解析几何专题一轨迹问题.

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解析几何求轨迹方程

例1：设圆()11:22=+-y x C ，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.变式1：已知C B A ,,是直线l 上的三点，切6==BC AB ，圆Q 切直线l 于点A ，又过C B ,作圆Q 异于直线l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.变式2：设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆4222=+y x 交于B A ,两点，P 是直线l 上满足1=⋅PB PA 的点，求点P 的轨迹方程.变式3：ABC ∆的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是a 2，边BC 上的高为b ，边BC 沿一条定直线移动，求ABC ∆外心的轨迹方程.例2：自抛物线x y 22=上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连接顶点O 与P 的直线和连接焦点F 与Q 的直线交于R 点，求R 点的轨迹方程.变式4：已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F .（1）点P A ,满足2-=.当点A 在抛物线C 上运动时，求点P 的轨迹方程.（2）在x 轴上是否存在点Q 关于直线x y 2=的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.例3：过点()0,2-M 作直线l 交双曲线122=-y x 于B A ,两点，已知OB OA OP +=.求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.变式5：设椭圆方程为1422=+y x ，过点()1,0M 的直线l 交椭圆于点B A ,，O 是坐标原点，l 上的动点P 满足()OB OA OP +=21，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.例4：已知抛物线的方程为()022>=p py x ，过点()p P ,0的直线l 与抛物线相交于B A ,两点，分别过点B A ,作抛物线的两条切线21,l l ，记21,l l 交于点M .（1）证明：直线21,l l 的斜率之积为定值；（2）求点M 的轨迹方程.变式6：已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点()0,1-K 的直线l 与C 相交于B A ,两点，点A 关于x 轴的对称点为D .证明：点F 在直线BD 上.。

解析几何求圆的轨迹方程专题一师用

专题一求圆的轨迹方程教学目标：1、掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程3、理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。

教学重难点：1、掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、会求曲线的轨迹方程（圆）教学过程：第一部分知识点回顾一、圆的方程 :1 .圆的标准方程：x a? y b2 r2o2 •圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0（D2+ E2—4F 0）特别提醒：只有当D2+ E2—4F 0时，方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为（D, E）,半径为1~E2~4F的圆2 2 2思考：二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是什么？答案：（A C 0,且 B 0 且D2 E2 4AF 0 ））；3 .圆的参数方程：y a r s°s(为参数)，其中圆心为(a,b)，半径为r 。

圆的参数方程的主要应用是三角换元:(3) 已知P( 1, -3)是圆y ；；煮(为参数，02 )上的点，则圆的普通方程为，P 点对应的值为，过P 点的圆的切线方程是(答：x 2 y 2=4 ； — ； x ,3y 4 0)；3(4) 如果直线l 将圆：x 22-240平分，且不过第四象限，那么I 的斜率的取值范围是_(答: [0 , 2]);(5) 方程x 22- 0表示一个圆，则实数k 的取值范围为(答：k 丄)； (6) 若 M {(x, y) | y 3sos (为参数，0)}， N (x, y) | y x b ,若MN ，则b 的取值范围是(答：-33& )二、点与圆的位置关系：已知点M x 0,y 0及圆C: x-a $ y b ? r 2 r 0 ,(1) 点 M 在圆 C 外 |CM | r x 0 a 2 y 。

立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习)

立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( )解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD ．设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG ．由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC ．又∵EG ∥SB∴EG ⊥AC∴AC ⊥平面EFG ，∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE ．另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 成π4角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为锐角，显然也不满足PE ⊥AC ．评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足时，有MN ∥平面B 1BDD 1．(2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是线段B 1C ．(3) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)．(4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为233的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是．若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为233的点的集合” 那么这条曲线的形状又是，它的长度又是．1AC C 1AEC C 1A AB1A 1(1)(2)(3)(4)DDA ．B ．C ．D ． A【例3】 (1)(04北京)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )A ． A 直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”，则动点P 的轨迹所在的曲线是椭圆 (双曲线)． (2)(06北京)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支解：设l 与l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ． (3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =13，点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹为抛物线．(4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 π6．【例4】 (04重庆)若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D )【例5】四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是( )A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分分析：∵AD ⊥面P AB ，BC ⊥平面P AB ∴AD ∥BC 且AD ⊥P A ，CB ⊥PB ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB∴AD P A =CB PB ∴PB =2P A在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0)、B (3，0)，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)即(x +5)2+y 2=16(y ≠0) ∴P 的轨迹是(B )BABCDA3P A BC D立体几何中的轨迹问题（教师版）1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为B 1C 1⊥面AB 1，所以PB 1就是P 到直线B 1C 1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D ．2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（B ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（C ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（A ）．A ．圆或圆的一部分B ．抛物线或其一部分C ．双曲线或其一部分D ．椭圆或其一部分简析由条件易知：AC 是平面BB 1D 1D 的法向量，所以EP 与直线AC 成等角，得到EP 与平面BB 1D 1D 所成的角都相等，故点P 的轨迹有可能是圆或圆的一部分．5．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（A ）． A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆简析在正方体ABCD A B C D -1111中，过P 作PF ⊥AD ，过F 作FE ⊥A 1D 1，垂足分别为F 、E ，连结PE ．则PE 2=a 2+PF 2，又PE 2-PM 2=a 2，所以PM 2=PF 2，从而PM ＝PF ，故点P 到直线AD 与到点M 的距离相等，故点P 的轨迹是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线．6．在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为__________．简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证BD 1⊥面ACB 1，所以满足BD 1⊥AP 的所有点P 都在一个平面ACB 1上．而已知条件中的点P 是在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，因此，符合条件的点P 在平面ACB 1与平面BCC 1B 1交线上，故所求的轨迹为线段B 1C ．本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．7．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面∆SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________．答案线段MN （M 、N 分别为SC 、CD 的中点）8．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ）在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆） 9．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是：（D ）A A AP PP PB C B C B C B C A B C D简析动点P 在侧面ABC 内，若点P 到AB 的距离等于到棱BC 的距离，则点P 在∠ABC 的内角平分线上．现在P 到平面BCD 的距离等于到棱AB 的距离，而P 到棱BC 的距离大于P 到底面BCD 的距离，于是，P 到棱AB 的距离小于P 到棱BC 的距离，故动点P 只能在∠ABC 的内角平分线与AB 之间的区域内．只能选D ． 10．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（B ）． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．简析以B 为圆心，半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36π． 12．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是．提示轨迹的图形是一个平行四边形．13．已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．简析由于M 、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P 的几何性质，连结DP ，因为MN=2，所以PD=1，因此点P 的轨迹是一个以D 为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，即1843163⨯⨯=ππ． 14．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（）简析：如图，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4．在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上．又在β内到直线l 的距离等于29的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32174)29(22<=-，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点．因此所求点的轨迹是四个点，故选C ．16．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（）A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分简析：因为⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，所以AD//BC ，且︒=∠=∠90CBP DAP ．又8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠，可得CPB tan PB CB PA AD APD tan ∠===∠，即得2ADCBPA PB == 在平面PAB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A （-3，0）、B（3，0）．设点P （x ，y ），则有2y )3x (y )3x (|PA ||PB |2222=+++-=，整理得09x 10y x 22=+++由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B ．17．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点简析：因为PC AC ⊥，且PC 在α内的射影为BC ，所以BC AC ⊥，即︒=∠90ACB ．所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B ．18．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线简析：因为P 到11D C 的距离即为P 到1C 的距离，所以在面1BC 内，P 到定点1C 的距离与P 到定直线BC 的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D ．19．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线简析：如图4，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系．设P （x ，y ），作AD PE ⊥于E 、11D A PF ⊥于F ，连结EF ，易知1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作CD PN ⊥于N ，则|1y ||PN |-=．依题意|PN ||PF |=，即|1y |1x 2-=+，化简得0y 2y x 22=+- 故动点P 的轨迹为双曲线，选B ．20．如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线分析：由于线段AB是定长线段，而△ABP的面积为定值，所以动点P到线段AB 的距离也是定值．由此可知空间点P在以AB为轴的圆柱侧面上．又P在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P的轨迹就是圆柱侧面与平面a的交线．21．如图，动点P在正方体1111ABCD A B C D-的对角线1BD上．过点P作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于M N，．设BP x=，MN y=，则函数()y f x=的图象大致是（）分析：将线段MN投影到平面ABCD内，易得y为x一次函数．22．已知异面直线a，b成︒60角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a，b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程．图5简析：如图5，易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面α上，直线'a、'b为平面α内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，'a'AA⊥于'A，'b'BB⊥于'B，则P'B'AAB=⋂，且P也为'B'A的中点．由已知MN=2，AB=4，易知,2AP,1'AA==得32'B'A=．则问题转化为求长等于32的线段'B'A的两个端点'A、'B分别在'a、'b上移动时其中点P的轨迹．现以'OB'A∠的角平分线为x轴，O为原点建立如图6所示的平面直角坐标系．A BCDMNPA1 B1C1D1yxOyxOyxOyxO图6设)y ,x (P ，n |'OB |,m |'OA |==，则)n 21,n 23('B ),m 21,m 23('A - )n m (41y ),n m (43x -=+=222)32()n m (41)n m (43=++- 消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为1y 9x 22=+．点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．立体几何中的轨迹问题1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（） A ．圆或圆的一部分 B ．抛物线或其一部分 C ．双曲线或其一部分 D ．椭圆或其一部分 5．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（） A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆6．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是（） A A AP PP PB C B C B C B CA B C DA B C D 7．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（）A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点9．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（） A ．圆 B ．不完整的圆 C ．抛物线 D ．抛物线的一部分 10．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点11．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线12．如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线 13．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（）14．在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为________．15．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面∆SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________．16．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ）在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________．17．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．18．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是．19．已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是．20．已知异面直线a ，b 成︒60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．ABC D MNP A 1B 1C 1D 1 yxOyxOyxOyx O。

解析几何中的曲线的运动与轨迹

解析几何中的曲线的运动与轨迹在解析几何中，曲线的运动和轨迹是一个重要的概念。

曲线的运动指的是曲线上的点在一定的条件下随时间变化的过程，而轨迹则是曲线上所有点组成的总体路径。

本文将通过对曲线的运动和轨迹的详细解析，帮助读者更好地理解这一概念。

一、曲线的运动曲线的运动是指曲线上的点在时间变化下的位置变化。

在解析几何中，曲线的运动通常与各种参数有关。

具体而言，我们可以通过改变参数的数值，来观察曲线上的点是如何随着时间变化而发生位移的。

例如，我们考虑平面直角坐标系中的抛物线y = ax^2。

其中a是一个实数，表示抛物线的开口方向和大小。

在这个例子中，曲线的运动是由参数a决定的。

当a的取值为正时，抛物线的开口向上；当a的取值为负时，抛物线的开口向下。

此外，曲线的运动还可以通过其他参数来改变，比如平移、旋转和缩放等。

通过这些参数的调整，我们可以观察到曲线上的点如何在平面中发生位置的变化。

二、曲线的轨迹曲线的轨迹是指曲线上所有点的总体路径。

当曲线上的点随时间变化而发生位移时，它们形成的路径就是曲线的轨迹。

通过对曲线的运动进行分析，我们可以确定曲线的轨迹的一些特性。

例如，考虑直线y = kx + b，其中k和b都是实数。

当k为0时，直线变成了水平线，其轨迹是一条与x轴平行的直线。

当k为正数时，直线的斜率为正，轨迹是一条从左下方向右上方倾斜的直线。

当k为负数时，直线的斜率为负，轨迹是一条从左上方向右下方倾斜的直线。

除了直线，其他曲线的轨迹也可以通过对曲线的运动进行观察和分析来确定。

通过观察曲线上的点随时间变化而发生的位移，我们可以得到曲线的轨迹的一些性质，比如形状、方向和大小等。

三、实例分析为了更好地理解曲线的运动和轨迹，我们来看一个具体的例子：圆的运动与轨迹。

考虑平面直角坐标系中的一个单位圆x^2 + y^2 = 1。

我们可以通过改变圆心的坐标来观察圆的运动和轨迹。

当圆心的坐标为(0,0)时，圆的轨迹是一个以原点为中心的单位圆。

解析几何中的轨迹问题

解析几何中的轨迹问题求轨迹方程的一般方法：1、待定系数法（定义法）：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线、圆、直线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

2、直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3、代入法（相关点轨迹法）：如果动点(,)P x y 的运动是由另外某一点'00(,)P x y 的运动引发的，而点'00(,)P x y 的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则用动点(,)P x y 表示出相关点'00(,)P x y 的坐标，然后把'00(,)P x y 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

4、几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

5、参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

6、交轨法（两条动曲线交点的轨迹）：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

课前练习：1、已知两点M （-2,0）、N （2,0），点P 坐标平面内的动点，满足0MN MP MN MP ⋅+⋅=uuu r uuu r uuu r uuu r，则动点P的轨迹方程为（）A 、28y x = B 、28y x =- C 、24y x = D 、24y x =-2、 P 是椭圆5922y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为：（）A 、159422=+y xB 、154922=+y xC 、120922=+y x D 、53622y x +3、圆心在抛物线)0(22>=y x y 上，且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（）A 、041222=---+y x y xB 、01222=+-++y x y xC 、01222=+--+y x y xD 、041222=+--+y x y x 4、一动圆M 与圆O ：122=+y x 外切，而与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：（）A 、抛物线B 、圆C 、椭圆D 、双曲线一支5、在平面直角坐标系中，A （3,1）、B （-1,3），若点C 满足12OC OA OB λλ=+uuu r uu r uu u r ，其中1λ、2λ是实数，且1λ+21λ=，则点C 的轨迹方程是典型例题：例1、（1）已知ABC ∆的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+则点C 的轨迹方程（2）△ABC 的顶点为A(5-，0)、B(5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线3=x 上，则顶点C 的轨迹方程是( )A 、116922=-y x B 、191622=-y x C 、116922=-y x )3(>x D 、191622=-y x )4(>x 例2、过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

解析几何轨迹与方程

?? x ? R ?cos? ? ? sin ? ?
? ?
y
?
R?sin ?
?
?
cos ?
?
（4）椭圆的参数方程
设椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1
a 2 b2
第一种参数方程以角度 ?
为参数：?? ?
x y
? ?
a cos? bsin ?
, ???
?
?
?
?
?
?
? ? a b 2 ? a 2 t 2
ห้องสมุดไป่ตู้
其参数方程为 ? x ? 2Rcos? (1? cos? )
? ?
y
?
2Rsin ?
(1?
cos?
)
（3）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的渐伸线或切展线（involute）
其坐标式参数方程为
一、曲面的方程
定义 2.2.1 如果一个方程 F ?x, y, z?? 0 或 z ? f ?x, y?与一个曲面
? 有着关系：
①满足方程 ? F ?x, y, z?? 0 或 z ? f ?x, y?的 ?x, y, z?是曲面 ?
上的点的坐标；
②曲面 ? 上的任何一点的坐标 ?x, y, z?满足方程 F ?x, y, z?? 0 或 z ? f ?x, y?，那么方程 F ?x, y, z?? 0 或 z ? f ?x, y?就叫做曲面 ? 的方程，而曲面 ? 叫做方程 F ?x, y, z?? 0 或 z ? f ?x, y?的图形.
一一对应的关系叫做柱坐标系，或称空间半极坐标系，并把有序

平面解析几何中的轨迹方程求解练习题

平面解析几何中的轨迹方程求解练习题1. 直线的轨迹方程求解1.1 已知两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，求过这两点的直线的轨迹方程设直线的斜率为k，根据直线的斜截式方程可得： y - y1 = k(x - x1) (1)将点P2(x2, y2)代入方程(1)，得：y2 - y1 = k(x2 - x1) (2)整理方程(2)可得：y = kx - kx1 + y1 (3)所以轨迹方程为y = kx - kx1 + y11.2 已知直线方程Ax + By + C = 0，求直线的轨迹方程将直线方程改写为斜截式方程可得：y = -A/B * x - C/B (4)所以轨迹方程为y = -A/B * x - C/B2. 圆的轨迹方程求解2.1 已知圆的圆心坐标为O(a, b)，半径为r，求圆的轨迹方程设圆上任意一点P(x, y)，根据点到圆心的距离公式可得：OP² = (x - a)² + (y - b)² (5)OP² = r² (6)将方程(6)代入方程(5)可得：(x - a)² + (y - b)² = r² (7)所以轨迹方程为(x - a)² + (y - b)² = r²2.2 已知圆的直径的两个端点分别为P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，求圆的轨迹方程设圆的圆心为O(x, y)，半径为r，根据圆心到直径的中点的距离等于半径可得：((x + x1)/2 - x)² + ((y + y1)/2 - y)² = r² (8)((x + x2)/2 - x)² + ((y + y2)/2 - y)² = r² (9)将方程(8)和方程(9)进行化简，可得：(x - (x1 + x2)/2)² + (y - (y1 + y2)/2)² = ((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)/4 (10)所以轨迹方程为(x - (x1 + x2)/2)² + (y - (y1 + y2)/2)² = ((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)/43. 抛物线的轨迹方程求解3.1 已知抛物线的焦点为F(p, q)，准线为直线y = -p，且焦距为4a，求抛物线的轨迹方程设抛物线上任意一点P(x, y)，根据焦点到准线的距离等于焦距可得：PF² = (x - p)² + (y - q)² (11)y + p = 2a (12)PF = 4a (13)将方程(12)代入方程(11)和方程(13)，可得：(x - p)² + (y - q)² = (y + p - 2a)² (14)所以轨迹方程为(x - p)² + (y - q)² = (y + p - 2a)²3.2 已知抛物线的顶点为V(h, k)，对称轴为直线x = h，求抛物线的轨迹方程设抛物线上任意一点P(x, y)，根据顶点到抛物线上任意一点的距离公式可得：PV² = (x - h)² + (y - k)² (15)PX = PH (16)将方程(16)代入方程(15)，可得：(x - h)² + (y - k)² = (x - h) (17)所以轨迹方程为(x - h)² + (y - k)² = x - h综上所述，平面解析几何中直线、圆和抛物线的轨迹方程求解方法分别为以上所示。

专题：解析几何中的动点轨迹问题

专题：解析几何中的动点轨迹问题学大苏分教研中心周坤轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年各省高考中的常见题型之一。

解答这类问题，需要善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系。

本专题分成四个部分，首先从题目类型出发，总结常见的几类动点轨迹问题，并给出典型例题；其次从方法入手，总结若干技法（包含高考和竞赛要求，够你用的了...）；然后，精选若干练习题，并给出详细解析与答案，务必完全弄懂；最后，回顾高考，列出近几年高考中的动点轨迹原题。

OK ，不废话了，开始进入正题吧...Part 1 几类动点轨迹问题一、动线段定比分点的轨迹例1 已知线段AB 的长为5，并且它的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点P 在段AB 上，(0)AP PB λλ=>，求点P 的轨迹。

()()()00P x y A a B b 解：设，，，，，，()()011101a a xx y b b y λλλλλλλ+⋅⎧⎧=+=⎪⎪⎪+⎨⎨++⋅=⎪⎪=⎩⎪+⎩， 2225a b +=代入()()222221125y x λλλ+++=()()222221252511x y λλλ+=++222514P x y λ=+=当时，点的轨迹是圆；① 1P y λ>当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆;②01P x λ<<当时，点的轨迹是焦点在轴上的椭圆③；例2 已知定点A(3,1),动点B 在圆O 224x y +=上,点P 在线段AB 上,且BP:PA=1:2,求点P 的轨迹的方程.()()113P x y B x y AB BP =-解：设，，，，有()()()()1133131313x x y y ⎧+-=⎪+-⎪⎨+-⎪=⎪+-⎩11332312x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩化简即：22114x y +=代入223331422x y --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得所以点P 的轨迹为()22116139x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭二、两条动直线的交点问题例3 已知两点P （-1,3），Q （1,3）以及一条直线:l y x =，设长为2的线段AB 在l 上移动（点A 在B 的左下方），求直线PA 、QB 交点M 的轨迹的方程 ()()()11M x y A t t B t t ++解：设，，，，，， ()()1313PM x y PA t t =+-=+-，，，， ()()131113QM x y QB t t =--=+-+-，，，， ////PM PAQM QB ∴，，()()()()()()()1313123x t t y x t t y ⎧+-=+-⎪∴⎨--=-⎪⎩34222x y t x y x t x y +⎧=⎪-+⎪⎨-⎪=⎪-+⎩32242x y x x y x y +-=-+-+()()()()32422x y x y x y x +-+=-+-228y x -=例4 已知12A A 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点，线段MN 为垂直于实轴的弦，求直线1MA 与2NA 的交点P 的轨迹()()()()()11111200P x y M x y N x y A a A a --解：设，，，，，，，，，，1122A P A MA P A N k k k k =⎧⎪⎨=⎪⎩ 1111y yx a x ay y x a x a⎧=⎪++⎪⎨-⎪=⎪-+⎩ 1111y y y yx a x a x a x a-⋅=⋅+-+- 22122221y y x a x a =--- 2211221x y a b -= 22221112221y x x a b a a-∴=-= 2212221y b x a a=- 22222y b x a a ∴=-- 222222a y b x a b =-+()2222010x y a b x x a b >>+=≠当时，是焦点在轴上的椭圆,；2220a b x y a =>+=当时，是圆；()2222010x y b a y x a b>>+=≠当时，是焦点在轴上的椭圆,；三、动圆圆心轨迹问题例5 已知动圆M 与定圆2216x y +=相切，并且与x 轴也相切，求动圆圆心M 的轨迹()()0M x y y ≠解：设，，224M x y y +=-当圆与定圆内切时，，224M x y y +=+当圆与定圆内切时， 224x y y ∴+=±222168x y y y +=±+2816y x ±=-M 的轨迹是两条抛物线(挖去它们的交点) ()()2211202088y x y y x y =-≠=-+≠或例6 已知圆221:(3)4C x y ++=，222:(3)100C x y -+=，圆M 与圆1C 和圆2C 都相切，求动圆圆心M 的轨迹()()11113,0,3,0,6,C C C C -=解：,M r 设动圆的半径为12(1),,M C C 若圆与外切与内切则122,10MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩121112,MC MC C C +=>12M C C 的轨迹是以、为焦点的椭圆，2126263a a c c ====，，，，22227b a c =-=，2213627x y +=椭圆的方程为12,M C C (2)若圆与、都内切则12210MC r MC r⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 12118MC MC C C +=>12M C C 的轨迹是以、为焦点的椭圆2222842637a a c c b a c =====-=，，，，， 221167x y +=椭圆的方程为四、动圆锥曲线中相关点的轨迹例7 已知双曲线过(3,0)A -和(3,0)B ，它的一个焦点是1(0,4)F -，求它的另一个焦点2F 的轨迹()2F x y 解：设，，2121AF AF BF BF -=-由双曲线定义， ()()()()2222113004530045AF BF =--+-==-+-=，，2255AF BF -=-若，222255AF BF AF BF ∴-=-=，，204F x y =≠±的轨迹是直线（）2255AF BF -=-+若，22106AF BF AB +=>=，2F A B 的轨迹是以、为焦点的椭圆，210,5,26,3,4,a a c c b ===== 22142516x y y +=≠±椭圆方程为（）22204142516x y F x y y =≠±+=≠±的轨迹是直线（）或椭圆（）例8 已知圆的方程为224x y +=，动抛物线过点(1,0)A -和(1,0)B ，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点F 的轨迹方程()F x y l M 解：设焦点，，准线与圆相切于，1111AA l A BB l B ⊥⊥作于，于，1124AF BF AA BB OM +=+==，F A B 的轨迹是以、为焦点的椭圆，2422213a c AB a c b ======，，，，，()221043x y F y +=≠轨迹的方程是Part 2 求动点轨迹的十类方法一、直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、切线长公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

解析几何(动点轨迹求法)

动点轨迹的求法从近年高考题说起：1、（15年广东理科）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x 相交于不同的两点A ，B .（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x 与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥，∴ 11C M AB k k ⋅=-即13y yx x⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且5,33E ⎛ ⎝⎭，5,33F ⎛- ⎝⎭，又直线L ：(y k x =-当直线L 与圆C 32=得34k =±上图可知当3325,,447k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线L ：y k =2、（2013上海）已知抛物线24C y x =：的焦点为F .点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程。

解：设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，,因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =-，, 由2AP FA =-得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，. 即2(1)2A A A A x x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩ 解得2A Ax xy y =-⎧⎨=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.3、（2013年高考新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|. 解：由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R.(Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4,由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,的椭圆(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-. (Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为090时,则l 与y 轴重合,可得|AB|=当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则||||QP QM =1Rr ,可求得Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M1=,解得k =当k=时,将y x =代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x12|x x -=187.当k时,由图形的对称性可知|AB|=187, 综上,|AB|=187或|AB|=动点轨迹常用求法：一、待定系数法它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。

轨迹问题解析几何

图2
思维感悟：
数学教材始终是高考数学命题的源头活水，高
考试题有相当一部分是源于教材，即从课本的例题、习题出发，采取科学的组合、加工、扩展或赋予新的背景等形成的，充分体现了教材的基础作用。因此，在复习过程中，用好教材是复习的关键，复习时对教材进行深加工，在每一堂复习课中，尽量引入一些课本典型例题、习题，从解题思路，解题方法，解题规律等方面作一些探索，并做一些变式研究，使之与高考试题接近。
2 3
2
∴重心G的轨迹方程为
y = 3x +
2 3
思维感悟：
1. 用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。 2. 用参数法求轨迹方程的基本步骤：建系设标引参求参数方程消参检验
3 . 选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，
x
2
81
+
y
2
72
=1
(y
≠0)
变式:（2005山东卷）已知动圆过定点，且与直线 x = - p 相切，其中p>0. 求动圆圆心的轨迹的 2 方程.
p ,0 2
解：如图，设M为动圆圆心，记为 F，过点M作直线 x = - p 的垂线，垂足 2 为Ｎ，由题意知： |MF|=|MN| 即动点M到定点F与定直线 x = - p 的距离 2 相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中 F p ,0 为焦点， 2 p x = -准线，为 2 所以轨迹方程 2 为 2 px p 0 . y
例 1
已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。

解析几何中的轨迹方程求解

解析几何中的轨迹方程求解轨迹方程是解析几何中的一个重要概念，它描述了一个点或物体在空间中移动时所形成的路径。

在解析几何中，通过求解轨迹方程，我们可以更好地理解点、线、平面和曲线的运动特性。

1. 轨迹方程的定义轨迹方程是描述一个点在空间中运动时其位置关系的方程。

它通常由坐标变量及其参数所组成，通过参数的变化，可以获得点在空间中的不同位置。

在解析几何中，常见的轨迹方程有直线方程、圆的方程、椭圆的方程、抛物线的方程和双曲线的方程等。

这些方程中的参数表示了轨迹的特性，例如直线的斜率、圆的半径等。

2. 求解轨迹方程的步骤对于不同的轨迹类型，求解轨迹方程的步骤可能略有不同。

下面以直线方程为例，介绍求解轨迹方程的一般步骤：步骤一：确定知识点首先，要明确已知的知识点或条件。

在求解直线方程的轨迹时，我们需要知道直线上的两个点或直线的斜率。

步骤二：列出方程根据已知的知识点，我们可以列出代表轨迹的方程。

对于直线轨迹，一般的方程形式为 y = mx + c，其中 m 表示直线的斜率，c 表示直线与 y 轴的截距。

步骤三：确定参数根据已知条件，确定方程中的参数。

对于直线方程，参数包括斜率m 和截距c。

步骤四：解方程将已知条件代入方程中，解方程获得未知参数的值。

解方程可以使用代数法、几何方法或数值计算等方法。

步骤五：得到轨迹方程将求解得到的参数代入方程中，得到轨迹方程。

轨迹方程表示了点在空间中的路径。

3. 轨迹方程的应用轨迹方程在解析几何中具有广泛的应用。

它可以用于描述物体的运动轨迹、分析几何特性以及解决实际问题。

例如，通过求解轨迹方程，我们可以计算一个物体在空间中的位置，预测其未来的位置，从而实现控制和导航。

轨迹方程也可以用来描述天体运动、流体力学等领域中的运动规律。

此外，轨迹方程还可以用于几何图形的设计和建模。

通过调整轨迹方程中的参数，我们可以创建出各种不同形状的曲线，用于艺术、设计和工程等领域。

4. 总结解析几何中的轨迹方程求解是一个重要的数学概念。

立体几何中的轨迹问题(详细版)

立体几何中的轨迹问题高考数学有一类学科内的综合题，它们的新颖性、综合性，值得我们重视，在知识网络交汇点处设计试题是高考命题改革的一个方向，以空间问题为为背景的轨迹问题作为解析几何与立体几何的交汇点，由于知识点多，数学思想和方法考查充分，求解比较困难。

通常要求学生有较强的空间想象能力，以及能够把空间问题转化到平面上，再结合解析几何方法求解，以下精选几个问题来对这一问题进行探讨，旨在探索题型规律，揭示解题方法。

一、用空间运动的观点来得到点的轨迹。

例1：直线PA 是平面M 的一条斜线，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 垂直，且交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹。

解：先探讨直线PB 的运动轨迹，由于直线PB 始终与PA 垂直，可知PB 的运动轨迹应是直线PA 的垂直平面N 。

再结合点B 一定在平面M 内，所以点B 的轨迹应该是两个平面的交线，所以点B 的轨迹是一条直线。

针对以上解法，我们对这一问题作一深层次的探讨：若直线PA 与平面M 成α角，直线PB 始终与直线PA 成β角，再来求点B 的轨迹。

由上述解法可知，我们只要得到直线PB 的空间轨迹，再来考察该轨迹与平面M 的交线即可。

由简单的模型模拟即可知，直线PB 的轨迹是一个圆锥面，再用一个平面截圆锥面，这一知识在平面解析几何中圆锥曲线的来历中有提到，即所得曲线可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线。

因此，我们在以下命题：直线PA 是平面M 的一条斜线，且与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 成β角，交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹。

结论：（1）若α=90°，β≠90°，则动点B 的轨迹是一个圆；（2）若α≠90°，β=90°，动点B 的轨迹是一条直线；（3）若α≠90°，β≠90°，则①若90°>α>β，则轨迹是椭圆； ②若α=β，则轨迹是抛物线； ③若α<β，则轨迹是双曲线。

轨迹问题

解析几何中的轨迹问题一、定义法：1．已知M 是直线l ：x =−1上的动点，点F 的坐标是(1,0)，过M 的直线l′与l 垂直，并且l′与线段MF 的垂直平分线相交于点N ．（Ⅰ）求点N 的轨迹C 的方程；试题解析：（Ⅰ）依题意，|NM|=|NF|，即曲线C 为抛物线，其焦点为F(1,0)，准线方程为l ：x =−1，所以曲线C 的方程为y 2=4x ．2．已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆ρ与圆M 外切并与圆N 内切，圆心ρ的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；试题解析：由已知得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心为()1,0N ，半径23r =，设圆ρ的圆心为(),P x y ，半径为R .（1）因为圆ρ与圆M 外切并且与圆N 内切，所以由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为顶点除外）……5分 3．动圆N 过点且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E .（1）求轨迹E 的方程；试题解析：（1所以圆内切于圆，所以点的轨迹为椭圆，，所以1b =，所以轨迹的方程为 4．已知点M(－2，0)，N(2，0)，动点P 满足条件|PM|－|PN|＝P 的轨迹为W ． ⑴求W 的方程；【解析】试题分析：（1）利用双曲线的定义，可求W 的方程；（2）设点的坐标，利用向量的数量积公式，N M N E试题解析：(1)P 的轨迹是以M,N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长，半焦距2c =，故徐半轴长W5．已知圆()22:116E x y ++=，点()1,0,F P 是圆E 上任意一点，线段PE 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（1）求动点Q 的轨迹P 的方程；【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆方程；（2）通过设而不求法，列方程，解得2λ=.试题解析：（1）连结，故动点Q 的轨迹Γ是以,E F 为焦点，长轴长为4的椭圆可知2,1a c ==，则所以点Q 的轨迹Γ的方程为 6．已知椭圆的左、右焦点分别为21F F 、，过点作垂直于轴的直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点．（1）求点的轨迹的方程；试题解析：解：（1）∵，∴点到定直线：的距离等于它到定点的距离，∴点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线． ∴点的轨迹的方程为．7．已知点C 为圆()2218x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点QF 1C 1F x 1l 2l 1l P 2PF 2l M M 2C ||||2MF MP =M 1l 2-=x )0,2(2F M 2C 1l 2F M 2C x y 82=()1,0A 和AP 上的点M ，满足0,2MQ AP AP AM ==．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（1）由题意知MQ 中线段AP 的垂直平分线，所以，所以点Q 的轨迹是以点,CA 为焦点，焦距为28．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F的距离比它到轴的距离多1. (Ⅰ)求点的轨迹的方程；试题解析：（Ⅰ）依题意，点P 到点()1,0F 的距离与它到直线1x =-的距离相等，∴点P 的轨迹E 是以F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，∴E 的方程为24yx =；9、已知点M(-3,0)，N （3,0），B （1,0），动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相较于点P ，则P 点轨迹方程是。

2014届高三数学解析几何难点专练：轨迹问题

轨迹问题1.若动点P 到定点F (1，－1)的距离与到直线l ：x －1＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( D )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线解析：因为定点F (1，－1)在直线l ：x －1＝0上，所以轨迹为过F (1，－1)与直线l 垂直的一条直线，故选D.2.实数变量m ，n 满足m 2＋n 2＝1，则坐标(m ＋n ，mn )表示的点的轨迹是( D )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线的一部分解析：设x ＝m ＋n ，y ＝mn ，则x 2＝(m ＋n )2＝m 2＋n 2＋2mn ＝1＋2y ，且由于m ，n 的取值都有限制，因此变量x 的取值也有限制，所以点(m ＋n ，n )的轨迹为抛物线的一部分，故选D.3.一圆形纸片的圆心为点O ，点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点．把纸片折叠使点A 与Q 重合，然后展平纸片，折痕与OA 交于P 点．当点A 运动时点P 的轨迹是( B )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：由条件知|PA |＝|PQ |，则|PO |＋|PQ |＝|PO |＋|PA |＝R (R ＞|OQ |)，所以点P 的轨迹是椭圆，故选B.4.已知点A (－1,0)和圆x 2＋y 2＝2上一动点P ，动点M 满足2MA →＝AP →，则点M 的轨迹方程是( C )A ．(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －32)2＋y 2＝1 C ．(x －32)2＋y 2＝12 D ．x 2＋(y －32)2＝12解析：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，由2MA →＝AP →，则2(－1－x,0－y )＝(x 0＋1，y 0－0)，即(－2－2x ，－2y )＝(x 0＋1，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－2x －3y 0＝－2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上，所以x 20＋y 20＝2，即(－2x －3)2＋(－2y )2＝2，化简得(x －32)2＋y 2＝12，故选C. 5.平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹方程为 x ＋2y －5＝0 .解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)．因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2. 又λ1＋λ2＝1，所以x ＋2y －5＝0.6.设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是 32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) .解析：设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0，由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0. 因为点Q 与点P 关于y 轴对称，所以点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入上式得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)． 7.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1 .解析：设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋42y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2x －4y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.8.已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝e (e 为椭圆C 的离心率)，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解析：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝1a ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4c ＝3，所以b 2＝7，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1. (2)设M (x ，y )，P (x ，y 1)，其中x ∈[－4,4]．由已知得x 2＋y 21x 2＋y 2＝e 2. 而e ＝34，故16(x 2＋y 21)＝9(x 2＋y 2)．① 由点P 在椭圆C 上得y 21＝112－7x 216，代入①式并化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，轨迹是两条平行于x 轴的线段． 9.已知圆C 与两圆x 2＋(y ＋4)2＝1，x 2＋(y －2)2＝1外切，圆C 的圆心轨迹方程为L ，设L 上的点与点M (x ，y )的距离的最小值为m ，点F (0,1)与点M (x ，y )的距离为n .(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)求满足条件m ＝n 的点M 的轨迹Q 的方程．解析：(1)两圆半径都为1，两圆心分别为C 1(0，－4)、C 2(0，2)，由题意得CC 1＝CC 2，可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，C 1C 2的中点为(0，－1)，直线C 1C 2的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，其方程为y＝－1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1.(2)因为m＝n，所以M(x，y)到直线y＝－1的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M 的轨迹Q是以y＝－1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而p2＝1，即p＝2，所以，轨迹Q的方程是x2＝4y.。

高考数学难点：轨迹方程的求法

高考数学难点：轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.●难点磁场(★★★★)已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.●案例探究［例1］如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程.错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.［例2］设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系.错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论.技巧与方法：将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系.解法一：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y ①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2③代入上式有y 1y 2=－16p 2 ⑦ ⑥代入④，得yxy y p -=+214⑧⑥代入⑤，得pyx y y x x y y y y p442111121--=--=+ 所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=y (y 1+y 2)－y 12－y 1y 2⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0)仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设M (x ,y )，直线AB 的方程为y =kx +b由OM ⊥AB ，得k =－yx由y 2=4px 及y =kx +b ，消去y ,得k 2x 2+(2kb －4p )x +b 2=0所以x 1x 2=22kb ,消x ,得ky 2－4py +4pb =0① ② ③ ④ ⑤所以y 1y 2=kpb4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2 所以k pk4=－22kb ,b =－4kp故y =kx +b =k (x －4p ),用k =－yx代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.［例3］某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ●锦囊妙计求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.(★★★★)设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y xD.14922=-x y二、填空题3.(★★★★)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________. 4.(★★★★)高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★)已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.(★★★★★)已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.(★★★★★)已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案难点磁场解：建立坐标系如图所示，设|AB |=2a ,则A (－a ,0）,B (a ,0). 设M (x ,y ）是轨迹上任意一点.则由题设，得||||MB MA =λ,坐标代入，得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴).(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0.点M 的轨迹是以 (－221)1(λ-λ+a ，0）为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆. 歼灭难点训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆. 答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0) ∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a ,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-.答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2. 即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0), 则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =mn m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =nm n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。

圆锥曲线中的轨迹方程问题-(解析版)

专题1 圆锥曲线的轨迹方程问题轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.本文主要研究圆锥曲线中关于轨迹方程求法。

首先正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直译法、定义法、相关点法、参数（交轨）法等方法1、直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含x,y 的等式，就得到轨迹方程。

直译法知识储备：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率（向量）公式。

经典例题：1．（2020·江苏徐州市·高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（） A ．C 的方程为()22416x y ++= B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】ABD【分析】设点P 的坐标，利用12PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．【详解】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =，12=，化简得x 2+y 2+8x ＝0，即：（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）=﹣4，+4，而3∈﹣4，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |，=又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误；对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=，又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．2．（2020·湖南省高三期末）点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. 求点P 的轨迹方程；【答案】22143x y +=12=，化简即可求出；12=，化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点是动点轨迹方程的求解.3．（2021年湖南省高三月考）已知动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54，求P 点的轨迹方程．【答案】轨迹方程是221169x y -=.【分析】利用动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54可得方程，化简由此能求出轨迹M 的方程．【详解】由题意，设P （x ，y ），则()22252516165x y x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得轨迹方程是221169x y -=．故答案为221.169x y -=【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．由2、3题推广：圆锥曲线统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

一类轨迹问题的探求(阿波罗尼斯圆与卡西尼卵形线)

专题：一类动点轨迹问题的探求专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于2PA PB a +=，我们可以进一步研究： 2,2,2PA PA PB a PA PB a a PB-===，各自的轨迹方程如何？引例：已知点(,)M x y 与两定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？（必修2 P103 探究·拓展）探究已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为(0)λλ>，那么点M 的轨迹是什么？背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一类题1： (1994,全国卷) 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0).求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力. 解：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是P={M ||MN |=λ|MQ |}，式中常数λ>0.——2分因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1.——4分设点M 的坐标为(x ，y )，则()222221y x y x +-=-+λ——5分整理得(λ2－1)(x 2+y 2 )－4λ2x +(1+4λ2)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P .故这个方程为所求的轨迹方程. ——8分当λ=1时，方程化为x =45，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直且交x 轴于点(45，0)，当λ≠1时，方程化为(x －1222-λλ)2+y 2=()222131-+λλ它表示圆，该圆圆心的坐标为(1222-λλ，0)，半径为13122-+λλ ——12分类题2：（2008，江苏）满足条件AB = 2，AC = 2BC 的∆ABC 的面积的最大值是______ 类题3：（2002，全国）已知点P 到两定点)0,1(-M 、)0,1(N 距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程解：设P 的坐标为),(y x ，由题意有2||||=PN PM ，即 2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++，整理得01622=+-+x y x因为点N 到PM 的距离为1，2||=MN所以︒=30PMN ，直线PM 的斜率为33±，直线PM 的方程为)1(33+±=x y 将)1(33+±=x y 代入01622=+-+x y x 整理得0142=+-x x 解得32+=x ，32-=x则点P 坐标为)31,32(++或)31,32(+--)31,32(--+或(2-，直线PN 的方程为1-=x y 或1+-=x y ．类题4：（2006，四川）已知两定点(2,0),A -(1,0),B 如果动点P 满足条件2,PA PB =则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于_________类题5：（2011，浙江）P ,Q 是两个定点，点Ｍ为平面内的动点，且(01MP MQλλλ=>≠且），点Ｍ的轨迹围成的平面区域的面积为S ，设()S f λ=，试判断函数的单调性．引例：（2011，北京）曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数)1(2>a a 的点的轨迹.给出下列三个结论：① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③ 若点P 在曲线C 上，则12F PF ∆的面积不大于212a 其中正确命题的序号为_____________背景展示：在数学史上，到两个顶点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西尼卵形线（Cassini Oval ），乔凡尼·多美尼科·卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学家和水利工程师，他是第一个发现土星的四个卫星的人.1675年，他发现土星光环中间有条暗缝，这就后来以他名字命名的卡西尼环缝。

解析几何--交点轨迹求解方法

解析几何A1，A2是椭圆x^2/9+y^/4=1长轴两端点,P1,P2是垂直于A1A2的弦的两端点,求A1P1与A2P2交点的轨迹2008年二轮复习高中数学方法讲解：5、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．例1.设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )A. B. C. D.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，∴∵A2、P2、P共线，∴解得x0=答案：C例2.如右图，给出定点A(a，0)(a＞0)和直线l：x＝－1．B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．依题意，记B(－1，b)(b∈R)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx．设点C(x，y)，则有0≤x ＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等．根据点到直线的距离公式得依题设，点C在直线AB上，故有将②式代入①式得整理得y2[(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2]＝0，若y≠0，则(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2=0(0＜x＜a)；若y＝0，则b=0，∠AOB＝π，点C的坐标为(0，0)，满足上式．综上得点C的轨迹方程为(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2=0(0≤x＜a)．(i)当a＝1时，轨迹方程化为y2＝x(0≤x＜1)．③此时，方程③表示抛物线弧段；(ii)当a≠1时，轨迹方程为所以，当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段；当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段．例3.已知椭圆=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0－c,y1=2y0.∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2.故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0)例4.如右图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|有些小问题。