高考数学集合
高考数学必备集合知识点
高考数学必备集合知识点高考数学必备集合学问点一.学问归纳：1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素留意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必需符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：N，Z，Q，R，N_.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B);2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且 )3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}5)补集：CUA={x| x A但x∈U}留意：①? A，若A≠?，则? A ;②若，，则 ;③若且，则A=B(等集)3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，把握有关的术语和符号，特殊要留意以下的符号：(1) 与、?的区分;(2) 与的区分;(3) 与的区分。
4.有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。
5.交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A;③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB;6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n1个非空子集，2n2个非空真子集。
二.例题讲解：【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满意关系A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M分析一：从推断元素的共性与区分入手。
高考数学第一题集合
高考数学第一题集合题目：高考数学第一题集合正文：一、集合的基础概念集合是数学中的一种基本概念，它是由若干确定的元素组成的总体。
在高考数学中，我们常常会遇到关于集合的问题。
下面，就让我们一起来了解一些关于集合的基础知识。
1.1 集合的定义与表示法集合是由若干确定的元素组成的总体，我们通常用大写字母A、B等来表示集合。
而集合中的元素则用小写字母a、b等表示。
例如，我们可以表示一个集合A={1, 2, 3, 4}，其中元素1、2、3、4都属于集合A。
1.2 集合的性质集合有一些基本性质，包括空集、全集、子集、真子集等。
空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示；全集则是指某一给定范围内的元素构成的集合，用符号U表示；而子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素，用符号⊆表示。
如果一个集合是另一个集合的子集，并且两个集合不相等，则称这个子集为真子集。
1.3 常见的集合运算在高考数学中，我们会遇到一些常见的集合运算，包括并、交、差、补等。
集合的并是指包含两个或更多个集合中的所有元素的新集合，用符号∪表示；集合的交则是指两个或更多个集合中共有的元素构成的新集合，用符号∩表示；而集合的差是指从一个集合中减去另一个集合的所有元素所构成的新集合，用符号−表示；集合的补是指给定集合中不属于另一个集合的元素所构成的新集合，用符号'表示。
二、高考数学集合题的解题方法在高考数学中，集合题是一种常见的考点。
下面，我们来了解一些常用的解题方法。
2.1 集合图示法集合图示法是一种直观的解题方法，它通过用图形的方式表示集合，帮助我们更清晰地理解和解题。
例如，我们可以通过用圆形来表示集合，用交叉部分表示集合的交，用圆周上未填充的部分表示集合的差等。
2.2 元素法元素法是一种逐个检查集合元素的解题方法。
通过逐个检查集合元素是否符合给定条件，我们可以确定一个集合的内容。
例如，当解决集合的并、交、差等问题时，我们可以逐个检查集合中的元素，再通过运算规则得出结果。
高考数学专题知识突破：考点1 集合的概念与运算
考点一集合的概念与运算知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、V enn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R(5)集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B3.全集与补集(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；(2) 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．4.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} 5.集合关系与运算的常用结论(1)子集个数公式：若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n －1个，真子集有2n－1个．(2) A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．(3)(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B) ．典例剖析题型一集合的基本概念例1已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是答案 5解析列表根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个．变式训练已知集合A＝{0，1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B中有________个元素．答案 6解析因为x－y∈A，∴x≥y．当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．解题要点研究集合问题，通常从代表元素入手，考查其所代表的是数还是点，如果代表元素是数x，则是数集，如果代表元素是数对(x，y)，则是点集．在列举集合的元素时可借助表格，或根据元素特征分类列举，列举时应做到不重不漏．例2 设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.答案 2解析 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，且由a 在分母的位置可知a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.变式训练 已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 －32解析 因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去； 当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意，所以m ＝－32.解题要点 对于含字母参数的集合，应准确进行分类讨论，列出方程或方程组求出字母参数的值．需要特别注意的是，求出字母参数值后，还要检验是否违反了集合中元素的互异性． 题型二 集合间的基本关系例3 集合A ={－1，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有 个 答案 4解析 根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，－1}、{－1，0，1}，共四个.变式训练 设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有 个 答案 6解析 集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，其中一个奇数元素也没有的集合有两个：∅和{2}，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个)．解题要点 解题关键是弄清符合题意的集合其元素应满足的条件．在元素较少时可以采取穷举法列出所有满足条件的集合． 例4 设，若，则a 的取值范围是 ．答案解析 根据题意作图：由图可知，，则只要即可，即a 的取值范围是．变式训练 已知集合()2{|540},,,A x x x B a A B =-+≤=-∞⊆，则a 的取值范围是 ． 答案 (4,)+∞解析 []2{|540}1,4A x x x =-+≤=，∵，根据题意作图：由图可知，只要即可，即a 的取值范围(4,)+∞.解题要点 对于这类用不等式表示的数集之间的包含关系时，常常借助数轴进行求解.在解题时应注意端点是否可以取到. 题型三 集合的基本运算例5 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________． 答案 5解析 A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，共有5个元素.变式训练 已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B 等于________． 答案 {－1,0,1,2}解析 A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，B 为整数集，A ∩B ＝{－1,0,1,2}.解题要点 求解集合交、并首先应对各个集合进行化简，准确弄懂集合中的元素，求并集时相同的元素只算一个．例6 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B ) ＝________． 答案 {x |0<x <1}解析 ∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}， 在数轴上表示如图．∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．变式训练 已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－＜x ＜}，则A ∪B ＝________．答案 R解析 ∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2. ∴集合A 与B 可用数轴表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ．解题要点 集合的基本运算是历年高考的热点，常与不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，解题时先求出各个集合，然后借助数轴求交并是基本方法．当堂练习1. 已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()UA B =________．2．若集合M ={－1，0，1}，N ={0，1，2}，则M ∩N 等于________． 3．已知{菱形}，{正方形}，{平行四边形}，则之间的关系为_______4．已知集合A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，0≤y <2，x 、y ∈Z }，用列举法可以表示集合A 为________． 5．设集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝ ．课后作业1．已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}，则A ∩B 等于________． 2．设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝________． 3．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x <－5或x >4}，则M ∪N 等于________． 4．若集合A ={x ∈R |ax 2+ax +1=0}中只有一个元素,则a =________． 5．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则UA B ()= ________．6．已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则AB =________．7．满足条件{0,2}∪M ＝{0,1,2}的所有集合M 的个数为________． 8．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝________． 9．设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则A ∩(∁U B )等于________．10．已知A ＝{3,5,6,8}且集合B 满足A ∩B ＝{5,8}，A ∪B ＝{2,3,4,5,6,7,8}，则这样的集合B 有________个．11．若集合A ＝{x |－5＜x ＜2}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则A ∩B 等于 ．12．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为 13． 已知A ＝{x |2a <x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪B ＝R ， 则a 的取值范围是________．当堂练习答案1. 答案 {4}解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以U (A ∪B )＝{4}．2．答案 {0，1}解析 由集合M ={－1，0，1}，N ={0，1，2}，得到M ∩N ={0，1}． 3．答案4．答案 {(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}解析 集合A 表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ∈Z ，0≤y <2，y ∈Z 确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A 为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}． 5．答案 {1，2}解析 由x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)≤0，解得1≤x ≤2，故N ＝{x |1≤x ≤2}，∴M ∩N ＝{1,2}．课后作业答案1．答案 (2,3)解析 ∵A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}＝{x |1＜x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}＝(2,3)． 2．答案 {－2,0,2}解析 先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M ＝{0，－2}，N ＝{0,2}， 故M ∪N ＝{－2,0,2}． 3．答案 {x |x <－5或x >－3}解析 在数轴上表示集合M 和N ，如图所示，则数轴上方所有“线”下面的部分就是M ∪N ＝{x |x <－5或x >－3}． 4．答案 4解析 a ＝0时，ax 2+ax +1=0无解，此时，A =∅，不合题意；a ≠0时，由题意得方程ax 2＋ax ＋1＝0有两个相等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ＝0a ≠0，解得a ＝4.5．答案 {0,2,4}解析 ∵UA ＝{0,4}，U AB ()＝{0, 2,4}.6．答案 {1,4}解析 ∵x ＝n 2，n ∈A ，∴x ＝1,4,9,16. ∴B ＝{1,4,9,16}．∴A ∩B ＝{1,4}． 7．答案 4解析 由题可知集合M 中必有1，满足条件的M 可以为{1}，{0,1}，{2,1}，{0,1,2}共4个． 8．答案 0或3解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∵A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，∴m ∈A ，故m ＝m 或m ＝3，解得m ＝0或m ＝3或m ＝1，又根据集合元素的互异性m ≠1，所以m ＝0或m ＝3. 9．答案 {1}解析 ∵∁U B ＝{1,5,6}，∴A ∩(∁U B )＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}. 10．答案 4解析 ∵A ∩B ＝{5,8}，∴5,8∈B ，又∵A ∪B ＝{2,3,4,5,6,7,8}而A ＝{3,5,6,8}， ∴2,4,7∈B ，∴3,6可以属于B ，也可不属于B ． ∴这样的B 有22＝4(个)． 11．答案 {x |－3<x <2}解析 由题意，得A ∩B ＝{x |－5<x <2}∩{x |－3<x <3}＝{x |－3<x <2}． 12．答案 2解析 A ＝{…，5,8,11,14,17…}，B ＝{6,8,10,12,14}，集合A ∩B 中有两个元素． 13． 答案 －3≤a <－12解析 ∵B ＝{x |x <－1或x >5}，A ∪B ＝R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a <－1，a ＋8≥5， 解得－3≤a <－12.。
高考数学《集合与简易逻辑》(考纲要求)
第一章 集合、简易逻辑考试内容：集合.子集.补集.交集.并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解四种命题及其相互关系．掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．知识结构:基本方法和数学思想1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.（1）含n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集（非空子集）个数为2n －1；（2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆（3）;)(,)(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I ==4、一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.5.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；6.判断命题的真假要以真值表为依据。
原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；7.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系"A B B A "⇒⇔⇒判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；高考热点分析集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.。
高考数学冲刺集 合的基本概念与运算规则
高考数学冲刺集合的基本概念与运算规则高考数学冲刺：集合的基本概念与运算规则在高考数学的众多知识点中，集合是一个基础且重要的部分。
对于即将面临高考的同学们来说，熟练掌握集合的基本概念与运算规则，不仅能够在高考中轻松应对相关题目，也为后续学习更复杂的数学知识奠定了坚实的基础。
一、集合的定义集合，简单来说，就是把一些确定的、不同的对象汇集在一起，组成的一个整体。
这些对象被称为集合的元素。
比如，一个班级里的所有同学可以组成一个集合，班级里的每一位同学就是这个集合的元素；自然数也可以组成一个集合，每一个自然数就是这个集合中的元素。
集合通常用大写字母来表示，如 A、B、C 等；元素则用小写字母表示，如 a、b、c 等。
如果一个元素 a 属于集合 A，我们就记作 a∈A；如果元素 b 不属于集合 A，就记作 b∉A。
二、集合的表示方法1、列举法就是把集合中的元素一一列举出来。
比如，由数字 1、2、3 组成的集合，可以表示为{1, 2, 3}。
2、描述法通过描述元素所具有的共同特征来表示集合。
比如，所有小于 5 的自然数组成的集合，可以表示为{x ｜ x 是小于 5 的自然数}。
3、图示法包括韦恩图（Venn Diagram），用封闭的曲线来表示集合以及集合之间的关系。
三、集合的分类1、有限集集合中的元素个数是有限的。
比如，由 10 个苹果组成的集合就是有限集。
2、无限集集合中的元素个数是无限的。
比如，所有自然数组成的集合就是无限集。
3、空集不含任何元素的集合，记作∅。
四、集合间的关系1、子集如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 A⊆B。
例如，集合 A ＝｛1, 2}，集合 B ＝｛1, 2, 3}，则 A 是 B 的子集。
特别地，任何集合都是它自身的子集。
2、真子集如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集，记作 A⊂B。
高考数学集合知识点
高考数学集合知识点集合是高中数学中的一个重要概念，也是高考中必考内容之一。
掌握集合的相关知识点对于提高数学成绩至关重要。
本文将介绍高考数学中与集合相关的知识点，帮助考生系统地理解和掌握。
一、集合的基本概念集合是指由各种对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。
集合内的元素可以是数、图形、对象等各种各样的事物。
二、集合的表示方法1. 列举法：直接列举出集合中的元素，用花括号{}括起来。
例如，集合A={1, 2, 3}表示A是包含1、2和3三个元素的集合。
2. 描述法：通过一定的条件来描述集合中的元素。
例如，集合B={x|x是正整数，且x<10}表示B是由小于10的正整数组成的集合。
三、集合的运算1. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集记作A∩B，表示同时属于A和B的元素组成的集合。
2. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集记作A∪B，表示属于A或B中的元素组成的集合。
3. 差集：给定两个集合A和B，A减去B的差集记作A-B，表示属于A但不属于B的元素组成的集合。
4. 补集：给定一个全集U以及一个集合A，称全集U中属于A'而不属于A的元素组成的集合为集合A的补集，记作A'。
四、集合的性质1. 互斥：两个集合A和B没有相同的元素，即A∩B=∅。
2. 包含与被包含：集合A包含于集合B，即A⊆B，表示A中的任意元素也属于B；集合A被集合B包含，即B⊇A。
3. 子集与真子集：若集合A包含于集合B，且A≠B，则称A 为B的子集，记作A⊂B；若A⊂B且存在x∈B，但x∉A，则称A 为B的真子集，记作A⊊B。
4. 幂集：给定一个集合A，A的所有子集所构成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
例如，若A={1, 2}，则P(A)={{},{1},{2},{1,2}}。
五、常用定理与应用1. 德摩根定律：对于任意的集合A和B，有以下关系成立：（1）(A∪B)'=A'∩B'（2）(A∩B)'=A'∪B'2. 分配律：对于任意的集合A、B和C，有以下关系成立：（1）A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)（2）A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)六、集合在高考中的应用1. 题型一：集合的基本运算高考中常会出现对两个或三个集合进行并、交、差等运算的求解题目。
2024全国高考真题数学汇编：集合
2024全国高考真题数学汇编集合一、单选题1．（2024全国高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣，则A B = （）A ．{1,0}-B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-2．（2024天津高考真题）集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}13．（2024全国高考真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A ．{}1,3,4B ．{}2,3,4C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4,94．（2024北京高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（）A ．{}11x x -≤<B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <5．（2024全国高考真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,5参考答案1．A【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2．B【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B = ，故选：B3．C【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选：C4．C【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得{}|34M x x N ⋃=-<<.故选：C.5．D【分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð故选：D。
高考数学《1.1集合与常用逻辑用语》
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第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-13-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
5.(教材例题改编P8例5)设集合A={x|(x+1)·(x-2)<0},集合 B={x|1<x<3},则A∩B=( )
A.(-1,3) B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3)
A.{1,2,3} B.{1,2,4}
C.{1,3,4} D.{2,3,4}
解析 ∵A={1,4},B={2,4}, ∴A∩B={4}. 又U={x∈N*|x≤4}={1,2,3,4}, A∴∁U(A∩B)={1,2,3}
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第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-12-
12345
2.集合间的基本关系
关系 自然语言
符号语言
集合 A 中所有元素都在 子集 集合 B 中(即若 x∈A,则 x A⊆B(或B⊇A)
∈B)
真子 集
相等
集合 A 是集合 B 的子集, 且集合 B 中至少有一个 元素不在集合 A 中
集合 A,B 中元素相同或 集合 A,B 互为子集
A⫋B(或B⫌A) A=B
-5-
Venn 图 或
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-6-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B
={x|x∈A或x∈B}
高考数学集合全部知识点
高考数学集合全部知识点数学是高考中非常重要的一门科目，而集合论又是数学中的一块基础知识。
掌握好集合的概念和相关知识点对于高中学生来说非常关键。
本文将系统地介绍高考数学中集合相关的全部知识点，希望能够对正在备战高考的同学有所帮助。
一、集合的概念与表示法集合是由一些确定的对象组成的整体。
常用的表示方法有列举法和描述法。
例如，集合A={1,2,3,4,5}可以用列举法表示；而集合B={x | x是正整数, 0<x<6}可以用描述法表示。
二、集合间的关系及运算1.子集与超集如果一个集合A的元素全都是集合B的元素，则称A是B 的子集。
记作A⊆B。
若A中恰有n个元素，则称A是n个元素的集合。
2.交集和并集两个集合A和B的交集是指由A和B的共同元素组成的集合，记作A∩B；而A和B的并集是指由A和B中所有元素组成的集合，记作A∪B。
3.补集和差集对于给定的全集U，集合A在U的补集是指A中不在U 中的元素组成的集合，记作A'；而A和B的差集是指由属于A但不属于B的元素组成的集合，记作A-B。
4.集合的运算规律（1）交换律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A（2）结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；(A∪B)∪C=A∪(B∪C)（3）分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)（4）De Morgan定律：(A∪B)'=A'∩B'；(A∩B)'=A'∪B'三、集合的应用1.集合的分类集合可以根据其中的元素进行分类。
例如，我们可以将正整数集合分为偶数集合和奇数集合。
2.集合的运算应用集合的运算可以应用于实际问题的解决中。
例如，在调查一个班级的学生的兴趣爱好时，我们可以用集合的并集运算将各个学生的兴趣爱好整合到一起，用交集运算找出两个学生间共同喜欢的活动。
3.集合的概率应用研究集合的概率可帮助我们计算各项概率和事件的关系。
高考数学专题《集合》习题含答案解析
分析：由题意首先求得 CR B ，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得： CR B x | x 1 ，
结合交集的定义可得： A CR B 0 x 1 .
本题选择 B 选项.
8．（2017·全国高考真题（理））已知集合 A={x|x<1}，B={x| 3x 1 }，则（
故选：C
8．（2019·北京临川学校高二期末（文））已知集合 = { ―1,3}， = {2,2}，若 ∪ = { ―1,3,2,9}，则实数
）
的值为（
A． ± 1
B． ± 3
C． ― 1
D．3
【答案】B
【解析】
∵ 集合 = { ―1,3}， = {2,2}，且 ∪ = { ―1,3,2,9}， ∴ 2 = 9，因此， =± 3，
对③： {0,1, 2} 是集合， {1, 2, 0} 也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确.
对④： 0 是元素， 是不含任何元素的空集，所以 0 ，故④错误.
对⑤： 0 是元素， 是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误.
故选：C.
3．（2021·浙江高一期末）已知集合 M 0,1, 2,3, 4 ， N 2, 4, 6 ， P M N ，则满足条件的 P 的非
则集合 A B 的所有元素之和为（
A．16
B．18
）
C．14
D．8
【答案】A
【解析】
由题设，列举法写出集合 A B ，根据所得集合，加总所有元素即可.
【详解】
由题设知： A B {1, 2,3, 4, 6} ，
∴所有元素之和 1 2 3 4 6 16 .
高三数学集合
高三数学集合第一章集合与常用逻辑用语第一单元集合考点要求一、集合1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的"属于"关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．【知识网络】第一节集合的概念与相互关系自主学习1．集合的含义与表示（1）一般地，把一些指定的对象组成的总体叫做集合，集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性三大特性；（3）常用的集合表示法：列举法、描述法或图示法（图）；（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作；正整数集，记作或；整数集，记作；有理数集，记作；实数集，记作．2．集合间的关系：（1）集合的任何一个元素都是集合的元素，则称是的子集（或B包含），记作．（2）集合相等：构成两个集合的元素完全一样，若且，则称等于，记作．（3）若且，则称是的真子集，或者若，但存在元素且，则称是的真子集，记作．（4）不含任何元素的集合称为空集，记作．规定：空集是任何集合的子集．（5）简单性质：1）；2）；3）若，，则．教材透析1．集合中的元素必须具有：确定性、互异性与无序性。
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合中元素的排列不是固定的；2．集合有三种表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．3．若集合是个元素的集合，则集合有个子集（其中个真子集，个非空真子集）．典例剖析【题型1】集合元素的基本特征【例1】已知集合，试求集合的所有子集.【解析】由题意可知是的正约数，所以可以是；相应的为，即.∴的所有子集为．【点评】本题主要考查集合的基础知识，集合中的元素具有确定性、互异性与无序性三大特性，尤其是互异性在解题中应予以足够重视.【变式与拓展】1.已知集合，,,求的值．【解析】由可知，（1），或（2）解（1）得，解（2）得，又因为当时，与题意不符，所以，.【题型2】集合的表示法【例2】已知集合且,求参数的取值范围．【解析】由已知易求得当时,,由知无解；当时,,显然无解；当时, ,由解得．综上知,参数的取值范围是.【点评】本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【变式与拓展】2. (2009广东文)已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是【解析】由，得，则，选B．题型3 集合间的基本关系【例3】已知,集合.若,则的值是( )A.5B.4C.25D.10【解析】，，且及集合中元素的互异性知,即,此时应有．而,从而在集合B中, ．由,得由(2)(3)解得，代入(1)式知，也满足(1)式，【点评】本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.设集合，则满足的集合B的个数是（）。
集合高考必考知识点总结
集合高考必考知识点总结高考是中国学生人生中最重要的考试之一，集合作为数学必考的重要知识点，在高考中占据着很大的比重。
本文将对高考数学中集合的必考知识点进行总结。
一、集合的基本概念集合是一个由确定的对象所构成的整体。
常用大写字母A、B、C 等表示集合，小写字母a、b、c等表示集合中的元素。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}，其中的元素1、2、3和4都属于集合A。
二、集合的运算1. 交集运算：集合A和集合B的交集，表示为A∩B，表示A和B 共有的元素组成的集合。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。
2. 并集运算：集合A和集合B的并集，表示为A∪B，表示A和B 所有的元素组成的集合。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。
3. 补集运算：集合A相对于集合B的补集，表示为A-B，表示A 中除去B中的所有元素所组成的集合。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A-B={1}。
4. 包含关系：集合A包含集合B的情况，即A⊇B，表示A中的所有元素都属于B。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3}，则A⊇B。
5. 空集与全集：空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示；全集是指讨论问题所涉及的全部元素组成的集合。
三、集合的性质1. 交换律：集合的交集和并集满足交换律。
即A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。
2. 结合律：集合的交集和并集满足结合律。
即A∩(B∩C)=(A∩B)∩C，A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。
3. 分配律：集合的交集和并集满足分配律。
即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
四、集合的表示方法1. 列举法：将集合中的元素一一列举出来。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}。
2. 描述法：根据元素的性质进行描述。
高考数学专项：集合的概念(讲义)-解析版
1.1集合的概念1.定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合（简称集）2.集合与元素的表示集合通常用大写字母A，B，C， 表示，元素用小写字母a，b，c， 表示3.元素与集合的关系元素与集合的关系记法读法a是集合A的元素Aa a属于集合Aa不是集合A的元素Aa a不属于集合A4.常用数集及其记法数集记法非负整数集（自然数集）NN或*N正整数集整数集Z有理数集Q实数集R例1．下列各组对象不能构成集合的是（）y x=上的所有点A．所有直角三角形B．抛物线2C．某中学高一年级开设的所有课程D【答案】D【分析】根据集合所具有的性质逐一判断即可得出结论.【详解】A ，B ，C 中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D 中的对象不具备确定性．故选：D ．变式1-1．下列元素的全体不能组成集合的是（）A ．中国古代四大发明B ．地球上的小河流C ．方程210x -=的实数解D ．周长为10的三角形【答案】B【分析】根据集合中的元素的三要素即可判断各个选项的正误.【详解】中国古代四大发明可以构成一个集合，故A 正确；地球上的小河流不满足集合元素的确定性，即没有标准说多小的河流算小河流，故B 错误；方程210x -=的实数解是1x ，可以构成一个集合，故C 正确；周长为10的所有三角形可以构成一个集合，故D 正确；故选：B.变式1-2．下列叙述能够组成集合的是（）A ．我校所有体质好的同学B ．我校所有800米达标的女生C ．全国所有优秀的运动员D ．全国所有环境优美的城市【答案】B【分析】根据集合元素的确定性，逐一分析可得答案．【详解】A 中，我校所有体质好的同学不具有确定性，不能组成集合；B 中，我校所有800米达标的女生具有确定性，能组成集合；C 中，全国所有优秀的运动员不具有确定性，不能组成集合；D 中，全国所有环境优美的城市不具有确定性，不能组成集合，故选：B ．变式1-3．下列各组对象不能构成集合的是（）A ．上课迟到的学生B ．2022年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于x 的正整数【答案】B【分析】集合中元素具有确定性，对于每一个元素要么属于集合，要么不属于集合，构成集合的元素必要是确定的.【详解】对于B 中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的.其它选项的对象都可以构成集合.故选：B例2．下列元素与集合的关系中，正确的是（）A ．1 NB ．*0N C QD ．2R5【答案】B【分析】根据常用数集的范围判断即可.【详解】N 表示自然数集，-1不是自然数，故A 错；N 表示正整数集，0不是正整数，故B 正确；Q C 错；R 表示实数集，25是实数，故D 错.故选：B.变式2-1．（多选）下列关系中，正确的是（）．A ．14R B QC ．3 ND Z【答案】AB【分析】根据各数集的概念直接判断即可.【详解】14R ，故A 正确；Q ，故B 正确；N 为自然数集，所以3 N ，故C 错误；Z ，故D 错误；故选：AB ．变式2-2．用符号“ ”或“ ”填空：0______Z ，π______Q ．【答案】【详解】 =3,2,1,0,1,2,30 Z Z∵ Q ∵为有理数集合，π Q故答案为：,变式2-3．用符号“ ”或“ ”N N ．【答案】【分析】根据元素和集合的关系求解即可.【详解】因为集合N 代表自然数集（非负整数集），N 4N ，故答案为： ， 5.集合中元素的性质（1）确定性给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了。
高考数学知识点之集合
高考数学必修５知识点之集合集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：(1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：集合基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为②空集是任何集合的子集，记住③空集是任何非空集合的真子集；，同时②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N；A=N+，则C sA= {0}）③空集的补集是全集.④若集合A=集合B,4.①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n－1个.③n个元素的非空真子集有2n－2个。
5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题。
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“轴下方的区间.3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)）（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
高考数学解析集合知识点
高考数学解析集合知识点在高考数学考试中，集合是一个重要的知识点。
掌握了集合的基本概念和解题方法，可以帮助我们更好地解决与集合相关的题目。
本文将对高考数学中常见的集合知识点进行解析，以帮助考生们更好地复习备考。
一、集合的基本概念集合是指把具有某种特性的对象组成的整体，其中的对象称为元素。
在数学中，我们用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。
集合的元素之间没有顺序关系，且同一个集合中的元素不会重复出现。
集合的表示方法有两种常见的方式：枚举法和描述法。
枚举法是将集合中所有的元素一一列举出来，用大括号{}括起来。
例如，集合A={1, 2, 3}表示A是由元素1、2、3组成的集合。
描述法是通过给出元素的特定性质或满足的条件来描述集合。
例如，集合B={x | x是正整数且小于10}表示B是由小于10的正整数组成的集合。
二、集合的运算集合的运算包括交集、并集、差集和补集四种常见的操作。
1. 交集：集合A与集合B的交集，记作A∩B，表示由同时属于A和B的元素所组成的集合。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
2. 并集：集合A与集合B的并集，记作A∪B，表示由属于A或属于B的元素所组成的集合。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
3. 差集：集合A与集合B的差集，记作A-B，表示由属于A但不属于B的元素所组成的集合。
例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。
4. 补集：集合A关于全集U的补集，记作A'或A^c，表示由属于全集U但不属于A的元素所组成的集合。
例如，A={1, 2, 3}，U={1, 2, 3, 4, 5}，则A'={4, 5}。
三、集合的性质在解题过程中，利用集合的性质可以简化计算和推导，提高解题效率。
下面介绍几个常用的集合性质。
高考数学专题复习题：集合间的基本关系
高考数学专题复习题：集合间的基本关系一、单项选择题（共5小题）1.设集合{},A x y =，{}20,B x=，若A B =，则x y −=（ ） A.1 B.0 C.-1 D.1或-1 2.设集合{}1,2M =，则下列集合中与集合M 相等的是（ ）A.{}1B.{}2C.{}2,1D.{}1,2,33.如果集合{}22,P x x m m x =−≤<−∈Z |有6个非空真子集，那么实数m 的取值范围一定是（ ）A.(0,1)B.C.D. 4.已知集合{}1|2A x x =−<<，{}01|B x x =<<，则（ ）A.A B >B.A B ⊆C.B A ⊆D.A B =5.已知集合{}20,1,A a =， {}0,1,23B a =+，若A B =，则a 等于（ ）A.-1或3B.0或1C.3D.-1二、多项选择题（共2小题）6.若{}{}1,1,2,42,3B ⊆⊄，则B =（ ）A.{}1,2B.{}1,2,3C.{}1,2,4D.{}1,2,3,47.已知集合{}220A xx x =−=∣，则（ ） A.A ∅∈ B.2A −∈ C.{0,2}A ⊆ D.{3}A yy ⊆<∣ 三、填空题（共2小题）8.已知集合{(,)|9,,}A x y xy x y ==∈∈Z Z ，则满足{(3,3),(3,3)}B A −−⊆⊆的集合B 的个数为________.9.已知集合{}4,2A m =−，{}24,B m=，且A B =，则m 的值为________.四、解答题（共2小题） 10.已知集合{05}A xx a =<−≤∣，{6}2|a B x x =−<≤. [0,1)(0,1][0,1]（1）若A B⊆，求实数a的取值范围.（2）若B A⊆，求实数a的取值范围.（3）集合A与B能否相等？若能，求出实数a的值，若不能，请说明理由.11.设{}2,,A x x xy=，{1,,}B x y=，且A B=，求实数x，y的值.。
高考数学专题复习题：集合的概念与表示
高考数学专题复习题：集合的概念与表示1.已知集合A ={x ∈N ∣x −5<0}，则集合A 中的元素个数为（ ）A.2B.3C.4D.52.不等式3x −3≥0的解集用区间表示为（ ）A.(−∞,1)B.( −∞,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)3.已知集合A ={2,3}，则集合B ={(x,y)∣x ∈A,y ∈A}中元素的个数为（ ）A.1B.2C.3D.44.若集合运算A#B ={z ∣z =x 2−y 2,x ∈A,y ∈B }，设集合A ={1,√2}，B ={−1,0}，则集合A#B 的元素之和为（ ）A.4B.3C.2D.1 5.设x =2−√3，y =2+√2,集合M ={m ∣m =a +b √3,a ∈Q,b ∈Q}，则x ,y 与集合M的关系是（ ）A.x ∈M ,y ∈MB.x ∈M ,y ∉MC.x ∉M ,y ∈MD.x ∉M ,y ∉M6.下列关于集合的说法正确的是（ ）A.学校高个子同学组成一个集合B.{1, 2, 3，4}是不大于5的自然数组成的集合C.集合{(1,2),(2,1)}和{(2,1),表示同一个集合D.数1、0、5、12、32、64、√116组成的集合有7个元素7.下列对象能构成集合的是（ ）A.我国近代著名的科学家B.π的所有近似值C.所有的亚洲国家D.2024年全国高考数学试题中所有难题 8. 集合{x ∣−4≤x ≤5且x ∈N}用列举法可表示为（ ）A.{−4，−3,−2,−1,0,1,2,3，4，5}B.{−3,−1,0,1,2}C.{0,1,2,−3}D.{−1,2,3}9.用列举法表示集合{(x,y)∣y =x 2y =−x +2}正确的是（ ） A.(1,1),(−2,4) B.{(1,1),(−2,4)}C.{x =1或−2,y =−2或4}D.{1，−1}10.已知集合A={a−1,a2−a,12},且0∈A,则a=（）A.0B.1C.−1D.−211.用列举法表示集合{(x,y)∣y=−2x2+4,x∈N,y∈N}为________.12.若A={−2,−1,1,2},B={x|x=k2,k∈A},用列举法表示B=________.13.已知集合A中的元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合A中恰有4个元素，则整数a=________.。
高考数学试卷中的集合问题
一、选择题1. 已知集合A={x | x≥2}，集合B={x | x²≤4}，则下列选项中正确的是：A. A∩B=∅B. A∩B={x | 2≤x≤2}C. A∩B={x | x≥2}D. A∩B={x | x≤2}2. 设集合M={x | x∈N，x＜5}，集合N={x | x是奇数}，则M∩N的结果是：A. {1, 3, 4}B. {1, 3}C. {1, 2, 3, 4}D. {2, 3, 4}3. 下列命题中正确的是：A. 如果A⊆B，则B⊆AB. 如果A⊆B，则B⊂AC. 如果A⊂B，则B⊆AD. 如果A⊂B，则B⊂A二、填空题4. 设集合P={x | x是正整数，x＜10}，集合Q={x | x是偶数，x≤6}，则P∪Q的结果是______。
5. 已知集合A={x | x²-3x+2=0}，集合B={x | x是整数，x≥1}，则A∩B的结果是______。
三、解答题6. （1）已知集合A={x | x²-x-6=0}，集合B={x | x∈R，x²+2x+1≥0}，求A∩B。
（2）设集合M={x | x是2的整数次幂}，集合N={x | x是3的整数次幂}，求M∪N。
解答：一、选择题1. 解析：集合A包含所有大于等于2的实数，集合B包含所有平方小于等于4的实数，即-2≤x≤2。
因此，A∩B={x | 2≤x≤2}，选项B正确。
2. 解析：集合M包含所有小于5的自然数，即{1, 2, 3, 4}；集合N包含所有奇数。
因此，M∩N={1, 3}，选项B正确。
3. 解析：如果A⊆B，那么B中的所有元素也都在A中，但不一定反过来。
因此，正确答案是C。
二、填空题4. 解析：集合P包含所有小于10的正整数，即{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}；集合Q包含所有小于等于6的偶数，即{2, 4, 6}。
因此，P∪Q的结果是{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。
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{x|－2＜x＜1}，则 a＝________；若(∁RA)∩B＝{x|1≤x＜3}，则 b＝
________.
－2
3
[A＝{x|2x2－x－1＜0}＝x－12＜x＜1
，因为 B＝{x|a＜
x＜b}，A∪B＝{x|－2＜x＜1}，如图①所示，所以 a＝－2.
1234
图①
567 8 9
10 11 12
A [A＝{ x|x＜6 且 x∈N*} ＝{ 1,2,3,4,5} ，则集合 A 的非空真子集
个数为 25－2＝30，故选 A.]
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4．(2020·海口模拟)设集合 A＝{－1,0,1,2,3,4}，B＝{x|x∈A 且 2x
∈A}，则集合 B 中元素的个数为( )
A．{x|－2≤x＜4}
B．{x|x≤2 或 x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤2}
D [依题意得 A＝{ x|x＜－1 或 x＞4} ，因此∁RA＝{ x|－1≤x≤4} ，
题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{ x|－1≤x≤2} ，故选 D.]
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B．2≤m＜5
C．2＜m≤5
D．2≤m≤5
C [由 1∈A 且 2∉A 得33××12－－11＜≥mm， 解得 2＜m≤5，故选 C.]
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3．已知集合 A＝{x|x＜6 且 x∈N*}，则 A 的非空真子集个数为( )
A．30
B．31
C．62
D．63
A [因为 B＝{x|3－2x＞0}＝x|x＜32，A＝{x|x＜2}．
所以 A∩B＝x|x＜32，A∪B＝{x|x＜2}，故选 A.]
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6．若集合 A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，则满足 A∪X＝B 的集合 X
的个数为( )
A．2
B．3
于 C，∅是{ ∅} 中的一个元素，故 C 正确；对于 D，易知∅是{ ∅} 的一个
子集，故 D 正确．故选 BCD.]
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2．(2020·榆林模拟)设集合 A＝{x|3x－1＜m}，若 1∈A 且 2∉A，则
实数 m 的取值范围是( )
A．2＜m＜5
10．已知集合 A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则 A∩B＝ ________.
{1,4} [B＝{ 1,4,9,16} ，则 A∩B＝{ 1,4} ．]
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11．已知 A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}．若 A∩B＝{4}，则 a＝ ________.
C．4
D．8
C [由 A∪X＝B 可知 X 中至少含有 3,4,5 三个元素，故这样的集
合 X 可能为{ 3,4,5} ，{ 1,3,4,5} ，{ 2,3,4,5} ，{ 1,2,3,4,5} ，共 4 个，故选
C.]
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7．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|－2≤x≤2}， 则如图所示阴影部分所表示的集合为( )
3 [因为 A∩B＝{ 4} ，所以 a＋1＝4 或 2a＝4.若 a＋1＝4，则 a＝ 3，此时 B＝{ 4,6} ．符合题意；若 2a＝4，则 a＝2，此时 B＝{ 3,4} ，不 符合题意．综上，a＝3.]
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12．已知集合 A＝{x|2x2－x－1＜0}，B＝{x|a＜x＜b}，若 A∪B＝
8．已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝2x＋1}，则 A∩B
中元素的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
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B [法一：(方程组法)由xy2＝＋2yx2＋＝11，， 解得xy＝＝01， 或xy＝＝－－4535，， 故集合 A∩B 中有 2 个元素，故选 B.
课后限时集训(一) 集合
01 A组 基础巩固练
一、选择题
1．(多选)(2020·山东省实验中学月考)给出下列关系，其中正确的
选项是( )
A．∅∈{{∅}}
B．∅⊆{{∅}}
BCD [对于 A，∅不是{ { ∅} } 中的元素，故 A 不正确；对于 B，由
于空集是任何集合的子集，所以∅是{ { ∅} } 的一个子集，故 B 正确；对
A．5
B．6
C．7
D．8
AB [如图所示，(a＋b＋c＋x)表示周一开 车上班的职工人数，(b＋d＋e＋x)表示周二开车 上班的职工人数，(c＋e＋f＋x)表示周三开车上 班的职工人数，x 表示这三天都开车上班的职工 人数．
a＋b＋c＋x＝14， b＋d＋e＋x＝10， 则c＋e＋f＋x＝8， a＋b＋c＋d＋e＋f＋x＝20，
A．1
B．2
C．3
D．4
C [由 x∈A 且 2x∈A 得 x＝0,1,2.
所以 B＝{0,1,2}，故选 C.]
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5．已知集合 A＝{x|x＜2}，B＝{x|3－2x＞0}，则( )
A．A∩B＝x|x＜32
B．A∩B＝∅
C．A∪B＝x|x＜32
D．A∪B＝R
二、填空题 9．设 U＝{0,1,2,3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数 m ＝________. －3 [∵U＝{0,1,2,3}，∁UA＝{1,2}， ∴A＝{0,3}． ∴0,3 是方程 x2＋mx＝0 的两个实根， ∴0＋3＝－m，即 m＝－3.]
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∁RA＝－∞，－12∪[1，＋∞)，(∁RA)∩B＝{x|1≤x＜3}，如图②所 示，所以 b＝3.
] 图②
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02 B组 综合运用练
1．已知集合 A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合 A 中至少有 3 个元素，
则 k 的取值范围是( )
A．(8，＋∞)
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法二：(数形结合法)集合 A 表示以原点为圆心， 半径为 1 的圆上的所有点的集合，集合 B 表示直线 y＝2x＋1 上的所有点的集合，如图所示，直线与圆 有两个交点，所以 A∩B 中的元素个数为 2，故选 B.]
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得aa＋ ＋2bb＋＋c＋2c＋d＋d＋e＋2fe＋＋xf＝＋230x＝，32， 即 b＋c＋e＋2x＝12，当 b＝c＝e＝0 时，x 取得最大值，为 6，则
这三天都开车上班的职工人数至多是 6.故选 AB.]
B．[8，＋∞)
C．(16，＋∞)
D．[16，＋∞)
C [由题意知 log2k＞4，所以 k＞24，即 k＞16，故选 C.]
2．(多选)(2020·北京东城区一模改编)某单位周一、周二、周三开
车上班的职工人数分别是 14,10,8.若这三天中至少有一天开车上班的职
工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数可能是( )