2018上海高三一模难题

2018年上海市高三一模数学考试客观题难题解析

2017.12

一. 宝山区

11. 给出函数2()g x x bx =-+，2()4h x mx x =-+-，这里,,b m x R ∈，若不等式

()10g x b ++≤（x R ∈）恒成立，()4h x +为奇函数，且函数()()()()()

g x x t f x h x x t ≤⎧=⎨>⎩恰有 两个零点，则实数t 的取值范围为

【解析】根据题意，210x bx b -+++≤恒成立，∴24(1)0b b ∆=++≤，即2b =-.

2

mx x -+为奇函数，∴0m =，即22,()4,x x x t f x x x t

⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩. 分零点讨论，如图所示，当 (,2)t ∈-∞-，1个零点；当[2,0)t ∈-，2个零点；当[0,4)t ∈，3个零点，当[4,)t ∈+∞， 2个零点. 综上，t 的取值范围为[2,0)[4,)-+∞.

12. 若n （3n ≥，*n N ∈）个不同的点111(,)Q a b 、222(,)Q a b 、⋅⋅⋅、(,)n n n Q a b 满足： 12n a a a <<⋅⋅⋅<，则称点1Q 、2Q 、⋅⋅⋅、n Q 按横序排列，设四个实数k 、1x 、2x 、3x

使得312()k x x -，23x ，222x 成等差数列，且两函数2y x =、13y x

=+图像的所有交点 111(,)P x y 、222(,)P x y 、333(,)P

x y 按横序排列，则实数k 的值为 【解析】根据题意，312()k x x -，23x ，22

2x 成等差数列，∴223231x x k x x -=-，1x 、2x 、3x 为 方程3310x x --=的三个解，且123x x x <<.

解法一：3313104()3()222x x x x --=⇔-=

，∵3cos34cos 3cos θθθ=-，设cos 2x θ=， 即1cos32

θ=，360360n θ︒︒=+，20120n θ︒︒=+，n ∈Z .∵cos140cos260cos20︒︒︒<<， ∴12cos140x ︒=，22cos260x ︒=，32cos 20x ︒=，222232314cos 204cos 802cos 202cos 40x x k x x ︒︒

︒︒

--===-+ 22(2cos 201)(2cos 801)cos40cos160cos40cos201cos20cos40cos20cos40cos20cos40︒︒︒︒︒︒

︒︒︒︒︒︒

----+===+++，即1k =. 解法二：结合图像可知，123x x x <<，213y y y <<，两函数2y x =、13y x

=+消去y 可得

方程3310x x --=（解分别为123x x x <<），消去x 得方程326910y y y -+-=（解分别 为213y y y <<），设3()31f x x x =--，32()691g y y y y =-+-3(2)3(2)1y y =---+， 根据平移性质可知，函数()g y 图像可由()f x 图像按向量(2,2)平移得到，且()f x 对称中心 为(0,1)-，∴()g y 的对称中心为(2,1)，∴()f x 与()g y 的图像关于(1,0)对称，如图所示，

即AB CD =，∴3132x x y y -=-，∴2232323131

1x x y y k x x x x --===--

解法三：利用计算器，求解三次方程3310x x --=，求出1x 、2x 、3x ，代入求出1k =.

16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积，设：

数列甲：1x 、2x 、3x 、4x 、5x 为递增数列，且i x ∈*N （1,2,,5i =⋅⋅⋅⋅）；

数列乙：1y 、2y 、3y 、4y 、5y 满足{1,1}i y ∈-（1,2,,5i =⋅⋅⋅⋅）

则在甲、乙的所有内积中（ ）

A. 当且仅当11x =，23x =，35x =，47x =，59x =时，存在16个不同的整数，它们同为奇数

B. 当且仅当12x =，24x =，36x =，48x =，510x =时，存在16个不同的整数，它们同为偶数

C. 不存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数

D. 存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数

【解析】取特例，数列甲：1、2、3、4、5，此时内积可能为15-、13-、11-、……、11、13、15，16个数均为奇数，排除A 、C 选项；再取特例，数列甲：1、2、3、4、6，可以排除B 选项，所以选D.

二. 徐汇区

11. 若不等式1

(1)(1)31

n n

a n +--⋅<++对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 【解析】当n 为奇数，不等式为131a n -<++，即131a n >--+对一切奇数恒成立，

∵1331n --

<-+，∴3a ≥-；当n 为偶数，不等式为131a n <-+，对一切偶数恒成立， ∵1133121n -≥-++，∴83

a <；综上所述，a 的取值范围是8[3,)3-. 12. 已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，当函数()y f x =与()y g x =在区 间[,]a

b 上同时递增或同时递减时，把区间[,]a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区 间[1,2]为函数|2|x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是

【解析】结合图像，|2|x y t =-的零点2log x t =应满足2log [1,1]t ∈-，解得1

[,2]2

t ∈.

16. 如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 为1CC 的中点，点P 、Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上动点，求PEQ ∆周长的最小值（ ）

A. B. C. D.

【解析】作11PG B C ⊥，取BC 的中点F ，∴QE QF =，

作E 关于11B C 的对称点H ，∴GH GE =，∴PQ QE ++

PE GQ QF GE GQ QF GH FH ≥++=++≥=所以选B.

三. 普陀区

11. 已知正三角形ABC M 是ABC ∆所在平

面内的任一动点，若||1MA =，则||MA MB MC ++的取值

范围为

【解析】根据题意，作出示意图

||||MA MB MC MA MA AB MA AC ++=++++

|3||3|MA AB AC MA AD =++=+，||1MA =，||3AD =

当MA 与AD 反向时，有最小值0，当MA 与AD 同向时，

有最大值6，所以||MA MB MC ++的取值范围为[0,6].