数学高一-示范教案6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

示范教案{§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比

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整体设计

教学分析

函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．

三维目标

1．借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．

2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像)，并借助信息技术解决一些实际问题．

3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣．

重点难点

教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．

教学难点：应用函数模型解决简单问题．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(情境导入)

国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．思路2.(直接导入)

我们知道，对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数．但这三类函数的增长是有差异的．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．

推进新课

新知探究

提出问题

①在区间0，＋∞上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性.

②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像.

③结合函数的图像找出其交点坐标.

④请在图像上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围.

⑤由以上问题你能得出怎样结论？

讨论结果：

①在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为单调增函数．

x 0.20.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4…

y＝2x 1.149 1.5162 2.639 3.482 4.959 6.063810.55

6

…

y＝x20.040.361 1.96 3.24 4.84 6.67911.56…

y＝log2x

－

2.322

－0.73700.4850.848 1.138 1.379 1.585 1.766…

图1

③从图像看出y＝log2x的图像与另外两函数的图像没有交点，且总在另外两函数的图像的下方，y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)．

④不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围分别是(2,4)和(0,2)∪(4，＋∞)．

x 012345678…

y＝2x1248163264128256…

y＝x201491625364964

图2

容易看出：y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.

但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图3和下表所示．

x 01020304050607080…

y＝2x1 1 0241.05E

＋06

1.07E

＋09

1.10E

＋12

1.13E

＋15

1.15E

＋18

1.18E

＋21

1.21E

＋24

…

y＝x20100400900 1 600 2 500 3 600 4 900 6 400…

图3

一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x 的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n.

同样地，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.

综上所述，尽管对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n＜a x.虽然幂函数y＝x n(n＞0)增长快于对数函数y＝log a x(a＞1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”．

应用示例

思路1

例1 试利用计算器来计算2500的近似值．

活动：学生思考，教师提示，计算这样一个大的数，用计算器无法直接计算．如何计算呢？我们可以充分利用幂的运算性质，再结合计算器的利用来求其近似值．解：第一步，利用科学计算器算出

210＝1 024＝1.024×103；

第二步，再计算2100，因为

2100＝(210)10＝(1.024×103)10＝1.02410×1030，

所以，我们只需要用科学计算器算出

1．02410≈1.267 7，

则2100≈1.267 7×1030；

第三步，再计算2500，因为

(2100)5≈(1.267 7×1030)5，

我们只需要用科学计算器算出

1．267 75≈3.274 0，

从而算出2500≈3.27×10150.

点评：在设计计算方法时，要考虑到科学计算器能计算的位数．如果函数值非常大，我们常常用科学记数法表示，并且根据需要保留一定数目的有效数字．