三招破解三角形解的个数问题

三角形解的个数问题 学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼.知道 3边，2

角1边，2边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即 “边边角”）的条件下解三角形时，解的个数有几个呢？ 一解，二解还是无解？《必 修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明.即

在已知ABC 中的边长a , b 和角A ，且已知a , b 的大小关系，常利用正弦定理 求出sinB

的值，

① 若该值大于1,与sinB 1矛盾，则无解；

② 若该值小于或等于 1,则要考虑a , b 的大小关系及 A 为锐角还是钝角：

若A 是钝角，且该值小于 1,则有1解，若该值等于1,则无解；

若A 是锐角，且b a ，则有1解；

若b a ，且该值小于1,则有2解；b a ，且该值等于1，则有1解.

但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受.即本 节能理解，

操作应用起来也很不方便.下面提供“几招”供同学们选择，希望能帮 助同学们顺利破解. 第一招：大角对大边

在已知ABC 中的边长a , b 和角A ，且已知a , b 的大小关系，常利用正弦定理 结合“大

边对大角”

来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角

B 与角A A B sinA sinB 这是个隐含条件，在使用时我们要注意

第二招：二次方程的正根个数 一般地，在ABC 中的边长a , b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整 理为关于

c 的一元 二次方程c 2 2bccosA b 2 a 2 0 ,若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若 方程

有一个正数 解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解, 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD , BDA 60 , BCD 135，求 BC 的长.

解：在ABD 中，设BD x ，由余弦定理得142 x 2

由正弦定理，得 BC

BDsin CDB 16sin3° &2

•

的大小关系，然后求 出B 的值，根据三角函数的有界性求解._

【例1】在ABC 中，已知a -.3 , b ,2 , B 45，求A 、C 及c .

解:由正弦定理，得sinA

3si n 45 3 ,... R 45 90 , b a ，二 A 60 或 120 .

b V2 2 、、2 sin 75 、、6 2

_______ _______ . sin 45 2 ， 、、2si n15 ■ 6 & sin 45 2

当A 60时，C

当A 120时，C

75 , 15 , bsin C sin B bsinC sin B 点评：在三角形中，a b 挖

掘.

B

sin BCD si n135

点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，

利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷.

第三招：画圆法

已知ABC中，A为已知角（90 ），先画出A，确定顶点A，再在A的一边上确定顶点C，使AC

边长为已知长度，最后以顶点C为圆心，以CB边长为半径画圆，看该圆与A的另一边是否有交点，如果

没有交点，则说明该三角形的解的个数为0;若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1;若有两个

交点，则说明该三角形的解的个数为2.

【例3】在ABC中，A 60 , a ,6 , b 3，则ABC解的情况（）（A）无解（B）有一解（C）有两解C（D）不能确定解：在A的一边上确定顶点C,使AC b 3，作CAD 60 , b.. /、、以顶点C为圆心，以CB a胚为半径画圆，看该圆与AD没有交点，则说明该三角形的解的个数为0,故选A. ' D