2015年北京数学中考复习课件(第22课时_等腰三角形)
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初中数学课件-等腰三角形PPT北师大版2
∠BDA=∠CDA=90°
在Rt△BAD和Rt△CAD中
B
AB=AC ( 已知 )
A DC
AD=AD (公共边)
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
初中数学课件-等腰三角形PPT北师大 版2（精 品课件 ）
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初中数学课件-等腰三角形PPT北师大 版2（精 品课件 ）
等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合。简称“三线合 一”，前提是在同一个等腰三角形中。 在△ABC中，
AB=AC，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A__D_ = ∠__C_A__D，_B_D__=C__D__.
B
DC
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三、走进展研
A
1、在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠B=80° ，
则∠C= ___度，∠A=____度？
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
B
C
∵∠B=80° （已知）
∴∠C=80°
又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为
180° ）
∴∠A=180°－ ∠B－∠C
∠A=20°
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B DC
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
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等腰三角形课件PPT
等腰三角形中的塞瓦定理与梅涅劳斯定理
在等腰三角形中，若点P位于底边中线上，则AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E 、F时，满足塞瓦定理和梅涅劳斯定理。
挑战性问题：寻找最大面积等腰三角形
问题描述
给定一条长度为L的线段AB，在 AB的同一侧作两个等边三角形 ABC和ABD，连接CD。在AB上 取一点P，连接CP和DP。试找出 使得△CPD面积最大的点P的位置
05
等腰三角形相关定理证明
勾股定理在等腰三角形中证明
01
勾股定理基本内容
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
02
等腰三角形与勾股定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其两条腰为直角边，底边为斜边，满足
勾股定理。
03
证明过程
设等腰直角三角形的两条腰为a，底边为c，根据勾股定理有a² + a² =
等角对等边
两个底角相等，且每个 底角都等于顶角的补角
。
对称性
等腰三角形是轴对称图 形，对称轴是底边的垂
直平分线。
等腰三角形与等边三角形关系
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三角形的定义。
等腰三角形不一定是等边三角形
虽然等腰三角形的两腰相等，但它的底边可以与两腰不等，因此不是所有等腰 三角形都是等边三角形。
c²，化简得2a² = c²，从而证明了在等腰直角三角形中，勾股定理成立
。
射影定理在等腰三角形中证明
射影定理基本内容
在直角三角形中，斜边上的垂线 将斜边分为两段，这两段与直角 边的乘积相等。
等腰三角形与射影定 理关系
当等腰三角形为直角三角形时， 其高线即为斜边上的垂线，满足 射影定理。
在等腰三角形中，若点P位于底边中线上，则AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E 、F时，满足塞瓦定理和梅涅劳斯定理。
挑战性问题：寻找最大面积等腰三角形
问题描述
给定一条长度为L的线段AB，在 AB的同一侧作两个等边三角形 ABC和ABD，连接CD。在AB上 取一点P，连接CP和DP。试找出 使得△CPD面积最大的点P的位置
05
等腰三角形相关定理证明
勾股定理在等腰三角形中证明
01
勾股定理基本内容
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
02
等腰三角形与勾股定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其两条腰为直角边，底边为斜边，满足
勾股定理。
03
证明过程
设等腰直角三角形的两条腰为a，底边为c，根据勾股定理有a² + a² =
等角对等边
两个底角相等，且每个 底角都等于顶角的补角
。
对称性
等腰三角形是轴对称图 形，对称轴是底边的垂
直平分线。
等腰三角形与等边三角形关系
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三角形的定义。
等腰三角形不一定是等边三角形
虽然等腰三角形的两腰相等，但它的底边可以与两腰不等，因此不是所有等腰 三角形都是等边三角形。
c²，化简得2a² = c²，从而证明了在等腰直角三角形中，勾股定理成立
。
射影定理在等腰三角形中证明
射影定理基本内容
在直角三角形中，斜边上的垂线 将斜边分为两段，这两段与直角 边的乘积相等。
等腰三角形与射影定 理关系
当等腰三角形为直角三角形时， 其高线即为斜边上的垂线，满足 射影定理。
中考数学基础复习第22课尺规作图课件
2
解得,x=5或-3(舍弃),∴BE=5.
变式2.(202X·长沙)人教版初中数学教科书八年级上册第48页告知我们一种 作已知角的平分线的方法: 已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线. 作法:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N; (2)分别以点M,N为圆心,大于 1 MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交
4.(202X·北京)已知:如图,△ABC为锐角三角形,AB=AC,CD∥AB. 求作:线段BP,使得点P在直线CD上,且∠ABP= ∠BAC. 作法:①以点A为圆心,AC长为半径画圆,交直线CD于C,P两点;②连接BP.线段BP 就是所求作线段. (1)使用直尺和圆规,依作法补全图形.(保留作图痕迹)
2
∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点,则GP的最小值
为
(C)
A.无法确定
B. 1
2
C.1
D.2
5.(202X·河北)如图1,已知∠ABC,用尺规作它的角平分线.
如图2,步骤如下,
第一步:以B为圆心,以a为半径画弧,分别交射线BA,BC于点D,E;
第二步:分别以D,E为圆心,以b为半径画弧,两弧在∠ABC内部交于点P;
【解析】(1)则四边形ABCD就是所求作的四边形.
(2)∵AB∥CD,∴∠ABP=∠CDP,∠BAP=∠DCP,∴△ABP∽△CDP,∴ AB . AP
【考点3】尺规作图拓展应用
例3.(202X·苏州)如图,已知∠MON是一个锐角,以点O为圆心,任意长为半径画 弧,分别交OM,ON于点A,B,再分别以点A,B为圆心,大于 1 AB长为半径画弧,两
2
弧交于点C,画射线OC.过点A作AD∥ON,交射线OC于点D,过点D作DE⊥OC,交ON于
解得,x=5或-3(舍弃),∴BE=5.
变式2.(202X·长沙)人教版初中数学教科书八年级上册第48页告知我们一种 作已知角的平分线的方法: 已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线. 作法:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N; (2)分别以点M,N为圆心,大于 1 MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交
4.(202X·北京)已知:如图,△ABC为锐角三角形,AB=AC,CD∥AB. 求作:线段BP,使得点P在直线CD上,且∠ABP= ∠BAC. 作法:①以点A为圆心,AC长为半径画圆,交直线CD于C,P两点;②连接BP.线段BP 就是所求作线段. (1)使用直尺和圆规,依作法补全图形.(保留作图痕迹)
2
∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点,则GP的最小值
为
(C)
A.无法确定
B. 1
2
C.1
D.2
5.(202X·河北)如图1,已知∠ABC,用尺规作它的角平分线.
如图2,步骤如下,
第一步:以B为圆心,以a为半径画弧,分别交射线BA,BC于点D,E;
第二步:分别以D,E为圆心,以b为半径画弧,两弧在∠ABC内部交于点P;
【解析】(1)则四边形ABCD就是所求作的四边形.
(2)∵AB∥CD,∴∠ABP=∠CDP,∠BAP=∠DCP,∴△ABP∽△CDP,∴ AB . AP
【考点3】尺规作图拓展应用
例3.(202X·苏州)如图,已知∠MON是一个锐角,以点O为圆心,任意长为半径画 弧,分别交OM,ON于点A,B,再分别以点A,B为圆心,大于 1 AB长为半径画弧,两
2
弧交于点C,画射线OC.过点A作AD∥ON,交射线OC于点D,过点D作DE⊥OC,交ON于
初中数学课件-等腰三角形课件北师大版2
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E 在边BC上，且AD=AE.
求证：BD=CE.
证明 作AF⊥BC，垂足为点F，
则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形 ADE底边上的高，也是底边上的中线.
∴ BF=CF，
DF=EF，
∴ BF-DF=CF-EF，
F
即 BD=CE.
初中数学课件-等腰三角形课件北师大 版2（ 精品课 件）
答：∠DPC =20°.
初中数学课件-等腰三角形课件北师大 版2（ 精品课 件）
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探究
我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来 ，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么 AB与AC之间有什么关系吗？
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则∠1=∠2.
又∠B=∠C，
由三角形内角和的性质得
12
∠ADB=∠ADC.
D
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沿AD所在直线折叠， 由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2， 所以射线DB与射线DC重合， 射线AB与射线AC重合. 从而点B与点C重合， 于是AB=AC.
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
初中数学课件-等腰三角形课件北师大 版2（ 精品课 件）
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例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E 分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形. 证明 ∵AB=AC，
初中数学《等腰三角形》实用ppt北师大版2
∴∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△BAD和Rt△CAD中
AB=AC ( 已知 )
AD=AD (公共边)
B
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL)
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等)
A DC
思考：
由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以 得到哪些相等的线段和相等的角？你有什么新的发现？
“三等线腰合三一角”形应是该轴对对应称等图腰形三，
角形的它中顶的线角对和平称底分轴不边线是上重，什的合底么高！边？上的B
A
E
D
F
C
小试牛刀
判断正误：
1、等腰三角形的顶角一定是锐角。
（X ）
2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、（ X ）
钝角都可以。
（√ ）
3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。 （ X ）
●
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
感谢观看，欢迎指导！
活动三：合作探究
推理论证: 等腰三角形的两个底角相等
已知：在△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=C.
如何证明两 个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质 “对应角相等”来证
思考：如何构造两个全等的三角形？
方法一：作底边的高线
等腰三角形的两个底角相等
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. 证明：作底边BC的高线AD．
解：∵△BAD≌ △CAD，
等腰三角形ppt课件
02
等腰三角形的判定
定义与判定方法
定义：有两边长度相等的三角形称为等 腰三角形。
3. 角平分线法：若一个三角形一个角的 平分线等于其对应边的高线，则该三角 形为等腰三角形。
2. 中线法：若一个三角形中线等于其一 半长度，则该三角形为等腰三角形。
判定方法
1. 定义法：根据等腰三角形的定义，只 需判断一个三角形有两边长度相等即可 。
等腰三角形性质定理的推广与拓展主要涉及以下几个方面：一是推广到更复杂的几何图形中，如平行四边形、菱 形等；二是拓展到三角函数中，用于研究三角函数的对称性和周期性等问题；三是拓展到物理学中，用于研究力 矩平衡等问题。
04
等腰三角形的实际应用
建筑中的等腰三角形
总结词
建筑美学与等腰三角形的完美结合
详细描述
性质定理的应用举例
总结词
等腰三角形性质定理的应用场景及实例
详细描述
等腰三角形性质定理的应用场景广泛，例如在几何、三角函数、建筑等领域都有 应用。以几何为例，通过等腰三角形的性质定理可以证明一些重要的几何定理， 如勾股定理、余弦定理等。
性质定理的推广与拓展
总结词
等腰三角形性质定理的推广及拓展方向
详细描述
等腰三角形在实际VS
详细描述
等腰三角形在实际问题中有着广泛的应用 ，它是解决问题的重要工具。例如，在物 理学中，等腰三角形可以用来解决力臂平 衡的问题；在生物学中，可以用来解释 DNA分子的结构；在经济学中，可以用 来分析股票市场的波动等。
05
等腰三角形的相关练习题及 解析
边角关系在判定中的应用
等边对等角
在等腰三角形中，相等的两边所对的角也相等。
三角形内角和定理
初中数学《等腰三角形》_精品课件-ppt【北师大版】5
•等腰三角形
北 京 五 塔 寺
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温故而知新
有两边相等的三角形是等腰三角形
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B
A
D
C
设问1： △ABC 有什么特点？
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二、折一折
设问2：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称 轴是什么？
B
A
D
C
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C 分析：1.如何证明两个角相等？ 2.如何构造两个全等的三角形？
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A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝CD
在△ABD和△ACD中
AB＝AC BD＝CD
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谈谈你的收获！
这节课你又学到 了什么知识？
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小结
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上
北 京 五 塔 寺
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有两边相等的三角形是等腰三角形
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B
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设问1： △ABC 有什么特点？
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B
A
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A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝CD
在△ABD和△ACD中
AB＝AC BD＝CD
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小结
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上
初中数学《等腰三角形》_精品教学PPT【北师大版】1
•求证：CE⊥BE
D
C
E
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A
B
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变式10
•在四边形ABCD中， CE平分
∠BCD ,BE平分∠ABC , BC=AB+CD 。
•求证：CE⊥BE D C
A
B
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变式6
•在四边形ABCD中， BE平分
∠ABC, BC=AB+CD， E是AD的
中点。
•求证：CE⊥BE D
C
E
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A
B
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平分∠ABC ,E是AD的中点。
•求证：CE⊥BE
D
C
E
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A
B
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变式9
•在四边形ABCD中， AB//CD, CE
平分∠BCD ,BE平分∠ABC 。
BC=AB+CD，E是AD的中点。
•求证：CE⊥BE D C
E
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A
B
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等腰三角形ppt课件
B
D
C
AB=AC， BD=CD ，
AD=AD, ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS). ∴14∠ B最新=版∠整理Cppt(全等三角形的对应角相等).
作底边的高线
证明：等腰三角形的两个底角相等 A
已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明：
作底边高线AD.
则∠ ADB= ∠ ADC=900
求∠D、∠E、∠DAE的度数 .
A
D
B
C
27
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解：
E
∵BD=CD ∴∠D=∠DAB ∵ ∠ABC=∠D+∠DAB ∴∠1D_ = ∠ABC=250 2_
∵CE=CA ∴∠E=∠CAE ∵ ∠ACB=∠E+∠CAE ∴∠_1_E= ∠ACB=400 2
∵ ∠DAE+∠E+∠D=1800 ∴∠DAE= 1800-250-400=1150
边上的中线、底边上的高互相重合。
（简称“三线合一”，前提是在同一个 等腰三角形中。）
23
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课后思考
一次数学课上，老师布置了一道几何证明题，通 过大家的激烈讨论得到了许多种证明方法，聪明的你
们，能找出几种证明方法呢？试试看吧！
如图，已知△ABC中，AB=AC,F在AC上，在 BA的延长线上截取AE=AF,求证：ED⊥BC
20
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巩固提高
谈谈你的收获！
21
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轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
互相重合，简称“三线合 一”
22
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初中数学课件-等腰三角形PPT演示北师大版2
性质定理2
等腰三角形的顶角平分线、
底边上的中线，底边上的高重合。
A 顶角
腰
腰
相等的两条边叫做腰,
另一条边叫做底边, 两腰的夹角叫做顶角,
底边
B
C
腰与底边的夹角叫做底角.
底角
初中数学课件-等腰三角形PPT演示北 师大版2 （精品 课件）
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定义的理解： 有两边相等的三角形, 叫做等腰三角形.
⑴ 由“两边相等”得到“等腰三角形”.
B
D
C
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已知：在△ABC中，AB=AC.AD是∠BAC的平分线.
求证： AD是BC上的中线，是BC上的高线.
A
证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2
12
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 )
∠1=∠2 ( 已证 ) AD=AD (公共边)
求证：∠B=C
B
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D
C
方法一：作底边上的中线 初中数学课件-等腰三角形PPT演示北师大版2（精品课件）
等腰三角形的两个底角相等。
A
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边的中线AD，则BD=CD
在△BAD和△CAD中 AB=AC
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
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等腰三角形的顶角平分线、
底边上的中线，底边上的高重合。
A 顶角
腰
腰
相等的两条边叫做腰,
另一条边叫做底边, 两腰的夹角叫做顶角,
底边
B
C
腰与底边的夹角叫做底角.
底角
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定义的理解： 有两边相等的三角形, 叫做等腰三角形.
⑴ 由“两边相等”得到“等腰三角形”.
B
D
C
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已知：在△ABC中，AB=AC.AD是∠BAC的平分线.
求证： AD是BC上的中线，是BC上的高线.
A
证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2
12
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 )
∠1=∠2 ( 已证 ) AD=AD (公共边)
求证：∠B=C
B
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D
C
方法一：作底边上的中线 初中数学课件-等腰三角形PPT演示北师大版2（精品课件）
等腰三角形的两个底角相等。
A
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边的中线AD，则BD=CD
在△BAD和△CAD中 AB=AC
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
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第22课时┃等腰三角形 考点4 线段的垂直平分线
相等 垂直平分线
距离相等
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第22课时┃等腰三角形
京考探究 考情分析
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第22课时┃等腰三角形
热考京讲
热考一 等腰三角形的性质与判定
例 1 [2014·贺州] 如图 22－1，等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则∠A 的度数是多少？
第22课时 等腰三角形
第22课时┃等腰三角形
考点聚焦
考点1 等腰三角形的概念与性质
两条边
1 等边对等角
中线
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京考探究
第22课时┃等腰三角形
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第22课时┃等腰三角形 考点2 等腰三角形的判定
两条边
等角对等边
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第22课时┃等腰三角形 考点3 等边三角形
60°
相等 3
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第22课时┃等腰三角形
例 2 [2012·铜仁] 如图 22－2，在△ABC 中，∠ABC 和 ∠ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，若 BM＋CN＝9，则线段 MN 的长为( D )
A．6 B．7 C．8 D．9
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第22课时┃等腰三角形
热考二 等腰三角形的多解问题
例 3 [2014·海淀初一下册复习] 等腰三角形的一个内
角为 30°，则顶角的度数为( C )
A．30°
B．120°
初中数学《等腰三角形》实用ppt北师大版4
从数学的观点去思考，你观察到了什么图形？
北 京 五 塔 寺
你知道怎么样的三角形叫做等腰三角 形吗？
有两边相等的三角形叫做等腰三角形
A
腰
顶 角
腰
底角
B
底角
C
底边
等腰三角形中， 相等的两边----腰， 两腰的夹角----顶角， 顶角所对的边----底边， 腰和底边的夹角----底角。
如图，AB=AC，点D在AC上， AD=BD=BC.你能找出几个等 腰三角形？
点D，E关于AP对称吗？ 线段DE与直线AP的位 置关系怎样？
努力
学习
下列各组数据为边长，可以 构成等腰三角形的是（ B ） （A）1,2,1 （B）2,2,1 （C）2,5,2 （D）1,3,1
等腰三角形的腰长为20，底边长为4， 那么这个三角形的周长是（ ）C
（A）40
（B）28
（C）44
（D）不能确定
等腰三角形的一边长为4，周 长为20，那么它的腰长是（B ）
（A） 4 （C） 4或8
（B） 8 （D）不能确定
成绩
进步
若一等腰三角形的腰长是 底边的3倍，周长为35cm,， 则这个等腰三角形各边的 长______ 5,15,15
等腰三角形的腰长是3，则底 边长a的取值范围是_0_<_a_<__6,
2、然后沿着AP所在的直线把 △ABC对折.
你发现了什么？由此你得出 了什么结论？
等腰三角形是轴对称图 形，顶角平分线所在的 直线是它的对称轴.
三条边都相等的三角形叫做等 边三角形
A
B
C
想一想：等边三角形有几条对称轴？3条
如图，在ΔABC中，AB=AC，D，E分别是AB，
北 京 五 塔 寺
你知道怎么样的三角形叫做等腰三角 形吗？
有两边相等的三角形叫做等腰三角形
A
腰
顶 角
腰
底角
B
底角
C
底边
等腰三角形中， 相等的两边----腰， 两腰的夹角----顶角， 顶角所对的边----底边， 腰和底边的夹角----底角。
如图，AB=AC，点D在AC上， AD=BD=BC.你能找出几个等 腰三角形？
点D，E关于AP对称吗？ 线段DE与直线AP的位 置关系怎样？
努力
学习
下列各组数据为边长，可以 构成等腰三角形的是（ B ） （A）1,2,1 （B）2,2,1 （C）2,5,2 （D）1,3,1
等腰三角形的腰长为20，底边长为4， 那么这个三角形的周长是（ ）C
（A）40
（B）28
（C）44
（D）不能确定
等腰三角形的一边长为4，周 长为20，那么它的腰长是（B ）
（A） 4 （C） 4或8
（B） 8 （D）不能确定
成绩
进步
若一等腰三角形的腰长是 底边的3倍，周长为35cm,， 则这个等腰三角形各边的 长______ 5,15,15
等腰三角形的腰长是3，则底 边长a的取值范围是_0_<_a_<__6,
2、然后沿着AP所在的直线把 △ABC对折.
你发现了什么？由此你得出 了什么结论？
等腰三角形是轴对称图 形，顶角平分线所在的 直线是它的对称轴.
三条边都相等的三角形叫做等 边三角形
A
B
C
想一想：等边三角形有几条对称轴？3条
如图，在ΔABC中，AB=AC，D，E分别是AB，
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第22课时┃等腰三角形
热考二
等腰三角形的多解问题
例 3 [2014· 海淀初一下册复习] 等腰三角形的一个内 角为 30°，则顶角的度数为( C ) A．30° B．120° C．30°或 120° D．30°或 150°
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第22课时┃等腰三角形
变式题
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°， 则顶角的度数为( D ) A．60° B．120° C．60°或 150° D．60°或 120°
3
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第22课时┃等腰三角形
考点4 线段的垂直平分线
相等
垂直平分线
距离相等
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第22课时┃等腰三角形
京 考 探 究
考 情 分 析
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第22课时┃等腰三角形
热 考 京 讲
热考一 等腰三角形的性质与判定
例1 [2014· 贺州] 如图 22－1， 等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则∠A 的度数是多少？
第22课时 等腰三角形
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考 点 聚 焦
考点1 等腰三角形的概念与性质
两条边
1
等边对等角 中线
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等角对等边
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第22课时┃等腰三角形
考点3 等边三角形
相等
60°
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第22课时┃等腰三角形
解：∵MN 是 AB 的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD. ∵∠DBC＝15°， ∴∠ABC＝∠ABD＋15°＝∠A＋15°. ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝∠A＋15°， ∴∠A＋∠A＋15°＋∠A＋15°＝180°， 解得∠A＝50°.
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例 4 如图 22－3， 已知 AD 和 BC 交于点 O， 且△OAB 和△OCD 均为等边三角形， 以 OD 和 OB 为边作平行四边 形 ODEB，连接 AC，AE 和 CE，CE 和 AD 相交于点 F. 求证：△ACE 为等边三角形．
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第22课时┃等腰三角形
证明： ∵△OAB 和△OCD 为等边三角形， ∴CD＝OD，OB＝AB，∠ADC＝∠ABO＝60°. ∵四边形 ODEB 是平行四边形， ∴OD＝BE，OB＝DE，∠CBE＝∠EDO， ∴CD＝BE，AB＝DE，∠ABE＝∠CDE， ∴△ABE≌△EDC， ∴AE＝CE，∠AEB＝∠ECD. ∵BE∥AD，∴∠AEB＝∠EAD. ∴∠EAD＝∠ECD. 又∵在△AFE 和△CFD 中， ∠AFE＝∠CFD， ∴∠AEC＝∠ADC＝60°， ∴△ACE 为等边三角形．
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第22课时┃等腰三角形
方法点析
等腰三角形是轴对称图形，将其对折使两腰重合，则左右两部分重合， 于是可得等腰三角形的性质：两个底角相等；对称轴是底边的垂直平分线； 顶角平分线、底边上的高、底边上的中线“三线合一”．利用轴对称特征研 究等腰三角形，有助于发展几何直观水平，是合情推理、获得解题思路的重 要途径．
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第22课时┃等腰三角形
思想方法
等边三角形是一种特殊的三角形，有其特殊的性质： 三条边相等，三个角相等(都等于 60°)．两个等边三角形 进行各种各样的拼接，可以形成比较复杂的图形．但是 若能根据已知条件和结论的特点，找寻全等三角形或构 造全等三角形，并利用其有关性质去探索，往往能有效 地找到解题途径．
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第22课时┃等腰三角形
[解析] ∵BE 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE. ∵MN∥BC，∴∠CBE＝∠BEM. ∴∠ABE＝∠BEM，∴BM＝EM. 同理：CN＝EN. ∴BM＋CN＝EM＋EN＝MN＝9.故选 D.
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第22课时┃等腰三角形
方法点析
在平行线与角平分线组合而成的图形中， 往往 存在等腰三角形．
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第22课时┃等腰三角形
例 2 [2012· 铜仁] 如图 22－2，在△ABC 中，∠ABC 和 ∠ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于点 M， 交 AC 于点 N， 若 BM＋CN＝9， 则线段 MN 的长为( D ) A．6 B．7 C．8 D．9
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第22课时┃等腰三角形
思想方法
分类讨论思想——求三角形的内角度数 (1)当遇见没有明确各边(角)的等腰三角形时，注意 边有腰和底之分(角有顶角和底角之分)； (2)当遇到高的问题时， 要考虑高在形内和高在形外 两种情况．
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热考三 等边三角形的性质与判定