(2=='''=x x f例27 (E19) 求指数函数xe y =的n 阶导数. 解 ,,,,)4(x x x xe y e y e y e y =='''=''='一般地，可得,)(x n e y =即有.)()(x n x e e =例28 求对数函数)1ln(x y +=的n 阶导数. 解 ,)1(!2,)1(1,1132x y x y x y +='''+-=''+=').1!0,1()1()!1()1(,,)1(!31)(4)4(=≥+--=+-=-n x n y x y nn n例29 (E20) 求x y sin =的n 阶导数. 解 ,2sin cos ⎪⎭⎫⎝⎛+=='πx x y ,22sin 22sin 2cos )(⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛+=''=''ππππx x x y y …… .2sin )(⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=πn x yn即 .2sin )(sin )(⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=πn x x n 同理可得 .2cos )(cos )(⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=πn x x n例30（E21） （弹簧的无阻尼振动）设有一弹簧，它的一端固定，另一端系有一重物，然后从静止位置O （记作原点）沿x 轴向下（记为正方向） 把重物拉长到4个单位，之后松开，若运动过程中忽略阻尼介质（如空气、水、油等）的阻力作用，则重物的位置x 与时间t 的关系式为：t x cos 4=.试求t 时刻的速度和加速度，并尝试分析弹簧整个运动过程的详细情况：(1) 物体会在某个时刻停止下来还是会做永不停止的周期运动？(2) 何时离点O 最远，最近？ (3) 何时速度最快，最慢？ (4) 何时速度变化最快，最慢？(5) 据前面问题再加以分析，对无阻尼振动的运动性态作一详细阐述.解 位移：t x cos 4=; 速度：t dtdxv sin 4-==; 加速度：t dt x d a cos 422-==.(1) 弹簧和重物构成的系统在整个运动过程中可认为不存在能量的损耗，而只是势能（弹性势能和重力势能）与动能的互相转化，所以物体的运动会永不停止，并据其位移、速度、加速度公式分析知重物作π2=T 的周期运动.(2) 由t x cos 4=易知:当0≥=πk t (k 为非负整数，本题中的k 同此说明)时，质点达到离原点O 的最远位置4±=x 处，正负表示运动的方向（以下同），且正值表示与初始位移方向一致，负值表示与初始位移方向相反；当02≥+=ππk t 时，质点达到离原点O 的最近位置0±=x 处，即原点O 处．(3) 由速度公式t dtdxv sin 4-==，知： 当02≥+=ππk t 时，达到最大绝对速度4±=v ；当0≥=πk t ，达到最小绝对速度0±=v ． (4) 由加速度公式t dtxd a cos 422-==，知：当0≥=πk t 时，达到最大绝对加速度4±=a ；当02≥+=ππk t 时，达到最小绝对加速度0±=a .(5) 根据上面的计算再加以分析我们知道：当重物在原点O 时，其速度达到最大值，加速度为0，再往上或下继续振动时，速度减慢，且减慢的程度越来越快，这表示加速度的方向与瞬间速度的方向相反且大小越来越大，当到达最大绝对位移处时，加速度达到最大值，同时其速度减为0，这之前的过程可视为四分之一个周期2/4/π=T ，紧接着瞬间速度方向即将发生改变，但注意此时加速度方向不发生改变也即与瞬间速度方向一致，也就是说，此时加速度反方向给重物加速，直到再回到原点O 处使重物获得瞬间最大绝对速度，这之间的过程又可视为2/4/π=T .剩下的半个周期相仿于前半个周期，故不再重述并请读者自述。