反证法 精讲优练课型PPT课件

【证明】假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于 .1 4
因为a,b,c∈(0,1),
所以1-a>0,1-b>0,1-c>0.
所以
1 a b
同理 2
1 ab
1＝1 . 42
1 b c 1，1 c a 1.
2 22 2
三式相加得 1 a b＋1 b c＋1 c a 3，
从而a=b=c,a这c 与已a知c a,b,c不a成 等c 差数列矛盾.
所以假设不正确.故 不成等差数列.
a，b，c
类型二 反证法证明“至多”“至少”问题 【典例】(2016·威海高二检测)已知a,b,c∈(0,1),求 证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于 .
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【解题探究】典例中“不能都大于”的含义是什么? 提示:“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等 于”其对立面为“全部大于”.
【变式训练】(2016·沈阳高二检测)已知三个正数
a,b,c成等比数列但不成等差数列.求证:
不成
a，b，c
等差数列.
【证明】假设 a，b成，c等差数列,则
a c 2 b,
即a+c+2 =4b,
ac 又a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b=
所以a+c+2 =4 ,即( )2=0,所以aca.=c,
类型一 用反证法证明否(肯)定性命题
【典例】1.(2016·武汉高二检测)用反证法证明命题
“如果a>b,那么a3>b3”时,假设的内容是 ( )
A.a3=b3
B.a3<b3
C.a3≤b3
D.a3<b3且a3=b3
2.(2016·德州高二检测)用反证法证明“一个三角形 不能有两个直角”有三个步骤:①A+B+C=90°+90° +C>180°,这与三角形的内角和为180°矛盾,故假设错 误;②所以一个三角形不能有两个直角;③假设△ABC中 有两个直角,不妨设A=B=90°. 上述步骤的正确顺序为________.
2.反证法证题的本质、常用的反证方法 (1)本质:用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾, 从而证明原结论正确.否定结论时,对结论的反面要一 一否定,不能遗漏. (2)常用的反证方法:否定一个反面的反证法称为归谬 法,否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法.
易错警示:用反证法证题时,“否定结论”在推理论证 中作为已知使用,导出矛盾是指在假设的前提下,逻辑 推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成 立的事实”等相矛盾.
(2)反证法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在它的原理 上,即“否定之否定等于肯定”,其中第一个否定是指 “否定结论(假设)”;第二个否定是指“逻辑推理的结 果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”,书写格 式易错之处是“假设”易错写成“设”.
(3)并非所有问题都可采用反证法证明,只有当问题从 正面求解不好处理时或较繁琐时,才考虑反证法.
【解析】选B.“三个内角至少有一个不大于60°”的含 义是有一个,两个或三个内角不大于60°,所以否定是 “都大于60°”.
4.应用反证法推出矛盾的过程中,要把下列哪些作为条 件使用________(填序号). ①结论的否定即反设;②原命题的条件;③公理、定理、 定义等;④原命题的结论.
【解析】根据反证法的定义知①②③均可作为条件使 用. 答案:①②③
【解题探究】1.典例1中结论“a3>b3”的反面是什么? 提示:a3≤b3.
2.典例2中,①②③在反证法中各是什么? 提示:①是推出矛盾;②作出结论;③是反设.
【解析】1.选C.假设的内容应为结论“a3>b3”的否定 “a3≤b3”,故选C. 2.根据反证法证题的三步骤:否定结论、导出矛盾、得 出结论. 知正确的顺序应为③①②. 答案:③①②
【解析】选D.“不全为0”的对立面为“全为0”,故 “不全为0”的含义为“至少有一个不为0”.
3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不 大于60°”时,反设正确的是 ( ) A.假设三内角都不大于60° B.假设三内角都大于60° C.假设三内角至多有一个大于60° D.假设三内角至多有两个大于60°
5.设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1. 求证:a2+b2+d2+c2+ab+cd≠1.
【证明】假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1, 则a2+b2+c2+d2+ab+cd-ad+bc=0, 即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0, 所以a+b=0且c+d=0且a-d=0且b+c=0, 所以a=b=c=d=0与ad-bc=1矛盾. 所以假设不成立,原结论成立.
2.2.2 反证法
来自百度文库
【自主预习】 反证法的定义及证题关键
错误
不成立
原命题成立
假设
已知条件 定理 公理 事实
假设
定义
【即时小测】
1.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应
该是 ( )
A.a<b
B.a≤b
C.a=b
D.a≥b
【解析】选B.“a>b”的对立面为“a≤b”.
2.实数a,b,c不全为0等价于 ( ) A.a,b,c均不为0 B.a,b,c中至多有一个为0 C.a,b,c中至少有一个为0 D.a,b,c中至少有一个不为0
【知识探究】 探究点 反证法 1.反证法的“反设”是否命题吗? 提示:不是,反证法的“反设”是对命题结论的否定.
2.反证法证题的核心是什么? 提示:核心是推出矛盾.
【归纳总结】 1.对反证法的三点说明 (1)反证法不是直接去证明结论,而是先否定结论,在否 定结论的基础上,运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结 论的真实性.
【方法技巧】 1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等 词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊, 而反面比较具体,适合使用反证法.
2.用反证法证明数学命题的步骤
特别提醒:(1)用反证法证题时,首先要搞清反证法证题 的思路步骤,其次注意反证法是在条件较少,直接证明 不易入手时常用的方法. (2)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存 在”“没有”等词语的否定性命题,结论的反面比较具 体,适于应用反证法. (3)注意否定结论时,要准确无误.