线性整数规划汇总
线性规划与整数规划理论及应用研究
线性规划与整数规划理论及应用研究线性规划是一种优化问题，它通过求解数学函数的最大值或最小值，来找到能够满足约束条件的变量值。
线性规划的应用非常广泛，包括生产排程、运输问题、财务管理等领域。
整数规划则是线性规划的一种扩展形式，它要求变量值是整数。
本文将介绍线性规划及整数规划的理论和应用研究。
线性规划理论线性规划的数学表达式为：$\max_{x \in \mathbb{R}^n} c^Tx$$ s.t. Ax \leq b ; $其中$x$是$n$维实向量，$c$是$n$维实向量，$A$是$m \times n$的实矩阵，$b$是$m$维实向量。
这个表达式的含义是，求出在满足约束条件$Ax \leq b$的同时，使得$c^Tx$达到最大值的$x$。
约束条件是对$x$的限制，使得$x$满足可行性条件。
线性规划存在的前提是可行性条件的存在，即在约束条件$Ax \leq b$下，存在至少一个$x$可以满足。
如果可行性条件不存在，则线性规划无解。
线性规划的求解可以使用线性规划算法进行，例如单纯形法、内点法等。
其中最常用的算法是单纯形法。
单纯形法的基本思想是从一个初始解开始，通过不断地找到更优的解，来逐步逼近最优解。
具体来说，单纯形法通过找到松弛条件的目标函数最优解对应的松弛变量，来进行解的更新。
线性规划应用线性规划在实际生产、物流等领域被广泛应用。
例如，在生产调度中，线性规划可以用来优化生产过程中的时间排程、机器分配等问题，从而达到最大化生产效率、最小化生产成本的目的。
在物流领域，线性规划可以用来优化物流运输路线，从而最小化运输成本。
另外，线性规划还可以应用于制定食物饮品配方，通过确定每种原料的数量和配比，来达到制作具有某种特定功能的食物饮品的目的。
此外，线性规划还可以用于网络资源规划、金融风险管理等领域。
整数规划理论整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求变量值是整数。
整数规划的数学表达式为：$\max_{x \in \mathbb{Z}^n} c^Tx$$s.t. Ax \leq b ;$其中$x$是$n$维整数向量，$c$是$n$维实向量，$A$是$m \times n$的实矩阵，$b$是$m$维实向量。
数学中的线性规划与整数规划
数学中的线性规划与整数规划线性规划和整数规划是数学中两个重要的优化问题。
它们在实际生活和工业生产中有着广泛的应用。
本文将简要介绍线性规划和整数规划的概念、应用以及解决方法。
一、线性规划线性规划是一种优化问题，其目标是在给定的约束条件下，找到一个线性函数的最大值或最小值。
线性规划可以用来解决诸如资源优化分配、生产计划、物流运输等问题。
首先，我们来定义线性规划的标准形式：```最大化： c^Tx约束条件：Ax ≤ bx ≥ 0```其中，`c`是一个n维列向量，`x`是一个n维列向量表示决策变量，`A`是一个m×n维矩阵，`b`是一个m维列向量。
上述的不等式约束可以包括等式约束。
通过线性规划，我们希望找到一个满足所有约束的向量`x`，使得目标函数`c^Tx`达到最大或最小值。
解决线性规划问题的方法有多种，例如单纯形法、内点法等。
其中，单纯形法是应用广泛的一种方法。
它通过不断地移动顶点来搜索可行解的集合，直到找到最优解为止。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量`x`必须取整数值。
整数规划可以更准确地描述实际问题，并且在某些情况下具有更好的可解性。
例如，在生产计划问题中，决策变量可以表示生产的数量，由于生产数量必须为整数，因此整数规划更适用于此类问题。
整数规划的求解相对于线性规划更加困难。
由于整数规划问题是NP困难问题，没有多项式时间内的高效算法可以解决一般情况下的整数规划问题。
因此，为了获得近似最优解，通常需要使用一些启发式算法，如分支定界法、割平面法等。
三、线性规划与整数规划的应用线性规划和整数规划在实际生活和工业生产中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域：1. 生产计划：通过线性规划和整数规划，可以确定产品的生产量、原材料的采购量以及生产时间表，以实现最佳的生产效益。
2. 物流运输：线性规划和整数规划可以用来优化货物的配送路线和运输方案，减少物流成本，提高配送效率。
运筹学中的线性规划与整数规划算法
运筹学中的线性规划与整数规划算法运筹学是一门研究如何有效地做出决策的学科，它集合了数学、计算机科学和经济学等多个学科的理论和方法。
其中，线性规划和整数规划是运筹学中最常用的一类问题求解方法。
本文将重点讨论运筹学中的线性规划和整数规划算法。
线性规划是一种通过线性数学模型来实现决策优化的方法。
在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性关系。
目标函数表示要优化的目标，约束条件则限制了决策变量的取值范围。
线性规划的基本思想是通过调整决策变量的取值，使得目标函数达到最大或最小值。
线性规划的求解方法主要有两种：单纯形法和内点法。
单纯形法是一种通过在顶点间移动来寻找最优解的方法。
它从一个可行解开始，然后通过交替移动到相邻的顶点来逐步优化目标函数值。
而内点法则是一种通过将目标函数与约束条件转化为一组等价的非线性方程组，通过迭代方法逼近最优解的方法。
内点法相对于单纯形法而言，在求解大规模问题时速度更快。
整数规划是线性规划的一个扩展，它要求决策变量只能取整数值。
整数规划问题更接近实际问题，因为很多情况下我们只能从离散的选择中进行决策。
然而，整数规划的求解难度要远远高于线性规划。
因为整数规划问题的解空间是离散的，不再是连续的顶点，这导致了求解整数规划的困难。
为了解决整数规划问题，提出了许多算法，其中最著名的是分支定界法和割平面法。
分支定界法是一种通过将整数规划问题分解为一系列线性规划子问题来求解的方法。
它通过将整数规划问题不断分解为子问题，并利用线性规划的求解方法求解子问题。
割平面法则是一种在单纯形法的基础上引入额外的不等式约束来加强整数规划问题的求解方法。
割平面法通过将不等式约束添加到线性规划模型中，逐步缩小解空间，最终找到整数规划问题的最优解。
除了分支定界法和割平面法之外，还有一些其他的整数规划求解方法，如启发式算法和元启发式算法。
启发式算法是一种基于经验和启发知识的求解方法，它通过模拟生物进化、社会行为等过程来搜索整数规划问题的解。
第4章 线性整数规划
线性整数规划的概念 例：用集装箱装运甲、乙两种货物，每种货物每包的体积、 重量和收益见下表。集装箱体积为 24m3 ，允许的最大 重量 14 吨，问每个集装箱应装两种货物各多少包才能
使收益最大?
货物 甲 乙 每包体积 (m3) 5 4 每包重量 (吨 ) 2 5 收益 (元/包) 1000 1500
线性整数规划的概念
二、线性整数规划的数学模型
在线性规划模型：
max S CX AX b s .t . X 0
中，若增加自变量取整数约束条件，则可得到线性整数 规划的数学模型：
max S CX AX b s.t . X 0且为整数
解：①解原问题的松弛问题P0： max S 40 x1 90 x2
9 x1 7 x2 56 s.t .7 x1 20 x2 70 x , x 0 1 2
分枝定界法 可用图解法求解。最优解为xl=4.809，x2=1.817，S=355.89 根据松弛问题的最优解可以确定原问题的目标函数值的 上界为S =355.89或 S =355，下界为 S =0（由于目标函数的 系数均为整数且大于0）。 ②将P0分解为两个子问题Pl和P2(分枝)
P3 的最优解为 x1=4 ， x2=2 ， S=340 ，因已得到一个整数 解，即原问题的一个可行解，故原问题目标函数下界 为：S=340。 P4的最优解为x1=1.428，x2=3，S＝327.12，S4 327
分枝定界法
因S4 S，故没有必要继续对 P4分枝，应将 P4剪掉(称为剪枝 )。
线性整数规划的概念
三、整数规划的解法概述
由于对变量的整数约束限制了通常的连续型方法的应 用，因此，人们在刚接触整数规划问题时，往往会产 生两种原始的求解设想： ①因为纯整数规划的可行解是有限的，因此，可采用一 一比较的方法(穷举法)找出最优解； ②先不考虑整数约束，解相应的连续型问题 ( 松弛问题 ) ， 然后用“四舍五入”的办法凑得一个较好的整数解作 为最优解。 这两种设想往往是行不通的。穷举法效率太低，只有 当可行解较少时才能行得通，当可行解很多时，需要 花很长的时间。凑整法不一定能得到问题的最优解。
整数规划知识点总结
整数规划知识点总结一、整数规划基本概念整数规划是指决策变量的取值受到整数限制的线性规划问题。
数学形式可以表示为：\[\min c^Tx\]\[ s.t. Ax \leq b\]\[x\geq0 \]\[x_i \in \{0, 1, 2, ...\}\]其中，c为目标函数系数，x是决策变量，A是约束系数矩阵，b是约束条件的右端向量，决策变量x是整数。
当所有的决策变量都是整数时，称为纯粹整数规划（Pure Integer Programming）。
当部分决策变量为整数，部分为连续变量时，称为混合整数规划（Mixed Integer Programming, MIP）。
二、整数规划解法整数规划问题的求解可以采用分支定界法、割平面法、隐枚举法等不同方法。
下面将对常用的整数规划解法进行简要介绍。
1.分支定界法分支定界法是一种求整数规划解的有效方法，它通过对决策变量进行分支，将整数规划问题不断分解为子问题，然后采用线性规划方法求解子问题。
具体步骤如下：1）求解线性规划松弛问题，得到一个整数解。
2）若解为整数，则成为可行解，否则确定需要分支的决策变量，分为两个子问题。
3）对子问题继续重复上述过程，直到无法再分或求解出整数解为止。
2.割平面法割平面法是在分支定界法的基础上进行改进，它在每一次迭代求解线性规划松弛问题后，引入一些额外的不等式（割平面）来改进松弛问题的界。
这些割平面是通过分析整数规划问题的特性产生的，可以有效提高整数规划问题求解的效率。
3.隐枚举法隐枚举法是一种通过隐藏对决策变量的枚举，将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。
该方法可以高效地求解整数规划问题，是一种常用的整数规划求解算法。
以上是整数规划常用的三种求解方法，通过不同的算法可以解决不同种类的整数规划问题。
三、整数规划应用领域整数规划在实际决策问题中有着广泛的应用，如生产计划、运输调度、项目投资、资源配置等诸多领域。
下面将对整数规划在不同应用领域的具体案例进行介绍。
线性规划-整数规划.
(纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 x1+x2 +x5+x6+x7≥13 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7）
20
10 21
例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
四 区
五 区 六 区
28
27 20
32
17 10
12
27 21
0
15 25
15
0 14
25
14 0
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划
纯整数规划：如果所有决策变量都要求取 整数，则称为“纯整数规划”
0－1整数规划：所有决策变量仅限于取 0 或 1 两个整数，这种规划问题称为“0-1规划” 混合整数规划：如果仅有一部分的决策变 量要求取整数，则称为“混合型整数规划”。
整数规划模型应用举例
运筹学中的线性规划与整数规划
运筹学中的线性规划与整数规划在运筹学中，线性规划和整数规划是两个常用且重要的数学模型。
它们被广泛应用于资源分配、生产调度、物流管理等问题的决策过程中。
本文将介绍线性规划和整数规划的基本概念、数学模型以及求解方法。
一、线性规划线性规划是一种通过线性关系来描述问题的数学模型。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优的决策变量取值。
线性规划模型一般可以表示为如下形式：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁,b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。
线性规划的求解方法主要有两类：图形法和单纯形法。
图形法适用于二维问题，通过绘制目标函数和约束条件在坐标系中的图形，找到交点来确定最优解。
而单纯形法适用于多维问题，通过迭代计算，逐步接近最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种特殊情况，它要求决策变量的取值必须为整数。
整数规划模型可以表示为如下形式：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为整数决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。
线性规划和整数规划
410 430 460 450
425 440 465 455
1000 1400 2000 1600
由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。为 由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。 使售后利润最大，试建立这个问题的线性规划模型。 使售后利润最大，试建立这个问题的线性规划模型。
确定决策变量：设xj表示按第j种方案所用的园钢的 确定目标函数：问题要求所用原料最省，所用原料 minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8 x1+x2+x3+2x4≥100 2x1+x3+x5+2x6+3x7≥100 3x2+x3+x4+3x5+2x6+4x3≥100 j=1,2,…,8
解：问题分析。该问题的实际投资背景如下表所示： （1）确定决策变量：设xij 表示第i年对第j个方案的投资额,i=1,2,3; j=1,2,3,4 年份 一 x11 x12 x21 x23 x31 x34 二 1.15x11 1.45x12 1.15x21 1.65x23 1.15x31 1.35x34 三 四
下料 方案 一 二 三 四 五 六 七 八
根数 长度米 2.9 2.1 1.5 合计 料头（米）
1 2 0 7.1 0.3
1 0 3 7.4 0
1 1 1 6.5 0.9
2 0 1 7.3 0.1
0 1 3 6.6 0.8
0 2 2 7.2 0.2
整数规划主要是指整数线性规划一个线性规划问题汇总
分枝定界法的过程如下：
二、割平面法 割平面法是 1958 年由 Gomory 提出来的
割平面法求解步骤如下：
第一步：不考虑整数约束，求相应线性规划模型 B 的最优 解。若最优解恰为整数，则停止计算；若最优解不为整数， 进入第二步。
第二步：寻找割平面方程。
①令 xi 为相应线性规划最优解中不符合整数条件的一个基 变量，由单纯形表的最终表得到：
B1
：
min z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 x1 0.5 x2 4.5 s .t x2 2 x1 , x2 0
B2
：
min z 3 x1 2 x2
2 x1 3 x2 14 x1 0.5 x2 4.5 s .t x2 3 x1 , x2 0
整数规划问题及其数学模型
例1 某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两 种设备需要消耗材料A、材料B，有关数据如下， 问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？
设备 材 料 材料A（kg） 材料B（kg） 利润（元/件） 甲 2 1 3 乙 3 0.5 2 资源限量 14 4.5
解：设生产甲、乙这两种设备的数量分别为x1、x2， 由于是设备台数，则其变量都要求为整数，建立 模型如下： Maxz=3x1+2x2 2x1+3x2≤14 x1+0.5x2≤4.5 x1、x2≥0,且为整数
② (C)，[(D)]对应的目标值S≥S0
③ (C)，[(D)]对应的目标值Sc<S0
且解为整数解，令ScS0
且解为非整数解，令(C)，[(D)] 取代(B) 返回(4) (6)、全部枝剪完，停
优点： (1)、任何模型均可用；
线性规划整数规划0-1规划
二、线性规划模型
线性规划模型是所有规划模型中最基本、最 简单的一种.
2.1 线性规划模型的标准形式
例1.（食谱问题）设有 n 种食物，各含 m 种营养 素，第 j 种食物中第 i 中营养素的含量为 aij , n 种 食物价格分别为c1, c2, …, cn，请确定食谱中n 种食 物的数量x1, x2, …, xn，要求在食谱中 m 种营养素 的含量分别不低于b1, b2, …, bm 的情况下，使得总 总的费用最低.
c(c1,,cn)T价值向量 cj,j1,2,,n价值系数
xj,j1,2,,n决策变量
min(max) z c1x1 cnxn
A
T i
s.t.
系ai1
x1
数
矩aiA1x1 阵ai1x1
a1a1 i2
x2a
12
aa1inn xn
a 2a1 i2
a
x2
22
aa2innxn
bi , bi ,
足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
数学模型：
mn
min
z
cij x ij
i1 j1
n
xij ai , i 1,2, , m
j1
m
s .t .
xij b j , j 1,2, , n
i1
xij 0, i 1,2, , m ; j 1,2, , n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，
mn
Min f =
i=1 j=1
cij
xij
n
s.t. xij =ai i = 1,2,…,m
j=1
m
xij bj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
第五节线性整数规划
决策变量x ,L, x 分别表示地址A ,L, A 的选择变量,
1 7 1 7
1 选中A 即x = 0 不选A
i i
则A 的利润为c x , 需投资为b x
i i i i
i
i
东区在A1，A2， A3中至多选2个 怎样表示？
1 选中A 解：设x = 0 不选x ≤2
第五节 线性整数规划
整数规划——变量只能取整数的规划问题。 当变量只能取0或1两个值， 称0-1规划。 整数规划分类： 纯整数规划——全部变量为整数。 混合整数规划——部分变量为整数。 本节主要介绍0-1规划的模型建立。
例1.12 投资场所选址问题
计划在东、西、南三个区开设若干商业网点，拟在 A1，…，A7 7个地点中选择。规定：东区在A1，A2，A3中 至多选2个，西区在A4，A5中至少选1个，南区在A6，A7中 至少选1个。已知在Ai建点需投资bi，可获利ci，现共有资 金为B。问应如何布局可使总利润最大？ 分析：
1 2 3
Maxz = ∑ c x
7 i =1 i 7 i =1 i i
i
∑ b x ≤ B x + x + x ≤ 2 x + x ≥ 1 x + x ≥ 1 x ,L, x 是0 − 1变量
1 2 3 4 5 6 7 1 7
管理运筹学 第三章 整数线性规划
注意在分枝定界求解过程中，为了最优整数解，我们要不断 缩小其最优目标函数值上界与下界的距离，故通过分枝要使得其 上界越来越小，而其下界则越来越大。 在例题中，通过对上下界的修改，上下界距离有所缩小，但 并不相等，所以还要继续分枝。
(5)在线性规划2和线性规划3中选择一个上界最大的线性规划， 即 线 性 规 划 3 ， 进 行 分 枝 。 线 性 规 划 3 的 最 优 解 为 x1=3 ， x2=2.86，把x2分成x2≤2和x2 ≥3两种情况，这样线性规划3分 解为线性规划4和线性规划5，如下： 线性规划4： s.t. 线性规划5： s.t.
分枝定界法是先求解整数规划的线性规划问题。如果其最优 解不符合整数条件，则求出整数规划的上下界，用增加约束条件 的办法，把相应的线性规划的可行域分成子区域（称为分枝）， 再求解这些子区域上的线性规划问题，不断缩小整数规划的上下 界的距离，最后得整数规划的最优解。
“ 分枝”为整数规划最优解的出现创造了条件， 而“定界”则提高了搜索的效率。
(6)进一步修改整数规划最优目标函数值z*的上下界。 由于线性规划 1 分枝为线性规划 2 和线性规划 3 ，线性规 划3又分枝为线性规划4和5，也就是线性规划1分枝为线性规 划 2、 4、 5，故从线性规划 2， 4，5中进一步修改整数规划 最优目标函数值的上下界。 因为线性规划2的最优目标函数值为13.90，线性规划4 的最优目标函数值为 14，而线性规划 5无可行解，可得整数 规划最优目标函数值的上界可修改为14，即 z =14， 取线性 规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值的最大值。 又因为在线性规划2中可知存在整数规划可行解x1=2， x2=3，其目标函数值为13，在线性规划4中可知存在整数规 划可行解 x1=4 ， x2=2 ，其目标函数值为 14 ，而线性规划 5 无可行解，可知整数规划最优目标函数值的下界可修改为 14， z=14，也取线性规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值 的最大值。
运筹学中的线性规划和整数规划
运筹学中的线性规划和整数规划运筹学是一门涉及决策分析、优化、模型构建和仿真等知识领域的学科，应用广泛，如供应链管理、交通规划、制造业生产、金融投资等方面。
其中，线性规划和整数规划是运筹学中最为基础和重要的优化技术，被广泛应用于各个领域。
一、线性规划线性规划是一种在一组线性约束条件下，求解线性目标函数极值问题的数学方法。
在生产、运输、选址等问题中，线性规划都有着重要的应用。
其数学模型可以表示为：$\max c^Tx$$s.t. Ax \leq b,x\geq 0$其中$c$为目标函数的向量，$x$为决策变量向量，$A$为约束矩阵，$b$为约束向量，$c^Tx$表示目标函数的值，$\leq$表示小于等于。
如果目标函数和约束都是线性的，则可以通过线性规划的求解方法来确定决策变量的最优值。
线性规划的求解方法一般分为单纯形法和内点法两种方法。
单纯性法是线性规划中最为常用的方法，通过对角线交替调整，逐步从可行解中寻找最优解，收敛速度较快，但是存在不稳定的情况。
内点法是近年来发展起来的用于求解大规模线性规划问题的数值方法，其核心思想是迭代求解一系列线性方程组，每次保持解在可行域内部，直到找到最优解为止。
这种方法对大规模问题求解能力强，使用较多。
二、整数规划整数规划是线性规划的升级版，它要求决策变量必须取整数值。
整数规划在很多实际问题中都有着重要的应用，比如很多生产过程中需要将生产数量取整数，物流路径问题需要选取整数条路径等。
与线性规划不同的是，整数规划是NP难问题，没有一种有效的算法能够完全解决所有的整数规划问题。
因此，通常需要采用分支定界、割平面等方法来求解。
分支定界是一种常用的整数规划求解方法。
它通过将整数规划问题分为多个子问题，依次求解这些子问题并优化当前最优解，以逐步逼近最优解。
割平面法则是在分支定界方法的基础上加入约束条件，使得求解过程更加严格化，最终得到更好的结果。
总的来说，运筹学中线性规划和整数规划是不可或缺的优化工具，我们可以通过理论和实践加深对它们的理解。
线性整数规划
若设
1 x j 0 即采用第j种生产方式 yj 0 x j 0 即不采用第j种生产方式
z (k j y j c j x j )
j 1 3
则总费用
初步建模为：
min z (k j y j c j x j )
j 1
3
x j 0 y 0 或 1 ( j 1 ~ 3 ) j
注：为保持z为线性函数，yj加在固定成本上。在上述 模型中，xj=0,则yj=0，由极小化目标值可实现；但 xj>0，则yj=1并未保证。因此上述模型应加入一个约 束：
x j My （ j M为任意大的正数）
例4 指派问题： 某公司在各地有4项任务，选定了4位业务员分别处理 。由于业务能力、经验和其他情况的不同，4位业务 员处理这4项任务的费用（单位：百元）各不相同。 应当怎样分派任务，才能使总的业务费最少？
（4）变量x只能取值0，3，5，7中的一个
1 — 取i 令yi (i 3,5,7) 0 — 不取i
x 3 y1 5 y2 7 y3 y1 y2 y3 1 y , y , y 0,1 1 2 3
例1 某服务部门（每2小时为一时段，服务员连续8小 时为一班） 时段 服务员最少数目 1 10 2 8 3 9 4 5 6 7 8 11 13 8 5 3
例3 固定费用问题
某工厂为生产某种产品，有3种不同的生产方式可供 选择。设第j种生产方式的固定成本为k；可变成本为 Cj，若不考虑其他约束，请建立使总成本最小的规划 模型。
令采用第j种生产方式时的产量为xj 则使用第j种方式时的总成本为：
k j c j x j 0
xj 0 xj 0
线性规划与整数规划
线性规划与整数规划线性规划（linear programming）是一种优化问题的数学建模方法，它的目标是在给定的约束条件下，找到一个线性函数的极值。
线性规划的解决方法与整数规划（integer programming）有很大的联系，整数规划是线性规划的一种特殊形式，在选择决策变量时，限制其取值为整数。
线性规划和整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
一、线性规划线性规划的数学模型可以用如下形式表示：$max\,C^TX$$s.t.\,AX \leq B$$X \geq 0$其中，$C$是一个列向量，$X$是一个列向量，$A$是一个矩阵，$B$是一个列向量。
在上述模型中，$C^TX$表示我们要优化的目标函数，即我们希望最大化或最小化的线性函数。
目标函数的系数在矩阵$C$中定义。
约束条件由不等式$AX \leq B$表示。
约束矩阵$A$的每一行代表一个约束式，而约束向量$B$确定每个约束条件的边界。
最后一个条件$X \geq 0$表示决策变量$X_i$必须非负。
线性规划问题的解可以通过线性规划算法求解，如单纯形算法、内点法等。
这些算法能够有效地求解线性规划问题，但是当问题涉及到整数变量时，线性规划就无法得到整数解，这时就需要使用整数规划来解决。
二、整数规划整数规划是对线性规划的一种扩展，它的决策变量被限制为整数。
整数规划的数学模型可以用如下形式表示：$max\,C^TX$$s.t.\,AX \leq B$$X_i \in Z$其中，$X_i \in Z$表示决策变量$X_i$必须为整数。
整数规划相比于线性规划更加困难，因为整数规划的解空间更大。
对于非线性整数规划问题，甚至可能没有有效的解决方法。
求解整数规划问题的方法也有很多，比如分支定界法、割平面法、动态规划等。
这些方法能够在有限的时间内找到整数规划问题的近似解。
然而，由于整数规划问题是NP难问题，当问题规模较大时，求解时间呈指数增长。
三、线性规划与整数规划的应用线性规划和整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
线性整数规划
D4
命题1：
设D E，z ( x)在D与E上有最大(小)值， 则有 max z ( x) max z ( x)
xD xE
min z ( x) min z ( x)
xD xE
15 2014-1-22
1.
例2 人工算法（P160）
x2
5
x1=4
(2,3.3)D A(2.44,3.26) B(3,2.86)
s.t 4x1+5x2≤20
2x1+x2 ≤6
x (5 / 3, 8 / 3) ，注意到 由图解法可得最优点A(5/3,8/3)或 ~ ~ 1≤5/3≤2， 2≤8/3≤3，故对 两分量取整有如表 2所示， x 可得多种取整结果，取整法有多种结果，其误差不好 估计。
7 2014-1-22
x1,x2≥0
LA2
max z =2x1+3x2 s.t 195x1+273x2≤1365 4x1+40x2≤140 x1≤4 x1≥3 x1,x2≥0
~ x 3 (3, 2.86)T B点 z(~ x 3 ) 14.58
~ x 2 ( 2, 3.3)T D点 z(~ x 2 ) 13 .90 z ( ~ x 3 ) 14 .58
LA21 ~ x 4 ( 4, 2)T , z ( ~ x 4 ) 14
LA22无可行解
注： (1)若L21之最优解~ x 4为非整数解时，需比较z ( ~ x 2 )与z ( ~ x 4) 21 (2)若z ( ~ x 2 ) z(~ x 4 )，则对LA1分支；若z ( ~ x 2 ) z(~ x 4 )，则对LA21分支
4
3 2 1
线性整数规划
线性整数规划
整数规划——变量只能取整数的规划问题。 当变量只能取0或1两个值， 称0-1规划。 整数规划分类： 纯整数规划——全部变量为整数。 混合整数规划——部分变量为整数。
集装箱运货
货物 甲 体积(米3/箱) 5 重量(百公斤/箱) 2 利润(千元/箱) 20
乙
装运限制
4
24
5
13
10
解：设X1 , X2 为甲、乙两货物各托运箱数
任务分配问题
例2 有四个熟练工人，他们都是多面手，有四项任务 要他们完成。若规定每人必须完成且只完成一项任 务，而每人完成每项任务的工时耗费如下表，问如 何分配任务使完成四项任务的总工时耗费最少？
任务 工时 人员 甲 乙 丙 丁 任务 A 10 5 5 2 1 B 9 8 4 3 1 C 7 7 6 4 1 D 8 7 5 5 1 人员 1 1 1 1
0 * 逐 4 2 (0) 0 * 最 行 逐 0 * 列 (0) 2 1 0* 2 0 * 2 (0) 优 0 标 记 0 * (0) 1 1 解 1
答：最优分配方案为 x13= x21= x34 = x42 =1，其余为0， 即甲C，乙A，丙D，丁B，OBJ=20
分枝问题的松弛解
x1 x2 f(x) 问题 I 2 9/4 21 问题 II 3 1 22
问题II的解即原整数问题的最优解
可能存在两个分枝都是非整数解的情况，则需要两边同时继 续分枝，直到有整数解出现，就可以进行定界过程 当有很多变量有整数约束时，分枝即广又深，在最坏情况下 相当于组合所有可能的整数解 一般整数规划问题属于一类未解决的难题，NP-complete， 只有少数特殊问题有好的算法，如任务分配问题、匹配问 题
整数线性规划
全部决策变量的取值都为整数，则称为全（纯）整数规划
仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规划 要求决策变量只取0或1值，则称0-1整数规划
整数规划的一般模型
max(或 min) ci xi
i 1 n
n ai xi b (或 b 或 b) s.t. i 1 x 0, 且为整数或部分为整数 i
5 4 3 2 1 2x1 + x2 =9
• • • • (3,3)
•
•
1
•
•
2
•
•
3
(3
1 7 ,2 ) 9 9
•
4
5x1 +7 x2 =35
x1
对于决策变量少，可行的整数解又较少时，这种枚 举法有时是可行的，并且也是有效的。 但对于大型的整数规划问题，可行的整数解数量很 多，用枚举法求解是不可能的。
假设：yj=1，要租用生产线j yj=0，不租用生产线j
第j 种服装生产量xj
max Z 150x1 220x 2 300x3 200000 y1 150000 y 2 100000 y3 3x1 2 x 2 6 x3 8200 0.8 x 1.1x 1.5 x 8800 1 2 3 s.t. x1 , x 2 , x3 0, 且取整数 y , y , y 0或1 1 2 3
混合整数规划
特征—变量整数性要求 来源
问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要
性质—可行域是离散集合
第二节 整数线性规划求解
整数规划 松弛的线性规划
max c x Ax b s.t. x 0, x为整数
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3
34
min Z bi xi
Cij yij
i 1
i1 j1
混合整数规划
整数规划简介
1. 要求所有 xj 的解为整数，称为纯整数规划 2. 要求部分 xj 的解为整数，称为混合整数规划 3. 对应没有整数解要求的线性规划称之为松弛问题 4. 整数规划的解是可数个的，最优解不一定发生在极点 5. 整数规划的最优解不会优于其松弛问题的最优解
2、分枝过程
若松弛问题最优解中某个 xk=bk 不是整数，令 bk 为 bk 的整数部分
构造两个新的约束条件 xk bk 和 xk bk +1，分别 加于原松弛问题，形成两个新的整数规划
3、求解分枝的松弛问题 — 定界过程
设两个分枝的松弛问题分别为问题 1 和问题 2 ，它们的 最优解有如下情况
任务
工时 A B C D 人员 人员
甲 10 9 7 8 1 乙 5877 1 丙 5465 1 丁 2345 1 任务 1 1 1 1
mm
min f ( x) aij xij
i1 j1
m
xij
1
i 1,2,, m
imj11xij 1 j 1,2,, m
xij 0,1
任务分配问题的数学模型
maxZ = 20 X1 + 10 X2 5X1+4X2 24 2X1+5X2 13 X1 , X2 0
X1 , X2为整数
A1 B1
B4
选址问题
B2
Ai: 可建仓库地点，容量
ai ,投资费用bi ，建2个
A2 B3
Bj: 商店，需求dj ( j=1…4 )
Cij: 仓库 i 到商店 j 的单位
第五节 线性整数规划
整数规划——变量只能取整数的规划问题。 当变量只能取0或1两个值， 称0-1规划。
整数规划分类： 纯整数规划——全部变量为整数。 混合整数规划——部分变量为整数。
集装箱运货
货物 体积(米3/箱) 重量(百公斤/箱)
甲
5
2
乙
4
5
装运限制
24
13
利润(千元/箱) 20 10
解：设X1 , X2 为甲、乙两货物各托运箱数
x1, x2 0 且为整数
解：松弛问题的最优解为 x1=2.5, x2=2, OBJ=23
由 x1=2.5 得到两个分枝如下：
max f ( x) 6x1 4x2
max f (x) 6x1 4x2
2x1 4x2 13
问题I
2x1 x2 7 x1 2
x1, x2 0 且为整数
当有很多变量有整数约束时，分枝即广又深，在最坏情况下 相当于组合所有可能的整数解
一般整数规划问题属于一类未解决的难题，NP-complete， 只有少数特殊问题有好的算法，如任务分配问题、匹配问 题
任务分配问题
例2 有四个熟练工人，他们都是多面手，有四项任务 要他们完成。若规定每人必须完成且只完成一项任 务，而每人完成每项任务的工时耗费如下表，问如 何分配任务使完成四项任务的总工时耗费最少？
n
max(min) f (x) c j x j
j 1
s.t.
n
aij
x
j
(,)bi ,
j1
i 1,2,,m
x j 0 且为整数 , j 1,2,,n
整数规划的分枝定界法
思路与解题步骤 只解松弛问题 1、在全部可行性域上解松弛问题
若松弛问题最优解为整数解，则其也是整数规划的最优 解
任务分配问题有2m个约束条件，但有且只有m个非零解，是 自然高度退化的
任务分配是两部图的匹配问题，有著名的匈牙利算法
下面介绍一种适合手算的算法(出自清华教科书)
清华算法
定理 1 如果从效率矩阵{aij}mm中每行元素分别减去一个常数 ui，从每列元素分别减去一个常数 vj ，所得新的效率矩阵 {bij}mm的任务分配问题的最优解等价于原问题的最优解。
证明：略 定理 2 若方阵中一部分元素为零，一部分元素非零，则覆盖
方阵内所有零元素的最少直线数等于位于不同行、不同列的 零元素的最多个数。 证明：略 清华算法的基本思路： 根据定理 1变换效率矩阵，使矩阵中有足够多的零。若矩阵 中存在 m 个不同行不同列的零，就找到了最优解 若覆盖变换后的效率矩阵零元素的直线少于m条，就尚未找 到最优解，设法进一步变换矩阵，增加新的零。
2x1 4x2 13
问题II
2x1 x2 7 x1 3
x1, x2 0 且为整数
分枝问题的松弛解
问题 I
x1
2
x2
9/4
f(x)
21
问题 II 3 1 22
问题II的解即原整数问题的最优解
可能存在两个分枝都是非整数解的情况，则需要两边同时继 续分枝，直到有整数解出现，就可以进行定界过程
A3
运费
问：选择适当地点建仓库，在满足商店需 求条件下，总费用最小。
解：设Xi ( i=1,2,3)为是否在 Ai 建仓库
yij ( i=1,2,3, j=1…4)由 i仓库向 j商店运货量
y11 + y21 = d1 y12 + y22 + y32 = d2 y23+ y33 = d3 y14 + y24 + y34 = d4 x1 + x2 + x3= 2 y11 + y12 + y14 a1x1 y21 + y22 + y23 + y24a2x2 y32 + y33 + y34 a3x3 xi 为0－1， yij 0
模型中：xij 为第 i 个工人分配去做第 j 项任务； aij 为第 i 个工人为完成第 j 项任务时的工时消耗； {aij}mm 称为效率矩阵
1 当第i个工人分配去做第 j项任务 xij 0 当第i个工人未分配去做第 j项任务
i, j 1,2,,m 运输问题是任务分配问题的松弛问题
任务分配问题不但是整数规划，而且是01规划
函数优于问题 1 枝)，其整数解为界，
对问题 2 继续分枝
情况 2, 4, 5 找到最优解
情况 3 在缩减的域上继续分枝定界法
情 6 问题 1 的整数解作为界被保留，用于以后与问题 2
的后续分枝所得到的解进行比较，结论如情况 4或5
分枝定界法举例
例1
max f (x) 6x1 4x2
2x1 4x2 13 2x1 x2 7
分枝问题解可能出现的情况
序号
问题 1
问题 2
说明
1
无可行解
无可行解
整数规划无可行解
2
无可行解
整数解
此整数解即最优解
3
无可行解
非整数解
对问题 2 继续分枝
4
整数解
整数解
较优的一个为最优解
5 整数解，目标函 非整数解
问题 1 的解即最优解
数优于问题 2
6
整数解
非整数解，目标 问 题 1 停 止 分 枝 (剪