Ch8.2 正态总体均值的假设检验

统计量得出的检验法称为t 检验法. 上述利用 t 统计量得出的检验法称为 检验法
类似可以给出正态总体 N ( µ , σ 2 ), 当σ 2未知时, 关于µ的单边检验的拒绝域.
在实际中, 正态总体的方差常为未知, 在实际中 正态总体的方差常为未知 所以 我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检 验问题. 验问题
n = 15,
x = 10.48, α = 0.05,
x − µ 0 10.48 − 10.5 = −0.516, 则 = σ / n 0.15 / 15
查表得
z0.05 2 = 1.96,
x − µ0 拒绝区域为 ≥ z0.05 2 =1.96, σ/ n x − µ0 而 = 0.516 < z0.025 = 1.96, σ/ n
等)时,我们可用 Z 检验法来检验两正态总体均值 时 我们可用 差的假设问题, 见表8.1 . 差的假设问题 见表
例3 在平炉进行一项试验以确定改变操作方 建议是否会增加钢的得率， 法的 建议是否会增加钢的得率，试验是在同一只 平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外， 平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其它 条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉， 条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然 后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼了 后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行， 10炉，其得率分别为 炉 标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1
X − µ0 ~ t ( n − 1), 当H 0为真时, S/ n
X − µ0 P{ 拒绝 H 0 H 0 为真 } = Pµ0 ≥ k = α , S/ n
得 k = tα / 2 ( n − 1),
x − µ0 拒绝域为 t = ≥ tα / 2(n −1) . s/ n
问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时 小时)? 问是否有理由认为元件的平均寿命大于 小时 解 依题意需检验假设
H 0 : µ ≤ µ 0 = 225, H 1 : µ > 225,
取 α = 0.05, n = 16, x = 241.5, s = 98.7259,
查表得
x − µ0 t0.05 (15) = 1.7531 > t = = 0.6685 s/ n
故接受 H 0 , 认为元件的平均寿命不 大于 225小时 .
2 二、两个总体 N ( µ1 ,σ 12 ), N ( µ2 ,σ 2 ) 的情况
利用t检验法可以检验具有相同方差的两正 利用 检验法可以检验具有相同方差的两正 检验法可以检验具有相同方差 均值差的假设 态总体均值差的假设. 态总体均值差的假设
在上节中讨论过正态总 体 N ( µ ,σ 2 )
当σ 2为已知时 关于 = µ0的检验问题: , µ
(1) 假设检验 H0 : µ = µ0 , H1 : µ ≠ µ0 ; (2) 假设检验 H0 : µ ≤ µ0 , H1 : µ > µ0 ; (3) 假设检验 H0 : µ ≥ µ0 , H1 : µ < µ0 .
正态总体均值、 正态总体均值、方差的检验法见下表
( 显著性水平为α )
原假设H 0
1
µ ≤ µ0 µ ≥ µ0 µ = µ0 (σ 2已知) µ ≤ µ0 µ ≥ µ0 µ = µ0 (σ 2未知)
µ1 − µ 2 ≤ δ µ1 − µ 2 ≥ δ µ1 − µ 2 = δ 2 (σ 12 , σ 2已知) µ1 − µ 2 ≤ δ µ1 − µ 2 ≥ δ µ1 − µ 2 = δ 2 2 (σ 1 = σ 2 = σ 2未知)
检验统计量
X − µ0 σ/ n
备择假设H1
µ > µ0 µ < µ0 µ ≠ µ0
拒绝域
z ≥ zα z ≤ − zα z ≥ zα / 2
t ≥ tα ( n − 1) t ≤ −tα ( n − 1) t ≥ tα / 2 ( n − 1)
Z=
2
X − µ0 t= S/ n
µ > µ0 µ < µ0 µ ≠ µ0
µ − µ0 > δ µ − µ0 < δ µ − µ0 ≠ δ µ − µ0 > δ µ − µ0 < δ µ − µ0 ≠ δ
3
Z=
X −Y −δ
σ 12
n1
+
2 σ2
z ≥ zα z ≤ − zα z ≥ zα / 2
n2
4
X −Y −δ 1 1 Sw + n1 n2 2 (n − 1) S12 + (n2 − 2) S 2 2 Sw = 1 n1 + n2 − 2 t=
得 k = tα / 2 ( n1 + n2 − 2).
( x − y) −δ 故拒绝域为 t = ≥tα / 2 ( n1 + n2 − 2). 1 1 sw + n1 n2
关于均值差的单边检验问题的拒绝域见表 8.1,
常用δ = 0的情况.
当两个正态总体的方差均为已知(不一定相 当两个正态总体的方差均为已知 不一定相
10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度服从正态分布, 假定切割的长度服从正态分布 且标准差没 有变化, 试问该机工作是否正常? 有变化 试问该机工作是否正常 (α = 0.05)
解 因为 X ~ N ( µ ,σ 2 ), σ = 0.15,
要检验假设 H 0 : µ = 10.5, H 1 : µ ≠ 10.5,
因为S2 是σ 2 的无偏估计, 故用 S 来取代 σ ,
X − µ0 即采用 t = 来作为检验统计量 . S/ n
x − µ0 当观察值 t = 过分大时就拒绝 H 0 , s/ n x − µ0 拒绝域的形式为 t = ≥k . s/ n
根据第六章§2定理三知, 定理三知 根据第六章§ 定理三 第六章
概率论与数理统计
第二节 正态总体均值的假设检验
单个正态总体 均值的检验 两个正态总体均值差的检验 小结
一、单个总体 N(µ ,σ )均值
2
µ的检验
1.
σ
2
已知， 已知，关于
的检验（ 检验 检验） µ 的检验（Z检验）
在上一小节中已讨论过正态总体 N(µ ,σ 2 ) , 当
σ
2 已知时关于
µ = µ0
F ≥ Fα (n1 − 1, n2 − 1) F ≤ F1−α (n1 − 1, n2 − 1) F ≥ Fα / 2 (n1 − 1, n2 − 1)或 F ≥ F1−α / 2 (n1 − 1, n2 − 1)
7
µD ≤ 0 µD ≥ 0 µD = 0
(成对数据)
D−0 t= SD / n
t ≥ tα (n1 + n2 − 2) t ≤ −tα (n1 + n2 − 2) t ≥ tα / 2 (n1 + n2 − 1)
原假设H 0
2 σ 2 ≤ σ0 2 σ 2 ≥ σ0 2 σ 2 =σ0 ( µ未知)
检验统计量
备择假设H1
拒绝域
2 χ 2 ≥ χα (n − 1) χ 2 ≤ χ12−α (n − 1) 2 χ 2 ≥ χα / 2 (n − 1)或 χ 2 ≤ χ12−α / 2 (n − 1)
2 2 2
求检验问题 H0 : µ1 − µ2 = δ , H1 : µ1 − µ2 > δ ( δ 为已知常数)的拒绝域.
取显著性水平为 2 2 ( X −Y ) − δ (n1 −1)S1 + (n2 −1)S2 2 t= , 其中Sw = . 1 1 n1 + n2 − 2 Sw + n1 n2
设 X 1 , X 2 ,⋯, X n 为来自正态总体 N ( µ1 ,σ 2 ) 的样本 , Y1 ,Y2 ,⋯,Yn 为来自正态总体 N ( µ 2 ,σ 2 )的 样本, 且设两样本独立 . 注意两总体的方差相等 .
又设 X ,Y 分别是总体的样本均值 , S1 , S 2 是样本 方差, µ1 , µ 2 , σ 均为未知,
n2 = 10,
y = 79.43, s2 = 2.225,
2
且s
2 w
(10 −1)s + (10 −1)s = = 2.775, 10 + 10 − 2
2 1 2 2
查表可知 t0.05 (18) = 1.7341,
查表8.1知其拒绝域为 查表 知其拒绝域为 t ≤ − tα ( n1 + n2 − 2). x− y = −4.295, 因为 t = 1 1 sw + 10 10
5
χ =
2
(n − 1) S 2
σ 02
σ >σ σ 2 <σ σ2 ≠σ
2
2 0 2 0 2 0
6
2 σ 12 ≤ σ 2 2 σ 12 ≥ σ 2 2 σ 12 = σ 2 ( µ1 , µ 2未知)
S12 F= 2 S2
2 σ 12 > σ 2 2 σ 12 < σ 2 2 σ 12 ≠ σ 2
某种电子元件的寿命X(以小时计 以小时计)服 例2 某种电子元件的寿命 以小时计 服 从正态分布, 均为未知. 测得16只元件的 从正态分布 µ ,σ 2 均为未知 现测得 只元件的 寿命如下: 寿命如下
159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170
≤ − t 0.05 (18) = −1.7341,