导数证明不等式

利用导数证明不等式的两种通法

利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。

一、函数类不等式证明

函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式()()f x g x >（()()f x g x <）的问题转化为证明()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。

例1 已知(0,)2x π

∈，求证：sin tan x x x <<

证明这个变式题可采用两种方法：

第一种证法：运用本例完全相同的方法证明每个不等式以后再放缩或放大，即证明不等式

sin x x <以后，根据sin 1sin x x x -<<来证明不等式sin 1x x -<；

第二种证法：直接构造辅助函数()sin 1f x x x =--和()tan 1g x x x =--，其中(0,

)2x π∈

然后证明各自的单调性后再放缩或放大（如：()sin 1(0)10f x x x f =--<=-<）

例2 求证：ln(1)x x +<

技巧

一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点。

二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

1、利用题目所给函数证明

【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，

恒有x x x ≤+≤+-

)1ln(1

11

如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．

2、直接作差构造函数证明

【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33

2)(x x g =的图象的下方；

首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断

所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。

3、换元后作差构造函数证明

【例3】证明：对任意的正整数n ，不等式3211)11ln(n

n n ->+ 都成立.

当()F x 在[,]a b 上单调递增，则x a >时，有()F x ()F a >．如果()f a ＝()a ϕ，要证明当x a >时，()f x >()x ϕ，那么，只要令()F x ＝()f x －()x ϕ，就可以利用()F x 的单调增性来推导．也就是说，在()F x 可导的前提下，只要证明'()F x >０即可．

4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，求证：．a )(a f >b )

(b f

由条件移项后)()(x f x f x +'，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数)()(x xf x F =，求导即可完成证

明。若题目中的条件改为)()(x f x f x >'，则移项后)()(x f x f x -'

练习

1.设x a x x x f a ln 2ln 1)(,02+--=≥求证：当1>x 时，恒有1ln 2ln 2+->x a x x

2.已知定义在正实数集上的函数,ln 3)(,22

1)(22b x a x g ax x x f +=+=其中a >0，且a a a b ln 32522-=， 求证：)()(x g x f ≥

3.已知函数x x x x f +-

+=1)1ln()(，求证：对任意的正数a 、b ， 恒有.1ln ln a

b b a -≥-

4.)(x f 是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足)()(x f x f x -'≤0，对任意正数a 、b ，若a < b ，则必有 （ ）

（A ）af (b )≤bf (a ) （B ）bf (a )≤af (b )

（C ）af (a )≤f (b ) （D ）bf (b )≤f (a )

二、常数类不等式证明

常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式

()()f a f b <的问题，在根据,a b 的不等式关系和函数()f x 的单调性证明不等式。

例3已知0,,(1)(1)0m n a b R a b +

>>∈--≠且

求证：()()n n m m m n a b a b +>+

利用导数证明常数类不等式的关键是经过适当的变形，将不等式证明的问题转化为函数单调性证明问题，其中关键是构造辅助函数，如何构造辅助函数也是这种通法运用的难点和关键所在。构造辅助函数关键在于不等式转化为左右两边是相同结构的式子这样根据“相同结构”可以构造辅助函数。

例4 已知02παβ<<<

，求证：tan tan 11tan tan ααβββα-<<+

练习

1．当1>x 时,求证:x

x 132-

>

2．已知a,b 为实数，并且e

3．已知函数()()ln(1)10x f x e x x =-+-≥ （1）求函数()f x 的最小值；

（2）若0y x ≤<，求证：1ln(1)ln(1)x y e x y -->+-+