5空间基本力系解析
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空间一般力系
Fy = −Fxy cos β = −F cosα cos β n
机械设计基础
§5-2 力对轴的矩
y
平面里的力对点之矩，实际是空间里力对轴之矩。 平面里的力对点之矩，实际是空间里力对轴之矩。
z
r r Mz (F) = Mo (Fxy ) =±Fxy ⋅ h
x
空间的力对轴之矩： 空间的力对轴之矩：
（a）力与轴平行，力对轴的力矩等于零； ）力与轴平行，力对轴的力矩等于零； ）、（c） （b）、（ ）力与轴相交，力对轴的力矩等于零； ）、（ 力与轴相交，力对轴的力矩等于零；
X Y Z 方向： 方向： cosα = , cos β = , cosγ = F F F
机械设计基础
⒍ 注意 力在坐标轴上的投影是代数量； 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及 力在坐标平面上的投影是矢量。 力在坐标平面上的投影是矢量。 二、空间汇交力系的合成 ⒈ 几何法 与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求 与平面汇交力系的合成方法相同， 合力。 合力。
⒊ 二次投影法（间接投影法） 二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向间夹角不易 确定时， 面上， 确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y 轴 上。 X =F⋅sinγ ⋅cosϕ=F ⋅cosϕ=F⋅cosθ⋅cosϕ 即：
Y =F⋅sinγ ⋅sinϕ=Fxy ⋅sinϕ=F⋅cosθ⋅sinϕ Z = F ⋅ cosγ = F ⋅ sinθ
Fxy
作用点： 作用点： 物体和力矢的起点或终点 的接触之点。 的接触之点。
机械设计基础
一次投影法（直接投影法） ⒉ 一次投影法（直接投影法） 由图可知： 由图可知： X =F⋅cosα,
5章空间力系(交)
Fy 0
Fz F cos
由于力与轴平行 或相交时力对该轴的 矩为零，则有
M x F M x FZ Fz AB CD Fl bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD Fl bsin
z Fz
F
x
Fx
Fxy
y Fy
二、 空间汇交力系的合成与平衡
1. 合成 将平面汇交力系合成结果推广得：
FR F1 F2 F n Fi
解析法 FR FRx i FRy j FRz k FR Fx i Fy j Fz k
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
4力偶可改装性
4.4 空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。
4、空间力偶系的合成 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，
合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：
M M1 M2 Mn Mi
根据合矢量投影定理：
Mx Mx, My My, Mz Mz
列平衡方程：(约束特点)
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0
Fx 0,
Fy 0,
Fz 0
M x (F ) 0, M y (F ) 0, M z (F ) 0
空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中 各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对 三个轴的矩的代数和也等于零。
空间平行力系的平衡方程
Fz 0 Mx 0 My 0
Fz F cos
由于力与轴平行 或相交时力对该轴的 矩为零，则有
M x F M x FZ Fz AB CD Fl bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD Fl bsin
z Fz
F
x
Fx
Fxy
y Fy
二、 空间汇交力系的合成与平衡
1. 合成 将平面汇交力系合成结果推广得：
FR F1 F2 F n Fi
解析法 FR FRx i FRy j FRz k FR Fx i Fy j Fz k
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
4力偶可改装性
4.4 空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。
4、空间力偶系的合成 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，
合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：
M M1 M2 Mn Mi
根据合矢量投影定理：
Mx Mx, My My, Mz Mz
列平衡方程：(约束特点)
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0
Fx 0,
Fy 0,
Fz 0
M x (F ) 0, M y (F ) 0, M z (F ) 0
空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中 各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对 三个轴的矩的代数和也等于零。
空间平行力系的平衡方程
Fz 0 Mx 0 My 0
第4章空间力系分解
合力的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Fx 方向余弦 cos( FR , i ) FR
Fy Fz cos( FR , j ) cos( FR , k ) FR FR
7
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过汇交点.
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。
25
力偶系的合成（与汇交力系的计算完全相同）
合力偶矩矢
M Mi
M x Mix M y Miy Mz Miz
M M xi M y j Mzk
合矢量投影定理：Βιβλιοθήκη 合力偶矩矢的大小和方向余弦:
M
M M M
2 2 ix iy iz
2
M ix cos M
cos
M iy M
M iz cos M
26
空间力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩矢等于零。
为代数量
z
即：力对轴之矩，等于力在垂直于
该轴的平面上的投影对轴与平面交 点之矩。 O x
y
特殊情况：
1、力与轴平行，矩为零。 2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，力对轴之矩为零。 16
合力矩定理
空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于力系中所有各 力对于该轴的矩的代数和。（用于求力矩）
B
F
F
rBA rA
A
M rBA F
rB
O
23
2、空间力偶等效定理
作用在同一刚体上的两个力偶，如果力偶矩矢相等， 则它们彼此等效。
工程力学第五章 空间力系
cos(k, MO (F ))
Mz MO (F )
0.25
§4 - 3 空间力系向一点简化
仍设物体上只作用三个力F1 、 F2 和 F3 ， 它们组成空间任意力系，在空间内任意取一 O 点，
分别将三力向此点简化。
右击
三按钮功能相同
O点称为简化中心；
R’ =F1’ + F2’ + F3’; M = M1 + M2 + M3 ; 对于力的数目为 n 的空间任意力系，推广为：
解：受力分析如图
W = 200N
∑X = 0， XA + XB－T cos30ºsin30 º= 0 ∑Y = 0， YA － T cos30 ºcos30 º= 0 ∑Z = 0， ZA + ZB － W + T sin30 º= 0
d MO MO sin
R
R
4、空间力系简化为平衡的情形
主矢R’ = 0；主矩M O = 0
§4 - 5 空间力系的平衡方程
由： R ( X )2 (Y)2 ( Z)2 0
MO [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2 0
合力矩定理
MO
O
O
O R’
R” d R’
d
R
R
R =∑Fi ，d= |MO| / R
∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R 对O点的矩，即
MO = MO(R) ，而又有 MO = ∑MO(F)
∴得关系式
MO( R ) = ∑MO(F )
即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于
各分力对同一点的矩的矢量和。
阴影部分的面积。
空间任意力系
FC
最大载重Pmax是多少。
Q FB
P
D
解: 取起重机为研究对象
A
B,C
My(F)0, FAaco3s0Qa3co3s0Pclos0
MC'x(F)0,
a FA2
FBaQa2P(a2lsin)0
y C
x’
Fz 0, FAFBFCPQ0
A
ED
x
解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kN
d O1
O
MO MO cos MO MO sin
d MO MO sin
FR
FR
一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋
(4) 空间任意力系平衡的情形
● F′R=0，MO=0
2019/11/15
原力系平衡
内容回顾
空间力系的简化与合成
主矢
主矩
最后结果
说
明
FR′ = 0
MO = 0 MO≠0
§5-5 空间任意力系的平衡条件及其应用
1、平衡条件及平衡方程：
平衡条件：
由平衡力系定理可知，空间一般力系平衡的充要条件：力 系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：
平衡方程：
FR Fi 0
M O M O i 0
由主矢与主矩的计算式，有
F R (F x F x i )0 2 i, (F F yy ) i2 i0 ,(F F zz i )i2 0
② 空间任意力系的平衡条件及其应用；
2019/11/15
§5-4 空间任意力系的简化
1. 空间力线平移定理
作用于刚体的力 F 可等效地平移到刚体上的任一点O， 但须附加一力偶，此附加力偶矩 矢M 等于原力对平移点O 的力矩矢MO（F）。
工程力学第五章 空间力系(2)
l l l
14
下面用积分法求物体的重心实例： [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL Rd
x Rcos
x dL L xC L
O
2 cos R d
2R
xC
Rsin
物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心
Pxi xC ,
位置就越准确。在极限情况下，(n)，常用积分法求物
体的重心位置。
9
设i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小 体积，则
Pi i Vi
代入上式并取极限，可得：
xdV ydV zdV V V V xC , yC , zC P P P
Pi zi PzC Pi zi , zC
P
综合上述得重心坐标公式为：
Pi xi Pi yi Pi zi xC , yC , zC P P P
12
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
m i x i mi yi mi zi xC , yC , zC M M M
空 间 汇 交 力 系
X 0 Y 0 Z 0
空 间 轴 力 系
X 0 m y 0 mz 0
∥x
19
X 0
面空 的间 力 系 ∥xoy
Y 0 m x 0 m y 0 mz 0
X 0 Y 0 m x 0 m y 0 mz 0 m x' 0
m y 0; Pz 50100Q x 0,Q 746( N )
3
m z A 0; 300Px 50Py 200X B 50Q cos200 0, X B 437( N ) X 0; X A X B Px Q cos200 0, X A 729( N ) m x A 0; 200Z B 300Pz 50Q sin200 0, Z B 2040( N ) Z 0; Z A Z B Pz Q sin200 0, Z A 385( N )
14
下面用积分法求物体的重心实例： [例] 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。
解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段
dL Rd
x Rcos
x dL L xC L
O
2 cos R d
2R
xC
Rsin
物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心
Pxi xC ,
位置就越准确。在极限情况下，(n)，常用积分法求物
体的重心位置。
9
设i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小 体积，则
Pi i Vi
代入上式并取极限，可得：
xdV ydV zdV V V V xC , yC , zC P P P
Pi zi PzC Pi zi , zC
P
综合上述得重心坐标公式为：
Pi xi Pi yi Pi zi xC , yC , zC P P P
12
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心公式
m i x i mi yi mi zi xC , yC , zC M M M
空 间 汇 交 力 系
X 0 Y 0 Z 0
空 间 轴 力 系
X 0 m y 0 mz 0
∥x
19
X 0
面空 的间 力 系 ∥xoy
Y 0 m x 0 m y 0 mz 0
X 0 Y 0 m x 0 m y 0 mz 0 m x' 0
m y 0; Pz 50100Q x 0,Q 746( N )
3
m z A 0; 300Px 50Py 200X B 50Q cos200 0, X B 437( N ) X 0; X A X B Px Q cos200 0, X A 729( N ) m x A 0; 200Z B 300Pz 50Q sin200 0, Z B 2040( N ) Z 0; Z A Z B Pz Q sin200 0, Z A 385( N )
空间力系分解课件
定性。
科学研究
在物理、化学、生物等领域中，需 要进行空间力系的解析分解，以研 究受力对物质运动和变化的影响。
日常生活
在日常生活中，许多设备和工具都 需要考虑力的作用和影响，如车辆 、家具、玩具等，因此也需要进行 空间力系的解析分解。
04
CATALOGUE
空间力系分解的实例分析来自实例一：斜拉桥的受力分析
平衡法
根据力的平衡条件，将空 间力系分解为若干个平衡 的子力系，然后分别进行 分析。
02
CATALOGUE
空间力系的几何分解
空间力系的几何表示
空间力系
在三维空间中，力系是由多个力矢量组成的系统。这些力矢量具有大小、方向 和作用点，并且遵循牛顿第三定律。
几何表示
空间力系可以用矢量图来表示，其中每个力矢量由一个箭头表示，箭头的长度 代表力的大小，箭头的指向代表力的方向，箭头的起点代表力的作用点。
在空间力系分解时，需要明确力的方向， 以确保分力是唯一的。
力系分解的发展趋势与展望
智能化与自动化
随着人工智能和机器学习技术的发展，未来空间力系分解将更加智能 化和自动化，能够自动识别和选择最佳的分解方法。
多学科交叉融合
空间力系分解将进一步与数学、物理、工程等多个学科交叉融合，推 动相关领域的发展。
空间力系
在三维空间中，力系由三个互相垂直 的主矢和三个互相垂直的主矩组成， 主矢描述力的大小和方向，主矩描述 力矩的大小和方向。
力系分解的意义
01
02
03
简化问题
通过将复杂的力系分解为 简单、易于处理的子力系 ，可以简化问题的分析和 计算。
便于分析
分解后的力系可以更好地 揭示力的作用效果和相互 关系，便于对问题进行深 入分析。
科学研究
在物理、化学、生物等领域中，需 要进行空间力系的解析分解，以研 究受力对物质运动和变化的影响。
日常生活
在日常生活中，许多设备和工具都 需要考虑力的作用和影响，如车辆 、家具、玩具等，因此也需要进行 空间力系的解析分解。
04
CATALOGUE
空间力系分解的实例分析来自实例一：斜拉桥的受力分析
平衡法
根据力的平衡条件，将空 间力系分解为若干个平衡 的子力系，然后分别进行 分析。
02
CATALOGUE
空间力系的几何分解
空间力系的几何表示
空间力系
在三维空间中，力系是由多个力矢量组成的系统。这些力矢量具有大小、方向 和作用点，并且遵循牛顿第三定律。
几何表示
空间力系可以用矢量图来表示，其中每个力矢量由一个箭头表示，箭头的长度 代表力的大小，箭头的指向代表力的方向，箭头的起点代表力的作用点。
在空间力系分解时，需要明确力的方向， 以确保分力是唯一的。
力系分解的发展趋势与展望
智能化与自动化
随着人工智能和机器学习技术的发展，未来空间力系分解将更加智能 化和自动化，能够自动识别和选择最佳的分解方法。
多学科交叉融合
空间力系分解将进一步与数学、物理、工程等多个学科交叉融合，推 动相关领域的发展。
空间力系
在三维空间中，力系由三个互相垂直 的主矢和三个互相垂直的主矩组成， 主矢描述力的大小和方向，主矩描述 力矩的大小和方向。
力系分解的意义
01
02
03
简化问题
通过将复杂的力系分解为 简单、易于处理的子力系 ，可以简化问题的分析和 计算。
便于分析
分解后的力系可以更好地 揭示力的作用效果和相互 关系，便于对问题进行深 入分析。
空间力系的受力分析
（2）力矩矢通过O点
MOF
（3）力矩矢的方向：垂直于OAB平面，指向由右 手螺旋法则决定之。
由矢量分析理论可知：
M OFrF
r h O
x
B
F A
y
力矩矢量的方向
MO
F
按右手定则
r
MOrF
力对点之矩的矢量运算
由高等数学知：
Fz F
i
M OFrF= x
Fx
jk yz Fy Fz
空间汇交力系的平衡条件：
Fx 0 Fy 0 Fz 0
例题：已知：
C E E B E, D 30 ,0 F 1k0N 求：起重杆AB及绳子的拉力.
z D
E α
C B
α F
A
y
x
解：取起重杆AB为研究对象 建坐标系如图，
z D
E
C
α F2
B
F1 α
P
AБайду номын сангаас
y
x
FA
列平衡方程：
Fx 0
F 1 si 4 n 0 5 F 2si 4 n 0 5 0
z
Fz
βF
α
Fx
γ Fy
y
x
2、二次投影法 已知力 F 与 z 轴的夹角 γ
第一次投影：
Fxy F sin Fz F cos
若再知道 Fxy 与x轴的夹角φ
第二次投影
z
FZ
F
γ
Fx Fxy cos
φ
Fy y
Fy Fxy sin
Fx
最后得：
x
Fx F s in cos
F xy
Fy F s in s in
理论力学05空间力系_2力对轴的矩
x、y、z 轴上的投影。
三、力对轴的合力矩定理 合力对任一轴的矩就等于其各分力对同一轴的矩的代数和，即
Mx FR Mx Fi M y FR M y Fi Mz FR Mz Fi
z
四、力对点的矩的矢量定义
力F 对点O 的矩的矢量定义为
MO F r F
式中，r 为矩心 O 至力F 作用点
Mz F xFy yFx 0 l aF sin F l asin
两种计算方法结果相同
[例2] 如图，长方体边长分别为a、b、c，沿其对角线 AB 作用一力 F。试求力F 对 x ，z 及 y1三轴的矩。
解： 将力F 作三维正交分解， 其中各分力大小
Fx
a
F
a2 b2 c2
z
Fy
b F
a2 b2 c2
c
Fz
F a2 b2 c2
c
Fy
a
x
b
Fz
y
Fx
y1
Fx
a F
a2 b2 c2
Fy
b F
a2 b2 c2
Fz
c
F
a2 b2 c2
利用力对轴的矩的合力矩定理，即得
M x F M x Fz
bc F
a2 b2 c2
M z F M z Fx
Mz F Mz Fx Mz Fz Fx AB CD 0 F l asin
解法二： 利用力对轴的矩的解析算式
力的作用点的坐标为
x l y l a z 0
力F 在 x、y、z 轴上的投影为 Fx F sin Fy 0 Fz F cos 代入解析算式，即得
Fx
Fz
Mx F yFz zFy l aF cos 0 F l acos My (F) zFx xFz 0 lF cos Fl cos
三、力对轴的合力矩定理 合力对任一轴的矩就等于其各分力对同一轴的矩的代数和，即
Mx FR Mx Fi M y FR M y Fi Mz FR Mz Fi
z
四、力对点的矩的矢量定义
力F 对点O 的矩的矢量定义为
MO F r F
式中，r 为矩心 O 至力F 作用点
Mz F xFy yFx 0 l aF sin F l asin
两种计算方法结果相同
[例2] 如图，长方体边长分别为a、b、c，沿其对角线 AB 作用一力 F。试求力F 对 x ，z 及 y1三轴的矩。
解： 将力F 作三维正交分解， 其中各分力大小
Fx
a
F
a2 b2 c2
z
Fy
b F
a2 b2 c2
c
Fz
F a2 b2 c2
c
Fy
a
x
b
Fz
y
Fx
y1
Fx
a F
a2 b2 c2
Fy
b F
a2 b2 c2
Fz
c
F
a2 b2 c2
利用力对轴的矩的合力矩定理，即得
M x F M x Fz
bc F
a2 b2 c2
M z F M z Fx
Mz F Mz Fx Mz Fz Fx AB CD 0 F l asin
解法二： 利用力对轴的矩的解析算式
力的作用点的坐标为
x l y l a z 0
力F 在 x、y、z 轴上的投影为 Fx F sin Fy 0 Fz F cos 代入解析算式，即得
Fx
Fz
Mx F yFz zFy l aF cos 0 F l acos My (F) zFx xFz 0 lF cos Fl cos
5 理论力学--空间任意力系
O
M (F ) ,k M
z O
结 论
空间任意力系向任一点简化后，一般得到一个 力和一个力偶 。 这个力作用于简化中心，其力矢等于原力系的主矢。 这个力偶的力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。 空间任意力系的主矢与简化中心的位置无关，而 主矩一般随简化中心位置的改变而改变，与简化中心 的位置有关。
z z
F
O
F A
B
d
A x
x
O d
y a F x
y
y
Fy
b
Fx
图5-2
力F对z轴的矩，就等于力F在垂直于z轴的Oxy平面 上的投影Fxy对z轴与该平面的交点O的矩(见图5-2)
M z ( F ) M O (Fxy ) Fxy d 2Oab
力对轴的矩是一个代数量。 正负号规定：右手螺旋规则。
z
任选O点为简化中心,将各力
平行搬移到O点(见图5-4)。 根据力线平移定理，将各力 平行搬移到O点，得到一空间汇 交力系；和一附加力偶系。
F1 ' F1 , F2 ' F2 , , Fn ' Fn ;
M1 M O (F1 ), M 2 M O (F2 ), , M n M O (Fn ) .
x 2 Ax
y 1 Ay
C
F2
x 0
z
1
Az
FAy
1
2
y
x
z
1
2
z
图5-9
解得
FAx 100kN FAy 200kN FAz 400kN M x 600kN m M y 500kN m M z 400kN m
例5-3 如图5-10(a)所示板ABCDEF由六根链杆支承，正方形 ABCD位于水平面内，EF平行于CD。试求沿AD方向作用有力F时， 六根杆的内力。 B 4 C 3 a 解： 取悬臂刚架ABCDEFG为研究 F 5 2 对象，受力如图5-10(b)所示。 D a
空间任意力系
解：取系统为研究对象 x
a
b
FAz
A
FAx
P
c
FBz
y B
FBx
My(F) 0, Mx(F) 0, Mz(F) 0, Fx 0, Fz 0,
2019/10/27
(F2 F1)RPr0
F 1 2 F 2 8 kN
FBz(bc) Pb 0
F Ax 15 . 6 kN
E
MCB(F) 0, F1 acos30 F4 sin30 acos30 0
MCA(F) 0, F2 acos30 F5 sin30 acos30 0
MAB(F) 0, F3 acos30 F6 sin30 acos30 0
解得 F 4 F 5 F 6 4 3 M a(压 ),F 1 F 2 F 3 2 3 M a(拉 )
空间力偶系
2019/10/27
M x(F ) 0 M y(F ) 0 M z(F ) 0
FZ 0 M x(F ) 0 M y(F ) 0
平面任意力系
Fx 0 Fy 0 M z(F ) 0
空间力系平衡方程：
F xi 0 F yi 0 F zi 0 M xi 0 M yi 0 M zi 0
主矩的方向： coM s(O,x)
Mx(Fi), MO
2019/10/27
简化结果小结：
向一点O 简化
空间 一般力系
力线平移定理
一个力 FR
F i
作用于简化中心O
与简化中心O点位置无关
一个力偶 M M O M O (F i)
与简化中心O点位置有关
2019/10/27
第六章空间力系
B
30
D
G E
5m
60
45
45
A
桅杆式起重机可简化为如 图 所 示 结 构 。 AC 为 立 柱 ， BC ， CD和CE均为钢索，AB为起重 杆。A端可简化为球铰链约束。 设B点滑轮上起吊重物的重量 G=20 kN，AD=AE=6 m，其余 尺寸如图。起重杆所在平面 ABC与对称面ACG重合。不计 立柱和起重杆的自重，求起重 杆AB、立柱AC和钢索CD，CE 所受的力。
力对轴的矩
空间力对轴的矩是个代 数量,它等于这个力在 垂直于该轴的平面内的 投影对于这平面与该轴 交点的矩。
z
B F
A
o
y
d
B
x
A Fxy
Fxy F cos
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h
例题6-5
已知：F,l, a, 求：M x F , M y F , M z F
解：把力 F分解如图
F3 2 2P
力对点的矩的矢量表示
❖ 对于平面力系，力对该平面内一点的矩有大小和 转向两个要素，所以可用代数量表示；
❖ 对于空间力系，不仅要考虑力矩的大小、转向， 还要注意力与矩心所组成的平面的方位。方位不 同，即使力矩大小一样，作用效果将完全不同。
力矩的大小 力矩的转向该 力矩作用面的方位
力对点的 矩三要素
这三个要素可以用一个矢量来表示:
Fz Fn sin Fxy Fn cos Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
例题6-2
已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 300
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图， 列平衡方程
Fx 0
工程力学_05空间力系
0, MO 0 时，空间力系为平衡力系。 当 FR
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。 这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各 个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。 这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩， 并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并 与简化中心的选择有关。
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系：作用线在空间任意分布的力系。
空间汇交力系
空间任意力系
空间力偶系
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系：作用线在空间任意分布的力系。 一、空间任意力系向一点的简化
其中，各 Fi Fi ，
Fx 0, FAx Fx 0 (1) Fy 0, FAy Fy 0 (2) Fz 0, FAz Fz 0 (3) M x ( F ) 0, M y ( F ) 0, M z ( F ) 0,
FAz MAz
O
z
MAy FAx
FAy Fz
y 200 Fy
MAx
M Ax 0.075Fz 0 M Ay 0.2 Fz 0
x 75 Fx
M Az 0.075Fx 0.2 Fy 0
P 20 kN
§5–2 空间任意力系的平衡条件
解题步骤、技巧与注意问题： 1、解题步骤： ①选研究对象
O
11
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
三、补充:空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
空间力系
定位矢量？ 滑移矢量？ 定位矢量？ 滑移矢量？ 力偶矩矢—自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 力偶矩矢—自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）
空间力系
空间力偶
3.空间力偶系的合成与平衡 3.空间力偶系的合成与平衡
r r r r 合力偶矩矢： 合力偶矩矢：M = Mxi + My j + Mz k
r r r r r M = M1 + M2 +L+ Mn = ∑ Mi
r r r r r MO (F) = Mx (F) i + My (F) j + Mz (F)k = Fbsinα i −Fasinα j + (Fbsinα sin β − Fasinα cos β ) k
空间力系
空间力矩
思考题
A a F F b D
α
r r MA(F)
r r MAB (F) = MA(F) AB
空间力偶
r r r r r r r r r r 力偶矩矢 M = M( F , F′ ) = rA × F − rB × F′ = rBA × F
空间力系
空间力偶
2.空间力偶的性质 2.空间力偶的性质 （1）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。 力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。 （2）空间力偶等效定理 两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。 两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。 推论1 只要保持力偶矩不变， 推论1：只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移 转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长 对刚体的作用效果不变。 短，对刚体的作用效果不变。
x O z
r r MO (F)
B
F
r
理学空间力系
Fy F sin sin Fz F cos
力的方向: cos = Fx
F
解析表达式: F Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
cos = Fy
F
力的大小: F Fx2 Fy2 Fz2
cos = Fz
F
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16
理论力学
09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 3.空间力偶
理论力学
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。
（2）空间力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变
力偶矩矢 M rBA F
M o (F, F ) M o (F ) M o (F ) rA F rB F
4
09:39
❖§4–1空间汇交力系
理论力学
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力 FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
(3) 指向：与转向的关系服从右手螺旋定则。 或从力偶矢的末端看去，力偶的 转向为逆时针转向。
用矢量表示。
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09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
理论力学
15
09:39
❖§4–2 空间力矩理论和力偶理论 3.空间力偶
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点 O ，其上作用有铅直载荷 F。钢丝 OA和 OB所构成的平面垂直于铅直平面 Oyz，并与该平面相交于OD，而钢丝OC则沿水平轴y。已知OD与轴z间的夹
角为β，又∠AOD = ∠BOD = α，试求各钢丝中的拉力。
第五章 空间基本力系
例题 5-3
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
第五章 空间基本力系
§ 5–2
力在轴上和平面上的投影
二次投影法
第五章 空间基本力系
§ 5–2
力在轴上和平面上的投影
例题 5-1
例5-1 已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受 的力F的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为4.5 kN，6.3 kN， 18 kN。试求力F的大小和方向。 解： 力F的大小 F
例题 5-2
例5-2 如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力 Fn的作用。 已知斜齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角α，试求力Fn沿x，y 和 z 轴的分力。
第五章 空间基本力系
例题 5-2
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-2
运 动 演 示
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
第五章 空间基本力系
y
Fy
α β γ
Fz
7641'
z
F
717'
23
例题 5-1
§5–3 空间共点力系合成的 解析法及其平衡的解析条件
合力投影定理 空间共点力系平衡的充要条件
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
1. 合力投影定理 共点力系的 合力在某一轴上的
静 力 学
空间基本力系
西北工业大学 支希哲
第五章 空间基本力系
朱西平
侯美丽
静
第 五 章 空 间 基 本 力 系
力
学
§5– 1 空间共点力系合成的几何法及其 平衡的几何条件
§5–2 力在轴上和平面上的投影
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其 平衡的解析条件
§ 5–4 力 偶 矩 矢 §5–5 空间力偶系的合成和平衡条件
沿各轴的分力为
Fx ( Fn cos sin ) i Fy ( Fn cos cos ) j Fz ( Fn sin ) k
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
例 5-3 如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂节
力在轴上的投影 力在平面上的投影
第五章 空间基本力系
§ 5–2
1.力在轴上的投影
力在轴上和平面上的投影
在空间情况下，力F在x轴上投影，与平面情形相似，
等于这个力的模乘以这个力与x轴正向间夹角α的余弦。
Fx F cos
F
A
α
B
x
a
b
x
第五章 空间基本力系
§ 5–2
力在轴上和平面上的投影
平
行
六
面
体 规
则
第五章 空间基本力系
§ 5–2
力的分解
力在轴上和平面上的投影
设将力F按坐标轴x，y，z方向分解为空间三正交分量：
Fx，Fy，Fz。 则
F Fx Fy Fz
Fx Fx i Fy Fy j Fy Fy k
引入x，y，z轴单位矢i，j， k。则可
F Fx i Fy j Fy k
例题 5-2
解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
Fz Fn sin Fxy Fn cos
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-2
Fz Fn sin Fxy Fn cos
将力Fxy向x，y 轴投影
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
目录
第五章 空间基本力系
§5– 1 空间共点力系合成的 几何法及其平衡的几何条件
空间共点力系合成的几何法
空间共点力系平衡的几何条件
第五章 空间基本力系
§5– 1 空间共点力系合成的几何法及其平衡的几何条件 1.空间共点力系合成的几何法
结论：空间共点力系
的合力等于力系中的 各个力的矢量和。 或者说，合力是由这 个力系的力多边形的
闭合边来表示。 公式
FR Fi
第Hale Waihona Puke 章 空间基本力系§5– 1 空间共点力系合成的几何法及其平衡的几何条件 2. 空间共点力系平衡的几何条件
空间共点力系平衡的充要的几何条件是这力系的多
边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。
FR Fi 0
第五章 空间基本力系
§5–2 力在轴上和平面 上的投影
第五章 空间基本力系
§ 5–2
力在轴上和平面上的投影
2.力在平面上的投影 由力矢F的始端A和末端B向投影平面oxy引垂线，由垂足A′到 B′所构成的矢量A′B′ ，就是力F在平面Oxy上的投影，记为Fxy。 力Fxy的大小： Fxy F cos
F
A
y
B
Fxy
B′
x
A′
O
注意 力在轴上的投影是一代数量。 力在一平面上的投影仍是一矢量。
A
x
x
F Fx2 Fy2 Fz2 4.52 6.32 182
19.6 kN 力F的方向
Fx 4.5 cos 0.220 , F 19.6 Fy 6.3 cos 0.322 , F 19.6 Fz 18 cos 0.919 , F 19.6
投影，等于力系中
所有各力在同一轴 上投影的代数和。
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件 2. 空间共点力系平衡的充要条件 力系中各力在三个坐标轴中每一轴上的投影之和分别等于零。
F
空间共点力系的平衡方程
x
0 0
F
y
F
z
0
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
解：
取O点为研究对象，受力分
析如图所示，这些力构成了空间
A D B
F3
α β α
z y C
O
共点力系。
F2 x
F1
F
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
力F2 ，F3的方向通过
α 角和 β 角来表示， α 是这 两 力 各 自 对 坐 标 平 面 Oyz 的倾角， β 是这两力在坐 标平面 Oyz 上的投影对 z 轴 的偏角。 故求这两力在y轴和
角为β，又∠AOD = ∠BOD = α，试求各钢丝中的拉力。
第五章 空间基本力系
例题 5-3
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
第五章 空间基本力系
§ 5–2
力在轴上和平面上的投影
二次投影法
第五章 空间基本力系
§ 5–2
力在轴上和平面上的投影
例题 5-1
例5-1 已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受 的力F的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为4.5 kN，6.3 kN， 18 kN。试求力F的大小和方向。 解： 力F的大小 F
例题 5-2
例5-2 如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力 Fn的作用。 已知斜齿轮的啮合角(螺旋角) β 和压力角α，试求力Fn沿x，y 和 z 轴的分力。
第五章 空间基本力系
例题 5-2
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-2
运 动 演 示
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
第五章 空间基本力系
y
Fy
α β γ
Fz
7641'
z
F
717'
23
例题 5-1
§5–3 空间共点力系合成的 解析法及其平衡的解析条件
合力投影定理 空间共点力系平衡的充要条件
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
1. 合力投影定理 共点力系的 合力在某一轴上的
静 力 学
空间基本力系
西北工业大学 支希哲
第五章 空间基本力系
朱西平
侯美丽
静
第 五 章 空 间 基 本 力 系
力
学
§5– 1 空间共点力系合成的几何法及其 平衡的几何条件
§5–2 力在轴上和平面上的投影
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其 平衡的解析条件
§ 5–4 力 偶 矩 矢 §5–5 空间力偶系的合成和平衡条件
沿各轴的分力为
Fx ( Fn cos sin ) i Fy ( Fn cos cos ) j Fz ( Fn sin ) k
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
例 5-3 如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂节
力在轴上的投影 力在平面上的投影
第五章 空间基本力系
§ 5–2
1.力在轴上的投影
力在轴上和平面上的投影
在空间情况下，力F在x轴上投影，与平面情形相似，
等于这个力的模乘以这个力与x轴正向间夹角α的余弦。
Fx F cos
F
A
α
B
x
a
b
x
第五章 空间基本力系
§ 5–2
力在轴上和平面上的投影
平
行
六
面
体 规
则
第五章 空间基本力系
§ 5–2
力的分解
力在轴上和平面上的投影
设将力F按坐标轴x，y，z方向分解为空间三正交分量：
Fx，Fy，Fz。 则
F Fx Fy Fz
Fx Fx i Fy Fy j Fy Fy k
引入x，y，z轴单位矢i，j， k。则可
F Fx i Fy j Fy k
例题 5-2
解： 将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影
Fz Fn sin Fxy Fn cos
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-2
Fz Fn sin Fxy Fn cos
将力Fxy向x，y 轴投影
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
目录
第五章 空间基本力系
§5– 1 空间共点力系合成的 几何法及其平衡的几何条件
空间共点力系合成的几何法
空间共点力系平衡的几何条件
第五章 空间基本力系
§5– 1 空间共点力系合成的几何法及其平衡的几何条件 1.空间共点力系合成的几何法
结论：空间共点力系
的合力等于力系中的 各个力的矢量和。 或者说，合力是由这 个力系的力多边形的
闭合边来表示。 公式
FR Fi
第Hale Waihona Puke 章 空间基本力系§5– 1 空间共点力系合成的几何法及其平衡的几何条件 2. 空间共点力系平衡的几何条件
空间共点力系平衡的充要的几何条件是这力系的多
边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。
FR Fi 0
第五章 空间基本力系
§5–2 力在轴上和平面 上的投影
第五章 空间基本力系
§ 5–2
力在轴上和平面上的投影
2.力在平面上的投影 由力矢F的始端A和末端B向投影平面oxy引垂线，由垂足A′到 B′所构成的矢量A′B′ ，就是力F在平面Oxy上的投影，记为Fxy。 力Fxy的大小： Fxy F cos
F
A
y
B
Fxy
B′
x
A′
O
注意 力在轴上的投影是一代数量。 力在一平面上的投影仍是一矢量。
A
x
x
F Fx2 Fy2 Fz2 4.52 6.32 182
19.6 kN 力F的方向
Fx 4.5 cos 0.220 , F 19.6 Fy 6.3 cos 0.322 , F 19.6 Fz 18 cos 0.919 , F 19.6
投影，等于力系中
所有各力在同一轴 上投影的代数和。
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件 2. 空间共点力系平衡的充要条件 力系中各力在三个坐标轴中每一轴上的投影之和分别等于零。
F
空间共点力系的平衡方程
x
0 0
F
y
F
z
0
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
解：
取O点为研究对象，受力分
析如图所示，这些力构成了空间
A D B
F3
α β α
z y C
O
共点力系。
F2 x
F1
F
第五章 空间基本力系
§5–3 空间共点力系合成的解析法及其平衡的解析条件
例题 5-3
力F2 ，F3的方向通过
α 角和 β 角来表示， α 是这 两 力 各 自 对 坐 标 平 面 Oyz 的倾角， β 是这两力在坐 标平面 Oyz 上的投影对 z 轴 的偏角。 故求这两力在y轴和