高级微观经济学A集合与映射上海对外经贸大学李辉文fall教学提纲

定理必须被证明，证明由构成定理中的命题的 可靠性组成，而进行构造的方法必须与逻辑规 则相一致。
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命题的形式
命题：A B 逆命题：B A 反命题： A B 逆否命题：B A
当一个命题成立时，其 逆否命题也是成立的。
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1.2 定理与证明
在给定前提为真的情况下，定理的证明就是 确立其结论的可靠性。
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3 拓扑学基础
3.1 度量空间
拓扑学是研究集合与映射的基本性质的学科。 本节利用基本的拓扑学知识建立一些有关集合，并分析从一个集合
到另一个集合的连续函数。 首先分析度量和度量空间。
度量：对距离的测量。 度量空间：若S是一个集合，d是定义在S上的度量，那么，
称（S，d）为度量空间。
例1：实线R与度量距离的适宜函数是一个度量空间。 实线上距离函数或度量函数是绝对值函数。任意两点的距离为：
R中的凸组合
x2=2
x1=8
考虑两维空间的凸组合，即x1=(x11,x21)与x2=(x12,x22)。
凸组合为： z=tx1+(1-t)x2=(tx11+(1-t)x12,tx21+(1-t)x22)
x2
x21
1
2
tx2 +(1-t)x2
x1 z
x22
x2
x12
1
2
tx1 +(1-t)x1
x11
由于z的每个坐标是各自 横坐标与纵坐标之间距离 的t倍，故点z位于连接x1 与x2的弦的距离的t倍。
可以将U中的S集的补集视为集合差：
SC=U\S=U-S。
集合的基本运算是交（和、且）与并（或者）。
多个集合的表示方法：
直接写出：{S1,S2,S3,...} 更普遍的表示方法是：{Si}i∈I，其中，I为指标集，
I≡{1,2,3,…}。 多个集合的并集表示为∪i∈ISi，交集为∩i∈ISi。
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两个集合S与T的乘积是以(s,t)形式表示的有序对的集合。
S×T≡{(s,t)︱s∈S,t∈T} 一个常用的集合的乘积是笛卡尔平面，由实数集形成的乘积。
实数集定义为：R≡{x︱-∞<x<∞} R×R={(x1,x2)︱x1∈R,x2∈R}
集合内的任何点可以表示为笛卡尔平面内的点。该集合也被称为两 维欧几里德空间，表示成R2。
数学训练的重要性在于它可以使各种关系的表达 和经济学的推理变得更加简捷、严谨和清晰。
—— 阿尔弗里德.马歇尔
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参考文献
1、罗纳德·肖恩著《动态经济学》，中国人 民大学出版社。
2、蒋中一著：《数理经济学的基本方法》， 商务印书馆。
3、蒋中一著：《动态最优化基础》，商务印 书馆。
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函数是一种将一个集合内的每一个元素与另一个集 合内的单个且惟一的元素联系起来的一种关系。
函数f是一种从一个集合D（定义域）到另一个集合R（值 域）的映射。
函数表示为f:D→R。 f的象是值域的子集。
例
S={y︱y=f(x)，对于一些x∈D}属于R。 正弦函数y=sin(x)的象是区间[1，－1]的子集。 点集S的逆象定义为f-1(S)={x︱x∈D，f(x)∈S}。
解释：集合内的任意两个点的所有加权平均数也是同一集合的点， 那么，该集合是凸的。
在定义中所采用的加权平均数被称为凸组合。凸组合在一定意义 上是“介于”x1与x2之间的一个点。
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凸集的例子
考虑两点：x1=8∈R，x2=2∈R。对于介于0与1之间的任意t，凸组合：z=tx1+(1t)x2=x2+t(x1-x2)。若将x2视为起点，则z位于x2与x1之间的距离的t倍处。即总会位点 x1与x2之间，或与其重合。点x1与x2的所有凸组合是它们之间的线段，包括端点。
抽象的对象汇集成的总体。 集合可用元素列举法或元素描述法来定义。 如果两个集合正好包含了相同的元素，那么，这两个集合
是相等的。例：S=T。 如果S包含于U，那么，S的补集SC是不属于S但包含在U中
的所有元素的集合。
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集合差表示为S\T或S-T，指包含在S中但不包含在T 中的所有元素。
向量x1与x2的所有凸组合 的集合是一切处于连接x1 x1 与x2的弦上的一切点的集 合，且含端点。
R2中的一些凸组合
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结论：如果一 个集合包含了 集合中每对点 的所有凸组合， 它才是凸的。 简单地，当且 仅当集合内任 两点的连线完 全处在集合内， 集合是凸的。 凸集运行良好。 没有洞和断点。
一般，任何n维向量x≡(x1,x2,…,xn)可被视为n维欧几里德 空间或n维空间的一个点。表示为：
Rn≡R×R×…×R ≡{(x1,…,xn)︱xi∈R,i=1,…,n} R+n是Rn中非负的象限，它所含的向量x≥0。
区分符号≥,>和>>。
x≥0表示每个分量都不小于0，x>0表示至少有一个分量严格大于0， x>>0表示每个分量都严格大于0。
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2.2 凸集
凸集是微观经济理论中每个领域内的基本构造材料。在理 论分析中，凸性常被假设，以保证分析在数学上是易处理 的，并且结论是清楚的和运行良好的。 定义 Rn上的凸集
对于所有x1∈S，x2∈S，如果下式成立，则S Rn是一个凸
集。 tx1+(1-t)x2∈S 对于所有t，0≤t≤1，该式成立。
4、迪克西特著：《经济理论中的最优化方 法》，上海三联书店。
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本部分内容来自杰里和瑞尼 所著的《高级微观经济理论》 的数学附录。
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1 逻辑要素
定理是由其他命题演绎出的一个命题。
定理给长篇论述所提出的假设和重要结论提供 了一个紧凑而精确的表达式，并且有助于立即 确认所提出的结论的适用范围及其相应限制。
证明方法：
直接证明：由前提A得到结论B。 否证性证明：A成立则B成立，等价于B不成立则
A不成立。 反证法：通过假设A是真的，B不是真的，推导
出一种逻辑的矛盾。
注意：用例子“论证”不是证明。
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2 集合论的要素
2.1 表达式与基本概念
集合论的语言与方法渗透于整个微观经济理论中。 一个集合是元素的总体，是指具有某种特定性质的具体或