第二章随机变量的分布和数字特征习题课

第二章 随机向量的分布和数字特征的习题课

一：选择题：

1. 若随机变量 21,X X 的分布函数为)(1x F 与)(2x F 则a ,b 取值为（ ）时，可使F(x)=a )(1x F -b )(2x F 为某随机变量的分布函数。 A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2

分析：由分布函数在±∞的极限性质，不难知a,b 应满足a-b=1,只有选项A 正确。 [答案 选：A]

2. 设 X ～ϕ(x ),且ϕ (-x )= (x ),其分布函数为F (x ),则对任意实数a , F (-a )=( )。

A.1-⎰a

x 0)(ϕd x B . 2

1

-⎰a

x 0)(ϕ d x C .F(a) D .2F(a)-1 分析：①是偶函数，可结合标准正态分布来考虑；②⎰a

x 0)(ϕ d x ＝F(a)－F(0)；③F(0)＝0.5；④F(a)＋F(-a)=1 [答案 选：B] 3.设X ～N (μ,2σ),则随着σ的增大，P (|X -μ|<σ)（ ）。 A.单调增大 B.单调减少 C.保持不变 D.增减不定 [答案 选：C]

4.设随机变量X 与Y 均服从正态分布，X ～N(μ,16)，Y ～N(μ,25),

记P{X ≤μ＋4}=1p ,P{Y ≤μ+5}=2p ,则（ ）正确。

A.对任意实数μ，均有1p =2p

B. 对任意实数μ，均有1p <2p

C.只对个别的μ值才有 1p =2p

D. 对任意实数μ，均有1p >2p [答案 选： A]

5. 设X 是随机变量且)0,()(,)(2>==σ

μσμX D X E ，则对任意常数c ，

（ ）成立。

222)(.c EX c X E A -=- 22)()(.μ-=-X E c X E B 22)()(.μ-<-X E c X E C

22)()(.μ-≥-X E c X E D

分析：

[答案 选：D ]

由2

)(,)(σμ==X D X E ，得2222

)()(μσ+=+=EX X D EX

)2()(222c cX X E c X E +-=-∴

2

2

2

2

2

2

2)

(22c c c c cEX EX -+=+-+=+-=μσμμσ

)2()(222μμμ+-=-X X E X E

2

22222222σ

μμμσμμ=+-+=+-=EX EX

显然2

2

)()(μ-≥-X E c X E

二：题空题

1. 设在每次伯努里试验中，事件A 发生的概率均为p,则在n 次伯努

里试验中，事件A 至少发生一次的概率为（ ），至多发生一次的概率为（ ）。

[答案 填：(1-(1-p)n ); ((1-p)n +np(1-p)1-n )] 由伯努里概型的概率计算公式，，据题意可知，

事件A 至少发生一次的概率为k n k n

k k n p p C -=-∑)1(1或n n p p C )1(100--，

事件

A 至多发生一次的概率为

k n k k K

N

p p C

-=-∑)1(1

=n n

p p C )1(00-+111)1(--n n p p C

2. 设随机变量Y 在区间[1，6]上服从均匀分布，则方程0

12=++Yx x 有实根的概率为（ ）。

分析：方程012=++Yx x 有实根当且仅当Δ≥0，即|Y|≥2, 则P(|Y|≥2)=⎰6

25

1

d x =0.8 [答案 填：0.8]

3. 设 X ～⎩⎨

⎧<<=其他

,

01

0,2)(x x x f ，对X 的三次独立重复观察中，

事件 { X ≤ 0.5}出现的次数为随机变量Y,则P{Y=2}=( )。

分析：P{X ≤0.5}=0.25,Y 服从

B (3,0.25)分布,则

P{Y =2}=75.025.0223C =64

9

[答案 填: 649

]

4. 设X B(2,p),Y B(3,p),且P {X ≥1}=9

5,则P {Y ≥1}=( )。

分析：由P{X ≥1}=1-P{X=0}=22p p -=

95

，可得p=

3

1

,则P {Y ≥1}=1-P{Y=0}=27

19

[答案 填：2719

]

5.设随机变量X 服从均值为10，标准差为0.02的正态分布，设Ф

（x ）为标准正态分布函数，已知Ф（2.5）=0.993 8,则X 落在区间

（9.95,10.05）的概率为（ ）。

分析：P{9.95

[答案 填：0.9876]

6. 设随机变量X 的概率密度为 ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨

⎧∈∈=其他

,0]6,3[,92

]1,0[,31)(x x x f

若k 使得P{ X ≥ k }=2/3,则k 的取值围是（ ）。

分析：

192

31)(,6319232923192031)(,6331031)(,313131)(,100

)(,06

3

1

3

3

11

03

2

1

00=+=≥-=-+=++=≤≤=+=≤≤==≤≤=<⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰

dt dt x F x x x dt dt dt x F x dt dt x F x x dt x F x x F x x

x

[答案 填：[1，3]]

7. 设随机变量X f(x)=||2

1x e -,-∞＜x ＜+∞,则X F(x)=( )。

[答案 填：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0,2

110

,21)(x e x e x F x

x

]

分析：当x ＜0时，F(x )=⎰∞-x t f )(d ⎰∞-=x t t e 21d x t e 2

1

=

当x ≥0时，F(x)=⎰∞-x t f )(d ⎰∞-=021t e t d ⎰-+x t e t 021d t x e --=2

1

1