一般总体均值的假设检验.

§7.4 一般总体均值的假设检验

一、一般总体均值的大样本假设检验

1． 一个总体均值的大样本假设检验

设样本12(,,,)n X X X 取自非正态总体X ，记总体均值μ=)(X E 。样本均值及样本方差分别为11n

i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑。

如果我们要做双侧检验：0100::μμμμ≠↔=H H ，在大样本情况（样本容量30≥n ）下可选 n S X Z /0

μ-=为检验统计量，由中心极限定理知，它在0H 成立时近

似服从)1,0(N 。检验的P 值近似为|))(|1(2)|

|(20O O z z Z P Φ-==≥μμ，其中检验统计量Z 的观测值为 n s x z O /0

μ-=。

例7.4.1 一种机床加工的零件尺寸绝对平均误差为1.35mm 。生产厂家现采用一种新的

机床进行加工以期降低误差。为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否有显著降低，从某天生产的零件中随机抽取50个进行检验。50个零件尺寸的绝对误差数据（mm ）如下所示：

1.26 1.19 1.31 0.97 1.81 1.13 0.96 1.06 1.00 0.94 0.98 1.10 1.12 1.03 1.16 1.12 1.12 0.95 1.02

1.13 1.23 0.74 1.50 0.50 0.59 0.99 1.45 1.24 1.01

2.03 1.98 1.97 0.91 1.22 1.06 1.11 1.54 1.08

1.10 1.64 1.70

2.37 1.38 1.60 1.26 1.17 1.12 1.23 0.82 0.86

利用这些数据，检验新机床加工的零件尺寸的平均误差是否显著降低？（0.01α=） 解：这里研究者所关心的是新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比是否有显著降低，也就是新机床加工的零件尺寸的误差的数学期望μ=)(X E 是否小于1.35，因此属于单左侧检验。提出的假设如下：

0: 1.35H μ≥↔1: 1.35H μ<

现在50=n ，检验统计量可选为 )1,0(~/35.135.1N n

S X Z =-=μ； 由数据得：215.1=x ，366.0=s ，故检验统计量Z 的观测值为608.250

/366.035

.1215.1-≈-≈O z ，所以检验的P 值近似为

0046.0)608.2()35.1608.2(=-Φ≈=-≤μZ P 。 因为01.0

注：本例也可以直接根据原始数据计算检验的P 值，操作步骤如下：

第1步：进入Excel 表格界面，直接点击“f(x)”（粘贴函数）命令。

第2步：在函数分类中点击“统计”，并在函数名菜单下选择“ZTEST”，然后确定。 第3步：在所出现的对话Array 框中，输入原始数据所在区域；在X 后输入参数的某一假定值（这里为1.35）；在Sigma 后输入已知的总体标准差（若总体标准差未知则可忽略不填，系统将自动使用样本标准差代替），如下图所示。

图7.2.2

此时给出的分布右侧面积为0.995421058，用1减去该值，即为左侧检验的P 值，即0046.09954.01=-≈P 。

2． 两个总体均值的大样本假设检验

设两独立样本1,,1n X X 和2,,1n Y Y 分别取自非正态总体X 和Y （总体均值记

为1)(μ=X E 和2)(μ=Y E ），它们的样本均值分别为∑==11

11n i i X n X ，∑==2121n j j Y n Y ，样本方差分别为∑=--=11212

1)(11n i i X X n S ，∑=--=21

2222)(11n j j Y Y n S 。 如果我们要做双侧检验：211210::μμμμ≠↔=H H ，在大样本情况下可选 222121//n S n S Y

X Z +-=为检验统计量，由中心极限定理知，它在0H 成立时近似服从

)1,0(N 。检验的P 值近似为|))(|1(2)||(221O O z z Z P Φ-==≥μμ，其中

222121n s n s y

x z O +-=为检验统计量Z 的观测值。

例7.4.2 一个随机样本由居民一区的100个家庭组成，另一随机样本由居民二区的150个家庭组成，这两个样本所给出的关于目前住房中居住了多长时间的信息如下：

41=x 个月, 49=y 个月，21900s =，22

1050s =。这些数据是否提供了充分的证据，说明一区家庭在目前住房中居住的时间平均来说比二区家庭短？（设0.05α=） 解：建立假设

012:H μμ≥↔112:H μμ<

本题的样本容量足够大，1100n =，2150n =，检验统计量为

)1,0(~//21222121N n S n S Y X Z μμ=+-=

其样本观测值为215010501009004941-=+-=O z 。此题属于左侧检验，检验的P 值近似为02275.0)2()2(21=-Φ==-≤μμZ P ，故拒绝0H ，接受1H ，即说明一区家庭在目前住房的时间平均来说比二区家庭短。

二、 总体比率的假设检验

1． 单个总体比率的大样本假设检验

设样本12(,,,)n X X X 取自0-1分布总体),1(~p B X ，总体均值p X E =)(。样本均值为1

1n

i i X X n ==∑。 如果我们要做双侧检验：0100::p p H p p H ≠↔=，在大样本情况（30≥n 且5))1(,m in(00>-p n np ）下可选 n X X p X Z /)1(0

--=或n

p p p X Z /)1(000*--=为检验统计量，由中心极限定理知，它们在0H 成立时都近似服从)1,0(N 。所以检验的P 值近似为|))(|1(2)||(20O O z H z Z P Φ-≈≥或|))(|1(2)||(2*0**O O z H z Z P Φ-≈≥，其中n x x p x z O /)1(0--=和n

p p p x z O /)1(000*--=分别为检验统计量Z 和*Z 的观测值。 例7.4.3 某企业的产品畅销于国内市场。据以往调查，购买该产品的顾客有50%是30

岁以上的男子。该企业负责人关心这个比例是否发生了变化(无论是增加还是减少)?于是委托一家咨询公司进行调查，这家咨询机构从众多的购买者中随机抽选了400