两条直线垂直的判定优秀课件PPT
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两条直线平行与垂直的判定ppt课件
l1 l2
2 90 1 tan2 tan 90 1
y
l2
l1
O
α1
α2
x
tan 2
1
tan 1
k2
1 k1
k1 k2 1
15
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为 α1、α2（ α1、α2≠90°）.
y
l2
l1
α1
α2
O
x
结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率 （两直线的斜率都不等于0），且分别为
注意点：斜率都存在
y l2
α1
O
l1
α2
x
2、斜率不都存在时两直线平行与垂直
平行：直线l1和l2斜率都不存在
y
y l2
2 1
垂直：直线l1和l2一条斜率为零, O
x
另一条斜率不存在
l2
l1
O
l1 x
21
二、思想方法 （1）数形结合、分类讨论、由特殊到一般及类
比联想的思想； （2）运用代数方法研究几何性质及其相互位置
y
Q P
解：
直线BA的斜率kBA
30 2 (4)
1 2
直线PQ的斜率kPQ
21
1 (3)
1 2
A
kBA kPQ 直线BA // PQ.
x
B
O
10
例题讲解 平行关系
例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0）， B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试判断四边形 ABCD的形状，并给出证明。
解 : k AB
1 2
《两条直线平行与垂直的判定》课件(必修2)
y
A
B O
(1)当AB∥CD时,由于AD⊥AB 则 kAB=kＣＤ, 且 kADkAB=-1 D 18 9 解得：a＝ 5 ，b＝ 5 D 此时ＡＤ与ＢＣ不平行。 (２)当AD∥BC时,由于CD⊥BC C x kAD=kBC, 且 kBCkCD=-1 则 解得：a＝3，b＝3 此时ＡB与CD不平行。
3.1.2 两条直线 平行与垂直的判定
淄博五中高一数学组孙天军
复习
直线的倾斜角
斜率
k tan ( 90 )
斜率公式
k y 2 y1 x 2 x1 ( x1 x 2 )
定义
三要素
0 ,180
范围
k ,
k ,
求证: 顺次连接A(2, -3), B(5, 2 ), C(2, 3), D(-4, 4)四点所得的四边形是梯形.
7
因为kAB= 6 , 证明:
所以kAB=kCD 又因为kBC=
13 6
1
kCD=
1 6
7 6
从而AB∥CD
kBC=
所以kBC≠kDA 从而直线BC与DA不平行 故四边形ABCD是梯形
x
A
实践与探究： 1.判断题：
(×)
(2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等。
(1) 若两条直线的斜率相等,则这两条直线一定平行。
(×)
(3)若两条不重合的直线的斜率都不存在,则它 们平行。
（ √）
实践与探究： 1.判断题：
（4）若两条直线的斜率之积为-1, 这两条直线一定 垂直。
(√)
(5)若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为–1.
BA ∥ PQ
A
B O
(1)当AB∥CD时,由于AD⊥AB 则 kAB=kＣＤ, 且 kADkAB=-1 D 18 9 解得：a＝ 5 ，b＝ 5 D 此时ＡＤ与ＢＣ不平行。 (２)当AD∥BC时,由于CD⊥BC C x kAD=kBC, 且 kBCkCD=-1 则 解得：a＝3，b＝3 此时ＡB与CD不平行。
3.1.2 两条直线 平行与垂直的判定
淄博五中高一数学组孙天军
复习
直线的倾斜角
斜率
k tan ( 90 )
斜率公式
k y 2 y1 x 2 x1 ( x1 x 2 )
定义
三要素
0 ,180
范围
k ,
k ,
求证: 顺次连接A(2, -3), B(5, 2 ), C(2, 3), D(-4, 4)四点所得的四边形是梯形.
7
因为kAB= 6 , 证明:
所以kAB=kCD 又因为kBC=
13 6
1
kCD=
1 6
7 6
从而AB∥CD
kBC=
所以kBC≠kDA 从而直线BC与DA不平行 故四边形ABCD是梯形
x
A
实践与探究： 1.判断题：
(×)
(2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等。
(1) 若两条直线的斜率相等,则这两条直线一定平行。
(×)
(3)若两条不重合的直线的斜率都不存在,则它 们平行。
（ √）
实践与探究： 1.判断题：
（4）若两条直线的斜率之积为-1, 这两条直线一定 垂直。
(√)
(5)若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为–1.
BA ∥ PQ
【课件】2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(PPT)-(新教材人教A版选择性必修第一册)
(1)若 l1∥l2，求 a 的值； (2)若 l1⊥l2，求 a 的值.
探究题 2 将上题中 A，B 两点的坐标分别改为 A(2，a)，B(a －1，3)，则结论将是如何？
探究题 3 直线 l 的倾斜角为 30°，点 P(2，1)在直线 l 上，直 线 l 绕点 P(2，1)按逆时针方向旋转 30°后到达直线 l1 的位置，此时 直线 l1 与 l2 平行，且 l2 是线段 AB 的垂直平分线，其中 A(1，m－1)， B(m，2)，试求 m 的值.
类题通法 1．判定两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若 都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相 等，则平行(不重合的情况下). 2．若已知两直线平行，求某参数值时，也应分斜率存在与不存 在两种情况求解．
定向训练 已知 A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若直线 AB∥ 直线 MN，则 m 的值为________．
第二阶段 课堂探究评价
关键能力 素养提升
一两直线平行 典例示范
【例 1】判断下列各题中的直线 l1 与 l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2，1)，l2 经过点 M(3，4)，N(－1， －1);
(2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1，1)，B(2，2); (3)l1 经过点 A(0，1)，B(1，0)，l2 经过点 M(－1，3)，N(2，0); (4)l1 经过点 A(－3，2)，B(－3，10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5， 5). 解：(1)k1＝12－ －（ （－ －21） ）＝1，k2＝－ －11－ －43＝54， k1≠k2，l1 与 l2 不平行.
预习验收 衔接课堂
1．已知过 A(－2，m)和 B(m，4)两点的直线与斜率为－2 的直
探究题 2 将上题中 A，B 两点的坐标分别改为 A(2，a)，B(a －1，3)，则结论将是如何？
探究题 3 直线 l 的倾斜角为 30°，点 P(2，1)在直线 l 上，直 线 l 绕点 P(2，1)按逆时针方向旋转 30°后到达直线 l1 的位置，此时 直线 l1 与 l2 平行，且 l2 是线段 AB 的垂直平分线，其中 A(1，m－1)， B(m，2)，试求 m 的值.
类题通法 1．判定两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若 都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相 等，则平行(不重合的情况下). 2．若已知两直线平行，求某参数值时，也应分斜率存在与不存 在两种情况求解．
定向训练 已知 A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若直线 AB∥ 直线 MN，则 m 的值为________．
第二阶段 课堂探究评价
关键能力 素养提升
一两直线平行 典例示范
【例 1】判断下列各题中的直线 l1 与 l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2，1)，l2 经过点 M(3，4)，N(－1， －1);
(2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1，1)，B(2，2); (3)l1 经过点 A(0，1)，B(1，0)，l2 经过点 M(－1，3)，N(2，0); (4)l1 经过点 A(－3，2)，B(－3，10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5， 5). 解：(1)k1＝12－ －（ （－ －21） ）＝1，k2＝－ －11－ －43＝54， k1≠k2，l1 与 l2 不平行.
预习验收 衔接课堂
1．已知过 A(－2，m)和 B(m，4)两点的直线与斜率为－2 的直
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(共30张PPT)
2
0+2+
2
=
=
= -2,
解得
所以 R 点的坐标是(-2t,2).
= 2.
1+
2
+
2
,
,
归纳总结
利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤
描点 → 在坐标系中描出给定的点
↓
猜测 → 根据描出的点，猜测图形的形状
↓
求斜率 → 根据给定点的坐标求直线的斜率
↓
结论 → 由斜率之间的关系判断形状
y=3.此时 AB 与 CD 不平行.
故所求点 D 的坐标为(3,3).
②若 AD 是直角梯形的直角边,
-3
则 AD⊥AB,AD⊥CD,kAD= ,kCD= .
-3
-3
由于 AD⊥AB,则 ·3=-1.
又 AB∥CD,∴-3=3.
18
= 5 ,
AD 与 BC 不平行.
解上述两式可得
梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D的坐标为(x,y),若CD是
直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,根据已知可得kBC=0,CD的斜率不存在,从而有
x=3;接下来再根据kAD=kBC即可得到关于x、y的方程,结合x的值即可求出y,那么点D的
坐标便不难确定了,同理再分析AD是直角梯形的直角边的情况.
3-
-2-3
,k
=
2
-5
-1-2
-5
= -3 .
由 l1⊥l2,知 k1k2=-1,
3-
-5
即-5× -3 =-1,解得 a=0.
综上所述,a的值为0或5.
3-
两条直线平行和垂直的判定课件-高二上学期数学人教版(2019)选择性必修第一册
公共点 ，那么，， 三点共线．
新知生成
知识点一 两条直线平行的判定
(1)两条直线都有斜率且不重合时的平行
设直线l1 和l2 的斜率分别为1 和2 ，若它们平行，则它们的斜率相等，反之，若
它们不重合且斜率相等，则它们平行，即l1 //l2 ⇔ 1 = 2 （注意：该等价条件是在
两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立）.
新知生成
知识点二 两条直线垂直的判定
−1
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于____；反之，
−1
如果它们的斜率之积等于____，那么它们互相垂直.即
l1 ⊥ l2 ⇔ k1 ⋅ k 2 = −1
特别提醒： l1 ⊥ l2 ⇔ k1 ⋅ k 2 = −1 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在.
= ，k1 ≠ k 2 ，故l1 与l2 不平行.
= 1，k1 = k 2 ，故l1 //l2 或l1 与l2 重合.
= −1，k 2Leabharlann =0−32− −1
= −1，则有k1 = k 2 .又k AM =
3−1
−1−0
则A，B，M不共线.故l1 //l2 .
对于，由已知点的坐标，得l1 与l2 均与x轴垂直且不重合，故有l1 //l2 .
第二章 直线和圆的方程
2.1直线的倾斜角与斜率
课时2 两条直线平行和垂直的判定
新知探究
探究一：两条直线平行的判定
情境设置
问题1：如果两条直线中某条直线的斜率不存在，怎么判断它们的位置关系？
【解析】当直线的斜率不存在时，可以画图判断它们的位置关系．
问题2：如何用斜率关系证明三点共线？
【解析】对于，，三点，如果直线的斜率等于直线的斜率，它们有
新知生成
知识点一 两条直线平行的判定
(1)两条直线都有斜率且不重合时的平行
设直线l1 和l2 的斜率分别为1 和2 ，若它们平行，则它们的斜率相等，反之，若
它们不重合且斜率相等，则它们平行，即l1 //l2 ⇔ 1 = 2 （注意：该等价条件是在
两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立）.
新知生成
知识点二 两条直线垂直的判定
−1
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于____；反之，
−1
如果它们的斜率之积等于____，那么它们互相垂直.即
l1 ⊥ l2 ⇔ k1 ⋅ k 2 = −1
特别提醒： l1 ⊥ l2 ⇔ k1 ⋅ k 2 = −1 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在.
= ，k1 ≠ k 2 ，故l1 与l2 不平行.
= 1，k1 = k 2 ，故l1 //l2 或l1 与l2 重合.
= −1，k 2Leabharlann =0−32− −1
= −1，则有k1 = k 2 .又k AM =
3−1
−1−0
则A，B，M不共线.故l1 //l2 .
对于，由已知点的坐标，得l1 与l2 均与x轴垂直且不重合，故有l1 //l2 .
第二章 直线和圆的方程
2.1直线的倾斜角与斜率
课时2 两条直线平行和垂直的判定
新知探究
探究一：两条直线平行的判定
情境设置
问题1：如果两条直线中某条直线的斜率不存在，怎么判断它们的位置关系？
【解析】当直线的斜率不存在时，可以画图判断它们的位置关系．
问题2：如何用斜率关系证明三点共线？
【解析】对于，，三点，如果直线的斜率等于直线的斜率，它们有
两条直线平行与垂直的判定 课件
③kl1＝－3－1－（2－1）＝12，kl2＝1－5（－－41）＝12，kl1 ＝kl2，
数形结合知 l1 与 l2 平行．
归纳升华 1．判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是 否存在，即先看两点的横坐标是否相等，横坐标相等是 特殊情况，应特殊判断．在证明两条直线平行时，要区 分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行．因为斜 率相等也可以推出两条直线重合． 2．应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与 不存在两种情况求解．
[变式训练] (1)若不同两点 P，Q 的坐标分别为(a， b)，(3－b，3－a)，则线段 PQ 的垂直平分线的斜率为 ________．
(2)已知△ABC 的顶点 B(2，1)，C(－6，3)，其垂心 为 H(－3，2)，则其顶点 A 的坐标为________．
解析：(1)由 kPQ＝33－ －ab－ －ba＝1， 得线段 PQ 的垂直平分线的斜率为－1. (2)设 A(x，y)，因为 AC⊥BH，AB⊥CH，
因为两直线互相垂直，所以21m－＋m3×mm－＋12＝－1， 所以 m＝－1. ②当 m＝1 时，k1＝0，k2 不存在，此时亦有两直线垂直． 当 2m＝－3，m＝－32时，k1 不存在，k2＝mm＋－21＝－－3232＋－21 ＝－15，l1 与 l2 不垂直． 综上可知实数 m＝±1.
归纳升华 1．(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断； 若斜率不存在，可结合图形判断． (2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1 求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率 为 0 求解． 2．计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含 有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
A.－97，47
B.574，173
C.338，133
数形结合知 l1 与 l2 平行．
归纳升华 1．判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是 否存在，即先看两点的横坐标是否相等，横坐标相等是 特殊情况，应特殊判断．在证明两条直线平行时，要区 分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行．因为斜 率相等也可以推出两条直线重合． 2．应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与 不存在两种情况求解．
[变式训练] (1)若不同两点 P，Q 的坐标分别为(a， b)，(3－b，3－a)，则线段 PQ 的垂直平分线的斜率为 ________．
(2)已知△ABC 的顶点 B(2，1)，C(－6，3)，其垂心 为 H(－3，2)，则其顶点 A 的坐标为________．
解析：(1)由 kPQ＝33－ －ab－ －ba＝1， 得线段 PQ 的垂直平分线的斜率为－1. (2)设 A(x，y)，因为 AC⊥BH，AB⊥CH，
因为两直线互相垂直，所以21m－＋m3×mm－＋12＝－1， 所以 m＝－1. ②当 m＝1 时，k1＝0，k2 不存在，此时亦有两直线垂直． 当 2m＝－3，m＝－32时，k1 不存在，k2＝mm＋－21＝－－3232＋－21 ＝－15，l1 与 l2 不垂直． 综上可知实数 m＝±1.
归纳升华 1．(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断； 若斜率不存在，可结合图形判断． (2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1 求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率 为 0 求解． 2．计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含 有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
A.－97，47
B.574，173
C.338，133
两条直线平行与垂直的判定 课件
[典例精析] 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点 C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值． [解] 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. ∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1， ∴l2的斜率存在． 当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题 意．当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0， 由k1·k2＝－1，得a－－32－－a3·a－－12－－23＝－1，解得a＝－6. 综上可知，a的值为5或－6.
[典例精析] 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系． (1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,2 3)，N(－2，－3 3)． [解] (1)由题意知k1＝－5－3－12＝－45，k2＝－87－＋33＝－45. 因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2. (2)由题意知k1＝tan 60°＝ 3，k2＝－3－32－－23 3＝ 3. 因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．
[类题通法] 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
[课堂归纳领悟] 1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利
用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条 直线平行或垂直． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤，见探究点一． (2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法，见探究点二． (3)判断图形形状的方法步骤，见探究点三． 3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或 来自直时，对字母分类讨论，如探究点二．
2．两直线垂直的判定 (1)如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的 斜率之积等于 －1；反之，如果它们的斜率之积等于－1， 那么它们 垂直 ，即 l1⊥l2⇔k1k2＝－1 . (2)若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率 为 0 时，它们互相垂直．
5.1.2垂线ppt课件
.
25
垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
结论：过直线外
A
一点有且只有一条
直线与已知直线垂
直.
则所画直线AB是经过点A的 直线l的垂线.
l B
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
A 垂 线 段
C
B
D
注 意： 点A到直线CD的距离是 垂线段AB的长度，而不是垂线段AB。
.
46
拓展应用
如图：要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能 最短？ 请画出图来，并说明理由。
垂线段最短
C
.
47
三、知识应用 1、如图，点A处是一座小屋，BC是一条公路，一人在O处。
A
P
B C
.
51
三、知识应用
5 .文峰学校第六届运动会上，701班一名运动员第五跳打破了年级记录。 如图A、B为这一跳的脚印落点，起跳线为CD。请画图说明如何测量他的 成绩。
C ┓
F D
A •
E• B
解：过脚印B的后跟E作 EF⊥CD，垂足为点F。 那么垂线段EF的长度就是这名 运动员跳远的成绩。
你能再举出其他例子吗?
.
8
生活中的垂直
.
9
生活中的垂直
.
10
生活中的垂直
.
11
3.垂直的书写形式：
C
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOC=90°
时,AB⊥CD，垂足为O。
A
B
O
几何语言
直线平行与垂直课件PPT课件
直线平行与垂直课件ppt课件
contents
目录
• 直线平行与垂直的基本概念 • 直线平行与垂直的判定定理 • 直线平行与垂直的应用 • 直线平行与垂直的作图方法 • 直线平行与垂直的习题及解析
01 直线平行与垂直的基本概 念
直线平行的定义
总结词
同一平面内，不相交的两条直线
详细描述
直线平行是指两条直线在同一平面内，且不相交。这意味着它们没有交点，并 且始终保持相同的距离。
05 直线平行与垂直的习题及 解析
基础习题
基础习题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。如果 错误，请给出反例。
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两 条直线平行。
基础习题2：已知直线a和b平行，点A在直线a上，点B、 C、D在直线b上，且AB=BC=CD=DE，那么线段AE是点 A到直线b的什么线？
交通
在道路和交通标志的设计中，直线平行和垂直的性质也得到 了广泛应用。例如，在道路交叉口的设计中，需要确保各个 道路相互垂直或平行，以确保交通的顺畅和安全。
在工程设计中的应用
机械设计
在机械设计中，为了确保机器的稳定性 和功能性，常常需要利用直线平行和垂 直的性质。例如，在设计和制造机器零 件时，需要确保各个部分相互垂直或平 行，以确保机器的正常运转和安全性。
VS
电子工程
在电子工程中，直线平行和垂直的性质也 得到了广泛应用。例如，在电路板的设计 中，需要确保各个线路相互垂直或平行， 以确保电流的顺畅流通。
04 直线平行与垂直的作图方 法
平行线的作图方法
1. 确定一个点
选择一个已知点作 为起点。
3. 画出直线
根据确定的方向和 起点，画出直线。
平行线的定义
contents
目录
• 直线平行与垂直的基本概念 • 直线平行与垂直的判定定理 • 直线平行与垂直的应用 • 直线平行与垂直的作图方法 • 直线平行与垂直的习题及解析
01 直线平行与垂直的基本概 念
直线平行的定义
总结词
同一平面内，不相交的两条直线
详细描述
直线平行是指两条直线在同一平面内，且不相交。这意味着它们没有交点，并 且始终保持相同的距离。
05 直线平行与垂直的习题及 解析
基础习题
基础习题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。如果 错误，请给出反例。
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两 条直线平行。
基础习题2：已知直线a和b平行，点A在直线a上，点B、 C、D在直线b上，且AB=BC=CD=DE，那么线段AE是点 A到直线b的什么线？
交通
在道路和交通标志的设计中，直线平行和垂直的性质也得到 了广泛应用。例如，在道路交叉口的设计中，需要确保各个 道路相互垂直或平行，以确保交通的顺畅和安全。
在工程设计中的应用
机械设计
在机械设计中，为了确保机器的稳定性 和功能性，常常需要利用直线平行和垂 直的性质。例如，在设计和制造机器零 件时，需要确保各个部分相互垂直或平 行，以确保机器的正常运转和安全性。
VS
电子工程
在电子工程中，直线平行和垂直的性质也 得到了广泛应用。例如，在电路板的设计 中，需要确保各个线路相互垂直或平行， 以确保电流的顺畅流通。
04 直线平行与垂直的作图方 法
平行线的作图方法
1. 确定一个点
选择一个已知点作 为起点。
3. 画出直线
根据确定的方向和 起点，画出直线。
平行线的定义
垂直关系的判定优秀课件
例2 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点， 求证：AD⊥PC.
P
D
C
A
B
例3 侧棱与底面垂直的棱柱称为直
棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， 当底面四边形ABCD满足什么条件时，
有A1C⊥B1D1，说明你的理由.
A1
D1
B1
C1 A
D
B
C
问题提出
思考1:空间两条直线垂直是怎样定 义的？直线与平面垂直是怎样定义 的？
思考2:什么叫直二面角？如果两个 相交平面所成的四个二面角中，有 一个是直二面角，那么其他三个二 面角的大小如何？
思考3:如果两个相交平面所成的二 面角是直二面角，则称这两个平面 互相垂直.在你的周围或空间几何体 中，有哪些实例反映出两个平面垂 直？
垂直关系的判定
问题提出
1.前面我们全面分析了直线与平面平行 的概念、判定和性质，对于直线与平面 相交，又有哪些相关概念和原理？我们 有必要进一步研究.
2.直线与直线存在有垂直关系，直线与 平面也存在有垂直关系，我们如何从理 论上加以认识？
知识探究（一）：直线与平面垂直的概念
思考1：田径场地面上 竖立的旗杆与地面的位 置关系给人以什么感觉？ 你还能列举一些类似的 实例吗？
巩固练习
练习1 如图，空间中直线b和三角形的两边 AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三 边AB的位置关系是（ ） A平行 B垂直 C 相交 D不确定
理论迁移
例1 已知 a//b,a .求证：b .
a
b
c
α
d
巩固练习
练习2 圆O所在一平面为，AB是圆O 的直 径，C 是圆周上一点,且 PA AC, PA AB,求 证： （1）PA BC （2）BC 平面PAC （3）图中哪些三角形 是直角三角形。
两条直线平行和垂直的判定公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
Q（－1，2），判断直线BA与PＱ位置关系， 分析： 判断直线BA与PＱ位置关系
BA与PＱ斜率有什么关系
分别求出BA与PＱ斜率 直线过两点求其斜率公式： K y2 y1
x2 x1
解:直线BA斜率
k BA
30 2 (4)
0.5
y
直线PQ斜率
k PQ
2 1 1 (3)
0.5
QA P
由于 kBA kPQ.因此直线BA∥PQ. B
4、当k 、k 都存在时， k1 • k2 1 l1 l2
第17页
课后思考练习
1、已知直线l 倾斜角是α，且450≤α≤1350,
求直线斜率k取值范围。
2、已知直线l 斜率是k，且0≤k≤1,求直线l倾
斜角α取值范围。
第18页
y
D C
A
O
B
因此四边形ABCD是平行四边形.
第9页
三、新知探究：
探究直问线题二l1：假l设2 时l1，与kl12与斜k率2 都满存足在什么关系？
y l1
o
l2 x
第10页
设两条直线l1、l2倾斜角分别为α1、α2 (α1、α2≠90°)
y
l2
l1
O
α1
α2 x 2 1 90o
tan2 tan 1 90o
1
tan 1
k1k2 1
第11页
三、新知探究：
探究问题二：假设 l1与 l2 斜率都存在
l1 l2 k1 • k2 1
l
yl
2
1
y l1
o
O
x
思考：假如 l1 与 l2 斜率不存在呢？
l2 x
第12页
总而言之：两条直线垂直鉴定:
两条直线平行与垂直的判定 课件
第三章 3.1 直线的倾角与斜率
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
• ●知识衔接
• 1．直线的倾斜角与斜率． • 当直线倾斜角α≠90°时，斜率k＝_____t_an_α___.当直线倾斜
角α＝90°时，斜率k_不__存__在_____． • 直线倾斜角的范围是_0_°__≤_α_<_1_8_0_°______，直线斜率的取值
(4)l1 的斜率不存在，k2＝12－－11＝0，画出图形，如下图所示，
则 l1⊥x 轴，l2⊥y 轴，∴l1⊥l2.
• 平面内两条直线相交，而且它们的夹角是___直__角_____，那 么这两条直线垂直．
• 4．已知直线l1的斜率为0，且直线l1⊥l2，则直线l2的倾斜角 为( )
• A．0° B．135° • C．90° D．180° • [答案] C • 5．直线l1的倾斜角为45°，l2∥l1，则l2的倾斜角为
[解析] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置， 如右图，
由斜率公式可得 kAB＝2－5－－34＝13， kCD＝－0－3－36＝13， kAD＝－30－－3－4＝－3， kBC＝36－－52＝－12.
所以 kAB＝kCD，由图可知 AB 与 CD 不重合， 所以 AB∥CD，由 kAD≠kBC，所以 AD 与 BC 不平行． 又因为 kAB·kAD＝13×(－3)＝－1， 所以 AB⊥AD， 故四边形 ABCD 为直角梯形．
两直线的倾斜角不相等，则一定 ③√
相交，故③正确
• 2．直线l1的斜率为k1＝－3，直线l2的斜率为k2＝－3，则l1与 l2( )
• A．平行 B．垂直
• C．重合 D．平行或重合
• [答案] D
3．已知直线 l1 的斜率为 a，l2⊥l1，则 l2 的斜率为( )
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
• ●知识衔接
• 1．直线的倾斜角与斜率． • 当直线倾斜角α≠90°时，斜率k＝_____t_an_α___.当直线倾斜
角α＝90°时，斜率k_不__存__在_____． • 直线倾斜角的范围是_0_°__≤_α_<_1_8_0_°______，直线斜率的取值
(4)l1 的斜率不存在，k2＝12－－11＝0，画出图形，如下图所示，
则 l1⊥x 轴，l2⊥y 轴，∴l1⊥l2.
• 平面内两条直线相交，而且它们的夹角是___直__角_____，那 么这两条直线垂直．
• 4．已知直线l1的斜率为0，且直线l1⊥l2，则直线l2的倾斜角 为( )
• A．0° B．135° • C．90° D．180° • [答案] C • 5．直线l1的倾斜角为45°，l2∥l1，则l2的倾斜角为
[解析] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置， 如右图，
由斜率公式可得 kAB＝2－5－－34＝13， kCD＝－0－3－36＝13， kAD＝－30－－3－4＝－3， kBC＝36－－52＝－12.
所以 kAB＝kCD，由图可知 AB 与 CD 不重合， 所以 AB∥CD，由 kAD≠kBC，所以 AD 与 BC 不平行． 又因为 kAB·kAD＝13×(－3)＝－1， 所以 AB⊥AD， 故四边形 ABCD 为直角梯形．
两直线的倾斜角不相等，则一定 ③√
相交，故③正确
• 2．直线l1的斜率为k1＝－3，直线l2的斜率为k2＝－3，则l1与 l2( )
• A．平行 B．垂直
• C．重合 D．平行或重合
• [答案] D
3．已知直线 l1 的斜率为 a，l2⊥l1，则 l2 的斜率为( )
2-1-2两条直线平行和垂直的判定 课件(共35张PPT)
则直线 l 的倾斜角为__1_3_5_°___． 解析 ∵tanα＝1－＋43＝－1，∴α＝135°.
4．已知 A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点 D 在 x 轴上，
则当点 D 的坐标为__－__12_，_0__时，AB∥CD，当点 D 的坐标为 __(－__9_，_0_)_时，AB⊥CD.
题型三 两条直线平行条件的应用
例 3 已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是 A(0，1)，B(1， 0)，C(4，3)，求顶点 D 的坐标．
【思路分析】 本题主要考查两直线平行的性质以及综合应 用．思路一，利用平行四边形的对角线互相平分求得 D 点的坐标； 思路二，利用平行四边形的对边平行求得 D 的坐标．
(2)在遇到两条直线的平行或垂直的问题时，一定要注意直线 的斜率不存在时的情形，如本例中的 CD 作为直角腰时，其斜率 便不存在．
思考题 4 已知点 A(－2，－5)，B(6，6)，点 P 在 y 轴上，
且∠APB＝90°，则 P 点坐标为___(0_，__－_6_)_或_(_0_，_7_)__． 【解析】 由∠APB＝90°，可知 AP⊥PB，且 AP 与 PB 的斜率
都存在． 设 P(0，y)，则有 kAP＝y＋2 5，kBP＝y－－66. 由 kAP·kBP＝－1，得y＋2 5·y－－66＝－1. 解得 y＝－6 或 y＝7.即点 P 的坐标为(0，－6)或(0，7)．
课后巩固
1．已知直线 l1 的斜率为 0，且直线 l1⊥l2，则直线 l2 的倾斜
角 α 为( C )
(2)若 l1⊥l2， ①当 k2＝0 时，a＝0，此时 k1＝－12，不符合题意； ②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在， 此时 k1＝2a－－4a. 由 k2k1＝－1，可得 a＝3 或 a＝－4.
4．已知 A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点 D 在 x 轴上，
则当点 D 的坐标为__－__12_，_0__时，AB∥CD，当点 D 的坐标为 __(－__9_，_0_)_时，AB⊥CD.
题型三 两条直线平行条件的应用
例 3 已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是 A(0，1)，B(1， 0)，C(4，3)，求顶点 D 的坐标．
【思路分析】 本题主要考查两直线平行的性质以及综合应 用．思路一，利用平行四边形的对角线互相平分求得 D 点的坐标； 思路二，利用平行四边形的对边平行求得 D 的坐标．
(2)在遇到两条直线的平行或垂直的问题时，一定要注意直线 的斜率不存在时的情形，如本例中的 CD 作为直角腰时，其斜率 便不存在．
思考题 4 已知点 A(－2，－5)，B(6，6)，点 P 在 y 轴上，
且∠APB＝90°，则 P 点坐标为___(0_，__－_6_)_或_(_0_，_7_)__． 【解析】 由∠APB＝90°，可知 AP⊥PB，且 AP 与 PB 的斜率
都存在． 设 P(0，y)，则有 kAP＝y＋2 5，kBP＝y－－66. 由 kAP·kBP＝－1，得y＋2 5·y－－66＝－1. 解得 y＝－6 或 y＝7.即点 P 的坐标为(0，－6)或(0，7)．
课后巩固
1．已知直线 l1 的斜率为 0，且直线 l1⊥l2，则直线 l2 的倾斜
角 α 为( C )
(2)若 l1⊥l2， ①当 k2＝0 时，a＝0，此时 k1＝－12，不符合题意； ②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在， 此时 k1＝2a－－4a. 由 k2k1＝－1，可得 a＝3 或 a＝－4.
高中数学必修二《两条直线平行与垂直的判定》PPT
问题5：依照结论下列说法正确的有( )
（1）若两条直线的斜率之积为-1, 这两条直线一定 垂直。
（2）若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为–1.
问题6：判断以下各对直线的位置关系 （1）经过点A（2,3），B（-4,0）的直线l1 ，与经 过点P（-3,1）,Q（-1,2）的直线l2
（2）经过点A（-6,0），B（3,6）的直线l3 ,与经过 点P（0，3）,Q（6，-6）且斜率为-5的直线l4
3.1.2 两条直线平行与垂直的 判定
回顾旧知，发现问题
问题1：回忆直线倾斜角与斜率的定义
我们知道倾斜角和斜率可以刻画直线与x轴的位置关系， 那我们能否通过直线的斜率来判断两条直线的位置关系？
问题2：观察下面三幅图， 阅读课本86页到87页 例3之前的内容，l1 ∥ l2 时，k1 , k2 满足什么关 系？
问题7：是否可以利用判定条件判断图形的形状？
例.已知直角坐标系中四个点：A（1, 1），B（3, 0）， C（4, 2），D（2, 3）
试判断四边形ABCD的形状， 并给出证明
课堂小结 两个判定，三个思想 课堂检测
1.当经过点A(m,1),B(-1,m)的直线与过P(1,2),Q(-5,0)的
直线：
得到两直线平行的判定条件：
问题3：依照结论下列说法是否正确？ ①若两直线斜率相等,则两直线平行; ②若两直线 l1 // l2 ,则 k1 k2 ;
问题4：观察下面两幅图，阅读课本88页例5 之前的内容，l1 ⊥ l2 时，k1 , k2 满足什么关 系？
倾斜角的关系为
α2=α1+90°
tan 2
tan(1
90 )
1
tan 1
k1 k2 1
直线与直线的垂直 课件 共22张PPT
C
所以AC//A′C′，于是 BAC 为
异面直线BA′与AC所成的角.
A
B
连接BC′,已知 ABC 是等边三角
形，所以BAC 60
从而异面直线BA′与AC所成的角 等于 60
由以上的例题，可发现求异面直线所成角的一般步骤是： ①构造：恰当地选择点，用平移法构造异面直线所成的角； ②证明：证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：通过解三角形等知识，求出①中所构造的角的大小； ④结论：假如所构造的角的大小为α，若 0°＜α≤90°，则α即
的角时,O点常选在其中
的一条直线上 (如线段
的端点,线段的中点等
b
b′
a″
a
a′
O
思想方法 : 研究异面直线所 成的角，即通过平移转化为
相交直线,即把空间图形问题
转化为平面图形问题
2.异面直线所成角的范围：
b
如果两条异面直线所成的角是直角，
a
• 那么我们就说这两条直线互相垂直。
• 直线a与b垂直，记作 a⊥b
8.6空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线的垂直
学习目标：
1.掌握异面直线所成角的定义，会求两异面 直线所成的角 2.掌握直线与直线垂直的定义
重点关注：
1.异面直线所成角的定义，直线与直线垂直的 定义， 2.求异面直线所成的角
平面内，两条直线相交形成4个角，其中不大于90。的角称为这两 条直线所成的角（或夹角），夹角刻画了一条直线相对于另一条 直线倾斜的程度。
点，那么异面直线EF与SA所成的角等于( B)
（A）90°（B）45°（C）60°（D）30°
S
E
M
C A
B F
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结论： 如果两直线的斜率为 k1, k2,那么,这两条直线垂直 的条件是k1·k2= -1
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不存立．
特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：
当另一条直线的斜率为 0时， 则一条直线的倾斜角为 900,另一条直线的倾斜角为 0° 两直线互相垂直
点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.
y
P
l
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎
样求点P到直线l的距离呢?
当A=0或B=0时,直线方程为 y=y1或x=x1的形式.
y y=y1
o
P (x0,y0)
Q (x0,y1) x
3、求点P0（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离.
例题分析
例1:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求
y
A
h COBiblioteka Bx的? A面B积C
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
y
P l1
l2
Q
o
x
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
1
两条直线 L1:y=2x-7 ，L2:y=-
x-2 2
两条直线 L1:2x=7，L2:3y=5
例1：已知直线
l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Bx ? Ay ? C2 ? 0
求证：l 1⊥l 2 我们把与直线 Ax? By ? C ? 0 垂直的直线
的方程，表示成 Bx ? Ay ? D ? 0
l1 ? l2 ? k1 ?k2 ? ? 1或l1, l2一斜率不存在另一斜率为0
2、结论1
如果直线 l 1,l2的方程为
l1:A 1x+B 1y+C 1=0 ,
l2:A2x+B2y+C2=0
那么 l1 ⊥l 2 的是A1A2+B1B2=0
练习：下列直线是否垂直？ 两条直线 L1:2x-4y-7=0 ，L2:2x+y+5=0
y (x1,y0)
Q
P(x0,y0)
o
x
PQ = y0 - y1
x=x1 PQ = x0 - x1
练习1
5 (1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是__3____.
4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是__3____.
下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点 到直线的距离公式:
利用两点间距离公式:
y
P(x0,y0)
d
l
Ax+By+C=0
Q
o
x
d ? | Ax0 ? By0 ? C |
A2 ? B2
点到直线的距离：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
练习2
d ? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B2
1、求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离.
2. 求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离.
0
0
1
? d ? C 2 ? C1
A2 ? B 2
注意: 运用此公式时直线方程要化成一般式,并
且X、Y项的系数要对应相等.
练习3
14 53
1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是____5_3_;
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是___2_.13
13
练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
例2：求过下列各点且与已知直线垂直的 直线方程：
?1??? 1, 2 ?, y ? 1 x ? 1;
2
?2 ??1, ? 4 ?, 2 x ? 3 y ? 5 ? 0.
例3 已知直线 (a ? 2)x ? (1 ? a ) y ? 3 ? 0 与 (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直，求 a的值
小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0 的距离公式是 d = Ax 0 + By 0 + C
A2 + B2 当A=0或B=0时,公式仍然成立.
2.两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是
d=
C1 -C 2 A 2+ B2
l2: Ax+By+C2=0的距离是
d?
C1 - C2
A2 ? B2
y P
O
l1 l1 :Ax+By+C1=0
l2
l2 :Ax+By+C2=0
x 设 P ( x0 , y0 )在直线 L1上
d
?
|
Ax0
则点
? By 0 ? C 2 |
A2 ? B 2
P 到直线 L2的距离
又? Ax ? By ? ?C
2
2、求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 2 的直线方程 .
结论1：如果直线 L1,L2的方程为 L 1:A1x+B1y+C1=0, L 2:A2x+B2y+C2=0
那么L1⊥L2的条件是 A1A2+B1B2=0
结论2： 如果两直线的斜率为 k1, k2,那么,这两条直线垂
直的条件是 k1·k2= -1
练习: 求过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0 垂直的直线的方程
点到直线的距离
复习回顾 两点间距离公式
y | P1Q |?| x2 ? x1 |
P2(x2,y2)
| P2Q |?| y2 ? y1
P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
O
x
| P1P2 |? ( x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2
1、复习回顾
位置关系
相交
平行
重合
条 A1x+B 1y+C 1=0 A2x+B2y+C2=0
A1 ? B1 A2 B2
件 y=k1x+b1 y=k2x+b2
k1 ? k2
A1 ? B1 ? C1 A1 ? B1 ? C1 A2 B2 C2 A2 B2 C2
k1 ? k2 b1 ? b2
k1 ? k2 b1 ? b2