数字信号处理课后答案+第3章(高西全丁美玉第三版)

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数字信号处理西安电子高西全丁美玉第三版课后习题答案全1-7章

数字信号处理西安电子高西全丁美玉第三版课后习题答案全1-7章
=y′(n)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=T[ax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2[ax1(n-1)+bx2(n-1)] +3[ax1(n-2)+bx2(n-2)] T[ax1(n)]=ax1(n)+2ax1(n-1)+3ax1(n-2) T[bx2(n)]=bx2(n)+2bx2(n-1)+3bx2(n-2)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(3) 这是一个延时器, 延时器是线性非时变系统, 下面证明。 令输入为
输出为
x(n-n1)
y′(n)=x(n-n1-n0) y(n-n1)=x(n-n1-n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于
T[ax1(n)+bx2(n)]=ax1(n-n0)+bx2(n-n0) =aT[x1(n)]+bT[x2(n)]
=aT[x1(n)]+mbT0 [x2(n)]
故系统是线性系统。
n
m0
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(8) y(n)=x(n) sin(ωn)
令输入为
输出为
x(n-n0)
y′(n)=x(n-n0) sin(ωn) y(n-n0)=x(n-n0) sin[ω(n-n0)]≠y′(n) 故系统不是非时变系统。 由于
(5) 画x3(n)时, 先画x(-n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°), 然后再右移2位, x3(n)波形如题2解图(四)所示。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题2解图(一)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统

《数字信号处理》第三版课后答案(完整版)

《数字信号处理》第三版课后答案(完整版)

西安电子 ( 高西全丁美玉第三版 ) 数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列 (n) 及其加权和表示 题 1 图所示的序列。

解:x( n)(n4) 2 (n 2) ( n 1)2 (n)(n 1) 2 (n 2) 4 ( n 3)0.5(n 4)2 (n 6)2n 5, 4 n 12. 给定信号: x( n)6,0n 40, 其它(1)画出 x( n) 序列的波形,标上各序列的值; (2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 x(n) 序列;(3)令 x 1( n) 2x(n 2) ,试画出 x 1( n) 波形;(4)令 x 2 (n) 2x(n 2) ,试画出 x 2 (n) 波形;(5)令 x 3 (n) 2x(2 n) ,试画出 x 3 (n) 波形。

解:( 1) x(n) 的波形如 题 2 解图(一) 所示。

( 2)x(n)3 ( n 4)(n 3) (n 2) 3 ( n 1) 6 (n) 6 (n 1)6 ( n 2)6(n 3) 6 (n 4)( 3) x 1 (n) 的波形是 x(n) 的波形右移 2 位,在乘以 2,画出图形如 题 2 解图(二) 所示。

( 4) x 2 (n) 的波形是 x(n) 的波形左移 2 位,在乘以 2,画出图形如 题 2 解图(三) 所示。

( 5)画 x 3 (n) 时,先画 x(-n) 的波形,然后再右移2 位, x3 ( n) 波形如 题 2 解图(四) 所示。

3. 判断下面的序列是否是周期的,若是周期的,确定其周期。

(1) x( n)Acos(3n) ,A 是常数;78(2)x(n)j ( 1n)e 8。

解:(1)w 3214T=14 ;7,,这是有理数,因此是周期序列,周期是w3(2)w 1 , 216 ,这是无理数,因此是非周期序列。

8w5. 设系统分别用下面的差分方程描述,x(n) 与 y(n) 分别表示系统输入和输出,判断系统是否是线性非时变的。

数字信号处理课后第三章习题答案

数字信号处理课后第三章习题答案

1 e j 0 N
2 j(0 k ) N 1 e
k 0, 1, , N 1
(8) 解法一
直接计算:
1 j 0 n x8 (n) sin(0 n) RN (n) [e e j 0 n ] R N ( n ) 2j
X 8 (n)

n 0
N 1
kn x8 (n)WN
k 0, 1, , N 1
(4)
X (k ) WNkn
n 0
m1
π j ( m1) k 1 WNkm N e 1 WNk
π sin mk N R (k ) N π sin k N
第3章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
所以
DFT[ X (n)] X (n)W
n 0
N 1
N 1
kn N
N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
N 1
n ( m k ) x(m)WN m 0 n 0
N 1
第3章
由于
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
第3章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
(10) 解法一
X (k )

n 0
N 1
kn nWN
k 0, 1, , N 1
上式直接计算较难, 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)=nRN(n), 所

x(n)-x((n-1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT, 得到
1 [e j0 n e j0 n ] e 2 j n 0

数字信号处理第三版高西全版课后习题答案

数字信号处理第三版高西全版课后习题答案

数字信号处理课后答案 高西全、丁美玉版教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。

解:()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3)0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号:25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它(1)画出()x n 序列的波形,标上各序列的值;(2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列; (3)令1()2(2)x n x n =-,试画出1()x n 波形; (4)令2()2(2)x n x n =+,试画出2()x n 波形; (5)令3()2(2)x n x n =-,试画出3()x n 波形。

解:(1)x(n)的波形如题2解图(一)所示。

(2)()3(4)(3)(2)3(1)6()6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-(3)1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位,在乘以2,画出图形如题2解图(二)所示。

(4)2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位,在乘以2,画出图形如题2解图(三)所示。

(5)画3()x n 时,先画x(-n)的波形,然后再右移2位,3()x n 波形如题2解图(四)所示。

3. 判断下面的序列是否是周期的,若是周期的,确定其周期。

(1)3()cos()78x n A n ππ=-,A 是常数;(2)1()8()j n x n e π-=。

解:(1)3214,73w w ππ==,这是有理数,因此是周期序列,周期是T=14; (2)12,168w wππ==,这是无理数,因此是非周期序列。

5. 设系统分别用下面的差分方程描述,()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出,判断系统是否是线性非时变的。

数字信号处理第三版西科大课后答案第3和4章

数字信号处理第三版西科大课后答案第3和4章
生物医学信号处理
采用数字信号处理技术对生物医学信号进行分析与处理,如心电图、 脑电图等信号的处理与识别。
04
重点难点总结与复习指导
第三章重点难点总结
离散时间信号与系统的时域分析
掌握离散时间信号的定义、性质及分类,理解离散时间系统的描述方式,掌握卷积和的计 算方法。
离散时间信号的频域分析
理解周期信号的傅里叶级数展开,掌握离散时间信号的傅里叶变换及其性质,了解频域采 样理论。
内部奇点的留数和。这种方法适用于X(z)在复平面上有奇点的情况。
系统函数H(z)求解方法
直接法
根据系统差分方程,直接写出系统函 数H(z)的表达式。这种方法简单直接, 但需要注意差分方程的初始条件和边 界条件。
间接法
先求出系统的单位冲激响应h(n),然 后根据h(n)求出H(z)。这种方法需要 先确定系统的单位冲激响应,计算量 相对较大。
课后习题解答与技巧
熟练掌握z变换的定义和性质,能够灵活运用这些 性质进行信号处理和系统分析。
理解系统函数H(z)的物理意义,掌握其求解方法 ,并能够根据H(z)分析系统的稳定性和频率响应 特性。
掌握z反变换的计算方法,能够根据具体情况选择 合适的方法进行求解。
在解答课后习题时,注意审题和理解题意,明确 题目要求和已知条件,选择合适的公式和方法进 行求解。同时,注意计算过程和结果的准确性, 避免出现计算错误或遗漏重要步骤的情况。
时不变性质
系统对输入信号的响应不随时间推移而改变,即 输入信号延迟或提前一定时间后,输出信号也相 应延迟或提前相同的时间。
稳定性判定
系统对任意有界输入信号的响应也是有界的,即 输出信号的幅度不会无限制地增长。
课后习题解答与技巧

数字信号处理课后答案+第3章(高西全丁美玉第三版)PPT课件

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y(n) IDFT[Y (k)] WNln x(n)
证:
y(n)
IDFT[Y (k)]
1 N
N 1
Y (k )WNkn
k 0
1 N
N 1
X ((k
k 0
l)) N WNkn
W ln N
1 N
N 1
X
k 0
((k
l
))
N
W (k N
l
)n
令m=k+l, 则
y(n)
WNln
1 N
N 1
为x(n)=nRN(n), 所以 x(n)-x((n-1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n)
等式两边进行DFT, 得到
X(k)-X(k)WkN+N=Nδ(k)

N[δ(k) 1] X (k)
1 WNk
k 1, 2, , N 1
当k=0时, 可直接计算得出X(0)为
X (0)
N 1
n WN0
(1) x(n)=1
(2) x(n)=δ(n) (3) x(n)=δ(n-n0) (4) x(n)=Rm(n)
0<n0<N 0<m<N
j2π mn
(5) x(n) e N , 0 m N
(6) x(n) cos 2π mn, 0 m N N
(7) x(n)=ejω0nRN(n)
(8) x(n)=sin(ω0n)RN(n)
X
((m))
N
W
mn N
ml
WNln
1 N
N 1
X
(m)W
mn N
m0
WNln x(n)
9. 已知x(n)长度为N, X(k)=DFT[x(n)],

数字信号处理课后答案+第3章(高西全丁美玉第三版)

数字信号处理课后答案+第3章(高西全丁美玉第三版)
N −1 n =0 N −1 − j 2 π kn e N n =0 −j −j 2π kN N 2π kN N
X (k ) =

kn 1 ⋅ WN
=

=
1− e 1− e
N k = 0 = 0 k = 1, 2, ⋯, N − 1
(2) X (k ) = ∑ δ(n)W
n =0
N −1
kn N
(10) 解法一
X (k ) =

n =0
N −1 kn nW N
k = 0, 1, ⋯ , N − 1
上式直接计算较难, 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因 为x(n)=nRN(n), 所以 x(n)-x((n-1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT, 得到 X(k)-X(k)WkN+N=Nδ(k)
j
2π mn N ,
0<m< N

2π x(n) = cos mn , 0 < m < N N
(7) (8) (9)
x(n)=ejω0nRN(n) x(n)=sin(ω0n)RN(n) x(n)=cos(ω0n)RN(N)
(10) x(n)=nRN(n) 解: (1)
H (k ) = ∑ ∑ x((n′ + lN )) N e
l =0 n′=0
m −1 N −1
−j
2π( n′+lN ) k rN
2π 2π −j n′k − j lk N −1 k r −1 − j 2π lk ′)e mN e m = X ∑ e m = ∑ ∑ x(n l =0 n′=0 r l =0 m −1

西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理部分课后答案Word版 - 副本

西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理部分课后答案Word版 - 副本

第一章习题解答2. 给定信号:25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它(1)画出()x n 序列的波形,标上各序列的值; (2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列; (3)令1()2(2)x n x n =-,试画出1()x n 波形; (4)令2()2(2)x n x n =+,试画出2()x n 波形; (5)令3()2(2)x n x n =-,试画出3()x n 波形。

解: (1)x(n)的波形如题2解图(一)所示。

(2)()3(4)(3)(2)3(1)6()6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-(3)1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位,在乘以2,画出图形如题2解图(二)所示。

(4)2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位,在乘以2,画出图形如题2解图(三)所示。

(5)画3()x n 时,先画x(-n)的波形,然后再右移2位,3()x n 波形如题2解图(四)所示。

5. 设系统分别用下面的差分方程描述,()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出,判断系统是否是线性非时变的。

(5)2()()y n x n =; (6)y (n )=x (n 2)解:(5) 2()()y n x n = 令:输入为0()x n n -,输出为'20()()y n x n n =-,因为2'00()()()y n n x n n y n -=-=故系统是时不变系统。

又因为21212122212[()()](()()) [()][()] ()()T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n ax n bx n +=+≠+=+因此系统是非线性系统。

(6) y (n )=x (n 2) 令输入为x (n -n 0) 输出为y ′(n )=x ((n -n 0)2)y (n -n 0)=x ((n -n 0)2)=y ′(n)故系统是非时变系统。

数字信号处理(第三版)_课后习题答案全_(原题+答案+图)

数字信号处理(第三版)_课后习题答案全_(原题+答案+图)

(5)y(n)=x2(n)
(6)y(n)=x(n2)
(7)y(n)=
n
(8)y(n)=x(n)sin(ωxn(m) )
m0
解: (1) 令输入为
输出为
x(n-n0)
y′(n)=x(n-n0)+2x(n-n0-1)+3x(n-n0-2) y(n-n0)=x(n-n0)+2x(n—n0—1)+3(n-n0-2)
x(n)=-δ(n+2)+δ(n-1)+2δ(n-3)
h(n)=2δ(n)+δ(n-1)+ δ(n-2)
由于
x(n)*δ(n)=x(n)
1
x(n)*Aδ(n-k)=Ax(n-k)
2

第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
y(n)=x(n)*h(n)
=x(n)*[2δ(n)+δ(n-1)+ δ(n-2) 1 2
(4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较, 你能得
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解:(1) x(-n)的波形如题4 (2) 将x(n)与x(-n)的波形对应相加, 再除以2, 得到xe(n)。 毫无疑问, 这是 一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图(二)所示。 (3) 画出xo(n)的波形如题4解图(三)所示。
分别求出输出y(n)。
(1) h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) (2) h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)-δ(n-2) (3) h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)
解: (1) y(n)=x(n)*h(n)=
R4(m)R5(n-m)

数字信 处理 西安电子科技大学出版 高西全丁美玉 第三版 课后习题答案 全

数字信 处理 西安电子科技大学出版 高西全丁美玉 第三版 课后习题答案 全
y(n)=x(n)*h(n)
=x(n)*[2δ(n)+δ(n-1)+ δ(n-2) 1 2
=2x(n)+x(n-1)+ x(n-2)
将x(n)的表示式代入上式, 得到 1 y(n)=-2δ(n+2)-δ(n+1)-0.5δ(n2 )+2δ(n-1)+δ(n-2)
+4.5δ(n-3)+2δ(n-4)+δ(n-5)
k nn0
如果|x(n)|≤M, 则
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(4)假设n0>0, 系统是因果系统, 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入 有关。 如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤M,
(5) 系统是因果系统, 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果
|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM,
9. 证明线性卷积服从交换律、 结合律和分配律, 即证明下面等式成立: (1) x(n)*h(n)=h(n)*x(n) (2) x(n)*(h1(n)*h2(n))=(x(n)*h1(n))*h2(n) (3) x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) 证明: (1) 因为
(2) 因为ω=
,
所以
1
8
=16π, 这是无理数, 因此是非周期序列。

第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
* 4. 对题1图给出的x(n)要
1
2
求:
1
2
(1) 画出x(-n)的波形;
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解:(1) x(-n)的波形如题4 (2) 将x(n)与x(-n)的波形对应相加, 再除以2, 得到xe(n)。 毫无疑问, 这是 一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图(二)所示。 (3) 画出xo(n)的波形如题4解图(三)所示。

数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答桉第3和4章

数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答桉第3和4章
x(n) 2
1
N 1
X (k) 2
n0
N k0
第3章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
7)
(1) 长度为N的共轭对称序列xep(n)与反共轭对称序列
xop(n):
xep(n) xep(N n)
xop (n) xop (N n)
序列x(n)的共轭对称分量与共轭反对称分量:
xep (n)
所以
~xN (n)
x(n rN )
r
即 ~xN (n) 是x(n)的周期延拓序列, 由DFT与DFS的关系
可得出
xN (n) IDFT[ X (k)] ~xN (n)RN (n) x(n rN )RN (n) r
第3章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法
(FFT)
xN(n)=IDFT[X(k)]为x(n)的周期延拓序列(以N为延拓周期) 的主值序列。 以后这一结论可以直接引用。
DFT[x(n m)N RN (n)] WNkm X (k)
5) 频域循环移位性质
DFT[WNnm x(n)] X ((k m)) N RN (k)
第3章
6) 循环卷积:
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
L1
yc (n) h(m)x((n m))L RL (n)=h(n) L x(n)
(1)在h(n)的尾部加L-N个零点, 在x(n)的尾部加L-M
(2)计算L点的H(k)=FFT[h(n)]和L点的X(k)=FFT [x(n)];
(3) 计算Y(k)=H(k)X(k) (4) 计算Y(n)=IFFT[Y(k)], n=0,1,2,3,…,L-1。 但当h(n)和x(n)中任一个的长度很长或者无限长时, 需用 书上介绍的重叠相加法和重叠保留法。

数字信号处理-西安电子(-高西全丁美玉)第三版-课后习题答案(全)1-7章-2

数字信号处理-西安电子(-高西全丁美玉)第三版-课后习题答案(全)1-7章-2

题4解图(三)
第1章
时域离散信号和时域离散系统
5. 设系统分别用下面的差分方程描述, x(n)与y(n)分别表示系统输入和输 出, 判断系统是否是线性非时变的。 (1)y(n)=x(n)+2x(n-1)+3x(n-2) (2)y(n)=2x(n)+3 (3)y(n)=x(n-n0) n0为整常数
n=1时,
1 1 1 1 h(1) h(0) (1) (0) 1 2 2 2 2
第1章
n=2时,
时域离散信号和时域离散系统
1 1 h(2) h(1) 2 2
1 1 h(3) h(2) 2 2
2
n=3时,
归纳起来, 结果为
1 h(n) 2
1 , 所以 8

第1章
时域离散信号和时域离散系统
4. 对题1图给出的x(n)要求:
(1) 画出x(-n)的波形; Nhomakorabea1 (2) 计算xe(n)= [x(n)+x(-n)], 并画出xe(n)波形; 2 1 [x(n)-x(-n)], 并画出x (n)波形; (3) 计算xo(n)= o 2
第1章
时域离散信号和时域离散系统
n jn
a e
n 0
1 1 ae j
第2章
时域离散信号和系统的频域分析
3. 求出序列
2-n u(n)
的Z变换及收敛域:
ZT[2 n u (n)]
n



2 n u ( n) z n 1 1 2z

n 0

2 n z n 1 2
设系统是因果的, 利用递推法求系统的单位脉冲响应。

(完整版)数字信号处理(第三版)高西全丁玉美课后答案

(完整版)数字信号处理(第三版)高西全丁玉美课后答案

西安电子(咼西全丁美玉第二版)数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答解:x(n)(n 4)2 (n 2)0.5 (n 4) 2 (n(n 1) 2 (n) (n 1) 2 (n 2) 4 (n 3) 6)2n 5, 4 n 12.给定信号 :x(n)6,0 n 4 0,其它(1) 画出x(n)序列的波形,标上各序列的值; (2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 x(n)序列;(3) 令X 1(n) 2x(n 2),试画出捲(n)波形; (4) 令 X 2(n) 2x(n 2),试画出 X 2(n)波形; (5) 令 x 3(n) 2x(2 n),试画出 X 3(n)波形。

解:(1) x(n)的波形如 题2解图(一)所示。

(2)x(n) 3 (n 4) (n 3) (n 2) 3 (n 1) 6 (n)6 (n 1) 6 (n 2) 6 (n 3) 6 (n 4)(5)画X 3(n)时,先画x(-n)的波形,然后再右移 2位,X 3(n)波形如题2解图(四)所示。

3.判断下面的序列是否是周期的,若是周期的,确定其周期。

3(1) x(n) Acos( n -),A 是常数;1j (7n)(2) x(n) e 8。

1.用单位脉冲序列(n)及其加权和表示 题1图所示的序列。

(3) x, n)的波形是x(n)的波形右移2位,在乘以2,画出图形如题2解图(二)所示。

(4) X 2 (n)的波形是x(n)的波形左移 2位,在乘以2,画出图形如 题2解图(三)所示。

解:3 2 14(1)W , ,这是有理数,因此是周期序列,周期是T=14 ;7 w 31 2(2)w , 16 ,这是无理数,因此是非周期序列。

8 w5.设系统分别用下面的差分方程描述,x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出,判断系统是否是线性非时变的。

(1)y(n) x(n) 2x(n 1) 3x(n 2);(3)y(n) x(n n°),n o为整常数;(5)y(n) x2(n);(7)y(n) nx(m)。

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kn X (k ) x(n)WN n 0 N 1
所以
DFT[ X (n)] X (n)W
n 0
N 1
N 1
kn N
N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
N 1
n x(m)WN ( m k ) m 0 n 0
N 2 0
(7)
k m, k N m k m, k N m
0≤k≤N-1
X 7 (k ) e
n 0
N 1
j0n
W e
kn N n 0
N 1
j(0
2π k )n N

1 e
j(0
2π k)N N 2π k) N
1 e
j(0
X (k ) W X (k ) WNkm ( N 1)
k N m 1
kn WN 1 ( N 1) N n 0 N 1
N 1
所以, X (k )
N , k 0 ,即 k 1 WN N ( N 1) k 0 2 X (k ) N k 1, 2, , N 1 k 1 WN

N [δ(k ) 1] X (k ) k 1 WN
k 1, 2, , N 1
当k=0时, 可直接计算得出X(0)为
0 X (0) n WN n n 0 n 0 N 1 N 1
N ( N 1) 2
这样, X(k)可写成如下形式:
N ( N 1) 2 X (k ) N k 1 WN , k 0 k 1, 2, , N 1
k m k N m 其它k
其中, m为正整数, 0<m<N/2, N为变换区间长度。
1 N 1 x(n) IDFT[ X (k )] X (k )WN kn 解: (1) N k 0
1 N N j j 2 π mn N j j 2 π ( N m ) n e e N e e N 2 2
N 1
由于 所以

n 0
N 1
n WN ( m k )
N 0
m N k m N k , 0≤ m ≤ N 1
DFT[X(n)]=Nx(N-k)
k=0, 1, …, N-1
5. 如果X(k)=DFT[x(n)], 证明DFT的初值定理
证: 由IDFT定义式
1 N 1 x(0) X (k ) N k 0
求H(k)与X(k)的关系式。 解: H(k)=DFT[h(n)]
0≤k≤mN-1
0≤k≤mN-1
令n=n′+lN, l=0, 1, …, m-1, n′=0, 1, …, N-1, 则
H (k ) x((n lN )) N e
l 0 n0
m1 N 1
j
2π( nlN ) k rN
2π j( 2 π mn ) j( mn ) 1 e N e N 2
2π cos mn N
n=0, 1, …, N-1
(2)
1 N j mn N j ( N m) n x(n) je WN je WN N 2 2
m N

2π x(n) cos mn , 0 m N N
(7)
x(n)=ejω0nRN(n)
(8)
(9)
x(n)=sin(ω0n)RN(n)
x(n)=cos(ω0n)RN(N)
(10) x(n)=nRN(n) 解: (1)
X (k )
N 1 n 0 N 1 j 2 π kn e N n 0 j j 2π kN N 2π kN N

kn 1 WN



1 e 1 e
N k 0 0 k 1, 2, , N 1
(2) X (k ) δ(n)W
n 0
N 1
kn N
δ(n) 1
n 0
N 1
k 0, 1, , N 1
X (k ) δ(n n0 )WNkn (3)
解法二
由DFT的共轭对称性求解。
因为
x7 (n) e j0n RN (n) [cos(0 n) j sin(0 n)]RN (n)
所以 所以
x8 (n) sin(0 n) RN (n) Im[x7 (n)]
DFT[ j x8 (n)] DFT[ j Im[ x7 (n)]] X 7o (k )
(5)
X (k )

n 0
N 1 j 2 π mn e N
kn WN

n 0
N 1 j 2 π ( m k ) n e N

1 e
j
2π (mk ) N N 2π (mk ) N
1 e
j
N 0
k m km
0≤k≤N-1
- j mn - j kn 1 j N mn 2π kn (6) X (k ) cos mn WN (e e N )e N 2 N n 0 n 0
解法二
因为
由DFT共轭对称性可得同样结果。
x9 (n) cos(0 n) RN (n) Re[x7 (n)]
1 * X 9 (k ) X 7e (k ) [ X 7 (k ) X 7 ( N k )] 2
j 0 N j 0 N 1 1 e 1 e 2π 2π 2 j(0 k ) j(0 ) k N N 1 e 1 e
L=10。
0 ≤ n≤ 4 5 ≤ n≤ 9
做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n), 循环卷积区间长度
解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分别如题3解图(a)、
(b)、 (c)所示。
题3解图
4. 证明DFT的对称定理, 即假设X(k)=DFT[x(n)], 证明 DFT[X(n)]=Nx(N-k) 证: 因为
k 0, 1, , N 1
(8) 解法一
直接计算:
1 j 0 n x8 (n) sin(0 n) RN (n) [e e j 0 n ] R N ( n ) 2j
X 8 (n)

n 0
N 1 kn x8 (n)WN
1 [e j0 n e j0 n ] e 2 j n 0
2π 2π j nk j lk N 1 k r 1 j 2π lk )e mN e m X e m x(n 0 l 0 n r l 0 m 1
因为
e
l 0
m1 j 2π lk m
m 0
k 整数 m k 整数 m
所以
k mX m X (k ) 0
k 整数 m k 整数 m
7. 证明: 若x(n)为实序列, X(k)=DFT[x(n)]N, 则 X(k)为共轭对称序列, 即X(k)=X*(N-k); 若x(n)实偶对 称, 即x(n)=x(N-n), 则X(k)也实偶对称; 若x(n)实奇对称, 即x(n)=-x(N-n), 则X(k)为纯虚函数并奇对称。
2π mn ) N 2π mn ) N ]
1 [e 2j
j(
e
j(
2π sin mn N
n=0, 1, …, N-1
3. 已知长度为N=10的两个有限长序列:
1 0 ≤ n ≤ 4 x1 (n) 0 5 ≤ n ≤ 9
1 x 2 ( n) 1

N 1

N 1



1 e 2 n 0
N 1
j
2π ( mk ) n N
1 e 2 n 0
N 1 j 2π ( m k ) n N
2π 2π j (mk ) N j ( m k ) N 1 1 e N 1 e N 2π 2π 2 j (m k ) 1 e j N (mk ) 1 e N
解法二
k=0时,
X (k ) n
k≠0时,
n 0
N 1
N ( N 1) 2
k 2 3 ( X (k ) 0 WN 2WN k 3WN k ( N 1)WNN 1) k
k 2 3 4 ( WN X (k ) 0 WN k 2WN k 3WN k ( N 2)WNN 1) k ( N 1)
n 0
N 1
W
(4)
kn0 N
δ(n n0 ) WNkn0
n 0
N 1
k 0, 1, , N 1
X (k ) WNkn
n 0
m1
π j ( m1) k 1 WNkm e N 1 WNk
π sin mk N R (k ) N π sin k N

N 1
j
2π kn N
1 N 1 j(0 2π k ) n N 1 j(0 2π k ) n N N e e 2 j n 0 n 0
j0 N 1 e j0 N 1 1 e 2 2π j(0 - k) j(ω0 k ) 2j N N 1 e 1 e
2π N k) 2π N 1 sin (0 j(0 k )( ) N 2 N 2 e 2π sin (0 k ) / 2 N
k 0, 1, , N 1
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