现代控制理论第一章 控制系统数学模型

选择 n 个状态变量为 系统方程为
x1 y 0u x 2 x1 1 u x 3 x2 2 u
x n xn 1 n 1 u
x 1
x2
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0xx12
1
2
u
xn
0
a0
0 a1
0 a2
0 a3
a1n1x n
n1 n
B
24
y 1 0
引入辅助变量 z
B
26
返回到微分方程形式：
z (n ) a n 1 z (n 1 ) a 1 z a 0 z u
以及 b n 1 z(n 1 ) b 1 z b 0zy
选择状态变量如下：
x1 z x1 x 2 z x2 x 3 z
┆ x n 1xnz(n 1) x nz(n)a0x1a1x2an 1xnu
x2 y x3 y
则有 x1 x2 x2 x3 x 3 a 0 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 b 0 u
写成矩阵形式
x 1 0 x 2 0 x 3 a0
1 0 x1 0 0 1 x20u a1 a2x3 b0
x1
y 1
0
0
x
2
x3 B
18
状态图如下：
一般情况下，n 阶微分方程为：
B
30
于是系统的状态空间表达式为
x 1 0 x 2 0
1 0 x1 0
0
1 x20u
x 3 64019218 x3 1
x1
y 640
160
0x2
x3
B
31
1.3 传递函数矩阵
传递函数——系统初始松弛（即：初始条件为零）时，输出量 的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。
1.3.1 传递函数
y (n ) a n 1 y (n 1 ) a 1 y a 0 y b 0 u
选择状态变量如下：
x1 y
x1 x 2 y
x2 x 3 y
┆ x n 1xny(n 1)
x ny(n) a0x1a1x2 an 1xnb0u
B
19
写成矩阵形式：
x1
x2
0 0
1 0
0 1
6、组合系统的数学描述 7、利用MATLAB进行模型之间的变换
B
1
1.1 状态空间表达式
1.1.1 状态、状态变量和状态空间 状态——动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。
状态变量——确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量
在任意初始时刻 t 0 的值以及 t ≥ t 0 的系统输入，便能够完整地 确定系统在任意时刻 t 的状态。（状态变量的选择可以不同）
xx 43
0 0 0 0
0 mMg
0
(Mm)g Ml
0x1 1
0x2
1 M
u
;
10xx43
0 M1 l
x1
y 1
0
0
0
x
2
x x
3 4
状态图为
B
16
1.2 由微分方程求状态空间表达式
一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。通过选 择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。
y 1
0
x1 x2
该系统的状态图如下
B
11
例1-2 建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式
电枢回路的电压方程为
LDddD itRDiDKeuD 系统运动方程式为 KmiDfJDddt
（式中， K e 为电动势常数； K m 为转矩常数； J D 为折合到电动
机轴上的转动惯量； f 为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）
这里分两种情况： 1、微分方程中不含输入信号导数项，（即1.2.1 中的内容）
2、微分方程中含有输入信号导数项，（即1.2.2 中的内容）
B
17
1.2.1 微分方程中不含有输入信号导数项
首先考察三阶系统，其微分方程为
y a 2 y a 1y a 0y b 0 u
选取状态变量 x1 y
第1章 控制系统数学模型
本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系
统设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因 此，本章首先介绍控制系统的数学模型。
本章内容为：
1、状态空间表达式
2、由微分方程求出系统状态空间表达式 3、传递函数矩阵 4、离散系统的数学模型 5、线性变换(状态变量选取非唯一）
在水平方向，应用牛顿第二定律： Md d2t2 ymddt22(ylsin)u
对摆球来说，在垂直于摆杆方向，应用牛顿第二定律：
md2 (ylsin)msgin
B
dt2
14
而有：
d (sin)(cos)
dt
d dt22(si)n(sin) 2cos
d(cos)(sin)
dt
d dt22(co ) s(co )s 2(sin )
试求系统的状态空间表达式。
解 （1）待定系数法
选择状态变量如下 x1 y 0u
x 2 x1 1u
x 3 x2 2 u
其中
0 b3 0
1b2a20 0
2 b1a10a0116019206400160
3 b0a00a11a22 640181602240
B
29
于是系统的状态空间表达式为
（2）状态变量选取的非惟一性
在前面的例子中，如果重新选择状态变量 x1 uC x2 x1uC
则其状态方程为
xx 1 2L 01C1R Lxx1 2L1 0C u
输出方程为：
y 1
0
x1 x2
（3）系统状态变量的数目是惟一的
B
9
1.1.4 状态空间表达式建立的举例
例1-1 建立右图所示机械系统的状态空间表达式 （注：质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相 抵消）
系统状态图如下
x1
0 0u
xn
B
25
（二）辅助变量法 设 n 阶微分方程为： y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) a 1 y a 0 y b n 1 u ( n 1 ) b 1 u b 0 u
Laplace变换，求传递函数
U Y((ss))bn s1s nn 1a n b 1n s n 2 s1n 2 a 1sb 1sa 0b0
写成矩阵形式
x 1 0 1 0x1 1 x x 20 0 1x22uA xbu
x 3 a0 a1 a2x3 3
x1
yx10u1 0 0x20uCxdu
x3
B
22
系统的状态图
B
23
一般情况下，n 阶微分方程为： y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) a 1 y a 0 y b n u ( n ) b n 1 u ( n 1 ) b 1 u b 0 u
选择状态变量： x1y0u x2 y0u1ux 11u x3 y0u 1u2ux2 2u
其中，待定系数为： 0 b3 1 b2 a20 2 b1 a10 a21 3 b0 a00 a11 a22
B
21
于是
x1 x2 1u x2 x3 2u x3 a0x1a1x2 a2x3 3u
如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变 系统。系统状态图和信号流图如下：
B
7
严格地说，一切物理系统都是非线性的。可以用下面的状态方程 和输出方程表示。如果不显含 t，则称为非线性定常系统。
x f (x,u,t) y g(x,u,t)
x f ( x,u)
y
g( x,u)
B
8
1.1.3 状态变量的选取 （1） 状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定
x1
x
x
2
x
n
u1
u
u
2
u
r
y1
y
y2
y
m
B
5
a11
A
an1
a1n ann nn
c11
C
cm1
c1n cmn mn
b11
B
bn1
b1r anr nr
d11
D
dm1
d1r dm rmr
B
6
如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样 的系统为线性定常（LTI，即：Linear Time-Invariant）系统。
B
12
可选择电枢电流 i D 和角速度 为状态变量，电动机的电 枢电压 u D 为输入量，角速度 为输出量。
状态空间表达式 状态图如下：
diD
ddt
KRLmDD
dt JD
KLJfD De iDL10DuD
y 0
1iD
B
13
例1-3 建立单极倒立摆系统的状态空间表达式。 单级倒立摆系统是许多重要的宇宙空间应用的一个简单模型。
i(t ) 和 uC (t ) 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态
变量
B
3
1.1.2 状态空间表达式
前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：
d(ti)Ri(t)uC(t)u(t) dt L L L
ddduC(it(t)t)1R L dt C
0L1uiC(t()t)L10u(t)
y b n 1 z ( n 1 ) b 1 z b 0 z b 0 x 1 b 1 x 2 b n 1 x n
B
27
写成矩阵形式
x1
x2
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0 0xx120 u
xn
0
a0
0 a1
0 a2
0 a3
a1n1x n
0 1
x1
y b0
b1
0 0
0 0 0xx120u
xn
0
a0
0 a1
0 a2
0 a3
Βιβλιοθήκη Baidu
a1n1x n
0 b0
系统的状态图如下：
y 1 0
x1
0
xn
B
20
1.2.2 微分方程中含有输入信号导数项
（一）待定系数法 首先考察三阶系统，其微分方程为
y a 2 y a 1 y a 0 y b 3 u b 2 u b 1 u b 0 u
线性化：当 和 较小时 ，有 sin cos1 20
化简后，得
(M m ) y m lu
m y m lmg
求解得： ymg 1 u
MM
(Mm)g1u
Ml Ml
B
15
选择状态变量 x1 y，x2 x1y，x3 ，x4 x3
u为系统输入， y为系统输出
x1 0 1
x20 0
bn1
xn
注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。
Y R ( (s s ) ) a b n n s s n n a b 1 1 s s b a 0 0 d b n a n 1 s s n n 1 a 1 b s 1 s a b 0 0
B
28
例1-4 已知描述系统的微分方程为 y 1 y 8 1y 9 6 2 y 4 1 0 u 6 60 u 40
根据牛顿第二定律
dy d2y FFkyf dtmd2t
即：
mdd2t2yf
dykyF dt
选择状态变量 x1 y x2 yx1
则：
x1 x2
x 2 m ky m fd d y tm 1F m kx 1 m fx 2 m 1F
B
10
机械系统的系统方程为
xx 120m k 1m fxx12m 10F
x 1 0 x 2 0
1 0x1 0 0 1x2 160u
x 3 64019218 x3 224 0
x1
y 1
0
0
x
2
x3
（2）辅助变量法 引入辅助变量z
z 1 z 8 1z 9 62 z 4 u 0 y16z 064z0
选择状态变量 x1 z x2 zx1 x3 zx2
系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式，或称
为系统动态方程，或称系统方程。
B
4
设： x1 i(t) x2 uC(t)
C0 1
x
x1
x
2
A
-
R
L 1
-
1 L
0
C
x Ax Bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
1
B
L 0
推广到一般形式：
x Ax Bu y Cx Du
单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为
x Ax Bu
y Cx du
在初始松弛时，求Laplace变换，并且化简
状态变量对输入量的G 传x(u 递s)函 数sIA 1bd ad s s e I I tjA A b
输出量对输入量的传递函数（即：传递函数）
g y(u s ) C s I A 1 b d C d as s d I I e A A t jb d
状态空间——以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线 性空间，称为状态空间。
B
2
例：如下图所示电路，u (t ) 为输入量， uC (t ) 为输出量。
建立方程： Ldd(ti)tR(ti)uC(t)u(t)
i C duC(t) dt
初始条件：
i(t) tt0
i(t0)
uC(t)tt0 uC(t0)
duC(t) 1i(t) dt C
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
uC(t)0 1uiC(t()t)
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。