闭区间上连续函数的性质(详细版)PPT精选文档
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(整理)闭区间上连续函数的性质
§4.2 闭区间上连续函数的性质一、性质的证明定理1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即∃M >0,∈∀x [a,b],有|)(x f |≤M .证法：由已知条件得到函数)(x f 在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数)(x f 在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从而得到M >0.证明：已知函数)(x f 在[a,b]连续，根据连续定义，∈∀a [a,b]，取0ε=1，0δ∃>0,∈∀x (00,δδ+-a a )⋂[a,b],有 |)(x f )(a f -|<1.从而∈∀x (00,δδ+-a a )⋂[a,b]有 |)(x f |≤|)(x f )(a f -|+|)(|a f <|)(|a f +1即∈∀a [a,b]，函数)(x f 在开区间(00,δδ+-a a )有界。
显然开区间集 { (00,δδ+-a a )|∈a [a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n 个开区间{（k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b] }，k=1,2,3,…,n 也覆盖闭区间[a,b] ，且∈∀x （k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b]，有|)(x f |≤|)(|k a f +1，k=1,2,3,…,n取M =max{|)(||,......,)(||,)(|21n a f a f a f }+1. 于是∈∀x [a,b]，∈∃i {1，2,…，n},且∈x （i i a i a i a a δδ+-,）⋂[a,b]， 有|)(x f |≤|)(|i a f +1≤M定理2（最值性）：若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，则函数()f x 在区间能取到最小值m 与最大值M ，即：[]12,,x x a b ∃∈使：()1f x m =与()2f x M =[](),x a b m f x M ∀∈⇒≤≤证明：根据定理3，数集()[]{}|,f x x a b ∈有界。
高等数学讲义课件 第9节 闭区间上的连续函数的性质
a xb
(证明略)
o a1 2 b x
注: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断 点 , 结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值
y 1
o
1x
y
2 1
o 1 2x
推论：在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
证: 设
由定理 1 可知有
M max f ( x) , m min f ( x) y
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 (a , b), 使 f ( ) 0.
例3 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
则面积函数 S() C[, ] 因 S() 0, S() A 故由介值定理可知:
S( )
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
Conclusions:
设 f (x) C[a,b],则
1. f (x) 在 [a ,b] 上有界; 2. f (x) 在 [a ,b] 上达到最大值与最小值; 3. f (x) 在 [a ,b] 上可取最大与最小值之间的任何值;
o
x
0 (, ),
使
S(0)
A. 2
作业 习 题八
第九节 闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理
一、最值定理
定理1 在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f ( x) C [a , b] , 则 1 ,2 [a , b] , 使
f
(1 )
min
a xb
f
(
(证明略)
o a1 2 b x
注: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断 点 , 结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值
y 1
o
1x
y
2 1
o 1 2x
推论：在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
证: 设
由定理 1 可知有
M max f ( x) , m min f ( x) y
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 (a , b), 使 f ( ) 0.
例3 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
则面积函数 S() C[, ] 因 S() 0, S() A 故由介值定理可知:
S( )
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
Conclusions:
设 f (x) C[a,b],则
1. f (x) 在 [a ,b] 上有界; 2. f (x) 在 [a ,b] 上达到最大值与最小值; 3. f (x) 在 [a ,b] 上可取最大与最小值之间的任何值;
o
x
0 (, ),
使
S(0)
A. 2
作业 习 题八
第九节 闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理
一、最值定理
定理1 在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f ( x) C [a , b] , 则 1 ,2 [a , b] , 使
f
(1 )
min
a xb
f
(
17闭区间上连续函数的性质-15页精选文档
例 一个登山运动员从早上7:00开始攀登某座山 峰，在下午7:00到达山顶；第二天早上7:00再次从 山顶沿原路下山，下午7:00到达山脚。证明这个
运动员在这两天的某一相同时刻经过登山路线的 同一地点。
C
a
o
A
1
2 3
bx
连续y曲 f(x 线 )与水平 yC 直 至线 少有一 .
设 (x)f(x)C
则 (x)在 [a,b]上连 , 续
且 (a )f(a ) C(b)f(b)C
因 C 是f介 (a )f,(b 于 )之间 (a ) ， (b ) 0 故 ,
由零点定理, (a,b)使 ,
例如：y=x在开区间(a,b)内是连续的，但在 (a,b)内无最大值和最小值。
y
a o
b x
又如函数
在闭区间[0,2]上有间断点x=1，f(x)在此区间上 无最大最小值。
y
2
1
x
o
12
二 介值定理
1 ,若 x0使 f(x 得 0)0 ，x 则 0 为称 f函 (x)的 数 零点
定理（零点定理数） f(x设 )在函闭区[a间 ,b]上连续， 且f(a)与f(b)异号，则在开 (a,区 b)内间至少存在函
证 令 f(x ) x 3 4 x 2 1 ,则 f(x)在 [0,1]上连 , 续 又 f(0)10 , f(1 ) 20 , 由零点定理,
(a,b),使f()0, 即 34 210 ,
方x3 程 4x210在 (0,1)内至少 . 有一
方x程 34x210在 (0,1)内只有 . 一根
第7节 闭区间上连续函数 的性质
一、最值定理
1、定 义 ： 设 函 f (x数 )在I上 有 定, x义 0 I,如 果 对 任 意 xI,都有
同济大学高等数学第七版§1.10--闭区间上连续函数的性质ppt课件
几何意义:
连续曲线弧y=f(x)与水平直 线y=C至少有一个交点
y
yf(x)
B
C P1 P2 P3
A O a 1 2 3
bx
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12
定理3(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得
f()C, (a,b).
证 设(x)=f(x)-C 则(x)在闭区间[a b]上连续
且 (a )f(a )C
(b )f(b ) C
零点定理
(a ) (b ) 0 ,(a,b)使 ,
()0,即 () f() C 0 ,f()C.
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13
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值
M与最小值 m之间的任何值(不会有任何遗漏).
几何意义:
y
M yf(x)
C
P1 P2 P3
a x1
O
1 2 3 x2 b x
m
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14
例 证 明x3方 8x 程 10在 区 (0,1)内 间 至 少 有 . 一 根
证 令 f(x)x38x1,则f(x)在[0,1]上连, 续
又 f(0 )10 , f(1)60, 由零点定理,
但函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值．
y y=x
Oa
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
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5
定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的 函数在该区间上一定有最大值 和最小值．
注1 ： 定理1说明，如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，
高等数学上-闭区间上连续函数的性质ppt课件.ppt
由于函数连续，故函数在闭区间a ,b 有界. 由此得函数在 a,b 内有界.
二、零点定理与介值定理
在初等代数中, 我们熟知这一个事实:
对多项式函数 Pn (x) ，若存在 x1, x2 使得 Pn (x1)Pn (x1,
x2
, 使Pn
(x0
)
0.
y
从几何上我们可以很清楚地看到
证 设实系数奇次多项式方程为
a0 xn a1xn1 an1x an 0,
不妨设a0 0. 记
f (x) a0 xn a1xn1
因
an1x an ,
f
(x)
a0
xn
1
a1 a0 x
an a0 xn
,
可见：
lim f (x) , lim f (x)
x
x
故，存在 x1 0, 使得 f (x1) 0;
并且 s2 0 s1 0 L ， s2 12 s1 12 L ，
故而在 0,12 时间段内必有 t0 使得 s2 t0 s1 t0 0 ，
即
s2 t0 s1 t0 ，
表明运动员在两天的某一个相同时刻经过登山路线的同一地点.
值得注意的是，定理1中的条件 f (x)在闭区间上连续，
不能改为开区间.
例 设函数 f (x)在 a,b 内连续，且 f (a ) 存在， 证明 f (x) 在 a,b 内有界.
证 因 f (a ) 存在，由局部有界性定理，存在 0,
使得 f (x) 在 a,a 内有界；
由于区间a,b 可以表示为 a,b a,a a ,b
闭区间上的连续函数在该区间上有界,并一定有最大值
和最小值. 证明从略.
从右边的图中可以看出, y
二、零点定理与介值定理
在初等代数中, 我们熟知这一个事实:
对多项式函数 Pn (x) ，若存在 x1, x2 使得 Pn (x1)Pn (x1,
x2
, 使Pn
(x0
)
0.
y
从几何上我们可以很清楚地看到
证 设实系数奇次多项式方程为
a0 xn a1xn1 an1x an 0,
不妨设a0 0. 记
f (x) a0 xn a1xn1
因
an1x an ,
f
(x)
a0
xn
1
a1 a0 x
an a0 xn
,
可见：
lim f (x) , lim f (x)
x
x
故，存在 x1 0, 使得 f (x1) 0;
并且 s2 0 s1 0 L ， s2 12 s1 12 L ，
故而在 0,12 时间段内必有 t0 使得 s2 t0 s1 t0 0 ，
即
s2 t0 s1 t0 ，
表明运动员在两天的某一个相同时刻经过登山路线的同一地点.
值得注意的是，定理1中的条件 f (x)在闭区间上连续，
不能改为开区间.
例 设函数 f (x)在 a,b 内连续，且 f (a ) 存在， 证明 f (x) 在 a,b 内有界.
证 因 f (a ) 存在，由局部有界性定理，存在 0,
使得 f (x) 在 a,a 内有界；
由于区间a,b 可以表示为 a,b a,a a ,b
闭区间上的连续函数在该区间上有界,并一定有最大值
和最小值. 证明从略.
从右边的图中可以看出, y
72闭区间上连续函数性质的证明【精选PPT】
闭区间上连续函数的零点定理
零点定理
如果函数在闭区间上连续，且在区间的两 端取值异号（即一端为正，另一端为负） ，那么在该区间内一定存在至少一个点， 使得它的函数值为零。
VS
证明思路
利用介值定理和最大值定理，假设在区间 的两端取值分别为A和B，由于A和B异号 ，所以存在一个数C，使得A<C<B，那么 在[A,C]和[C,B]上分别应用介值定理得到 两个零点，分别记为x1和x2，然后在 [x1,x2]上应用零点定理得到一个零点。
最大值定理
在闭区间上的连续函数必定存在最大值和最小值。
证明思路
利用实数的完备性，区间套定理，以及确界存在定理来证明。
闭区间上连续函数的介值性质
介值定理
如果函数在闭区间上连续，那么在该区间上一定存在至少一个点，使得它在函数值的最大值和最小值 之间。
证明思路
利用零点定理，构造一个与原函数值域范围有关的辅助函数，再利用确界存在定理证明。
精选习题二：研究函数的单调性
要点一
总结词
要点二
详细描述
对于函数$f(x)$在闭区间$\lbrack a,b\rbrack$上的单 调性，我们可以根据导数的正负来判断。
如果函数$f'(x)>0$，则函数在此区间内单调递增；如 果$f'(x)<0$，则函数在此区间内单调递减。
精选习题三：研究函数的极值和最值
总结词
对于函数$f(x)$在闭区间$\lbrack a,b\rbrack$上的极值 和最值，我们可以根据导数为零的点和函数的单调性来 判断。
详细描述
首先，找到所有导数为零的点，这些点可能是极值点； 然后，检查在这些点两侧的函数的单调性，如果一侧递 增，一侧递减，则该点为极值点。最值点可能出现在端 点或极值点处，我们需要分别计算这些点的函数值，并 比较大小。
§1.10 闭区间上连续函数的性质-PPT精品文档
, 则至少存在一点 且f (a), f (b)异号
(a ,b ),
使得 的零点.
(a ,b ). f( )0 ,
又称为函 y数 f(x ) 是方程 f ( x ) 0 的根 ,
y
y f( x )
几何意义: 如图所示.
O
a
b x
7
定理4(介值定理) 设 f( a )f( b ), f ( x ) C [ a , b ],
2
定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的 函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x ) C [ a , b ],
则 , [ a , b ], 1 2
y
y f( x )
使得 x [ a ,b ],
有 f ( ) f ( x ), 1
f( )f( x ). 2
证 设 f ( x ) C [ a , b ],
x [ a , b ], 有 由定理1(最值定理),
m f ( x ) M ,
| m |,| M |}, ) K . 取 K max{ 则有 f(x
函数 f( x ) 在 [ a ,b ] 上有界 .
6
二、介值定理
零点定理 定理3(方程实根的存在定理) 设 f ( x ) C [ a , b ],
( x ) f ( x ) C , 则 ( x ) C [ a , b ],
零点定理 ( a ,b ), 使 ( a ) ( b ) 0 ,
( ) 0 ,即 f ( ) C . ( ) f ( ) C 0 ,
第一章 函数与极限
作业
1
一、最大值和最小值定理
(a ,b ),
使得 的零点.
(a ,b ). f( )0 ,
又称为函 y数 f(x ) 是方程 f ( x ) 0 的根 ,
y
y f( x )
几何意义: 如图所示.
O
a
b x
7
定理4(介值定理) 设 f( a )f( b ), f ( x ) C [ a , b ],
2
定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的 函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x ) C [ a , b ],
则 , [ a , b ], 1 2
y
y f( x )
使得 x [ a ,b ],
有 f ( ) f ( x ), 1
f( )f( x ). 2
证 设 f ( x ) C [ a , b ],
x [ a , b ], 有 由定理1(最值定理),
m f ( x ) M ,
| m |,| M |}, ) K . 取 K max{ 则有 f(x
函数 f( x ) 在 [ a ,b ] 上有界 .
6
二、介值定理
零点定理 定理3(方程实根的存在定理) 设 f ( x ) C [ a , b ],
( x ) f ( x ) C , 则 ( x ) C [ a , b ],
零点定理 ( a ,b ), 使 ( a ) ( b ) 0 ,
( ) 0 ,即 f ( ) C . ( ) f ( ) C 0 ,
第一章 函数与极限
作业
1
一、最大值和最小值定理
1.10闭区间上连续函数的性质
则称 f ( x0 )是函数 f ( x)在区间 I上的最大值 (最小值).
例如 y 1 sin x,
在[0,2]上, ymax 2, ymin 0.
2.有界性与最大值最小值定理
定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且 一定有最大值和最小值.
即：设 f (x)在[a , b] 上连续,
o
12 x
二、零点定理与介值定理
1.零点定理 定理2
即方程 f ( x) 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x)的两个端点 位于x轴两侧，则曲线弧与 x轴 至少有一个交点.
y y f (x)
a
o
bx
2.介值定理 定理3
A B,
证明 作辅助函数，
(x) f (x)C 则(x)C [a , b] ,且
证明 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0, 即 f ( ) .
小结
设 f ( x)在闭区间[a , b]上连续, (1) f ( x)在[a , b]上有界；
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
1.最大值最小值定义
对于在区间 I上有定义的函数 f ( x), 若有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ))
(2) f ( x)在[a , b]上达到最大值与最小值； (3) f ( x)在[a , b]上可取得最大值与最小值之间的任何值；
例如 y 1 sin x,
在[0,2]上, ymax 2, ymin 0.
2.有界性与最大值最小值定理
定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且 一定有最大值和最小值.
即：设 f (x)在[a , b] 上连续,
o
12 x
二、零点定理与介值定理
1.零点定理 定理2
即方程 f ( x) 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x)的两个端点 位于x轴两侧，则曲线弧与 x轴 至少有一个交点.
y y f (x)
a
o
bx
2.介值定理 定理3
A B,
证明 作辅助函数，
(x) f (x)C 则(x)C [a , b] ,且
证明 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0, 即 f ( ) .
小结
设 f ( x)在闭区间[a , b]上连续, (1) f ( x)在[a , b]上有界；
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
1.最大值最小值定义
对于在区间 I上有定义的函数 f ( x), 若有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ))
(2) f ( x)在[a , b]上达到最大值与最小值； (3) f ( x)在[a , b]上可取得最大值与最小值之间的任何值；
ch19闭区间上连续函数的性质.ppt
y
y f (x)
oa
2
1 b x
福州大学数计学院
7
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间 上连续的函数在该区间上有界并一定有 最大值和最小值.
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f (x)
y
y f (x)
Hale Waihona Puke 1oxo
12
x
2
福州大学数计学院
福州大学数计学院
12
例4 证明: 任何实系数的奇数次多项式方程必有实根.
证: 设实系数奇次多项式为：
i 1, 2,L , n
an xn an1xn1 L a0 (ai R ; an 0 ; n 为奇数 )
令f ( x) an xn an1xn1 an2 xn2 L a0
an x（n 1
15
推论1 在闭区间上连续的函数必取得介于最
大值 M 与最小值 m之间的任何值.
推论2 在闭区间上不为常数的连续函数把该 区间映为闭区间.
y
几何解释:如图，将连续曲线弧
y=f(x) (a≤x≤b) 向 y 轴作投影，其 投影必然是线段，而不会是支离破 碎的点集
M
m 0a
y=f(x)
bx
福州大学数计学院
连续的定义
复习
定义1 设 f ( x) 在 U ( x0 , ) 内有定义，
若
lim[
x 0
f
(
x0
x)
f ( x0 )] 0
，那末就称
f (x)
在点 x0 连续， 称 x0 为的连续点。
定义2 设函数 f ( x) 在 U ( x0, ) 内有定义,
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❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
又如 如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值
y = f ( x ) = x 1 1 0 x = 1 x 1 x 3 1 x 2
11
高等数学 ● 戴本忠
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0
例1 证明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根
证明 设 f(x)=x34x21 则f(x)在闭区间[0 1]上连续
第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 *三、一致连续性
1
高等数学 ● 戴本忠
学习指导
１．教学目的：了解闭区间上连续函数的性质。 ２．基本练习：了解并通过一定的练习学习最大最
小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理在 函数值的估计和根的估计上的应用。 3．注意事项：闭区间上连续的函数有许多好的性质。 应了解在闭区间上连续函数的最大最小值定理、 有界性定理、零点定理及介值定理。了解定理的 条件和结论，并通过一定的练习学会运用它们．
5
高等数学 ● 戴本忠
❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
说明:
定理说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么
至少有一点x1[a b] 使f(x1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点x2[a b] 使f(x2)是f(x)在[a b]上的最小值
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么
在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0
❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
二、零点定理与介值定理 ❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0，那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0
几何解释：线弧y = f (x)的两 个端点位于x轴的不同侧,则曲 线弧与x轴至少有一个交.点
注: 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值
例 如 ， 函 数 f(x)=x 在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
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例如, y=1sinx, 在[0,2]上, ymax = 2, ymin = 0;
y=sgnx, 在 (,)上 , ymax =1, ymin =1; 在(0,)上, ym ax=ym in=1.
mf(x)M 上式表明 f(x)在[a b]上有上界M和下界m 因此函数f(x)在[a b]上有界
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有界性与最大值最小值定理:在闭区间上连续的 函数有界且一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
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•推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值
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设函数 f ( x)在闭区间a, b上连续，且在这区间的端点取
不同的函数值
f (a) = A 及 f (b) = B,
那么，对于 A与B之间的任意一个数C ，在开区间a, b内
至少有一点x，使得 f (x ) = C (a x b).
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❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
❖定理2(有界性定理)
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证明 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 根据定理1 存在f(x)在区间[a b]上的最大值M和最小值 m 使任一x[a b]满足
并且
f(0)=1>0 f(1)=2<0
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0
即
x 34x 21=0
这说明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根是x
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二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
证 设 在 [a,b]上连 , 续 B y=f(x)
且 (a )=f(a ) C
C
o
=AC,
A
(b )=f(b ) C =BC, m
高等数学 ●
x
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❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
例如 函数f(x)=x在开区间(a b) 内既无最大值又无最小值
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如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b 左连续,在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在 闭区间[a,b]上连续的。
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一、有界性与最大值最小值定理
❖最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 ❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
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二、零点定理与介值定理