考研数学一、数学三模拟试题

考研数学一、数学三模拟试题

（考试时间：180分钟）

一、选择题（每小题4分，共32分）

1. 设{},{},{}n n n a b c 均为非负数列，且lim 0,lim 0.1,lim ,n n n n n n a b c →∞

→∞

→∞

===∞则必有 【 】

A ．,1,2,.n n a b n <=

B ．,1,2,.n n b c n <= C. 极限lim n n n a c →∞

不存在 D. 极限lim n n n b c →∞

不存在

2. 设函数()f x 在 上连续，其导函数的图形如右图所示， 则()f x 有 【 】 A. 一个极小值点和两个极大值点。 B. 两个极小值点和一个极大值点。 C. 两个极小值点和两个极大值点。 D. 三个极小值点和一个极大值点。

3. 设(,)()()(),x y x y

u x y x y x y t dt ϕϕψ+-=++-+

⎰

其中ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有

【 】

A.

2

2

2

2

u u x

y

∂∂=-

∂∂. B.

2

2

22

u u x

y

∂∂=

∂∂. C.

2

2

2

u u x y

y

∂∂=

∂∂∂. D.

2

2

2

u u x y

x

∂∂=

∂∂∂.

4. 设()f x 为连续函数，1

()(),t t y

F t dy f x dx =

⎰⎰ 则(2)F '= 【 】

A. 2(2).f

B. (2).f

C. (2).f -

D. 0. 5. 设11

121321

222331

32

33,a a a A a a a a a a ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2123

22231113

121331

3332

33,a a a a B a a a a a a a a +⎛⎫

⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭0

10100,00

1P ⎛⎫ ⎪

= ⎪

⎪⎝

⎭1

000

10,10

1Q ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝

⎭

则必有【 】

A. .PQA B =

B. .PAQ B =

C. .APQ B =

D. .QAP B =

6. 设向量组Ⅰ：12,,,r ααα 可由向量组Ⅱ：12,,,s βββ 线性表示，则 【 】 A. 当rs 时，向量组Ⅱ必线性相关.

C. 当r

D. 当r>s 时，向量组Ⅰ必线性相关.

7. 将一枚硬币独立地掷两次，事件A={第一次出现正面}，B ={第二次出现正面}，C ={正、反面各出 现一次}，D ={正面出现两次}， 则事件 【 】 A. A,B,C 相互独立. B. B,C,D 相互独立. C. A,B,C 两两独立. D. B,C,D 两两独立. 8. 设随机变量2

1~()(1),,X t n n Y X

>=

则 【 】

A. 2

~().Y n χ B. 2

~(1).Y n χ- C. ~(,1).Y F n D. ~(1,).Y F n 二、填空题（每小题4分，共24分）

9.（数一） 20

11lim .tan x x x x →⎛

⎫-= ⎪⎝⎭

9.（数三）幂级数21

1

(1)

2

n n n

n x

n ∞

+=-∑的收敛域为____________________.

10. 已知函数()y y x =由方程2

61y

e xy x ++=确定，则(0)_______.y ''= 11. 微分方程20y y x ''++=的通解为

___________________________.

12.（数三）设()arcsin ,xf x dx x C =+⎰则1.()

dx f x =⎰

13. 设三阶方阵A 和B 满足：16,A BA BA A -=+且111,

,,347A diag ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

则|B|=_______________. 14. 设X 为10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中率为0.4, 则2()E X =______________. 三、解答题（共94分. 必须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （10分）设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上二阶可导，且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====

证明：（Ⅰ）在(,)a b 内()0;g x ≠

（Ⅱ）在 (,)a b 至少存在一点ξ，使得

()().()

()

f f

g g ξξξξ''=''

16. （10分）如右图所示，曲线C 的方程为()y f x =，点（3,2）

是它的一个拐点，直线1l 和2l 分别是曲线C 在点（0,0）与（3,2）除的切线，其交点为（2,4）.设函数()f x 具有三阶连续导数，计算积分3

0(1)().x x f x dx '''+⎰

17. （10分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶连续导数，且

z f =满足等式

2

2

2

2

0z z x

y

∂∂+

=∂∂.

(Ⅰ) 验证()()0;f u f u u

'''+= （Ⅱ）设(1)0,(1)1,f f '==求()f u 的表达式。