梳理抛物线焦点弦的结论

梳理抛物线焦点弦的有关结论

知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),

,11y x A ()22,y x B ，则（1）4

2

21p x x =；（2）221p y y -=证明：如图，

（1）若AB 的斜率不存在时，

依题意,221p x x ==4221p x x =∴ 若AB 的斜率存在时，设为,k 则⎭ ⎝

⎛=2:k y AB .4221p x x =∴ 综上：.4

2

21p x x = （2）p

y x p y x 2,22

22211==Θ，,22142221p y y p y y ±=⇒=∴ 但22121,0p y y y y -=∴<

（2）另证：设2:p my x AB +=与px y 22=联立，得 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）

设直线AB 证明：（1）由抛物线的定义知

（2）若,2,90210p x x ===则α由（1）知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α联立，得 (),22221k k p x x +=+∴()

222112k k p p x x AB +=++=∴知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

证明：过点B A 、

,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N

设以AB 为直径的圆的半径为,r

∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

知识点4：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、则11=∠FB A 证明借助于平行线和等腰三角形容易证明

知识点5：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点与x 轴相交于点K ，则.BKF AKF ∠=∠

证明：过点B A 、分别作准线的垂线，垂足分别为B B A A K B K A 1111=∴ B B K B A A K A 1111=∴，而11∠=∠BB K AA K AA 1∆∴∽K BB 1∆ KB B KA A 11∠=∠∴

知识点6：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，o 为抛物线的顶点，连接AO 并延长交该抛物线的准线于点,C 则//BC 证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，则

由知识点1知2

21p y y -= 2222y y p p y C =--=∴逆定理：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，过点B 作OF BC //交抛物线准线于点,C 则O C A 、、三点共线。

证明略

知识点7：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F ,,n BF m AF ==则

证法：（1）若x AB ⊥轴，则AB 为通径，而,2p AB =

（2）若AB 与x 轴不垂直，设(),,11y x A ()22,y x B ，AB 的斜率为k ，则

⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=2:p x k y l 与px y 22=联立，得()

042222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k 由抛物线的定义知2

,221p x BF n p x AF m +==+== 知识点8：已知抛物线()022>=p px y 中，AB 为其过焦点F 的弦，

,,n BF m AF ==则

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=∆n m m n p S AOB 42 证明：设,θ=∠AFx 则 而mn p p mn p n p m 2

22sin ,sin ,cos 1,cos 1=∴=∴+=-=θθ

θθ 逆定理：已知抛物线()022>=p px y 中，AB 为其弦且与x 轴相交于点M ，若,,n BM m AM ==且,42⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=∆n m m n p S AOB 则弦AB 过焦点。

证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，,θ=∠AMx ()0,t M ，则

BOM AOM AOB S S S ∆∆∆+==()()θθθπsin 2

1sin 21sin 21t n m tn tm +=+- 而,sin ,sin 2

1

n y m y ==θθ mn

y y 212sin -=∴θ 而()221422p mn n m n m m n p S AOB +=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=∆ 2221p y y t =-∴①

又可设0222:22=--⇒⎭

⎬⎫=+=pt pay y px y t ay x l pt y y 221-=∴② 由①②得2p t = AB ∴恒过焦点⎪⎭

⎫ ⎝⎛0,2p

例1、过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB = 8

变式：过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于,A B 两点，如果8AB =，O 为坐标原点，则OAB ∆的重心的横坐标是 2

例2、直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果''A B a =，Q 为''A B 的中点，则QF = 2

a （用a 表示） 变式：直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果,AR a BF

b ==，Q 为''A B 的中点，

则QF = 2

（用,a b 表示） 例3、设坐标原点为O ，过焦点的直线l 交抛物线2

4y x =于,A B 两点，OA OB ⋅=u u u r u u u r -3

例4、过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线

交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别

是,p q ，则11p q += 4a

小结：

（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用；

（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.