二次函数综合题解题方法与技巧

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二次函数综合题解题方法与技巧

C xxy yA OBED A CB CD G图1图2 APOBEC xy 压轴题解题技巧练习引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。

审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。

解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。

认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

一、动态：动点、动线1．如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)，其中x 1、x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根．(1)求这条抛物线的解析式；(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．二、圆2．如图10，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙Ａ与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙Ａ的切线l.（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙Ａ的切线DE ，E 为切点，求此切线长；（3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与EAD △相似时，求出BF 的长．2点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝ 13．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度；(3)如图2，若点G (2，y )是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积．4、在平面直角坐标系中，已知A (－4，0)，B (1，0)，且以AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 作圆的切线交x 轴于点D ．（1）求点C 的坐标和过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）求点D 的坐标；（3）设平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．四、比例比值取值范围5．图9是二次函数k m x y2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4).（1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MABPABSS45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(bb x y与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.yxOCDBA1－46．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，82OA cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线214yxbx c 经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y axbxc 与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(30)，，若将经过A C 、两点的直线y kx b 沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x ．（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；（2）如果P 是线段AC 上一点，设ABP 、BPC 的面积分别为ABP S、BPCS，且:2:3A B PB P CSS，求点P 的坐标；（3）设Q 的半径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？五、探究型．BAPxCQOy 第26题图8. 如图，直线33xy 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C（3,0）.⑴求抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.9．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (－3，0)、B 两点，与y 轴相交于点C(0，3)．当x ＝－4和x ＝2时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数值y 相等，连结AC、BC ．A DBCEOxyy O xCNBPM AyxOCBA（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）若点M 、N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将△BMN 沿MN 翻折，B点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得以B ，N ，Q 为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．六、最值类11．如图11，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y2的图象与x 轴交于A 、B 两点，A点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ，那么是否存在点P ，使四边形POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.12. 如图，抛物线y =21x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM+DM 的值最小时，求m 的值．第12题图。

数学二次函数解题技巧

数学二次函数解题技巧作为一种经典的数学模型，在中学阶段二次函数是数学学科的重要组成部分。

二次函数是求解各种数学问题的基础，在学习二次函数的过程中，考学生们需要学习它的定义、性质、问题解决技巧等，从而更深入地理解二次函数的本质和应用背景。

本文将介绍数学二次函数解题技巧，为学生们提供实用的指导。

一、二次函数的定义二次函数是指方程y=a(x-h)^2+k(a≠0) 的解析式，也就是y=ax^2+bx+c(a≠0)。

其中，a、b、c都是实数，称为二次函数的系数，h、k分别为二次函数的横坐标和纵坐标的坐标轴截距。

二次函数定义需要掌握的关键点如下：1. 二次函数的形式可以根据a的正负性质分为两种形式：开口上的二次函数和开口下的二次函数；2. 当a=0时，二次函数变为一元一次函数，其形状为一条水平直线；3. 当a>0时，二次函数的最小值为k；4. 当a<0时，二次函数的最大值为k。

二、二次函数的图像学习二次函数时，了解图像是非常重要的，因为它有助于直观地理解形状和性质。

二次函数的图像并不难绘制，只需要知道函数的系数a、h、k即可。

当a>0时，二次函数的开口向上，最小值为k，在(h,k)处有一个最小值点。

当a<0时，二次函数的开口向下，最大值为k，同样也在(h,k)点有最大值点。

当a=0时，它是一条水平直线，它的坐标轴截距为k。

三、二次函数的解题技巧1. 常规方法.求最值最常见的二次函数问题是求解最值（最大值和最小值），最好的方法是计算其导数，当导数等于0时计算极值点，然后再确定最大值和最小值。

当然，为了简化计算，我们也可以尝试化简方程或者直接考虑图像形式。

2. 定位顶点对于二次函数，最简单的方法是确定其顶点，因为顶点描述了函数的变化趋势。

我们可以用数学方法找到顶点，也可以通过观察二次函数的图像提取关键信息找到顶点，并使用顶点来帮助解决一些问题。

3. 转换成顶点形式在某些情况下，将二次函数转换为顶点形式是很有用的。

二次函数综合题解题方法

二次函数综合题解题方法二次函数是高中数学中的重要内容，掌握二次函数的解题方法对于学生来说至关重要。

下面将从不同角度对二次函数的综合题解题方法进行详细介绍，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来看一下二次函数的基本形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

在解题时，我们通常会遇到以下几种情况：1. 求二次函数的顶点坐标，二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))来求得，其中f(x)=ax^2+bx+c。

这个公式的推导可以通过配方法或者求导数来得到，根据具体题目的要求，我们可以选择合适的方法来求解顶点坐标。

2. 求二次函数与坐标轴的交点，当我们需要求二次函数与x轴或y轴的交点时，可以通过令y=0或x=0来解方程，从而得到交点的坐标。

这个方法在解题过程中经常会被用到，需要我们熟练掌握。

3. 求二次函数的图像，通过化简二次函数的标准形式，我们可以得到二次函数的图像特征，包括开口方向、顶点坐标、对称轴方程等。

这些信息对于绘制二次函数的图像非常重要，也是解题过程中的关键一步。

4. 求二次函数的最值，通过求解二次函数的导数，我们可以得到二次函数的增减性和极值点的信息，从而求得二次函数的最值。

这个方法在优化问题中经常会被用到，需要我们熟练掌握求导数和解方程的技巧。

5. 求二次函数的零点，通过利用一元二次方程的求根公式或者配方法，我们可以求得二次函数的零点，也就是方程y=ax^2+bx+c=0的解。

这个方法在解题过程中经常会被用到，需要我们熟练掌握求根公式和配方法的运用。

以上就是关于二次函数综合题解题方法的详细介绍，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

在解题过程中，我们需要根据具体题目的要求灵活选择合适的方法，同时也需要多加练习，提高解题的能力和水平。

希望大家能够在学习中取得更好的成绩，加油！。

高一二次函数解题技巧及方法

高一二次函数解题技巧一、掌握二次函数的概念：1、二次函数是指未知数是二次的函数，形式为y=ax²+bx+c，其中中a、b、c是常数，且a≠0。

2、在二次函数中，自变量x的取值范围通常为全体实数。

二、理解二次函数的表达式：1、二次函数的表达式通常由一元二次方程给出，这个方程可以用来描述二次函数的性质。

2、例如，二次函数的顶点式y=a(x-h)²+k可以表示出函数的顶点坐标(h,k)。

三、掌握二次函数的图形特征：1、二次函数的图形是一个抛物线，其顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h，开口方向由a的符号决定。

2、当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

四、掌握二次函数的对称轴及顶点：1、二次函数的对称轴是x=h，顶点坐标是(h,k)。

2、在解题时，可以根据对称轴和顶点坐标快速找到函数的最值或单调区间。

五、了解二次函数的增减性及最值：1、二次函数的增减性取决于a的符号。

2、当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。

3、当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。

4、最值是指函数在某个区间内的最大值或最小值。

5、对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，当x=-b/2a时，取得最值(4ac-b²)/4a。

六、掌握二次函数的交点及与X轴的交点坐标：1、二次函数的交点是指与x轴交点的横坐标。

2、当函数与x轴相交时，交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根。

3、注意判别式b²-4ac的符号，当b²-4ac>0时，与x轴有两个交点；当b²-4ac=0时，与x轴有一个交点；当b²-4ac<0时，与x轴没有交点。

七、熟悉二次函数的平移规则：1、平移规则是指通过平移抛物线来改变其形状和位置。

初三数学二次函数秒杀技巧

初三数学二次函数秒杀技巧
二次函数是初中数学的重要内容，同时也是中考的重点和难点。

以下是一些解题技巧：
1.抛物线中的开口问题、对称轴问题、交点问题等是二次函数的基础，学生需要对这些知识点进行深入理解和掌握。

2.二次函数的解题灵活多变，涉及的知识点较多，因此需要进行大量的练习以提高解题能力。

3.对于二次函数与坐标轴的交点问题，可以通过公式法或配方法进行求解。

4.当二次函数与x轴有两个交点A和B时，如果有一点P满足PA⊥PB，那么点P的纵坐标是一个定值-1/a。

这个结论可以帮助学生快速解决一部分压轴题。

数学二次函数解题技巧大全

数学二次函数解题技巧大全众所周知，二次函数的函数式是y = ax2 + bx + c，观察其函数式非常的简单，而与其对应的抛物线图像却比较容易发生变形。

下面是小编为大家整理的关于初中数学二次函数解题技巧，希望对您有所帮助。

欢迎大家阅读参考学习!1初中数学二次函数解题技巧画出图示教形结合。

函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量"。

函数自产生就和图形结下了不解之缘。

其实，我们现在研究函数也要依据函数的图像，由图像看性质、由性质看图像，无论是函数概念还是性质的教学都离不开图像，都需要图像的支撑，因为函数和它的图像是分不开的一个整体。

所以函数知识的教学中，教师一定要帮助学生养成未解题，先作图的习惯，函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作通过计算机演绎各种函数的变化过程，使学生从直观状态下，发现函数的各种性质，并且，强烈的视觉效果引发的学习积极性，可以使记忆保持得更持久。

函数概念的教学过程中，在教学方式的选择上除了重点之处教师必不可少地讲解之外，而对于学生容易认识不清的地方，教师可以创设适当的情境后，让学生采用合作学习的方式，进行充分的交流与讨论，凸现出问题，以便能及时发现学生思想上的错误认识，澄清是非，帮助学生更好地学习和理解函数。

关注函数模型解题。

在利用数学解答实际问题的教学中，我们在进行行之有效的训练，并掌握各种类型问题的基础上，应及时总结应用问题与数学问题的联系，归纳其归属哪类问题。

例如现实生活中，广泛存在的用料最省，造价最低，利润最大等最优化问题归于函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。

当然初中学生现有的水平还很低，但可以通过与生活的结合，让学生充分领会到函数在实践中的作用，就能激发学生的学习兴趣，对以后的数学学习会有一个好的导向。

教师在学科融合过程中，应该处理好特定学科领域知识之间的整合，对几类知识进行再组织，从教育规律出发对学科内容进行的融合，旨在解决如何教的问题。

中学数学二次函数解题技巧

中学数学二次函数解题技巧数学二次函数解题技巧，各位同学知道怎么简单的节函数吗?看看下面吧!大家不需要看到函数就怕怕，其实有技巧的哦!初中数学函数解题技巧1、注重类比思想不同的事物往往具有一些相同或相似的属性，人们正是利用相似事物具有的这种属性，通过对一事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识事物的思维方法就是类比法。

初中学习的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数在概念的得来、图象性质的研究、及基本解题方法上都有着本质上的相似。

因此阳光学习网刘老师指出，采用类比的方法不但省时、省力，还有助于学生的理解和应用。

是一种既经济又实效的教学方法。

2、注重数形结合思想数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。

而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。

它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。

函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法本身就体现着函数的数形结合。

函数图象就是将变化抽象的函数拍照下来研究的有效工具，函数教学离不开函数图象的研究。

3、注重自变量的取值范围自变量的取值范围，是解函数问题的难点和考点。

正确求出自变量取值范围，正确理解问题，并化归为解不等式或不等式组。

这需要学生掌握函数的思想，不等式的实际应用，全面考虑取值的实际意义。

4、注重实际应用问题学习函数的主要目的之一就是在复杂的实际生活中建立有效的函数模型，利用函数的知识解决问题。

这也是新课标所倡导的学习，因此新教材大力倡导函数与实际的应用。

初中掌握数学解题方法和技巧很重要，在德智教育网一线名师将在线对我们进行一对一辅导数学函数，让同学们能够掌握函数的基本知识点，效地形成类比和数形结合等数学思想，从而形成自己的在数学函数方面的解题方法和技巧。

初中数学二次函数做题技巧I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax +bx+c(a，b，c为常数，a 0，且a决定函数的开口方向，a 0时，开口方向向上，a 0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y 为x的二次函数。

中考数学解题技巧(五)二大类八模型

中考数学解题技巧（五）、两大类八模型———二次函数综合应用题(马铁汉)函数的表示方法有表格法、解析式法和图像法三种方法。

因此，二次函数综合应用题，题干图文并茂，内容丰富多彩，有时还有表格插入；由于题目较长，文字较多，数量复杂，光审题就是件困难的事。

审题一定要仔细。

读题时，篇幅较大的背景文字了解即可，重点阅读有用的数量信息；为了弄清楚重要信息，可把各个量用不同记号标注出来，加深印象，以免搞糊涂。

哪些是常量，哪些是变量；哪个是自变量，哪个是自变量的函数；有时还有参数渗入，它是什么含义，都要搞准确。

二次函数综合应用题，涉及的知识面较广（一次函数、二次函数，不等式，一元一次方程、一元二次方程、分式方程等）。

解答此题，需要具备数形结合思想、方程思想、函数思想，建模思想等数学思想；需要扎实的基础知识和熟练的基本技能，然后做到稳扎稳打，层层分析，逐步解决。

二次函数综合应用题，考查方式有两大类八个模型。

1、考查函数最值类：求实际问题中函数最值。

有下面四个模型：①求二次函数顶点纵坐标，即为实际问题的最值；②求区间内函数最值，即为实际问题的最值；③求函数整数点最值，即为实际问题的最值；④分段函数，需比较各区间函数最值后，确定实际问题的最值。

2、考查自变量范围类：求自变量取值范围或求复合函数中参数范围。

有下面四种模型：①由函数增减性，结合函数值要求，求自变量取值范围；②复合函数，由函数增减性，结合对称轴位置，求参数；③复合函数，由函数增减性，结合对称轴位置，确定区间最值，求参数；④复合函数，由二次函数顶点坐标，求参数。

模型一、求二次函数顶点纵坐标，即为实际问题的最值例1、（2022武汉.22.）（本小题满分10分）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处.小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表.小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间t 之间成二次函数关系.（1）直接写出v 关于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）（2）当黑球减速后运动距离为64cm 时，求它此时的运动速度；（3）若白球一．直．以2cm/s 的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由. 解：（1）1102v t =-+，21104y t t =-+. （2）解：依题意，得2110644t t -+=.∴2402560t t -+=. 解得，18t =，232t =.当18t =时，6v =；当232t =时，6v =-（舍）. 答：黑球减速后运动64cm 时的速度为6cm/s . （3）解：设黑白两球的距离为cm w .270218704w t y t t =+-=-+ 21(16)64t =-+. ∵104>，抛物线开口向上， ∴当16t =时，w 的值最小为6. （在取值范围内，顶点纵坐标即为实际问题的最值） ∴黑、白两球的最小距离为6cm ，大于0，黑球不会碰到白球.另解1：当0w =时，2187004r t -+=，判定方程无解. 另解2：当黑球的速度减小到2cm/s 时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球。

二次函数与几何图形综合题解题技巧

二次函数与几何图形综合题解题技巧一、求二次函数解析式。

根据y=mx+b，把一元二次方程mx+b=0化为ax+by+c=0的系数a=b，然后通过解方程得出y=mx+b的值，由于不知道b、 a的具体值，可以通过函数与几何图形的综合分析来得到它们的大致范围。

例如，已知点（ 1， 1），（ 3， -3），直线（ x， -3），（ 4， 2）;在(-3， 4)、(-1， 1)处画出一个坐标平面内关于坐标轴对称的二次函数解析式;（ 5， 2）处画出一个关于坐标轴对称的抛物线，使其解析式为y=x+b。

求这些二次函数的表达式。

1。

设二次函数解析式为y=mx+b。

分析：二次函数与一元二次方程有密切联系，解一元二次方程是解二次函数的基础。

设一元二次方程为x+b=0，则根据对称性可得，函数解析式为x+b=mx+c。

2。

设二次函数解析式为y=ax+by+c。

分析： a、 b、 c都是实数，且a>0，b>0。

设函数解析式为x+b=ax+by+c，代入上式可得， y=x+b/c=mx+c/c。

求出二次函数的解析式，即可求出a、 b、 c的值。

3。

设二次函数解析式为y=ax+by+c。

分析：根据对称性，可得y=bx+c， a、 b、c均为实数，且a>0， b>0。

设函数解析式为x+b=bx+c，代入上式可得， y=x+b/c=mx+c/c。

4。

设二次函数解析式为y=ax+by+c。

分析：解方程得y=mx+c，由对称性，得x+c=y+b，代入上式，可得， y=x+b/c。

二、用几何图形解题。

二、用几何图形解题，最好能画出这些图形的图像，再列式解答。

因为几何图形看似复杂，但并不难，常见的如圆的周长、扇形面积、矩形的面积等等。

以下是应用这两种方法解二次函数综合题的例子，供同学们参考： 1。

求出二次函数的解析式，画出抛物线y=mx+b。

分析：首先将点（ 1， 1），（ 3， -3），直线（ x， -3），（ 4， 2） ;在(-3， 4)、(-1， 1)处画出一个坐标平面内关于坐标轴对称的二次函数解析式；再设函数解析式为x+b=mx+c，代入上式得y=mx+c/c。

二次函数典型题解题技巧

二次函数典型题解题技巧（一）有关角1、已知抛物线 y ax2bx c的图象与 x 轴交于A、B两点（点 A 在点 B 的左边），与y轴交于点C (0，3)，过点 C 作x轴的平行线与抛物线交于点 D ，抛物线的顶点为M ，直线y x 5经过 D、M两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）连接AM、AC、BC，试比较MAB 和ACB的大小，并说明你的理由.思路点拨：对于第（ 1）问，需要注意的是CD 和 x 轴平行（过点 C 作x轴的平行线与抛物线交于点 D ）对于第（ 2）问，比较角的大小a、如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小，那么他们之间的大小关系就清楚了b、如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就确定了c、如果稍难一点，这两个角转化成某个三角形的两个内角，根据大边对大角来判断角的大小d、除了上述情况外，那只有可能两个角相等，那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、相似三角形和简单三角函数，从这个题来看，很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了，其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的，都是对应边的比相等e、可能还有人会问，这么想我不习惯，太复杂了，那么我再说一个最简单的方法，如何快速的找出题目的结论问题，在本题中，需要用到的点只有 M 、C、 A、 B 这四个点，而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小，你就能得出结论了，得出结论以后你再看 d 这一条解：（ 1）∵ CD ∥ x 轴且点 C（0， 3），∴设点 D 的坐标为 (x， 3) ．∵直线 y= x+5 经过 D 点，∴3= x+5 ．∴ x= － 2．即点 D( －2， 3) ．根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为又∵直线y= x+5 经过 M 点，M（－ 1， y），∴y = － 1+5， y =4 ．即 M （－ 1，4）．2∴设抛物线的解析式为y a( x 1)4．即抛物线的解析式为y x22 x3．⋯⋯⋯⋯3分（2）作 BP ⊥AC 于点 P， MN ⊥AB 于点 N．2由（1）中抛物线y x2x 3 可得∴A B=4 ， AO=CO=3 ， AC= 3 2．∴∠ PAB＝ 45°．∵∠ ABP=45°，∴ PA=PB= 2 2 ．∴PC=AC － PA= 2 ．PB在Rt△ BPC 中， tan∠ BCP= PC =2．在Rt△ ANM 中，∵ M （ -1，4），∴ MN=4 ．∴ AN=2 ．MNtan∠ NAM= AN =2 ．∴∠ BCP＝∠ NAM ．即∠ ACB ＝∠ MAB ．后记：对于几何题来说，因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角（圆分开再说），所以几何的证明无非就是线段之间的关系，角之间的关系，在二次函数综合题里，我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题，其次才是利用线段之间的关系来解题，除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单，因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的，尤其是不知道某个点的确切坐标时，那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路2 、如图，抛物线y ax2bx3与 x轴交于 A, B两点，与y轴交于点C，且OB OC3OA ．（I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P, A, C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由；y 11 x（III ）直线3交y轴于 D 点， E 为抛物线顶点．若DBC，CBE,求的值．思路点拨：（ II ）问题的关键是直角，已知的是AC 边，那么 AC 边可能为直角边，可能为斜边，当 AC 为斜边的时，可知P 点是已 AC 为直径的圆与坐标轴的交点，且不能与A 、 C 重合，明显只有O 点；当 AC 为直角边时，又有两种情况，即 A 、 C 分别为直角顶点，这时候我们要知道无论是 A 或者 C 为直角顶点，总有一个锐角等于∠OCA （或 Rt△ PAC 和 Rt△ OAC 相似），利用这点就可以求出OP 的长度了（I II ）从题目的已知条件看，除了∠ ABC=45 °外没有知道其他角的度数，那么这两个角要么全是特殊角（ 30°， 45°， 60°， 90°），在这种情况下，他们的差才有可能不是特殊的角，很明显，这两个角不是特殊角，那只有一种可能（在没有学反三角函数的前提下），就是他们的差是特殊角，再联系到∠ABC=45 °，可知，这两个角的差就是 45°，那么我们需要证明的就是∠ ABD= ∠ CBE ，再想想上一题所说的，就明白是利用相似三角形来证明了，即证明△ BCE 是一个直角三角形且与△ BAD 相似解：（ I ）抛物线 yax 2bx 3与 y 轴交 C 点 0, 3，且OBOC 3OA ．A 1,0 , B(3,0)．代入yax 2 bx 3，得a b 3 0 a 19 a 3b 3 0b 2yx 2 2 x 3（ II ）①当PAC 90 时,可证P 1AO∽ACO1Rt P 1 AO 中，t an P 1 AO t an A C O1P 1 (0,1)3 ．3②同理 : 如图当 P 2CA 90 时， P 2 (9,0)③当CP 3 A 90 时， P 3 (0,0)综上，坐标轴上存在三个点P ，使得以点P,A,C为顶点的三角形为直角三角形，分别P (0, 1)P 2 (9,0) ， P 3 (0,0) ．是 13（ III ）由y1x 1, 得 D 0,1 ．由 y x 22x3，得顶点 E 1, 4 ．3 ∴BC 3 2,CE 2,BE 2 5．BC 2 CE 2BE 2 ,BCE 为直角三角形．tanCE 1CB3 ．Rt DOB 中tanOD 1DBO3．DBO又OB．DBOOBC 45 ．（二）线段最值问题引子：初中阶段学过的有关线段最小值的有两点之间线段最短和垂线段最短，无论是两点之间选段最短还是垂线段最短，它们的本质就是要线段首尾相接，或者说线段要有公共端点，如果我们公共端点，我们要想办法把它们构造成有公共端点来解决；有关线段最大值的问题，学过的有三角形三边之间的关系，两边之差小于第三边，我们可以利用这个来求第三边的最大值，还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值3、抛物线y ax 2bx c a 0交 x 轴于 A 、B 两点，交 y 轴于点 C ，已知抛物线的对称轴为直线 x = -1 ，B(1,0) ， C(0,-3). ⑴ 求二次函数yax 2bx c a 0的解析式；⑵ 在抛物线对称轴上是否存在一点 P ，使点 P 到 A 、 C 两点距离之差最大？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由 .思路点拨：点 P 到 A 、 C 两点距离之差最大，即求 |PA －PC|的最大值，因 P 点在对称轴上，有 PA=PB ，也就是求 |PB － PC|，到了这儿，易知当 P 点是 BC 所在直线与对称轴的交点，易知最大值就是线段 BC 的长。

初中数学二次函数解题技巧必看

初中数学二次函数解题技巧必看每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学作为最烧脑的科目之一，也是要记、要背、要讲技巧的。

下面是小编给大家整理的一些初中数学二次函数解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。

二次函数解题方法1、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标(若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标)，任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线(显然最多有3条)，此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。

进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢?先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否?若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。

②若是否存在这样的动点构成棱形呢?先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否?若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。

③若是否存在这样的动点构成正方形呢?先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等?和两条对角线是否相等?若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。

2.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：(此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，后面的19实为本类型的特殊情形。

)先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示(如果图形是动图形就只能表示出其面积)或计算(如果图形是定图形就计算出它的具体面积)，然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。

(注意去掉不合题意的点)，如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。

3.“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标(一母示)，视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于-1)，得到一个方程，解之即可。

二次函数与几何图形综合题解题技巧

二次函数与几何图形综合题解题技巧
函数与几何图形综合题是中学数学中的重要内容，也是考试中的重要考查内容。

在解答函数与几何图形综合题时，要求考生要熟悉函数的性质和几何图形的特征，并熟练掌握解题技巧。

本文就函数与几何图形综合题的解题技巧进行论述，以供考生参考。

首先，考生在解答函数与几何图形综合题时，要仔细阅读题目，弄清题意，明确解题要求。

其次，要熟悉函数的性质，了解函数的变化规律，要熟悉几何图形的特征，如线段、三角形、圆等，以及相关的图形变换，如旋转、缩放等。

然后，要熟悉解函数与几何图形综合题的常用技巧，如分类讨论法、类比法、解析法、图形特征法、函数特征法等。

最后，要做好记号处理，妥善使用符号进行计算，以及绘制相应的函数图像或几何图形，以明确题目要求的结果。

总之，函数与几何图形综合题的解题技巧是考生在完成考试中函数与几何图形综合题的关键，考生应该在正式考试前多加练习，掌握这些解题技巧，以获得更好的考试成绩。

二次函数做题技巧和方法

二次函数做题技巧和方法以下是二次函数解题的一些技巧和方法：1. 确定二次函数的形式：二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b和c都是常数。

确定二次函数的形式有助于理解问题和选择合适的解题方法。

2. 了解二次函数的图像特征：二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

根据 a 的正负可以判断抛物线的方向。

3. 确定二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。

顶点的横坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 来求得。

4. 分析二次函数的轴对称性：二次函数沿着顶点所在的直线具有轴对称性。

可以利用轴对称性简化计算。

5. 求解二次函数的零点：二次函数的零点是函数与 x 轴交点的横坐标。

可以通过因式分解、配方法、求根公式、配方法等来求解二次函数的零点。

6. 利用判别式分析二次函数的解的情况：二次函数的判别式为b^2 - 4ac，可以根据判别式的正负情况判断二次函数的解的情况（有两个不相等的实根、有两个相等的实根、无实根）。

7. 利用二次函数的性质进行证明：二次函数具有一些特殊的性质，例如对称性、最值问题等，可以利用这些性质进行证明或推导。

8. 利用二次函数的图像进行问题解答：二次函数的图像具有一些特殊的形状和性质，可以根据图像解答有关最值、范围、增减性等问题。

9. 注意二次函数的定义域和值域：定义域是使二次函数有意义的取值范围，值域是函数的所有可能取值。

在解题过程中要注意限制二次函数的定义域和值域。

10. 综合运用各种解题方法：在解题过程中可以综合运用因式分解、求根公式、配方法等多种方法，选择最适合的方法求解。

高一：二次函数常见题型及解题技巧.doc

高一：二次函数常见题型及解题技巧我们今天就总结一下常见的二次函数常见的体型以及解题技巧。

第一类：基础知识类这一类命题主要包含以下几类问题：函数定义、二次函数的特殊点（顶点、对称轴、最大/最小值）等。

其中对于函数的特殊点，主要核心在于把握住两个要点：函数式之间的转化，顶点式的特点。

解决此类问题，在不熟悉二次函数的情况下，最有操作性的方式就是将函数从各种形式转化为顶点式。

即转化为形如：y=a（x-b）²+c(其中a为不为零的常数）转化为这种形式之后，就可以以轻松解决这些问题了，顶点为（b,c）对称轴为X=b。

而此时函数的最大值/最小值要看系数a是正数还是负数了。

若a0，则此二次函数应该是开口向上，此时在顶点处取得最小值c。

若a0，此时顶点处取得最大值。

函数定义类往往很少单独出题，一般会利用函数的开口方向等信息，结合一次函数，函数交点等信息结合出题。

eg：已知二次函数y=mx²+(m－1)x+m-1有最小值为0，则m＝？第二类：二次函数的增减性及函数值比大小的问题讨论二次函数的增减性往往会利用到第一类对称轴的知识。

因为二次函数的极值点往往是区分函数增减的关键点：（1）对于开口向上的函数，极值点左边的部分为减函数，极值点右边的部分为增函数；（2）对于开口向下的函数，极值点左边的部分为增函数，极值点右边的部分为减函数；（3）如果是比较极值点两边的函数值大小的题目，我们要考虑两边的点与极值点在X轴上的距离：开口向上是，距离极值点越远的函数值越大；开口向下时，距离极值点跃进的函数值越大；.eg：已知二次函数y=-½x²+3x+5 的图象上有三点A(x1,y1),B(x2.,y2),C(x3,y3)且3x1x2x3，则y1,y2,y3的大小关系为？第三类：函数的平移这类问题常常是困扰很多学生的问题。

实际上是有口诀用于记忆的：向上平移加y值，想右平移减x值。

这类问题常见的通用解题方法其实依然是转化为顶点式y=a（x-b）²+c。

数学二次函数压轴题解题技巧

数学二次函数压轴题解题技巧数学二次函数是中学数学中的一个重要内容，而在高考数学中，二次函数也是一个重要的考点。

二次函数在高考中的压轴题往往难度较大，需要学生具备扎实的数学知识和高超的解题技巧。

下面是一些解决二次函数压轴题的技巧。

1. 熟悉常见二次函数的形式和性质常见的二次函数包括：二次项系数为 1 的二次函数，即 y=x^2;二次项系数不为 1 的二次函数，即 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 为常数;以及二次函数的平移变换，即 y=x^2+bx+c(x-a)。

熟悉这些函数的形式和性质，可以帮助我们更好地理解和解决问题。

2. 掌握求最值的方法在二次函数中，求最值是一个重要的问题。

常用的求最值方法包括：利用函数的导数求最值;利用二次函数的图像求最值;利用不等式求最值等。

其中，利用函数的导数求最值是最常用的方法之一，需要注意求导的方法和技巧。

3. 掌握求顶点的方法求顶点是解决二次函数压轴题的一个常用方法。

常用的求顶点的方法包括：利用函数的导数求顶点;利用二次函数的图像求顶点;利用对称轴求顶点等。

其中，利用函数的导数求顶点是最常用的方法之一，需要注意求导的方法和技巧。

4. 掌握求范围的方法在二次函数中，求范围也是一个重要的问题。

常用的求范围方法包括：利用函数的导数求范围;利用二次函数的图像求范围;利用不等式求范围等。

其中，利用函数的导数求范围是最常用的方法之一，需要注意求导的方法和技巧。

5. 利用图形结合数学方法解决问题在解决二次函数压轴题时，常常需要利用图形结合数学方法解决问题。

例如，可以利用图像的对称性质、周期性、平移变换等，帮助我们更好地理解和解决问题。

此外，还需要善于总结各种技巧和方法，熟练掌握各种解题套路，以应对各种可能出现的二次函数压轴题。

高中数学解题技巧之二次函数求解

高中数学解题技巧之二次函数求解在高中数学中，二次函数是一个重要的内容，掌握二次函数的求解技巧对于学生来说至关重要。

本文将介绍二次函数求解的相关技巧，并通过具体的例题进行分析和说明，帮助高中学生和他们的家长更好地理解和应用这些技巧。

一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

在求解二次函数时，我们需要关注以下几个方面的内容。

1. 求解二次函数的根二次函数的根即方程y = ax^2 + bx + c = 0的解。

求解二次函数的根可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法。

例如，考虑二次函数y = x^2 - 3x + 2，我们可以通过因式分解的方法进行求解。

首先，将二次函数改写为：(x - 1)(x - 2) = 0。

由此可得，x - 1 = 0 或 x - 2 = 0，即x = 1 或 x = 2。

因此，二次函数y = x^2 - 3x + 2的根为x = 1和x = 2。

2. 求解二次函数的顶点二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，也是函数的极值点。

求解二次函数的顶点可以使用平移变换或求导数等方法。

例如，考虑二次函数y = x^2 - 4x + 3，我们可以通过平移变换的方法进行求解。

首先，将二次函数改写为：y = (x - 2)^2 - 1。

由此可得，顶点坐标为(2, -1)。

因此，二次函数y = x^2 - 4x + 3的顶点为(2, -1)。

二、二次函数求解技巧举例下面我们通过几个具体的例题来进一步说明二次函数求解的技巧。

例题1：求解二次函数y = x^2 - 6x + 8的根。

解析：我们可以使用因式分解的方法进行求解。

首先，将二次函数改写为：(x - 2)(x - 4) = 0。

由此可得，x - 2 = 0 或 x - 4 = 0，即x = 2 或 x = 4。

因此，二次函数y = x^2 - 6x + 8的根为x = 2和x = 4。

中考二次函数结合动点解题技巧大全

中考二次函数压轴题———解题通法研究二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题,同时在省级,国家级数学竞赛中也有二次函数大题,在宜宾市的拔尖人才考试中同样有二次函数大题,在成都,绵阳,泸县二中等地的外地招生考试中也有二次函数大题,很多学生在有限的时间内都不能很好完成;由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关,学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否,直接关系到未来数学的学习;所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和专家的必选内容;我通过近６年的研究,思考和演算了上1000道二次函数大题,总结出了解决二次函数压轴题的通法,供大家参考;几个自定义概念：① 三角形基本模型：有一边在X 轴或Y 上,或有一边平行于X 轴或Y 轴的三角形称为三角形基本模型;② 动点或不确定点坐标“一母示”：借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式,用一个字母把该点坐标表示出来,简称“设横表纵”;如：动点P 在y=2x+1上, 就可设 Pt, 2t+1.若动点Ｐ在ｙ＝2321x x -+,则可设为Ｐｔ,2321t t -+当然若动点M 在X 轴上,则设为t, 0.若动点M 在Ｙ轴上,设为０,ｔ．③ 动三角形：至少有一边的长度是不确定的,是运动变化的;或至少有一个顶点是运动,变化的三角形称为动三角形;④ 动线段：其长度是运动,变化,不确定的线段称为动线段;⑤ 定三角形：三边的长度固定,或三个顶点固定的三角形称为定三角形;⑥ 定直线：其函数关系式是确定的,不含参数的直线称为定直线;如：ｙ＝３ｘ－６;⑦ X 标,Y 标：为了记忆和阐述某些问题的方便,我们把横坐标称为x 标,纵坐标称为y标;⑧ 直接动点：相关平面图形如三角形,四边形,梯形等上的动点称为直接动点,与之共线的问题中的点叫间接动点;动点坐标“一母示”是针对直接动点坐标而言的;1.求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;２、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K 点法求出过已知点,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离;方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5.常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6.“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7.三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解; 8.三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式 12底·高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到1(-)-x 2S y y =•动三角形上（动）下（动）右（定）左（定）（x ）,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;② “三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9.“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形连结两个定点,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题：有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11.“两个三角形相似”的问题：两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;１2.、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形,则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;１3、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;１4、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;１5、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;１6、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;② 若动点为直角顶点：先利用k 点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;１7、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A ”或“X ”是关键和突破口;18.“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19.“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ;3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=4点到直线的距离：点P 00,x y 到直线Ax+By+C=0 其中常数A,B,C 最好化为整系数,也方便计算的距离为：或d 5中点坐标公式: 若A 1,1x y ,B 22,x y ,则线段AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++ 6直线的斜率公式：若A 11,x y ,B 22,xy 12x x ≠,则直线AB 的斜率为：1212=AB y y k x x --,()1212,AB y x x x x ≠=注：当时，直线与轴平行，斜率不存在7两直线平行的结论：已知直线111222:,:;l y k x b l y k x b =+=+ ① 若1212;l l k k ⇒= ② 若112212,k k b b l l =≠⇒且8两直线垂直的结论：已知直线111222:,:;l y k x b l y k x b =+=+ ① 若1212.1;l l k k ⊥⇒=-② 若1212.1.k k l l =-⇒⊥9由特殊数据得到或猜想的结论： ①等敏感数字信息,那很可能有特殊角出现;② 在抛物线的解析式求出后,要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状,若有特殊角出现,那很多问题就好解决;③ 还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率K 的值,若K=则直线与X 轴的夹角为030；若K=1±；则直线与X 轴的夹角为045；若K=±则直线与X 轴的夹角为060;这对计算线段长度或或点的坐标或三角形相似等问题创造条件;二次函数基本公式训练：_______________破解函数难题的基石1横线段的长度计算：特点：两端点的y 标相等,长度=-x x 大小;① 若A2,0,B10,0,则AB=————;② 若A-2,0,B-4,0,则AB=————;③ 若M-3,0,N10,0,则MN=—————;④ 若O0,0,A6,0,则OA=——————;⑤ 若O0,0,A-4,0,则OA=——————;⑥ 若O0,0,At,0,且A 在O 的右端,则OA=——;⑦ 若O0,0,At,0,且A 在O 的右端,则OA=——;⑧ 若A-2t,6,B3t,6,且A 在B 的右端,则AB=——;⑨ 若A4t,m,B1-2t,m,且B 在A 的左端,则AB=——————;⑩ 若P2m+3,a,M1-m,a,且P 在B 的右端,则PM=——————;注意：横线段上任意两点的y 标是相等的,反之y 标相等的任意两个点都在横线段上; 2纵线段的长度计算：特点：两端点的x 标相等,长度=-y y 大小;① 若A0,5,B0,7,则AB=——————;② 若A0,-4,B0,-8,,则AB=——————;③ 若A0,2,B0,-6,则AB=——————;④ 若A0,0,B0,-9,则AB=——————;⑤ 若A0,0,B0,-6,则AB=——————;⑥ 若O0,0,A0,t,且A 在O 的上端,则OA=——;⑦ 若O0,0,A0,t,且A 在O 的下端,则OA=——;⑧ 若A6,-4t,B6,3t,且A 在B 的上端,则AB=——————;⑨ 若Mm,1-2t,Nm,3-4t,且M 在N 的下端,则MN=——;⑩ 若Pt,3n+2,Mt,1-2n,且P 在M 的上端,则PM=——;注意：纵线段上任意两点的x 标是相等的,反之x 标相等的任意两个点都在纵线段上;3点轴距离：一个点(x y 标标，）到x 轴的的距离等于该点的y 标的绝对值即y 标,到y 轴的距离等于该点的x 标的绝对值即x 标;① 点-4,-3到x 轴的距离为————,到y 轴的距离为————;② 若点A1-2t,223t t +-在第一象限,则点A 到x 轴的距离为————,到y 轴的距离为__________;③ 若点Mt,243t t ++在第二象限,则点M 到x 轴的距离为——————,到y 轴的距离为——————;④ 若点A-t,2t-1在第三象限,则点A 到x 轴的距离为——————,到y 轴的距离为——————;⑤ 若点Nt,223t t -+-点在第四象限,则点N 到x 轴的距离为——————,到y 轴的距离为————;⑥ 若点Pt ,223t t +-在x 轴上方,则点Ｐ到ｘ轴的距离为——————;⑦ 若点Ｑｔ,226t t --在ｘ轴下方,则点Ｑ到ｘ轴的距离为————————; ⑧ 若点Ｄｔ,245t t +-在ｙ轴左侧,则点Ｑ到ｙ轴的距离为————————; ⑨ 若点Ｅｎ,２ｎ＋６在ｙ轴的右侧,则点Ｅ到ｙ轴的距离为————————;⑩ 若动点Ｐｔ,223t t -+在ｘ轴上方,且在ｙ轴的左侧,则点Ｐ到ｘ轴的距离为———————,到ｙ轴的距离为————————;11 若动点Ｐｔ,223t t -+在ｘ轴上方,且在ｙ轴的右侧,则点Ｐ到ｘ轴的距离为————————,到ｙ轴的距离为——————;12 若动点Ｐｔ,223t t -+在ｘ轴下方,且在ｙ轴的左侧,则点Ｐ到ｘ轴的距离为————————,到ｙ轴的距离为————————;13 若动点Ｐｔ,223t t -+在ｘ轴下方,且在ｙ轴的右侧,则点Ｐ到ｘ轴的距离为————————,到ｙ轴的距离为————————;注意：在涉及抛物线,直线,双曲线等上的动点问题中,在动点坐标“一母示”后,还要高度关注动点运动变化的区域例如：动点Ｐ在抛物线ｙ＝223x x --上位于ｘ轴下方,ｙ轴右侧的图象上运动,以便准确写出动点坐标中参数字母的取值范围,以及点轴距离是等于相应x 标标（或y ）的相反数,还是其本身;４中点坐标的计算：若Ａ11,x y ,Ｂ22,x y ,则线段ＡＢ的中点坐标为1212,22x x y y ++ ① 若Ａ－４,３,Ｂ６,７,则ＡＢ中点为————————;② 若M0,-6,N6,-4,则MN 的中点坐标为————————;③ 若P 1-32，,Q 1132，,则PQ 的中点坐标为————————;④ 若A1,2,B-3,4,且B 为AM 的中点,则M 点的坐标为——————;⑤ 若A-1,3,B0,2,且A 为ＢＰ中点,则Ｐ点坐标为——————————;⑥ 点Ｐ－５,０关于直线ｘ＝２的对称点的坐标为————————;⑦ 点Ｐ６,０关于直线ｘ＝１的对称点的坐标为__.⑧ 点Ｐ６,２关于直线ｘ＝３的对称点的坐标为___________;⑨ 点Ｑ－４,３关于直线ｘ＝－３的对称点的坐标为——————;⑩ 点Ｍ－４,－２关于直线ｘ＝２的对称点的坐标为——————;11 点Ｐ４,－３关于直线ｘ＝－１的对称点的坐标为——————;12点Ｍ－４,２关于直线ｙ＝－１的对称点的坐标为————————; 13点Ｔ４,－３关于直线ｙ＝１的对称点的坐标为————————; 14点Ｑ０,－３关于ｘ轴的对称点的坐标为——————————; 15 点Ｎ４,０关于ｙ轴的对称点的坐标为————;(5)由两直线平行或垂直,求直线解析式;两直线平行,则两个k 值相等；两直线垂直,则两个k 值之积为-1.① 某直线与直线y=2x+3平行,且过点1,-1,求此直线的解析式;② 某直线与直线y=12-x+1平行,且过点2,3,求此直线的解析式; ③ 某直线与直线y=253x --平行,且过点-3,0,求此直线的解析式; ④ 某直线与y 轴交于点P0,3,且与直线y=112x -平行,求此直线的解析式; ⑤ 某直线与x 轴交于点P-2,0,且与直线y=142x -+平行,求此直线的解析式; ⑥ 某直线与直线y=2x-1垂直,且过点2,1,求此直线的解析式;⑦ 某直线与直线y=-3x+2垂直,且过点3,2,求此直线的解析式;⑧ 某直线与直线y=213x +垂直,且过点2,-1,求此直线的解析式; ⑨ 某直线与直线y=142x --垂直,且过点1,-2,求此直线的解析式; ⑩ 某直线与x 轴交于点P-4,0,且与直线y=253x -+垂直,求此直线的解析式; (6)两点间的距离公式：1122(,)B ,),A x y x y 若，（则① 若A-2,0,B0,3,则AB=——————; ② 若P-2,3,Q1,-1,则PQ=————————;③ 若M0,2,N-2,5,则MN=————————;④ 若P 1,02,Q 10,3-,则PQ=————————;⑤ 若A 1,32-,B-1,12-,则AB=——————————;⑥ 若P 31,42,B 1,14--,则ＰＢ＝————————;⑦ 若P 31,42,B 1,14--,则ＰＢ=——————————;⑧ 若P 12,43-,M 1,12-,则PM=——————;⑨ 若Ａ21,53-,Ｂ12,53--,则ＡＢ＝——————;⑩ 若Ａ2,13-,Ｂ11,2-,则ＡＢ＝———————;11 若Ａ－２,０,Ｂ３,０,则ＡＢ＝————;12 若P0,-4,Q0,-2,则PQ=——————;13 若P3,0,Q4,0,则PQ=——————;14 若P1,-4,Q2,0,则PQ=——————;（7）直线的斜率公式：注：所谓斜率,就是一次函数y=kx+b 中k 的值；可由两个点的坐标直接求得：若A11,x y ,B 22,x y 12x x ≠,则1212AB y y k x x -=-,y 标之差除以对应的x 标之差例题：若A2,-3,B-1,4,则AB k = 解：A2,-3,B-1,4,∴AB k =(3)472(1)3--=---① A(0,2)B(30)k AB =若，，，则————;② A(1,-2)B(-3)k AB =若，，1，则——————;③MN M(-3,1)N(-2-)k =若，，4，则——————; ④ (1-4)(-1)k PQ =若P ，，Q ，2，则————————;⑤ 11(-1)(-)k 23CQ =若C ，1，Q ，-，则——————;⑥ 211()(-)k 332EF =若E ，-1，F ，-，则——————;⑦ 211(-)(-1)k 532MQ =若M ，-，Q ，-，则————————;⑧ 231(-)(-1)k 344PQ =若P ，-，Q ，-，则——————;(8)点到直线的距离公式：00P （x 点,y ）到直线Ax+By+C=0为了方便计算,A,B,C最好化为整系数的距离公式为：d ,要先把一次函数y=kx+b 化为一般式Ax+By+C=0的形式即：先写x 项,再写y 项,最后写常数项,等号右边必须是0; 例题：求点P2,-3到直线1223y x =-的距离;解：先把直线1223y x =-化为一般式 3x-6y-4=0所以d00Ax By C ++注：的值就是把点00(,)x y 对应代入代数式Ax+By+C 中; 或者把y kx b =+通过移项化为0kx y b -+=同样要先写x 项,再写y 项,最后写常数项,等号右边必须是0;从而d。