全国2013年10月自学考试《高等数学(一)》试题和答案
2013年高数1(上)考题及答案
D． y C1 (e x x) C 2 (e x x) x 得 分
－2（高等数学Ⅰ）－
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
14、. 求极限 lim (sin x) x
x 0
解： (sin x) x e x ln sin x ，
lim x ln sin x lim
f ( x) 。
x ( x t ) f (t )dt 解： f ( x) e x 0
令y f ( x )
x x f (t )dt xf ( x) xf ( x) e x 0 f (t )dt 则 y' c x 0
y ' ' e x f ( x)
得 分
1 x 1 x2
。
2
3 ． 抛 物 线 y2 4x 及 直 线 x 2 所 围 图 形 绕 x 轴 旋 转 所 得 旋 转 体 的 体 积 为
8
。
cot 2 ydx或 1 dx ( x y) 2
4、设 tan y x y ，则 dy
x f (t ) dy 5、设 ，其中 f可导 ，且 f (0) 0, 则 3t dx y f (e 1)
x0 x 0 在 x = 0 处连续，则（ B ） x0
B a = 0，b = 1； D a = 1，b = 1.
－1（高等数学Ⅰ）－
8、当 x 0 时，下列各式中不成立的是（ （A） sin x 2 ～ x 2 ； （C） e 2 x 1 ～2 x ； 9、曲线 y xe （D ）
（A）没有渐近线 （C）仅有斜渐近线
11、设 f ( x)具有二阶连续导数，且 f (1) 0, lim A． f (1)是f ( x)的极大值
高等数学一自考题-9_真题(含答案与解析)-交互
高等数学一自考题-9(总分90, 做题时间90分钟)第一部分选择题一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。
1.设f(x)是定义在实数域上的一个函数，且f(x-1)=x2+x+1，=______ A． B．C． D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:D[解析] f(x-1)=(x-1)2+3(x-1)+3，∴f(x)=x2+3x+3，∴．答案为D．2.，则k=______• A.-3•**•**D.-2SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:A[解析] ∵，∴应有，即，∴k=-3．答案为A．3.=______A．0 B．C． D．∞SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C[解析] 当x→0时，，从而，．答案为C．4.已知函数则f(x)在x=0处______• A.间断• B.导数不存在• C.导数f'(0)=-1• D.导数f'(0)=1SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C(0)=-1，，故f'(0)=-1．答案为C．[解析] 由条件，f(0)=1，f'-5.已知f(x)=sin(2x)+，那么f(x)的微分df(x)=______A．[2cos(2x)+2x]dx B．[cos(2x)+2x]dxC．[2cos(2x)+]dx D．cos(2x)+]dxSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:A[解析] 用复合函数求导法则求导．∵f'(x)=cos(2x)·2+，∴df(x)=f'(x)dx=[2cos(2x)+]dx．答案为A．6.函数y=sinx-x在区间[0，π]上的最大值是______A． B．0C．-π D．πSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:B[解析] 因为y'=cosx-1在(0，π)内小于零，故y在[0，π]上严格单调下降，所以函数在x=0处取得最大值，y=0．答案为B．7.=______A． B．C． D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C[解析] ．答案为C．8.微分方程的通解是______A．arctanx+C B．(arctanx+C)C． D．arctanx+SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:B[解析] 由通解公式，通解答案为B．9.设z=，则dz=______A． B．C． D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:D[解析] ．答案为D．10.设D是由直线y=x，y=0，x=1所围成的平面区域，则=______ A． B．C． D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:A[解析] 根据二重积分与二次积分的转换．∵D={(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}，如下图所示，∴．答案为A．第二部分非选择题二、简单计算题1.求极限．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4答案:2.已知y=arcsinf(x2)，求y'．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4答案:y=arcsinf(x2)，函数可以看成由y=arcsinu，u=f(v)，v=x2复合而得到，所以3.求函数y=x3+6x2-36x的凹凸区间、单调区间、拐点和极大值点．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4答案:求出y'和y"，分别分区讨论正负而确定．y'=3x2+12x-36=3(x+6)(x-2)，令y'=0，得驻点x1=-6，x2=2，分区讨论符号：x (-∞，-6) -6 (-6，2) 2 (2，+∞)y' + - - 0 +y ↗极大↘极小↗y"=6x+12，令y"=0，得x=-2，分区讨论符号：x (-∞，-2) -2 (-2，+∞)y" - 0 +y 凸拐点凹x=-2时，求出y=88．由以上讨论可知：单调增加区间为(-∞，-6)∪(2，+∞)，单调减少区间为(-6，2)；凸区间为(-∞，-2)，凹区间为(-2，+∞)；极大值点为x=-6，拐点为(-2，88)．4.计算定积分．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4答案:因(-2x2+1)'=-4x，所以用凑微分法．5.设D为由直线y=x与圆x2+(y-1)2=1围成，且在直线y=x下方的平面区域，求．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4答案:D如下图所示，交点满足，解得x=1，0，故对x积分的积分限为0和1，由方程x2+(y-1)2=1得下边界为y=．于是有三、计算题1.设f(x+2)=x2-2x+3，求f[f(2)]．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:因为f(x+2)=x2-2x+3=[(x+2)-2]2-2[(x+2)-2]+3，∴f(x)=(x-2)2-2(x-2)+3=x2-6x+11，于是f(2)=3，从而f[f(2)]=f(3)=32-6×3+11=2．2.设y=cos2xlnx，求y"．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:=3.求曲线f(x)=-(x+1)+的水平渐近线．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:，因为所以y=-1是曲线的水平渐近线．4.设f(2x+1)=xe x，求．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:设t=2x+1，则dt=d(2x+1)=2dx，并且时t从3→5，x从1→2，所以5.求，其中D是由y=和x轴所围成的区域．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:D如下图所示．边界方程y=在极坐标下为r=2cosθ，被积函数．于是有四、综合题某公司生产某产品的边际成本为MC(Q)=1(万元/百台)，边际收益为MR=7-Q(万元/百台)，设固定成本为零．求：SSS_TEXT_QUSTI1.得到最大利润时的产量分值: 5答案:总利润=总收益-总成本，即T(Q)=TR(Q)-TC(Q)，nTR(Q)=∫MRdQ=∫(7-Q)dQ=．又由Q=0时，TR=0，∴C=0，∴TR(Q)=．总成本TC(Q)=∫MCdQ=∫1dQ=Q+C．∵固定成本为0，即TC=0，故C=0，从而TC(Q)=Q，(Q)=，故Tn(Q)=6-Q．T'n令T'(Q)=0，即6-Q=0，Q=6，n(Q)=-1＜0，又T"n故Q=6时为极大值点，由问题的实际意义，当Q=6(百台)时，总利润最大．最大利润为(6)==18(万元)．TnSSS_TEXT_QUSTI2.在利润最大时的产量基础上又生产了50台，总利润减少了多少?分值: 5答案:在产量为6百台的基础上又生产了50台，即共生产了650台，此时利润为(6.5)=6×6.5-=17.875，Tn所以总利润下降了18-17.875=0.125(万元)．SSS_TEXT_QUSTI3.设某种产品的产量是劳动力x和原料y的函数：f(x，y)=，假设每单位劳动力花费50元，每单位原料花费100元，现有20000元资金用于生产，应如何安排劳动力和原料，才能得到最多的产品?分值: 5答案:约束条件为：50x+100y=20000，化简为：x=400-2y，代入f(x，y)得Q=f(400-2y，y)=，令Q'=0，即，解之，得y=100．Q"=，所以y=100，x=200时产量最高．1。
2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=其中x 为样本平均数球的面积公式24R S π=第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数ii++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．21C ．3D ．1 2.已知R 是实数集，{}11,12+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x y y N x xM ，则=M C N R A ．)2,1(B ．[]2,0C .∅D ．[]2,13.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．15 5.已知函数)62sin()(π-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a的值是A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β （4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若||,23BC AB OC OB OA -=等于A ．1B ．2C ．3D ．4 8.已知三角形ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是A ．18B ．21C ．24D ．15 9.函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是 A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞ 10.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为A ．22 B ． 223 C ．210 D ．211.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是A ．43 B ．41 C ．83D ．8512.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅FN FM ,则a 的值为A ．916 B ．59 C ．925 D ．516题图第13第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其在一个球面上，则该球的表面积为__________.15.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为)4.11(lg 32-=E R ．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 倍． 16.给出下列命题： ①已知,,a b m都是正数，且bab a >++11，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '∀∈≥，则(1)(2)f f <一定成立； ③命题“x R∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题； ④“1,1≤≤y x 且”是“2≤+y x ”的充要条件.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)第14题图三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量),2cos 2sin 3()2cos ,1(y xx b x a +==→→与共线，且有函数)(x f y =．（Ⅰ）若1)(=x f ，求)232cos(x -π的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函数)(B f 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .已知四棱锥BCDE A -，其中1====BE AC BC AB ，2=CD ，ABC CD 面⊥，BE∥CD ，F 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ； （Ⅱ）求证：面ACD ADE 面⊥； （III ）求四棱锥BCDE A -的体积.20.（本小题满分12分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y 关于x 的线性回归方程26139134ˆ+=x y，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．AB CDEF已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.22.（本小题满分14分）实轴长为34的椭圆的中心在原点，其焦点1,2,F F 在x 轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ,且12AF AF ⊥，△12AF F 的面积为3. （Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于C B ,,若AB AC 2=,求直线l 的斜率k .参考答案及评分标准一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）B D B A D B B D BC C B二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．2 14.π31915. 2310 16. ①③三．解答题17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵→a 与→b 共线∴yxx x 2cos 2cos2sin 31=+21)6sin()cos 1(21sin 232cos 2cos 2sin 32++=++=+=πx x x x x x y …………3分∴121)6sin()(=++=πx x f ，即21)6sin(=+πx …………………………………………4分211)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(22-=-+=--=-=-ππππx x x x…………………………………………6分 （Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+由正弦定理得：CA C A C C A C ABC C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+∴21cos =A ，∴在ABC ∆中 ∠3π=A …………………………………………8分 21)6sin()(++=πB B f∵∠3π=A ∴320π<<B ,6566πππ<+<B …………………………………………10分∴1)6sin(21≤+<πB ,23)(1≤<B f ∴函数)(B f 的取值范围为]23,1( …………………………………………12分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………2分 解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………4分 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分(Ⅱ)13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………7分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………9分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅= …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点∴FG ∥CD,且FG=21DC=1 ．∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等∴EF ∥BG ． ……………………………2分ABC BG ABC EF 面面⊂⊄,∴EF ∥面ABC ……………………………4分 （Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BGABCDEF G∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴E F ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分 （Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．43631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ．………………………12分另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则BC AO ⊥，又⊥CD 平面ABC ,∴C CD BC AO CD =⊥ , , ∴⊥AO 平面BCDE ，∴AO 为BCDE A V -的高，43232331,2321)21(,23=⨯⨯=∴=⨯+==-BCDE A BCDE V S AO ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种． …………………………………………3分所以321510)(==A P ．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是32． ………………………6分(Ⅱ) 当10=x 时，;2|1026219|,262192613910134ˆ<-=+⨯=y……………………………………9分 当30=x 时，;2|1626379|,263792613930134ˆ<-=+⨯=y所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ∴211)1(-=+-=-ab f ，化简得4-=-a b ． …………………………………………2分 222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+='12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f ． …………………………………………4分解得：2,2-==b a∴122)(2+-=x x x f ． …………………………………………6分 （Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立化简得22ln )1(2-≥+x x x即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立 ． …………………………………………8分 设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ． …………………………………………10分 ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立 ． …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,AF m AF n ==由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+6344222mn n m c n m …………………………………………2分解得92=c ，∴39122=-=b ．∴椭圆的方程为131222=+y x …………………………………………4分 ∵3=⨯c y A ，∴1=A y ,代入椭圆的方程得22=A x ，将点A 坐标代入得抛物线方程为y x 82=． …………………………………………6分（2）设直线l 的方程为)22(1-=-x k y ，),(),,(2211y x C y x B2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)- 11 - / 11 由AB AC 2= 得)22(22212-=-x x ， 化简得22221=-x x …………………………………………8分 联立直线与抛物线的方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=-yx x k y 8)22(12， 得0821682=-+-k kx x ∴k x 8221=+① …………………………………………10分 联立直线与椭圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)22(122y x x k y 得0821632)2168()41(2222=--+-++k k x k k x k ∴22241821622kk k x +-=+② …………………………………………12分 ∴2222418216)228(222221=++---=-kk k k x x 整理得：0)4121)(2416(2=+--k k k ∴42=k ，所以直线l 的斜率为42 ． …………………………………………14分。
自考高等数学试题及答案
自考高等数学试题及答案### 自考高等数学试题及答案#### 一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，不是偶函数的是（）。
A. \( y = \cos x \)B. \( y = x^2 \)C. \( y = \sin x \)D. \( y = e^x \)2. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. \(\infty\)3. 函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) 的导数是（）。
A. \( y' = 3x^2 - 6x \)B. \( y' = 3x^2 - 6x + 2 \)C. \( y' = x^2 - 6x + 2 \)D. \( y' = x^3 - 3x^2 \)4. 曲线 \( y = x^2 \) 在点 \( (1, 1) \) 处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 45. 积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的值是（）。
A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. 1D. 2#### 二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数 \( y = \ln(x) \) 的反函数是 \( y = \_\_\_\_\_\_\_ \)。
2. 函数 \( y = e^x \) 的导数是 \( y' = \_\_\_\_\_\_\_ \)。
3. 函数 \( y = \sin(x) \) 的不定积分是 \( \int y dx =\_\_\_\_\_\_\_ + C \)。
4. 函数 \( y = x^3 \) 的二阶导数是 \( y'' = \_\_\_\_\_\_\_ \)。
5. 函数 \( y = \cos(x) \) 在区间 \([0, \pi]\) 上的定积分是\( \int_{0}^{\pi} \cos(x) dx = \_\_\_\_\_\_\_ \)。
2013年10月高等数学自学考试全国统一命题试题参考答案
1 x 1 n 1 1 , x 1 1 n 8 n 0 2
A
2 f 2 f 2 f 2 2 2 y y , B 4 x 1 y , C 2 x 2 1 2 2 x xy y
当 x, y 取值 0,1 时 A 2, B 0, C 2, B 2 AC 4 0, 且A 2 0, 故函数f ( x, y )在 0,1 取极小值f 0,1 1 当 x, y 取值 1,0 时 A 0, B 4, C 0, B 2 AC 16 0, 故函数f ( x, y )在 1,0 不取极值 当 x, y 取值 1,0 时 A 0, B 4, C 0, B 2 AC 16 0, 故函数f ( x, y )在 1,0 不取极值
2 2 2 2 Q 2 R 2 P y 2e xy , z 2e yz , x 2e x z x y z 2 2 2 P Q R divA y 2e xy z 2e yz x 2e x z x y z
19、解 对 应 的 微 分 方 程 为 2 xy ' 2 y 0 y
3 1 2
则平面方程为
2 y 1 z 2 0 2 y z 0
12、解：
z f 3x 4 y, xy 2 z 3 f1 y 2 f 2 x dz 3 f1 y 2 f 2 dx 4 f1 2 xyf 2 dy z 4 f1 2 xyf 2 y
2
x y 3 z 2 3 0 4
14、解：
f x, y , z x y y z z x
2013年全国一卷文科数学试题与答案解析
2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ ）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1} （D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)ii +=-（ ） （A ）112i --（B ）112i -+（C ）112i +（D ）112i -（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） （A ）错误!未找到引用源。
（B ）错误!未找到引用源。
（C ）14错误!未找到引用源。
（D ）16错误!未找到引用源。
（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为错误!未找到引用源。
，则C 的渐近线方程为（ ） （A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23xx<；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） （A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为错误!未找到引用源。
的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C 上一点，若||42PF =，则POF ∆的面积为（ ）（A ）2（B ）22（C ）23（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
自考高数试题及答案
自考高数试题及答案一、选择题（本题共10分，每题1分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数是（）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^2 - 3xD. x^2 + 3x答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）A. 1/3B. 1/2C. 1/4D. 1/6答案：C4. 微分方程y'' - y' - 2y = 0的通解是（）A. y = e^x + e^(-x)B. y = e^(2x) + e^(-2x)C. y = e^x + e^(-x) + xD. y = e^(2x) + e^(-2x) + x答案：A5. 矩阵A = [1, 2; 3, 4]的行列式值是（）A. 2B. -2C. 7D. -7答案：C二、填空题（本题共10分，每题2分）6. 函数f(x) = x^2 - 6x + 8的极值点是______。
答案：37. 函数y = ln(x)的导数是______。
答案：1/x8. 曲线y = x^3 - 3x + 1在点(1, -1)处的切线斜率是______。
答案：39. 函数y = sin(x) + cos(x)的周期是______。
答案：2π10. 矩阵B = [1, 0; 0, 1]的逆矩阵是______。
答案：[1, 0; 0, 1]三、解答题（本题共30分，每题15分）11. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[-2, 2]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的导数为f'(x) = 3x^2 - 6x。
令f'(x) = 0，解得x = 0 或 x = 2。
在区间[-2, 2]上，当x = -2时，f(x) = 2；当x = 2时，f(x) = -2；当x = 0时，f(x) = 2。
自考高数一历年试题及答案
自考高数一历年试题及答案自考高等数学（一）历年试题及答案一、选择题1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。
A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = x^2答案：C2. 函数f(x) = x^3在区间（-1,2）上的最大值是（）。
A. 1B. 8C. -1D. 2答案：B3. 微分方程dy/dx - y = 0的通解是（）。
A. y = Ce^xB. y = Cxe^xC. y = CxD. y = e^x答案：A4. 若函数f(x) = 2x - 3在点x=1处的导数为1，则该函数在此处的切线斜率为______。
答案：15. 定积分∫₀¹ x² dx的值为______。
答案：1/3三、解答题6. 求函数f(x) = 3x² - 2x + 5的极值。
解答：首先求导数f'(x) = 6x - 2。
令f'(x) = 0，解得x = 1/3。
在x = 1/3处，f(x)取得极小值，计算得f(1/3) = 14/3。
7. 已知某工厂生产函数为Q = 2L²/3 + 3K，其中L为劳动投入，K为资本投入。
求劳动对产量的边际贡献。
解答：首先求产量对劳动的偏导数，即边际贡献。
对Q关于L求偏导得：dQ/dL = 4L/3。
这就是劳动对产量的边际贡献。
四、证明题8. 证明函数f(x) = x³ - 6x在区间（-2, 2）上是增函数。
证明：求导数f'(x) = 3x² - 6。
要证明f(x)在区间（-2, 2）上是增函数，需要证明f'(x)在该区间内恒大于0。
观察f'(x) = 3x² - 6，可以发现在x = ±√2时，f'(x) = 0。
在区间（-2, -√2）和（√2, 2）内，f'(x) > 0，而在区间（-√2, √2）内，f'(x) < 0。
2013年高考数学全国卷1(完整试题 答案 解析)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分． 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=其中x 为样本平均数球的面积公式24R S π=第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数i i++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．21 C ．3 D ．12.已知R 是实数集，{}11,12+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x y y N x x M，则=M C N R A ．)2,1(B ．[]2,0C .∅D ．[]2,13.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．15 5.已知函数)62sin()(π-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a 的值是 A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα（3）,,βα⊥⊥m m则α∥β（4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若||,23BC -=等于A ．1B ．2C ．3D ．4 8.已知三角形ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是 A ．18 B ．21 C ．24 D ．15 9.函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是 A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞10.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为A ．22 B ．223 C ．210 D ．211.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是A ．43 B ．41 C ．83D ．85 12.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅,则a 的值为 A ．916 B ．59 C ．925 D ．516 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）题图第13注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.15.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为)4.11(lg 32-=E R ．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的倍．16.给出下列命题： ①已知,,a b m 都是正数，且bab a >++11，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '∀∈≥，则(1)(2)f f <一定成立；③命题“x R ∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题；④“1,1≤≤y x且”是“2≤+y x ”的充要条件.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量),2cos 2sin 3()2cos ,1(y xx b x a +==→→与共线，且有函数)(x f y =．（Ⅰ）若1)(=x f ，求)232cos(x -π的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函数)(B f 的第14题图取值范围.18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S Sd 且1341,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）已知四棱锥BCDEA -，其中1====BE AC BC AB ，2=CD ，ABC CD 面⊥，BE ∥CD ，F为AD 的中点.（Ⅰ）求证：EF ∥面ABC；（Ⅱ）求证：面ACD ADE 面⊥； （III ）求四棱锥BCDEA -的体积.20.（本小题满分12分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的ABCDEF2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y关于x 的线性回归方程26139134ˆ+=x y，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．21.（本小题满分12分）已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x .（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.22.（本小题满分14分） 实轴长为34的椭圆的中心在原点，其焦点1,2,F F 在x 轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ,且12AF AF ⊥，△12AF F 的面积为3.（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于CB ,,若AB AC 2=,求直线l 的斜率k .参考答案及评分标准一． 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）B D B A D B B D BC C B二． 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．2 14.π31915.231016. ①③三．解答题17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵→a 与→b 共线∴yxx x 2cos 2cos2sin 31=+21)6sin()cos 1(21sin 232cos 2cos 2sin 32++=++=+=πx x x x x x y …………3分∴121)6sin()(=++=πx x f ，即21)6si n (=+πx …………………………………………4分211)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(22-=-+=--=-=-ππππx x x x …………………………………………6分 （Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+由正弦定理得：CA C A C C A C ABC C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+∴21cos=A ，∴在ABC ∆中 ∠3π=A …………………………………………8分21)6sin()(++=πB B f∵∠3π=A ∴320π<<B ,6566πππ<+<B (10)分∴1)6sin(21≤+<πB ,23)(1≤<B f ∴函数)(B f 的取值范围为]23,1( …………………………………………12分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………2分 解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………4分1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分(Ⅱ)13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………7分123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n Tn n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………9分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴n n n T 3⋅= …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点 ∴FG ∥CD,且FG=21DC=1 ．∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等∴EF ∥BG ． ……………………………2分ABC BG ABC EF 面面⊂⊄,∴EF ∥面ABC……………………………4分ABCDEF G（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG ∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴E F ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分 （Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．43631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ．………………………12分另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则BCAO ⊥，又⊥CD 平面ABC,∴C CD BC AO CD =⊥ , , ∴⊥AO 平面B C D E ，∴AO为BCDEA V -的高，43232331,2321)21(,23=⨯⨯=∴=⨯+==-BCD EA B CD EV S AO ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种． …………………………………………3分所以321510)(==A P ．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是32． ………………………6分(Ⅱ) 当10=x时，;2|1026219|,262192613910134ˆ<-=+⨯=y……………………………………9分 当30=x时，;2|1626379|,263792613930134ˆ<-=+⨯=y所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分 21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）将1-=x代入切线方程得2-=y∴211)1(-=+-=-ab f ，化简得4-=-a b ． …………………………………………2分222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+=' 12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f ． …………………………………………4分 解得：2,2-==b a∴122)(2+-=x x x f ． …………………………………………6分（Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立化简得22ln )1(2-≥+x x x即022ln ln 2≥+-+x x x x在),1[+∞上恒成立 ． …………………………………………8分 设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ∵1≥x∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ． …………………………………………10分∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立 ． …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,AF m AF n ==由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+6344222m n n m c n m …………………………………………2分解得92=c，∴39122=-=b ．∴椭圆的方程为131222=+y x …………………………………………4分 ∵3=⨯c y A ，∴1=A y ,代入椭圆的方程得22=A x ，将点A 坐标代入得抛物线方程为y x 82=． …………………………………………6分（2）设直线l 的方程为)22(1-=-x k y ，),(),,(2211y x C y x B由AB AC 2= 得)22(22212-=-x x ，化简得22221=-x x …………………………………………8分联立直线与抛物线的方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=-yx x k y 8)22(12，得0821682=-+-k kx x∴k x 8221=+① …………………………………………10分联立直线与椭圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)22(122y x x k y得0821632)2168()41(2222=--+-++k k x k k x k∴22241821622k kk x +-=+② …………………………………………12分∴2222418216)228(222221=++---=-k kk k x x整理得：0)4121)(2416(2=+--kkk∴42=k ，所以直线l 的斜率为42 ． …………………………………………14分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷1 数学试卷含答案(文科)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n 2,n∈A},则A∩B=( ) A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}2.1+2i(1-i )2=( )A.-1-12IB.-1+12IC.1+12ID.1-12i3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12B.13C.14D.164.已知双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52,则C 的渐近线方程为( )A.y=±14x B.y=±13xC.y=±12xD.y=±x5.已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x 3=1-x 2,则下列命题中为真命题的是( ) A.p∧qB. p∧qC.p∧qD.p∧q6.设首项为1,公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ) A.S n =2a n -1 B.S n =3a n -2 C.S n =4-3a nD.S n =3-2a n7.执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s 属于( )A.[-3,4]B.[-5,2]C.[-4,3]D.[-2,5]8.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4√2x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4√2,则△POF的面积为( )A.2B.2√2C.2√3D.49.函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的图象大致为( )10.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( )A.10B.9C.8D.511.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π12.已知函数f(x)={-x 2+2x ,x ≤0,ln (x +1),x >0.若|f(x)|≥ax,则a 的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a,b 的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t= . 14.设x,y 满足约束条件{1≤x ≤3,-1≤x -y ≤0,则z=2x-y 的最大值为 .15.已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为 .16.设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则cos θ= . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=-5. (Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)求数列{1a 2n -1a 2n+1}的前n 项和.18.(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(Ⅰ)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明:AB⊥A1C;(Ⅱ)若AB=CB=2,A1C=√6,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=4x+4. (Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.21.(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.请考生从第22、23、24题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(Ⅰ)证明:DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=√3,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为{x =4+5cost ,y =5+5sint (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>-1,且当x∈[-a2,12)时, f(x)≤g(x),求a 的取值范围.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.A ∵B={x|x=n 2,n∈A}={1,4,9,16}, ∴A∩B={1,4},故选A. 2.B1+2i (1-i )2=1+2i -2i =(1+2i )i (-2i )i =-2+i2=-1+12i,故选B.3.B 从1,2,3,4中任取2个不同的数,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6种不同的结果,取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4)2种结果,概率为13,故选B. 4.C 由双曲线的离心率e=c a =√52可知,b a =12,而双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±ba x,故选C.5.B 对于命题p,由于x=-1时,2-1=12>13=3-1,所以是假命题,故 p 是真命题;对于命题q,设f(x)=x 3+x 2-1,由于f(0)=-1<0, f(1)=1>0,所以f(x)=0在区间(0,1)上有解,即存在x∈R,x 3=1-x 2,故命题q 是真命题. 综上, p∧q 是真命题,故选B. 6.D 因为a 1=1,公比q=23,所以a n =(23)n -1,S n =a 1(1-q n )1-q=3[1-(23)n ]=3-2(23)n -1=3-2a n ,故选D.7.A 由框图可知s={3t ,-1≤t <1,4t -t 2,1≤t ≤3,即求分段函数的值域.当-1≤t<1时,-3≤s<3;当1≤t≤3时,s=4t-t 2=-(t-2)2+4, 所以3≤s≤4.综上,s∈[-3,4],故选A.8.C 如图,设点P 的坐标为(x 0,y 0),由|PF|=x 0+√2=4√2,得x 0=3√2,代入抛物线方程得,y 02=4√2×3√2=24,所以|y 0|=2√6,所以S △POF =12|OF||y 0|=12×√2×2√6=2√3.故选C.9.C 因为f(-x)=[1-cos(-x)]sin(-x)=-(1-cos x)·sin x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除选项B;当x∈(0,π)时,1-cos x>0,sin x>0,所以f(x)>0,排除选项A;又函数f(x)的导函数f '(x)=sin x·sin x+(1-cos x)·cos x,所以f '(0)=0,排除D.故选C.评析 本题考查对函数图象的识辨能力,考查综合运用所学知识的意识,体现了数形结合的思想方法;难点是判断选项C 中f '(0)=0. 10.D 由23cos 2A+cos 2A=0得25cos 2A=1,因为A 为锐角,所以cos A=15.又由a 2=b 2+c 2-2bccos A 得49=b 2+36-125b,整理得5b 2-12b-65=0, 解得b=-135(舍)或b=5,故选D.11.A 由所给三视图可知该几何体是一个组合体,下方是底面为半圆的柱体,底面半圆的半径为2,高为4;上方为长、宽、高分别为4、2、2的长方体.所以该几何体的体积为12π×22×4+4×2×2=16+8π,故选A. 评析 本题考查识图能力和空间想象能力以及体积的计算;能正确得出几何体的形状是解题关键.12.D |f(x)|={x 2-2x , x ≤0,ln (x +1),x >0,其图象如图.由对数函数图象的变化趋势可知,要使ax≤|f(x)|,则a≤0,且ax≤x 2-2x(x≤0), 即a≥x -2对x≤0恒成立,所以a≥-2. 综上,-2≤a≤0,故选D. 二、填空题 13.答案 2解析 b·c=b·[ta+(1-t)b]=ta·b+(1-t)b 2=t|a||b|cos 60°+(1-t)|b|2=t2+1-t=1-t2.由b·c=0,得1-t2=0,所以t=2.14.答案 3解析 可行域为平行四边形ABCD 及其内部(如图),由z=2x-y,得y=2x-z.-z 的几何意义是直线y=2x-z 在y 轴上的截距,要使z 最大,则-z 最小,所以当直线y=2x-z 过点A(3,3)时,z 最大,最大值为2×3-3=3. 15.答案9π2解析 平面α截球O 所得截面为圆面,圆心为H,设球O 的半径为R,则由AH∶HB=1∶2得OH=13R,由圆H 的面积为π,得圆H 的半径为1,所以(R 3)2+12=R 2,得出R 2=98,所以球O 的表面积S=4πR 2=4π×98=92π. 16.答案 -2√55解析 f(x)=sin x-2cos x=√5sin(x-φ),其中cos φ=√55,sin φ=2√55, 当x-φ=2kπ+π2时,f(x)取得最大值√5,此时x=2kπ+π2+φ,即θ=2kπ+π2+φ,cos θ=cos (π2+φ)=-sin φ=-2√55. 评析 本题考查三角函数的最值问题,考查了运算求解能力;熟练运用三角函数的有关公式是解题关键.三、解答题17.解析 (Ⅰ)设{a n }的公差为d,则S n =na 1+n (n -1)2d.由已知可得{3a 1+3d =0,5a 1+10d =-5.解得a 1=1,d=-1.故{a n }的通项公式为a n =2-n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知1a 2n -1a 2n+1=1(3-2n )(1-2n )=12(12n -3-12n -1), 从而数列{1a2n -1a 2n+1}的前n 项和为12(1-1-11+11-13+…+12n -3-12n -1)=n1-2n . 评析 本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式,考查了裂项求和的方法,考查了运算求解能力与方程思想.18.解析 (Ⅰ)设A 药观测数据的平均数为x ,B 药观测数据的平均数为y ,由观测结果可得 x =120(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3,y =120(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6.由以上计算结果可得x >y ,因此可看出A 药的疗效更好. (Ⅱ)由观测结果可绘制如下茎叶图:从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上,而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上,由此可看出A 药的疗效更好.评析 本题考查数据的平均数和茎叶图,考查数据的分析处理能力和应用意识. 19.解析 (Ⅰ)取AB 的中点O,连结OC,OA 1,A 1B.因为CA=CB, 所以OC⊥AB.由于AB=AA 1,∠BAA 1=60°,故△AA 1B 为等边三角形,所以OA 1⊥AB. 因为OC∩OA 1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.(Ⅱ)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=√3.又A1C=√6,则A1C2=OC2+O A12,故OA1⊥OC.因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.又△ABC的面积S△ABC=√3,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1=3.评析本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质、线线、线面的位置关系以及体积计算等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.20.解析(Ⅰ)f '(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4, f '(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,f '(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)(e x-12).令f '(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时, f '(x)>0;当x∈(-2,-ln 2)时, f '(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).评析本题考查导数的运算及几何意义、利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识,考查了运算求解能力.21.解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r 1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(Ⅰ)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,2为长半轴长,√3为短半轴长的椭圆(左顶点除外),其方程为x 24+y23=1(x≠-2).(Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y 2=4.若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得|AB|=2√3.若l 的倾斜角不为90°,由r 1≠R 知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则|QP ||QM |=Rr 1,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l 与圆M 相切得√1+k 2=1, 解得k=±√24.当k=√24时,将y=√24x+√2代入x 24+y 23=1, 整理得7x 2+8x-8=0,解得x 1,2=-4±6√27.所以|AB|=√1+k 2|x 2-x 1|=187.当k=-√24时,由图形的对称性可知|AB|=187. 综上,|AB|=2√3或|AB|=187.评析 本题考查了求轨迹方程的方法、椭圆的定义和标准方程,考查了直线与圆、椭圆的位置关系及弦长计算等基础知识,考查了运算求解能力和推理论证能力,考查了数形结合思想和分类讨论思想.22.解析 (Ⅰ)连结DE,交BC 于点G.由弦切角定理得∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,所以BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE 为直径,所以∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG 是BC 的中垂线,所以BG=√32.设DE 的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF 外接圆的半径等于√32.23.解析 (Ⅰ)将{x =4+5cost ,y =5+5sint消去参数t,化为普通方程为(x-4)2+(y-5)2=25, 即C 1:x 2+y 2-8x-10y+16=0.将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入x 2+y 2-8x-10y+16=0得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.所以C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.(Ⅱ)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y=0.由{x 2+y 2-8x -10y +16=0,x 2+y 2-2y =0,解得{x =1,y =1或{x =0,y =2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(√2,π4),(2,π2). 24.解析 (Ⅰ)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y={-5x , x <12,-x -2,12≤x ≤1,3x -6,x >1.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(Ⅱ)当x∈[-a2,12)时, f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈[-a2,12)都成立.故-a2≥a-2,即a≤43.从而a的取值范围是(-1,43].。
2013年高考理科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共48页）数学试卷 第2页（共48页）数学试卷 第3页（共48页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)理科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合20{}|2A x x x =->,{|55}B x x <<=-,则( )A .AB =R B .A B =∅C .B A ⊆D .A B ⊆ 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为( )A .4-B .45-C .4D .453.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样4.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为5,则C 的渐近线方程为 ( )A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =±D .y x =±5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( )A .[3,4]-B .[5,2]-C .[4,3]-D .[2,5]-6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为( )A .3866πcm 3 B .3500πcm 3 C .31372πcm 3D .32048πcm 37.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m =( )A .3B .4C .5D .68.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m =( )A .5B .6C .7D .810.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为( )A .2214536x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .221189x y += 11.已知函数22,0,()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( )A .(,1]-∞B .(,0]-∞C .[2,1]-D .[2,0]-12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3,n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++=,12n nn b a c ++=,则( )A .{}n S 为递增数列B .{}n S 为递减数列C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________.14.若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________.16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）如图,在ABC △中,90ABC ∠=,3AB =,1BC =,P 为ABC △内一点,90BPC ∠=.（Ⅰ）若12PB =,求PA ； （Ⅱ）若150APB ∠=,求tan PBA ∠.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共48页）数学试卷 第5页（共48页） 数学试卷 第6页（共48页）18.（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥； （Ⅱ）若平面ABC ⊥平面11AA B B ,AB CB =,求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n .如果3n =,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验；如果4n =,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立. （Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位:元),求X 的分布列及数学期望.20.（本小题满分12分）已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求||AB .21.（本小题满分12分）设函数2()f x x ax b =++,()e ()xg x cx d =+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ,且在点P 处有相同的切线42y x =+.（Ⅰ）求a ,b ,c ,d 的值；（Ⅱ）若2x -≥时,()()f x kg x ≤,求k 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ,DB 垂直BE 交圆于点D .（Ⅰ）证明：DB DC =；（Ⅱ）设圆的半径为1,3BC =,延长CE 交AB 于点F ,求BCF △外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02π)ρθ≥≤＜.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+. （Ⅰ）当2a =-时,求不等式()()f x g x ＜的解集；（Ⅱ）设1a -＞,且当1[,)22a x ∈-时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围.=|2A B x{A B=R，故选【提示】根据一元二次不等式的解法，求出集合，再根据的定义求出A B和A B．【考点】并集及其运算，一元二次不等式的解法【答案】D4i)34=+，故z的虚部等于i553/ 16故选A．=，解得1)1245 / 16故选A ．(2)(2+1)7!!!(+1)!m m m m m m =⨯，即13，再利用组合数的计算公式，解方程综上可知：[,0]2a∈-．（步骤4）67 / 16【提示】由1n n a a +=可知n n n A B C △的边n n B C 为定值1a ，由111112(2)2n n n n b c a b c a +++=+--及1112b c a +=得12n n b c a +=，则在n n n A B C △中边长1n n B C a =为定值，另两边n n n n A C A B 、的长度之和12n n b c a +=为定值，由此可知顶点n A 在以n n B C 、为焦点的椭圆上，根据111()2n n n n b c b c ++=---，得1111()2n n n b c b c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，可知n →+∞时n n b c →，据此可判断n n n A B C △的边n n B C 的高n h 随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案． 【答案】2t =【解析】∵(1)c ta t b =-＋，∴2(+1)||b t b ab t =-．（步骤又∵||||1a b ==，且a 与b 夹角为60，b c ⊥，∴0|cos6|||0+t a b =︒2【提示】由于0b c =，对式子(1)c ta t b =-＋两边与b 作数量积可得|cos6|||0+a b ︒【考点】平面向量的数量积．85)(22,--+)(25,-+5)单调递增，在5)2-+单调递增，在9 / 161OCOA O =，所以1OAC 平面两两相互垂直．为坐标原点，OA的方向为|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系则(1,0,BC=，11(1,BB AA==-，(0,3,AC=-设,,()n x y z=10,0,n BCn BB⎧=⎪⎨=⎪⎩即可取,1(3,n=-10cos,5||||n ACn ACn AC=-〈〉=BB1C1C所成角的正弦值为51111得1AB AC⊥；（Ⅱ）易证OA，1OA，OC两两垂直．以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正向，||OA为单位长，建立坐标系，可得BC，1BB，AC的坐标，设,,()n x y z=10,0,n BCn BB⎧=⎪⎨=⎪⎩，可解得,1(3,n=-,n AC〈〉，即为所求正弦值．1011 / 1622)()A B ，411161616⨯+1【提示】（Ⅰ）设动圆的半径为R ，由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，可得1212()()|+|+++4PM PN R r r R r r ==-=||，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点,()P x y ，由于||2222PM PN R ≤|-|=-，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为所以可设l ：4)+(y k x =，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【考点】圆的标准方程及其性质，椭圆的的定义及其几何性质，直线与双曲线的位置关系．21.【答案】（Ⅰ）4a =2b =2c =2d =（Ⅱ）2[1,]e【解析】（Ⅰ）由已知得(0)2f =，(0)2g =，(0)4f '=，(0)4g '=．（步骤1）而+()2f x x a ='，((+))+x g x e cx d c '=，故2b =，2d =，4a =，+4d c =.（步骤2）从而4a =，2b =，2c =，2d =．（步骤3）13 / 16（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()+4+2f x x x =，()21)+(x g x e x =．设函数2()()()2()+142x F x kg x f x ke x x x =-=---，则()2+()2242+1(2())x x F x ke x x x ke '=--=-．由题设可得(0)0F ≥，即1k ≥（步骤4）令()0F x '=得1ln x k =-，22x -=．（步骤5）①若21k e ≤<，则120x <≤-．从而当12(),x x ∈-时，()0F x '<；当1(),+x x ∈∞时，()0F x '>．即()F x 在1()2,x -单调递减，在1(),+x ∞单调递增．故()F x 在[)2,+-∞的最小值为1()F x ．（步骤6）而1111211()2+24+0)22(F x x x x x x =--=-≥-．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤7）②若2k e =，则2222+()()()2x F e x e e x -'=-．从而当2x >-时，)0(F x '>，即F (x )在()2,+-∞单调递增．而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤8）③若2k e >，则22222+220()()F ke e k e ---=-=-<-．从而当2x ≥-时，()()f kg x x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1,]e ．（步骤9）【提示】（Ⅰ）对()f x ，()g x 进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，从而解出a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得出()f x ，()g x 的解析式，再求出()F x 及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出()F x 的90，由勾股定理可得，故DG 60．30，所以CF ⊥BF ，故60．从而30．得到15 / 16【提示】（Ⅰ）对于曲线1C 利用三角函数的平方关系式22sin cos 1t t +=即可得到圆1C 的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到1C 的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线2C 的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标3⎝⎦21||23|2|x x y x +-=---，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．。
自考高数答案
自考高数答案【篇一：2015年自考高等数学试题和答案】ss=txt>一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知a={x|y=x,x∈r},b={y|y=x2,x∈r},则a∩b等于（）a. {x|x∈r}b.{y|y≥0}c. {(0,0),(1,1)}d.?2. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是（） a.f(x)=3-xb.f(x)=x2-3xc.f(x)=?x3. 将?22化为分数指数幂的形式为（） a．?2 b．?2c．?2d．?24. 下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是（）a.y=(?2?1d.f(x)=-|x|13?1256x)2b.y=x233c.y=x2x2d.y=x5．对于幂函数f(x)?(m?1)xm?2m?2，下列命题：①f(x)是偶函数；②f(x)是减函数；③f(x)的值域是[0,??)；④f(x)的定义域是(??,0)?(0,??)，其中正确的个数是（）a．46．f(x)=㏑x+2x－5的零点一定位于以下的区间（） a．(1,2)b．(2, 3)c．(3, 4) d．(4, 5)7.设f(x)是定义在(－∞,＋∞)上的偶函数,且x＞0时, f（x）= x+1,则f(-2)=（）a.?5b.5c.3d.－32b．3c．2d．18.三个数70。
3，0.37，，㏑0.3，的大小关系是（）a.㏑0.3＞70.3＞ 0.37，b.70.3＞㏑0.3＞ 0.37c.0.37 ＞70.3＞㏑0.3,d. 70.3＞ 0.37 ＞㏑0.3,9.今有一组实验数据如下表所示：ta. u?log2tb. u?2?2t2?1c. u? d. u?2t?2210. 函数f(x)?logax(a?0,a?1)对任意的正实数x、y，都有（）a．f(x?y)?f(x)?f(y) c．f(x?y)?f(x)?f(y)b．f(x?y)?f(x)?f(y) d．f(x?y)?f(x)?f(y)xax(0?a?1)的图象的大致形状是（） 11．函数y?|x|3212.若函数f(x)=x+x-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x+x-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）a.1.2b.1.3c.1.4d.1.5本大题题，每分，满32二、填空题：共4小小题4分16分．13.已知函数y??2x，则它的定义域为___________2x?114．lg1525?lg?lg?log89?log27828215．已知函数f?x?，g?x?分别由下表给出：满足f?????g????的x的值为. f16．关于下列命题：①若函数y?2x的定义域是?x|x?0?，则它的值域是?y|y?1?；②若函数y?11??的定义域是?x|x?2?，则它的值域是?y|y??； x2??③若函数y?x2的值域是?y|0?y?4?，则它的定义域一定是?x|?2?x?2?；④若函数y?log2x的值域是?y|y?3?，则它的定义域一定是?x|0?x?8?．其中不正确的命题的序号是（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）．第二部分非选择题(共74分)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．17．设a＝｛x｜x2－2x－3＝0｝，b＝｛x｜ax－1＝0｝．若a∪b＝a，求实数a的值．(12分)2x?118．已知f(x)?x.(12分)2?1（1）讨论f(x)的奇偶性；（2）讨论f(x)的单调性.2x?4,x?019.已知f(x)? 0,x?0 (12分)1?x,x?0(1) 求f(?1),f(f(1)),并画出f(x)的图像【篇二：历年全国自考高等数学试题及答案】txt>1 . （2011湖北荆州，19，7分）（本题满分7分）如图，p是矩形abcd下方一点，将绕p点顺时针旋转后恰好d点与a点重合，得到 ,连接eb，问是什么特殊三角形？请说明理由.【解题思路】根据旋转及矩形的性质可知ae＝cd＝ab，可得等腰，进一步由旋转角是，猜想此三角形可能是等边三角形.【答案】解：△abe是等边三角形.理由如下：????????1分?由旋转得△pae≌△pdc?∴cd=ae，pd=pa,∠1=∠2????????????3分?∴△abe为等边三角形 ????????????7分【点评】此类试题是猜想与证明两部分组成，解答时，首先是猜想结论，即同学们根据自己学过的知识经过严格合理地推理，得出一个正确的判断；然后证明，就是根据题目的要求，把从题设到推出某个结论的过程完整地叙述出来.（1）求证：∠adp＝∠epb；（2）求∠cbe的度数；（3）当的值等于多少时，△pfd～△bfp？并说明理由．【答案】（1）证明：∵四边形abcd是正方形，∴∠adp＝∠epb．又∵∠adp＝∠epb，pd＝pe，∴△pad≌△egp．∴eg＝ap，ad＝ab＝pg．∴ap＝eg＝bg．（3）法1：当＝时，△pfd～△bfp．∵∠adp＝∠fpb，∠a＝∠pbf，∴△adp～△bpf．∴pd＝＝ a，pf＝＝ a．∴＝＝．法2：假设△pfd～△bfp，则＝．∵∠adp＝∠f pb，∠a＝∠pbf，∴△adp～△bpf．∴＝．∴＝．∴pb＝ap．∴＝时，△pfd～△bfp．【点评】本题属于直线形几何综合问题，主要考查了正方形，全等三角形，相似三角形，勾股定理等知识．（1）问简单基础，学生普遍会做；（2）问由e点作ab的垂线是较为简捷的思路；（3）是条件开放探究性问题，解决时需要“执果索因”，从后向前思考．难度较大．25．（2011四川乐山，25，12分）如图（14.1）,在直角△abc中, ∠acb=90 ,cd⊥ab,垂足为d,点e在ac上,be交cd于点g,ef⊥be交ab于点f,若ac=mbc,ce=nea(m,n为实数).试探究线段ef与eg的数量关系.(1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,ef与eg的数量关系是证明:(2) 如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,ef与eg的数量关系是证明如图(14.1),当m,n均为任意实数时,ef与eg的数量关系是(写出关系式,不必证明)【解题思路】：添加辅助线，构建新的直角三角形，推理证明三角形相似，利用相似关系，列比例式推出ef与eg的数量关系。
2013考研数一真题答案及详细解析
—勹 B = fxy (1,
= e-½'
—勹 C = fyy (1,
= e-½
(1.-f) 因为 A>o,AC — B2 =2e气>O, 所以
是极小值点，极小值为
(-+ !(1, —：片） =
+½)e··½ = -e勹 ．
(18) 证 CI)设F(x)= f(x)-.1::, xE[—1,l].
·; f(x) 是奇函数，:. f(O)=0.
解 记A�[�: �'考察矩阵A的特征值为2,b,O的条件．
首先，显然1At�:, 因L是A的特征值．
其次，矩阵A的迹tr(A) =2 -t-b, 因此如果2是矩阵A的特征值，则b就是矩阵A的另一个 特征值于是 “ 充要条件 ” 为2是A的特征值．由
lzE —Al = — a 2-b —a = — 4a 2 =O气=O.
故应选C.
二、填空题
(9) 1
解 把 X = O代入方程有八0)=1 . 方程y-X = exO-y)两端同时对x求导有 f'(工)-1= e[l-f(x)] [1-f(x)-xf'(x)J.
把 X =O代入上式得厂(0)=2 - f(O)=l.
f 又 lim 釭） － ］-= f'(O)=l,
x-o
厂 +厂 1
O
lnx +x)
2
dx=
_
lnx l+x
+=
1
1
dx
=O+ln
x
+=
1 =O — ln_l= ln2
O+x)x
l+x 1
2
(13) -1
10月自学考试真题及答案汇总
10月自学考试真题及答案汇总年10月自学考试真题及答案汇总公共课高等数学（一）高等数学（工专）线性代数线性代数（经管类）概率论与数理统计（经管类）概率论与数理统计（二）思想道德修养与法律基础物理（工）大学语文马克思主义基本原理概论中国近现代史纲要数量方法（二）经济类经济法概论（财经类）财务管理学国际金融国民经济统计概论货币银行学基础会计学金融市场学企业会计学社会学概论市场营销学银行会计学金融法运筹学基础审计学经济学（二）消费心理学管理经济学消费经济学市场信息学计量经济学劳动经济学发展经济学经济法概论经济思想史对外经济管理概论证券投资与管理外经贸经营与管理中级财务会计高级财务会计成本会计会计制度设计国际贸易真国际运输与保险金融理论与实务国际商务英语世界市场行情市场调查与预测国际贸易理论与实务国际经济学国际市场营销学全国年10月自考银行信贷管理学真题国际商务谈判经济法原理与实务管理会计（一）法学类保险学原理法学概论国际商法法院与检察院组织制度商法（二）环境与资源保护法学婚姻家庭法证据法学律师执业概论犯罪学（一）公证与律师制度民事诉讼法学涉外警务概论刑法学民事诉讼原理与实务（一）刑事诉讼法学法律文书写作民法原理与实务外国法制史刑法原理与实务（一）中国法律思想史商法原理与实务公司法中国法制史合同法知识产权法劳动法涉外经济法宪法学公安信息学警察组织行为学公安决策学司法鉴定概论婚姻家庭法原理与实务公证与基层法律服务实务工学类管理系统在计算机中的应用离散数学工程力学（一）餐饮美学食品营养学管理类管理学原理西方政治制度网络营销与策划商业银行业务与经营组织行为学公共关系学行政管理学市政学领导科学政治学概论现代谈判学西方行政学说史社会研究方法网络经济与企业管理企业管理概论生产与作业管理西方经济学行政组织理论中国行政史当代中国政治制度西方法律思想史国际公共关系机关管理质量管理(一) 人力资源管理(一) 现代管理学人际关系学中国行政史医学类心理学儿科护理学（二）妇产科护理学（二）精神障碍护理学内科护理学(二) 护理学导论预防医学(二) 老年护理学康复护理学公关心理学文学类美学英语翻译中国秘书史外国文化导论外国新闻事业史新闻心理学广告学（二）现代语言学外贸英语写作创新思维理论与方法新闻事业管理文化产业与管理文化市场与营销中国现代文学史外国文学作品选外国文学史中国古代文学史（一）中国古代文学史（二）外国文学史语言学概论英美文学选读中国古代文学作品选（二）中国古代文学作品选（一）中国当代文学作品选中国现代文学作品选自考文学概论（一）广告学（一）英语语法综合英语（一）综合英语（二）英语词汇学英语科技文选英语写作真题高级英语英语写作基础现代汉语现代汉语基础英语国家概况秘书参谋职能概论中外秘书比较新闻采访写作中国新闻事业史报纸（新闻）编辑广播新闻与电视新闻新闻评论写作新闻摄影中外新闻作品研究教育类比较教育教育法学教育学（一）小学数学教学论小学班主任小学语文教学论小学科学教育教育科学研究方法中小学教育管理发展与教育心理学中外教育简史美育基础幼儿园课程学前教育学学前心理学学前卫生学点击查看更多》》。
2013年考研数一真题答案解析
一、选择题(1) D解用洛必达法则 1 l—x arctanx 1 + x 2 1 + x 2—11X l im· =l im =l i m =—hm =c #-O ,x 丑X, 一-ok x k -lx-0 k x k -l (1 +X z) k x 勺x k -11因此k -1 =Z, 一-c ,即k=3,c -一故应选D.k3CZ) A解F:=zx-ys i n(xy)+L F:=-xs i n(xy)+z, F:=y曲面x 2+c os(xy) + y z十X =0在点(0'1,—1)处的切平面的法向晕n={l ,-1,1},切平面方程为：1• (x—0)—(y—1) + 1• (z + 1)= 0, 即x—y +z --Z故应选A.(3)C解观察到S(x)是f(x)的正弦函数，对J进行奇延拓，其周期为z 故S(x)f(x). 9 1 1 s (-—) =S(--—s -=- 1 144) (4)1(了）＝勹一故应选C(4)D解由格林公式得I ,-f (y +f )山+(Zx -�) d y =』(1—x 2-f )心d y'其中D 1:x z+y z冬1,D 2:x 2+y 2�z,D3:f +y 2冬1,yD 口x z+��l.z显然在几内有y y l-x 2 -—>O , 在队外有l -x 2-—<O ,z z又如图有D1C D4 ,D4 C D z 由重积分性质知I1>I1,I4>Iz.y 又D4=几+D4\D 5,几=D5+D3\D 5,在D3\D 5上l -x 2--<0,在D4\D5上z1 2 y-x -—z>O ,2013年（数一）真题答案解析故J4=II (1-x 2—f)dxd y + II (1—X 2 --f )dxd y D5D八D s>13=』(1y —x 2勹）dxdy + I I (1—.亢2飞）dxdy. 故应选D.D5D叭D5(5) B解由千A B =C,那么对矩阵A,C按列分块，有，、｀丿，，“` ， ． ． ． ， 2”, ，1”, （ ＿ －－n nn 12…nb b b ��…�22212…”b b b11112…n b b b） ＂＂ ， ． ． ． ，2＂， 1 ＂（ Y1 =b 11a1 +b心＋…+b.1a.,即｛了:,�b ,,a +b 心＋…+b .,a.,r. =b1na1 +b z.az +…+ b n.an. 这说明矩阵C的列向最组r 口rz '…,r. 可由矩阵A的列向量组a1,a2, …, a. 线性表出．又矩阵B可逆，从而A=CB飞那么矩阵A的列向量组也可由矩阵C的列向械组线性表出．由向量组等价的定义可知，应选B .(6) B解记A�[�:�'考察矩阵A的特征值为2,b ,O的条件．首先，显然1At �:,因L是A的特征值．其次，矩阵A的迹t r (A )=2 t -b, 因此如果2是矩阵A的特征值，则b就是矩阵A的另一个特征值于是“充要条件”为2是A的特征值．由lzE—A l=—a 2-b—a =—4a 2 =O 气=O .—l -al因此充要条件为a =O,b为任意实数，故应选B.(7) A解将随机变量义和x3化成标准正态后再比较其大小．P 1 =P {—2�X1�2} =<P (2) -中(—2)'—2X z2Pz=P {-2�X三2}=P {—《—《—}气(1)-<P (-1)'22 2 p3 =P {-2�X3�2} -2—5 x3—5 2-5 =P {3� —3� 2 } =iP (-1)—叶习=<P行）-<P(l )'由右图正态分布曲线下的面积所代表的概率可知P1 > Pz > p 3.故应选A .x7l 3(8)C解当X-t(n)时，X 2-FO,n),又Y-FO,n),故Y与xz同分布．当C > 0时，由t 分布的对称性有P{Y>c 2}=P{X 2>c 2}==P{ X >c}=P{X>cUX<—c}=2P{X>c}=2a.故应选C.二、填空题(9)1解把X =O 代入方程有八0)=1. 方程y -X = e xO -y )两端同时对x 求导有f'(工)-1 = e [l -f(x )] [1-f (x ) -x f'(x ) J . 把X =O 代入上式得厂(0)=2 -f(O) =l.又limf 釭）－］-=f '(O)=l,x-oX1三卢—1]飞巴!(-;;}—l气尸�1nOO)C 1e 立+c z 产-xe红解由常系数非齐次线性微分方程解的性质可得Y 1 -Y 3 = e3x,Y 2 -Y 3 = ex是相应二阶齐次线性微分方程的两个特解．故相应二阶齐次线性微分方程的通解为Y O = C I e 3·x + C 2 e .所以所求非齐次方程的通解可表示为y = C1e x + C 2芒—X e2x•(11)心解•• dxdy· —= cost , -= t c ost ,dt dt. dy tcost•• -= =t,dxcost 叶店）d 2y d dy dt -=--(—)＝—一＝－1 c!x2 dx cl x clxcostc!t心1从而dx 2,-f =亢＝迈．cos—4(12)lnZ解厂l n x2dx = _ l n x += +厂dx =O+l n x1+==O —l n _l =ln 2 1O+x)l+x 1 2 l+x 1 1O+x)x(13) -1解题设条件"a ;;+A ;; = 0 "即A T =—A*'于是A =—[Al'可见A只可能是0或—1.又r(A)= r (A T ) = r (-A *) = r (A 天），则rCA)只可能为3或0.而A为非零矩阵，因此r (A)不能为o ,从而r(A) = 3 , A [ #-0 , [ A [ = -1.或，用特例法．取一个行列式为—1的正交矩阵满足A T=-A勹故应填-1.104)1——e解由于X�E(l),a>O,则由指数分布的分布函数有P{Y冬a+IY>a}=P{Y>a,Y,s;:;a+l } =P{a<Y,s;:;a+l}P {Y >a}1—P{Y冬a}1-e 一(a +])—0-e -")e -a —e -a -1 1 = = =l —e -1 = 1—— l —(1—e -a )-a e e 三、解答题05)解由条件显然有J(l )=O, J'(x)=由分部积分法及换元积分法有『八x)d x =2f J(x)d 左。
2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案
2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案第一篇：2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
参考答案：C参考答案：A参考答案：B参考答案：D参考答案：B参考答案：A参考答案：D参考答案：B参考答案：C参考答案：A二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
参考答案：2e参考答案：2(x+3)参考答案：2ex-1参考答案：参考答案：sin(x+2)+C参考答案：2(e-1)参考答案：2x-y+x=0参考答案：ydx+xdy参考答案：1参考答案：π三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解答应写出推理，演算步骤。
第二篇：2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
参考答案：A参考答案：C参考答案：D参考答案：A参考答案：B参考答案：D参考答案：C参考答案：B参考答案：A参考答案：B二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
第11题参考答案：0 第12题设y=sin(x+2)，则Y'=_________ 参考答案：cos(x+2)第13题设y=ex-3，则dy=_________．第14题参考答案：5sinx+C 第15题第16题曲线Y=x2-x在点(1，0)处的切线斜率为_________．参考答案：1 第17题设y=x3+2，则y''=__________．参考答案：6x 第18题设z=x2-y，则dz=_________．参考答案：2xdx-dy 第19题过点M(1，2，3)且与平面2x—Y+z=0平行的平面方程为_________．参考答案：2x—y+z=3 第20题参考答案：3π三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
高等数学一自考题-1_真题(含答案与解析)-交互
高等数学一自考题-1(总分100, 做题时间90分钟)第一部分选择题一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。
1.函数y=sinx-sin|x|的值域是______• A.{0}• B.[-1，1]• C.[0，1]• D.[-2，2]SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:D[解析] 当x≥0时，y=sinx-sinx=0；当x＜0时，y=sinx-sin(-x)=sinx+sinx=2sinx，这时-2≤2sinx≤2，故y=sinx-sin|x|的值域为[-2，2]．答案为D．2.设函数，则f(x)=______A．x2 B．x2-2C．x2+2 D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:B[解析] ，∴f(x)=x2-2．答案为B．3.极限=______•**B.∞•**D.不存在SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C[解析] ．答案为C．4.要使函数在x=0处连续，应给f(0)补充定义的数值是______A． B．2C．1 D．0SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C[解析] ，补充定义f(0)=1，则f(x)连续．答案为C．5.设函数f(x)=(x-a)φ(x)，φ(x)在x=a处可导，则______ •**'(x)=φ(x)•**'(a)=φ'(a)•**'(a)=φ(a)**'(x)=φ(x)+(x-a)SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C[解析] 由导数定义，由于φ(x)在x=a处可导，∴φ(x)在x=a处连续，∴．答案为C．6.设(x≥0)，则f'(x)=______A． B．C． D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C[解析] 由，得，f'(x)=．答案为C．7.在区间(a，b)内任意一点，函数f(x)的曲线弧总位于其切线的上方，则该曲线在(a，b)内是______• A.凹的• B.凸的• C.单调上升• D.单调下降SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:A[解析] 根据几何意义可选出正确答案．答案为A．8.设∫f(x)dx=F(x)+C，则不定积分∫2x f(2x)dx=______A． B．F(2x)+CC．F(2x)ln2+C D．2x F(2x)+CSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:A[解析] F(2x)+C'=∫f(2x)d(2x)=∫2x(ln2)f(2x)dx=ln2∫2x f(2x)dx，所以．答案为A．9.设y=(t-1)(t-2)(t-3)(t-4)dt，则y'(0)=______•**•**•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:A[解析] ，∴y'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，y'(0)=(-1)·(-2)·(-3)·(-4)=24．答案为A．10.设z=(2x+y)y，则=______•**•**•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:B[解析] 由z=(2x+y)y，则，|=2(0+1)0=2．答案为B．(0，1)第二部分非选择题二、简单计算题1.求函数的定义域．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4答案:要使函数f(x)有意义，必须使解之，得故f(x)的定义域为[-1，3]．2.讨论在x=1点的连续性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4答案:所给函数是个分段函数，x=1点是f(x)的分段点，f(x)在x=1点处及其附近有定义，但是，，，故f(x)在x=1点处无极限，从而f(x)在x=1点处不连续．3.已知y=a·cos2，求y'．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4答案:y=a·可以看成由y=au2，u=cosv，v=三个函数复合而成的函数，由复合函数求导法则，得到4.求函数的极值及对应曲线的拐点．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4答案:，令y'=0，得驻点x=1．∴x=1为极大值点，极大值为，令y"=0，得x=0，x=2．当x∈(-∞，0)时，y"＞0；当x∈(0，2)时，y"＜0；当x∈(2，+∞)时，y"＞0，∴拐点为和．5.计算定积分I=(1-sin3x)dx．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4答案:三、计算题1.设求及．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:在点x=0处，因为f(0+0)=(2x2+4)=4，所以=4．在点x=2处，f(2+0)=f(2-0)=，因为f(2+0)≠f(2-0)，所以不存在．2.求曲线y=e x上的一点(x，y)，使过该点的切线与直线y=2x平行．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:直线y=2x的斜率为2，曲线y=e x在x处切线的斜率为y'=e x，两直线平行要求它们的斜率相等，即有e x=2，解得x=ln2，代入方程得y=e ln2=2．3.设，求f(n)(0)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:f(x)=-ln(1+x)，f"(x)=-(-1)(1+x)-2，f"'(x)=-(-1)(-2)(1+x)-3，……f(n)(x)=-(-1)(-2)…(-n+1)(1+x)-n=，故f(n)(0)=(-1)n(n-1)!4.某商品的需求函数为Q=100-5P，其中Q为需求量，P为价格，求需求的价格弹性函数，并求P=10时的价格弹性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:需求函数表示商品的需求量与价格之间的关系，需求的价格弹性反映需求量的变动对价格变动的敏感程度，设为需求的价格弹性，则需求的价格弹性函数为：．当P=10时，结果说明，当商品的价格在P=10的基础上上升1%时，人们对它的购买量就会下降1%．5.求．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:四、综合题某商品的需求函数为Q=180-10P，企业生产该商品的成本函数为C=3Q+0.1Q2．试求：SSS_TEXT_QUSTI1.该商品的总收益函数、平均收益函数分值: 3.XX667答案:总收益函数为R=QP(Q)．因为Q=180-10P，∴P=，从而总收益为R=Q·P=Q(18-)=18Q-，平均收益函数为．SSS_TEXT_QUSTI2.该商品的平均成本函数分值: 3.XX667答案:已知成本函数为C=3Q+0.1Q2，所以平均函数为=3+0.1Q．SSS_TEXT_QUSTI3.该商品的总利润函数分值: 3.XX667答案:总利润=总收益-总成本，所以总利润函数为L=R-C=Q2-3Q-0.1Q2=．SSS_TEXT_QUSTI4.当产量为30时的利润分值: 3.XX667答案:产量为30时，利润为L(30)=15×30-=270．SSS_TEXT_QUSTI5.某工厂生产某种产品，每批至少生产5(百台)，最多生产20(百台)，如生产x(百台)的成本C(x)=，可得收入R(x)=20x-x2(万元)，问每批生产多少时，可使工厂获得最大利润?分值: 3.XX667答案:总利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=(20x-x2)-(-6x2+29x+15)．令L'(x)=-x2+10x-9=-(x-1)(x-9)=0，得驻点x=9，x=1(舍去)．由L"(x)=-2x+10，L"(9)=-8＜0，故知当每批生产9百台时利润最大．SSS_TEXT_QUSTI6.求曲线y=x3-3x+2与它的右极值点处的切线所围成的图形的面积．分值: 3.XX667答案:y'=3x2-3，y"=6x．令y'=0，得x=1，x=-1；y"(1)=6＞0，y"(-1)=-6＜0，所以x=-1，x=1是它的极值点，且x=1为右极值点．这时y'(1)=0，y(1)=1-3+2=0，故y=0为该曲线在右极值点x=1处的切线方程．又当y=0时，x=1，x=-2．因此．若边际消费倾向是收入y的函数C'(y)=，且收入为零时的总消费支出=70．C求：SSS_TEXT_QUSTI7.消费函数C(y)分值: 3答案:．又∵C(0)=70．∴C(y)=．SSS_TEXT_QUSTI8.收入由100增到196时消费支出的增量分值: 3答案:由，故收入由100增加到196时，消费支出增加21264．1。