福建福清西山学校高中部高二上学期期中考试数学试题含答案
福建高二高中数学期中考试带答案解析
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在中，，满足条件的（）A．有一解B．有两解C．无解D．不能确定2.下列命题中，正确的是（）A．若，则；B．，则C．若则，D．若，，则3.已知，则（）A．B．C．D．4.在等差数列中，，表示数列的前项和，则( )A．B．C．D．5.已知满足，则的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6.记等比数列的前项和为，若则（）A． 9B．27C．8D．87.在平面直角坐标系中,若点在直线的右下方区域包括边界,则的取值范围是( ) A．B．C．D．8.某商场今年销售计算机5 000台.如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约（）年可以使总销售量达到30 000台.（结果保留到个位）（参考数据）A．3B．4C．5D．69.若实数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．10.如果方程的两个实根一个小于0，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（）A．B．C．D．11.下列命题正确的是（）A．B．对任意的实数,都有恒成立.C．的最大值为2D．的最小值为212.设若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则（）A．B．C．D．二、填空题1.已知，则=_________.2.数列的前项和为__________3.已知三条线段的大小关系为：，若这三条线段能构成钝角三角形，则的取值范围为_______________.4.如图所示,从中间阴影算起，图1表示蜂巢有1层只有一个室,图2表示蜂巢有2层共有7个室,图3表示蜂巢有3层共有19个室,图4表示蜂巢有4层共有37个室. 观察蜂巢的室的规律，指出蜂巢有n层时共有_______个室.2107三、解答题1.（本小题满分12分）已知等差数列满足。
（Ⅰ）求通项的通项公式及的最大值;（Ⅱ）设,求数列的其前项和.2.（本小题满分12分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为且．( I ) 若，求周长的最小值； (Ⅱ) 若，求边的值．3.(本小题满分12分）福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大,对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：利润的最大值为多少元？4.（本小题满分12分）如图所示，某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成.已知休闲区的面积为4000 m 2，人行道的宽分别为4 m和10 m.（ I ）设休闲区的长m ，求公园ABCD所占面积关于 x 的函数的解析式；（Ⅱ）要使公园ABCD所占总面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？5.（本小题满分12分）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行时间应为多少小时？(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；6.（本小题满分14分）已知二次函数满足以下两个条件：①不等式的解集是（-2，0）②函数在上的最小值是3（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若点在函数的图象上，且（ⅰ）求证：数列为等比数列（ⅱ）令，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在，指出的取值范围；若不存在，请说明理由．福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.在中，，满足条件的（）A．有一解B．有两解C．无解D．不能确定【答案】C【解析】因为根据三角形中正弦定理可知：>1，因此无解，故选C【考点】本试题主要考查了解三角形的运用。
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福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的值是（）A．B．C．D．2.用反证法证明命题：“已知，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程没有实根B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根3.名学生报名参加体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有（）A．B．C．D．4.定积分的值为（）A．B．C．D．5.若曲线在点处的切线方程是，则（）A．，B．，C．，D．，6.函数在区间上的最小值为（）A．B．C．D．7.四个人从左到右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．B．C．D．8.已知函数在其定义域内是增函数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．9.函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题：①是函数的极值点；②是函数的最小值点；③在区间上单调递增；④在处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④10.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．11.设函数，关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、填空题1.曲线在点处的切线方程为____________________．2.从进入决赛的名选手中决出名一等奖，名二等奖，名三等奖，则可能的决赛结果共有_____种．（用数字作答）3.如图，直线与函数的图象围成的封闭图形（阴影部分）的面积是_____________．三、解答题1.（Ⅰ）设复数满足，其中为虚数单位，求复数.（Ⅱ）实数取何值时，复数,（ⅰ）是实数；（ⅱ）是纯虚数.2.已知．（Ⅰ）若在处的切线方程为，求与的值；（Ⅱ）求．3.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加．分别求在下列情况下不同的报名方法的种数：（Ⅰ）每个项目都要有人报名；（Ⅱ）甲、乙报同一项目，丙不报项目；（Ⅲ）甲不报项目，且、项目报名的人数相同；4.设函数．（Ⅰ）若在时有极值，求实数的值和的极大值；（Ⅱ）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围．5.设函数.N，（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）求证：≥；（Ⅲ）当时，若≥对于任意恒成立，求实数的取值范围.福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.复数的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】化简复数的分母，然后复数的分子、分母同乘，即可得到结果.复数.故选A.【考点】复数代数形式的混合运算.2.用反证法证明命题：“已知，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程没有实根B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根【答案】A【解析】反证法的步骤：第一步是假设命题反面成立，而“方程至少有一实根”的反面是“方程没有实根”.故选A.【考点】综合法与分析法；反证法.3.名学生报名参加体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，易得3名同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理计算可得答案.根据题意，每个同学可以在艺术体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组中任选1个，有4种选法，则3名学生一共有种不同的报名情况.故选D.【考点】计数原理的应用.4.定积分的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】定积分的概念及几何意义.5.若曲线在点处的切线方程是，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】因为曲线在点处的切线方程是，所以，且满足在x=0处的导数值为a, 那么切线方程为y-a=a（x-0）,即，故选A.【考点】曲线的导函数；曲线上点的切线方程.6.函数在区间上的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，令，解得或x＜－1；再令，解得；所以，分别是函数的极大值点和极小值点，所以，，，，所以最小值为－1．故选C．【考点】函数的导函数；函数的极值和最值.7.四个人从左到右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．最左端排甲，共有种；最左端只排乙，最右端不能排甲，有种，根据加法原理可得，共有6+4=10种．故选B．【考点】排列、组合及简单计数问题.8.已知函数在其定义域内是增函数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵函数在其定义域（）内是增函数，∴对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，即，令，则，解，得；解，得；因此当时，取得最大值，∴，故实数的取值范围为.故选D.【考点】导数研究函数的单调性、极值与最值；二次函数的性质．9.函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题：①是函数的极值点；②是函数的最小值点；③在区间上单调递增；④在处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】C【解析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．根据导函数图象可知：当x∈（-∞，-3）时，f'（x）＜0，在x∈（-3，1）时，∴函数y=f（x）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故③正确；则-3是函数y=f（x）的极小值点，故①正确；∵在（-3，1）上单调递增∴-1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y=f（x）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故④不正确.故选C.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系；函数极值的判定.10.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数有两个极值点，由.所以有两个不同的正实数根，令，所以.令所以（小于零不成立）.所以可得，解得.综上所以.故选B.【考点】函数的极值与导数的关系.11.设函数，关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数知，；则，当时，，函数在上单调递增；时，，函数在上单调递减；时，，函数取得最大值；由此可画出函数的图像如下：设，则关于的方程可变形为；因为，所以方程有两个不相等的实根；设方程的两根分别为，由得；若，由函数的图像知此时存在唯一根使，故要使的方程有三个不同的实数解，必有有两不相等实根，故，所以有两不相等实根，且；则，即，解得，故则实数的取值范围是.故选B.【考点】函数的零点与方程根的联系.二、填空题1.曲线在点处的切线方程为____________________．【答案】.【解析】由曲线得，所以，则曲线在点处的切线方程为，即．故答案为．【考点】导数的概念及其几何意义.2.从进入决赛的名选手中决出名一等奖，名二等奖，名三等奖，则可能的决赛结果共有_____种．（用数字作答）【答案】60.【解析】6名选手中决出1名一等奖有种方法；2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案．依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种可能的结果，第二步，再决出2名二等奖，有种可能的结果，第三步，三等奖有种可能的结果，故共有（种）可能的结果.故答案为60．【考点】排列组合与简单计数问题.3.如图，直线与函数的图象围成的封闭图形（阴影部分）的面积是_____________．【答案】.【解析】由图形可知，直线与函数联立，得它们图象的交点为，则围成的封闭图形（阴影部分）的面积是.故答案为.【考点】定积分.三、解答题1.（Ⅰ）设复数满足，其中为虚数单位，求复数.（Ⅱ）实数取何值时，复数,（ⅰ）是实数；（ⅱ）是纯虚数.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）或；（ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由复数的乘除运算即可解得；（Ⅱ）（ⅰ）直接由复数Z的虚部等于0列出方程求解即可；（ⅱ）直接由复数Z的实部等于0且虚部不等于0列不等式组求解即可.试题解析：解：（Ⅰ）设（Ⅱ）当为实数时，解得或当为纯虚数时，解得【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义.2.已知．（Ⅰ）若在处的切线方程为，求与的值；（Ⅱ）求．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求出函数的的导函数；根据题意知，可解得，；（Ⅱ）根据微积分的基本定理设，解得，，得，从而求得．试题解析：解：．（Ⅰ）依题意：，解得，；（Ⅱ）设，则，解得，，即，∴．【考点】导数的几何意义；微积分的基本定理.3.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加．分别求在下列情况下不同的报名方法的种数：（Ⅰ）每个项目都要有人报名；（Ⅱ）甲、乙报同一项目，丙不报项目；（Ⅲ）甲不报项目，且、项目报名的人数相同；【答案】（Ⅰ）36；（Ⅱ）9；（Ⅲ）18.【解析】（Ⅰ）每个项目都要有人报名，其中一个项目有两人报名，所以先从四人中选两个人报名一个项目，再全排列即可；（Ⅱ）甲、乙报同一项目，丙不报项目，丙从三个项目中选择B、C项目中的一个，同时甲、乙从三个项目中任选一个即可；（Ⅲ）甲不报项目，且、项目报名的人数相同，可分、项目各有一人和、项目各有两人两种情况讨论.试题解析：解：（Ⅰ）每个项目都要有人报名，共有种；（Ⅱ）甲、乙报同一项目，丙不报项目，共有种；（Ⅲ）甲不报项目，且、项目报名的人数相同，若、项目各有一人，有种；若、项目各有两人，有种，所以甲不报项目，且、项目报名的人数相同共有18种．【考点】排列与组合.4.设函数．（Ⅰ）若在时有极值，求实数的值和的极大值；（Ⅱ）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），取得极大值为；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求f′（x），所以f′（2）=0，这样即可求出，这样就可求出f′（x），并令f′（x）=0，这样方程的解将区间（0，+∞）划分为几个区间，通过判断f′（x）在这几个区间上的符号，即可找到极大值点，从而求出极大值；（Ⅱ）求f′（x），所以f′（x）≥0对于x＞0时恒成立，进而得到对于x＞0时恒成立，所以得到，利用均值不等式得的最大值是1，所以得到a≥1．试题解析：解：（1）定义域为，由题意知在时有极值，则，经检验，当时，在时有极值，满足题意所以当时，取得极大值为（2）在上是增函数对于上恒成立即对于上恒成立对于上恒成立综上【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.5.设函数.N，（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）求证：≥；（Ⅲ）当时，若≥对于任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）的单调递减区间为，的单调递增区间为；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）将代入函数的解析式得，对函数求导得.令，得，令得，从而求得的单调递减区间为，的单调递增区间为；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，时，取得极小值，即最小值，即≥，从而得≥，当且仅当时等号成立；（Ⅲ）当时，，对函数求导得，由（Ⅱ）知≥，当且仅当时等号成立；得≥，讨论当≥，即≥时，≥；当时，，此时；综上可得，实数的取值范围为.试题解析：（Ⅰ）解：当时，，.当时，；当时，.的单调递减区间为，的单调递增区间为.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，若，则当时，取得极小值，即最小值.，即≥≥，当且仅当时等号成立.（Ⅲ）解：当时，，由（Ⅱ）知≥，当且仅当时等号成立.≥，当≥，即≥时，≥（≥），单调递增，而，当≥时，≥.又由，可得，即当时，，当时，，单调递减，而，此时综上可得，实数的取值范围为.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值和最值.。
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福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.数列中，，且，则（）A．15B．7C．3D．12.数列1，-3，5，-7，9，的一个通项公式为（）A．B．C．D．3.已知数列的前n项和，则的值为（）A．80B．40C．20D．104.若成等差数列，则等于（）A．1或2B．－1或－2C．1或－2D．－1或2 5.1与16的等比中项为（）A．B．C．或D．或6.在△ABC中,=2,b=6,C=60°,则三角形的面积S=（）A．3B．C．D．67.已知中，则等于（）A．60°或120°B．30°C．60°D．30°或150°8.在DABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=（）A．B．C．D．9.已知满足，则的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形10.若，则的最小值为（）A．2B．C．4D．811.已知a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．a 2－b 2＞0B ．ac 2＞bc 2C ．ac ＞bcD ．2a ＞2b12.设一元二次不等式的解集为则的值为（ ）A ．1B ．C ．4D ．13.二次不等式的解集是全体实数的条件是（ ） A ．B ．C ．D ．14.表示不等式的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ ）15.若变量x ，y 满足约束条件则z ＝x －2y 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．116.在中,若,则是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．等腰或直角三角形D ．直角三角形二、填空题1.不等式的解集为 ． 2.在△ABC 中，若∶∶∶∶，则_______．3.数列{}的通项公式为，则{}的前10项之和为 ．4.数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ＋1，则此数列的通项a n ＝________．三、解答题1.如图，货轮在海上以35n mile/h 的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为．半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为．求此时货轮与灯塔之间的距离．2.已知分别是内角的对边，．（1）若，求（2）若，且 求的面积．3.数列和函数，已知，，试判断是否为等差数列，并求的前项和的最大值。
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福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若是虚数单位，则（）A．B．C．D．2.如果物体做的直线运动，则其在时的瞬时速度为：A．12B． -12C． 4D． -43.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）A．假设都是偶数B．假设都不是偶数C．假设至多有一个是偶数D．假设至多有两个是偶数4.已知，，，。
，若 (a , b) , 则（）A．a=5, b=24B．a=6, b=24C．a=6, b=35D．a=5, b=355.函数处的切线方程为( )A．B．C．D．6.复数满足，则( )A．；B．；C．；D．．7.曲线的单调增区间是( )A．;B．;C．及;D．及;8.曲线与坐标周围成的面积（）A．4B．2C．3D．9.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则．B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人D．在数列中，由此归纳出的通项公式．10.如图，直线从开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是（）11.设，若函数，，有大于零的极值点，则（）A．B．C．D．12.设在区间[1,3]上为单调增函数,则实数a的取值范围是( )A．[ -,+∞)B．(-∞,-3]C．(-∞,-3]∪[-,+∞)D．[- , ]二、填空题1.用定积分的几何意义，则=----------------________________2.曲线与直线，及轴所围成图形的面积为 .3.若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积_____4.如果关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围为_____________.三、解答题1.(本题满分12分)已知m,复数z=.（Ⅰ）实数m取什么值时？复数z为实数、纯虚数.（Ⅱ）实数m取值范围是什么时？复数z对应的点在第四象限.2.(本题满分12分)已知函数,（1）求函数极值.（2）求函数在上的最大值和最小值.3.(本题满分12分)已知都是正数，且求的最小值.4.(本题满分12分)某地区预计从2011年初开始的第月，商品A的价格（，价格单位：元），且第月该商品的销售量（单位：万件）.（1）2011年的最低价格是多少？（2）2011年的哪一个月的销售收入最少？5.(本题满分12分)用数学归纳法证明：（）6.(本题满分14分)设函数．（Ⅰ）若，⑴求的值；⑵在存在，使得不等式成立，求c最小值。
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福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知数列的前几项为1，，，，它的第n项()是( )A．B．C．D．2.已知等差数列的通项公式为，则它的公差为（）A．2B．3C．D．3.在ABC中，已知,则角A等于（）A．B．C．D．4.已知满足，则下列选项成立的是（）A．B．C．D．5.在△ABC中，若、，其面积等于，则角C为 ( )A．45°B．135°C．45°或135°D．120°6.等差数列{}中，，则前10项和( )A．5B．25C．50D．1007.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为，若，则的值为( ) A．B．C．D．8.已知数列{}中，则数列的前n项和最大时，n的值为 ( ) A．8B．7或8C．8或9D．99.下列不等式一定成立的是( )A．（）B．（）C．（）D．（）10.在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔仰角为，塔底俯角为，那么这座塔的高为( )A ．mB ．mC ．mD ．m11.已知x,y 都是正数,若 ， 则有( )A ．最小值16B ．最大值16C ．最小值D ．最大值12.(文科) 设数列的前项和为，关于数列有：①若数列既是等差数列又是等比数列，则；②若，则数列是等差数列；③若，则数列是等比数列.以上判断中，正确的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．313.（理科）函数定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，则等于( )A.1B.2C.4D.5二、填空题1. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且边a=4，c=3，则b=_____________2.（文科）数列{a n }的通项公式是a n =(n ∈N*)，若前n 项的和为，则项数为3.（理科）不等式 的解集为4. 关于的不等式恒成立，则实数k 的取值范围是__________________.5.（文科）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为6.（理科）若数列的前n 项和，若，记数列的前n 项和为，则使成立的最小正整数n 的值为三、解答题1.（本小题12分） 已知，.（1）求； （2）若不等式的解集是，求实数，的值2.（文科题）（本小题12分）（1）在等比数列{ }中，=162，公比q=3，前n 项和=242，求首项和项数n 的值．（2）已知是数列的前n 项和，，求3.（理科题）（本小题12分）已知数列{a n }是等差数列，a 2＝3，a 5＝6，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式与前n 项的和； (2)求数列{b n }的通项公式.4.（本小题12分）在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且(1)求角C 的大小； （2）若c ＝,且△ABC 的面积为,求a ＋b 的值。
福建高二高中数学期中考试带答案解析
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知，，下列结论成立的是（）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，则（，）2.下列函数中，最小值为的是（）A．B．C．D．且3.设等比数列的前n项和为，若，则（）A．2B．C．D．34.设为等差数列的前项和，已知，则的值为（）A．54B．45C．27D．185.若关于方程的一个实根小于，另一个实根大于，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6.已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是（）A．B．C．D．7.在中，内角所对的边分别为，已知，则角的大小为（）A．B．C．D．8.已知等差数列的前项和满足且，则下列结论错误的是（）A．和均为的最大值B．C．公差D ．9.在中，内角所对的边分别为，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形10.已知实数满足不等式组，若目标函数取得最大值时的唯一最优解是（1,3），则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．11.在中，内角所对的边分别为，已知，，为使此三角形有两个，则满足的条件是（ ） A ． B ．C ．D ．或12.设数列是集合且中所有的数从小到大排列成的数列，即a 1＝4，a 2＝10，a 3＝12，a 4＝28，a 5＝30，a 6＝36，…．将数列中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.已知关于的不等式的解集为，则等于 ．2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度__________m ．3.在中，D 为边BC 的中点，,则________． 4.已知数列满足，若，且对于任意正整数均成立，则数列的前2015项和的值为 ．（用具体的数字表示）三、解答题1.（本小题满分10分） 等差数列的前n 项和为，已知，．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求数列的前n项和．2.（本小题满分10分）在中，角所对的边分别为．已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积．3.（本小题满分12分）某小型餐馆一天中要购买两种蔬菜，蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元．根据需要，蔬菜至少要买6公斤，蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？4.（本小题满分12分）在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求和的长．5.（本小题满分12分）某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元，已知建筑第1层楼房时，每平方米的建筑费用为920元．为了使该幢楼房每平方米的平均费用最低（费用包括建筑费用和购地费用），应把楼房建成几层？此时平均费用为每平方米多少万元？6.（本小题满分14分）已知数列，，其前项和满足,其中．（Ⅰ）设，证明：数列是等差数列；（Ⅱ）设，为数列的前n项和，求证：；（Ⅲ）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知，，下列结论成立的是（）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，则（，）【答案】C【解析】A．时不成立；B．举反例：取，则，因此不成立；C．∵a，∴，正确；D．举反例：取，则，因此不成立．故选：C．2.下列函数中，最小值为的是（）A．B．C．D．且【答案】B【解析】A．显然不能取等号，B正确，C取等号时，sinx>1与正弦函数定义矛盾，D显然最小值不是，故选B．【考点】均值不等式3.设等比数列的前n项和为，若，则（）A．2B．C．D．3【答案】B【解析】由题意可得，公比，，故选B．【考点】等比数列性质及其前n项和4.设为等差数列的前项和，已知，则的值为（）A．54B．45C．27D．18【答案】A【解析】，故选A．【考点】等差数列的性质5.若关于方程的一个实根小于，另一个实根大于，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则由题意利用二次函数的性质求得实数m的取值范围．令，则由题意可得，故选D．【考点】一元二次方程根的分布与系数的关系6.已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，（当且仅当a=b时取“=”），故选B．7.在中，内角所对的边分别为，已知，则角的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题根据正弦定理及余弦定理化简分析计算即可，故选B．【考点】正弦定理；余弦定理8.已知等差数列的前项和满足且，则下列结论错误的是（）A．和均为的最大值B．C．公差D．【答案】D【解析】，则A正确；，∴B正确；，C正确；，D错误．故选D【考点】命题的真假判断，等差数列的前n项和公式及等差数列的性质9.在中，内角所对的边分别为，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】，∴或，所以A=B或，∴△ABC是等腰或直角三角形．故选D．【考点】三角形的形状判定10.已知实数满足不等式组，若目标函数取得最大值时的唯一最优解是（1,3），则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出不等式组不是的可行域，将目标函数变形，数形结合判断出z最大时，a的取值范围．不等式的可行域．将目标函数变形得y=ax+z，当z最大时，直线的纵截距最大，画出直线y=ax将a 变化，结合图象得到当a ＞1时，直线经过（1，3）时纵截距最大．故选D ．【考点】简单的线性规划【方法点睛】确定二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法（1）“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式（组）表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域． （2）当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．11.在中，内角所对的边分别为，已知，，为使此三角形有两个，则满足的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．或【答案】A【解析】根据题意作出△ABC 的示意图如图所示，再研究以C 为圆心的圆弧与射线AB 公共点的个数，即可得到当满足条件的△ABC 只有两个时，边a 应满足的条件，从而得到本题答案； ∵△ABC 中，A=60°，，∴作出△ABC 的示意图，如图所示，可得点C 到直线AB 的最短距离为，以C 为圆心，CB 长为半径画弧，则当圆弧与射线AB 有且只有一个公共点时，满足条件的△ABC只有一个，∵当圆弧半径R=6时，圆弧与射线AB 相切，有唯一公共点；当圆弧半径时，满足条件的△ABC 只有两个，故选A ．【考点】正弦定理；解三角形【名师点睛】本题给出三角形ABC 的角A 和b 的长，求当三角形只有一个时边a 满足的条件．着重考查了利用正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．（1）正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用． （2）运用余弦定理时，要注意整体思想的运用12.设数列是集合且中所有的数从小到大排列成的数列，即a 1＝4，a 2＝10，a 3＝12，a 4＝28，a 5＝30，a 6＝36，…．将数列中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分别根据数列的值，确定的利取值规律，利用归纳推理即可得到结论．，，利用归纳推理即可得：…，t+1表示从左到右的个数代表行数，s表示行数，当t=19时，最后一项为1+2+…+19=190，当t=20时，最后一项为1+2+…+20=210，第191为第20行第一个数，210-190=t+1，∴t=19，∴一定在第20行，则故答案为：C【考点】归纳推理【名师点睛】本题考查了一个探究规律型的问题，解题时要认真分析题意，寻找其中的规律，从而解出结果．综合性较强，难度较大；（1）归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．（2）归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．（3）归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用二、填空题1.已知关于的不等式的解集为，则等于．【答案】-1【解析】由题意，得出不等式对应的方程的两个实数根；再由根与系数的关系，求出m、n的值即可．∵x不等式的解集为，∴，且方程的解为，∴由根与系数的关系【考点】一元二次不等式的解法2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度__________m．【答案】【解析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．设此山高h（m），则，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得【考点】解三角形的实际应用3.在中，D为边BC的中点，,则________．【答案】【解析】延长AD至E，使DE=AD，连接BE，在△ABE中，利用正弦定理，即可得到结论．延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则在△ABE 中，，由正弦定理，得∠AEB=90°，故【考点】正弦定理的应用【方法点睛】正、余弦定理的应用原则：（1）正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用；（2）运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．4.已知数列满足，若，且对于任意正整数均成立，则数列的前2015项和的值为 ．（用具体的数字表示） 【答案】1344【解析】依题意可求得，于是可求得，于是可得的值．，，又数列的周期为3，∴，同理可得，…【考点】数列求和【名师点睛】本题考查数列的求和，着重考查函数的周期性，得到相邻三项之和为2是关键，属于中档题；数列与函数的综合一般体现在两个方面：（1）以数列的特征量n ，a n ，S n 等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；（2）数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．三、解答题1.（本小题满分10分） 等差数列的前n 项和为，已知，．（Ⅰ）求及； （Ⅱ）令（）,求数列的前n 项和． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据等差数列所给的项和项间的关系，列出关于基本量的方程，解出等差数列的首项和公差，写出数列的通项公式和前n 项和公式．（Ⅱ）根据前面做出的数列构造新数列，把新数列用裂项进行整理变为两部分的差，合并同类项，得到最简结果，本题考查的是数列求和的典型方法--裂项法，注意解题过程中项数不要出错． 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵，, ∴，解得∴，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，∴．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和；数列的求和．【易错点睛】利用裂项相消法求和的注意事项：（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；（2）将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．2.（本小题满分10分） 在中，角所对的边分别为．已知，，．（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．试题解析：（Ⅰ）∵∴∵∴由正弦定理得（Ⅱ）∴【考点】正弦定理的应用3.（本小题满分12分）某小型餐馆一天中要购买两种蔬菜，蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元．根据需要，蔬菜至少要买6公斤，蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？【答案】餐馆应购买A蔬菜24公斤，B蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元【解析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后利用线性规划的内容进行图象平移，然后确定目标函数是最值．试题解析：设A蔬菜购买的公斤数x，B蔬菜购买的公斤数y，餐馆加工这两种蔬菜利润为z元．x、y则之间的满足的不等式组为：z=2x+y画出的平面区域如图．∵y=﹣2x+z……… 7分∴z表示过可行域内点斜率为﹣2的一组平行线在y轴上的截距．联立解得，即B（24，4）∴当直线过点B（24，4）时，在y轴上的截距最大，即答：餐馆应购买A蔬菜24公斤，B蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元．【考点】简单的线性规划的应用4.（本小题满分12分）在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求和的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题根据面积公式及所给条件不难得到AB=2AC,结合正弦定理可得；（Ⅱ）设，则在与中，由余弦定理可得AC．试题解析：（Ⅰ）由题由正弦定理可知（II），设，则在与中，由余弦定理可知，，解得即【考点】三角形面积公式；正弦定理；余弦定理5.（本小题满分12分）某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元，已知建筑第1层楼房时，每平方米的建筑费用为920元．为了使该幢楼房每平方米的平均费用最低（费用包括建筑费用和购地费用），应把楼房建成几层？此时平均费用为每平方米多少万元？【答案】10层，此时平均费用为每平方米0．111万元．【解析】第1层楼房每平方米建筑费用为920元，第1层楼房建筑费用为920×1000=920000（元）=92（万元）；楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1000=20000（元）=2（万元）；第x层楼房建筑费用为92+（x-1）×2=2x+90（万元）；建筑第x层楼时，楼房综合费用=建筑总费用（等差数列前n项和）+购地费用，由此可得该楼房总费用为；楼房每平方米的平均费用为，求出最小值即可．试题解析：设建筑楼房为x层，该楼房每平方米的平均费用为万元，由题意知建筑第1层楼房建筑费用为：920×1000=920000（元）=92（万元）楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：20×1000=20000（元）=2（万元）建筑x层楼时，该楼房总费用为则当且仅当10x=，即x=10时，等号成立；答：了使该幢楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼房建成10层，此时平均费用为每平方米0．111万元．【考点】基本不等式的应用【方法点睛】利用基本不等式求解实际应用题的方法：（1）此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．（2）当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．6.（本小题满分14分）已知数列，，其前项和满足,其中．（Ⅰ）设，证明：数列是等差数列；（Ⅱ）设，为数列的前n项和，求证：；（Ⅲ）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）略（Ⅲ）-1【解析】（Ⅰ）由题根据时，，可得，可得，所以是首项为2，公差为1的等差数列，得到；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得，然后根据错位相消法求得；（Ⅲ）由得，即恒成立，讨论得到存在λ=-1，使得对任意，都有成立试题解析：（Ⅰ）当时，，∴当时，，∴，即，∴（常数），又，∴是首项为2，公差为1的等差数列，．（Ⅱ），所以，，相减得，∴．（Ⅲ）由得，，，（i）当n为奇数时，即恒成立，当且仅当n=1时，有最小值为1，；（ii）当n为偶数时，即恒成立，当且仅当n=2时，有最大值-2，．，又λ为非零整数，则λ=-1．综上所述：存在λ=-1，使得对任意，都有成立．【考点】数列递推式；数列的通项与求和；恒成立问。
福建高二高中数学期中考试带答案解析
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.全集，，，则（）A．B．C．D．2.复数，则实数等于（）A．B．C．D．3.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.函数的定义域是（）A．B．C．D．5.已知函数若则的值为（ )A．B．C．或D．或6.已知的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.下列四个函数中，在上为增函数的是（）A．B．C．D．8.已知奇函数满足当时，，则当时，的解析式为（）A．B．C．D．9.已知定义在上的减函数满足，则不等式的解集为（）A．B．C．D．10.已知函数，则下列图象错误的是（ )11.已知，函数，若满足，则下列必为真命题中的是（）A．B．C．D．12.定义在上的函数满足下列三个条件：①；②对任意，都有；③的图像关于轴对称．则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．二、填空题1.集合的子集的个数是个；2.函数时是减函数，则的取值范围是________；3.已知数列为等差数列，且，则__________；4.从甲、乙、丙、丁、戊、已人中选人组成一个辩论赛队，要求满足如下三个条件：①甲、丙两人中至少要选上一人；②乙、戊两人中至少要选上一人；③乙、丙两人中的每一个人都不能与戊同时入选。
如果乙没被选上，则一定入选的两人是__________.三、解答题1.已知在平面直角坐标系中，圆的方程为．以原点为极点，以轴正半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和圆的参数方程；（Ⅱ）求圆上的点到直线的距离的最小值．2.已知函数.（Ⅰ）用分段函数的形式表示该函数；（Ⅱ）在下边所给的坐标系中画出该函数的图象；并根据图象直接写出该函数的定义域、值域、单调区间（不要求证明).3.已知二次函数的图像过。
2023-2024学年福建省福州市福清市高中联合体高二上学期期中质量检测数学试题+答案解析(附后)
2023-2024学年福建省福州市福清市高中联合体高二上学期期中质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，，，则与向量共线的向量的坐标是( )A. B. C. D.2.若直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，则l与所成角为( )A. B. C. 或 D. 或3.已知直线l的斜率为3，且在y轴上的截距为，则l的方程为( )A. B. C. D.4.在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点A到直线的距离为( )A. 1B.C.D.5.已知直线的一个方向向量为，直线：，若，则实数t的值为( )A. 1B.C.D.6.已知直线过定点M，则点M关于直线对称的点的坐标为( )A. B. C. D.7.已知圆心为C的圆经过，两点，且点C在直线上，则此圆的标准方程为( )A. B.C. D.8.已知二面角的大小为，且平面ABC，的面积为4，则的面积为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为，则( )A. 点P到点O的距离是3B. 点P关于x轴对称点的坐标是C. 点P关于点对称的点的坐标是D. 点P关于Oxy平面对称的点的坐标是10.下列说法中正确的是( )A. 若，则和的夹角为锐角B. 若是空间的一个基底，则构成空间的另一个基底C. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面D. 若平面平面，平面的一个法向量为，点，点，且，则与的距离为111.已知圆M：，则( )A. 点在圆M内B. 圆M关于直线对称C. 圆M的半径为D. 直线与圆M相切12.如图，已知正方体的棱长为1，点M为的中点，点P为该正方体的上底面上的动点，则( )A.满足平面的点P的轨迹长度为B. 存在唯一的点P满足C. 满足的点P的轨迹长度为D. 存在点P满足三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省福州市福清市西山高中高二数学上学期期中试卷 文(含解析)
2015-2016学年福建省福州市福清市西山高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于( ) A．B．C．D．2．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于( )A．﹣1 B．1 C．3 D．73．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A．B．＞C．＞0 D．＜04．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定5．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=( ) A．7 B．8 C．15 D．166．不等式组的解集是( )A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜3}7．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则cos（π+B）的值为( )A．﹣B．C．D．8．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( ) A．13项B．12项C．11项D．10项9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为( )A．①② B．③④ C．①③ D．②④10．已知，x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为( )A．B．C．1 D．211．已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+2，若对于n∈N*，都有a n+1＞a n成立，则实数的取值范围( )A．k＞0 B．k＞﹣1 C．k＞﹣2 D．k＞﹣312．在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则( )A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为__________千米．14．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__________．15．若对于任意实数x都会使|x﹣2|+|x﹣1|≥a成立，则实数a的取值范围是__________．16．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则正整数m的值为__________．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对角边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=（1）求sinC的值（2）求△ABC的面积．18．1．某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：甲乙生产能力台时/天产品时间工艺要求制白坯时间 6 12 120油漆时间8 4 64单位利润200 240问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？19．已知等差数列{a n}满足a2=2，a5=8．（1）求{a n}的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{b n}中，b1=1，b2+b3=a4，求{b n}的前n项和T n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}中，公差d=2，且b1+b2+b3=15．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．21．已知等差数列{b n}满足b1=1，b4=7．设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，证明：≤T n ＜．22．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．2015-2016学年福建省福州市福清市西山高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于( ) A．B．C．D．【考点】正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．2．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于( )A．﹣1 B．1 C．3 D．7【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．3．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A．B．＞C．＞0 D．＜0【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式．【分析】利用不等式的基本性质判断每个答案中不等式是否成立，即可得到答案．【解答】解：∵c＜b＜a且ac＜0，∴a＞0，c＜0，∴＞，故A一定成立，∵b2与a2，的大小关系不能确定，∴选项B不一定成立，∴b﹣a＜0，∴，故C一定成立，∵a﹣c＞0，ac＜0，∴＜0，故D一定成立，故选：B【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断．【专题】解三角形．【分析】由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选C【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题5．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=( ) A．7 B．8 C．15 D．16【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】先根据“4a1，2a2，a3成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后根据等比数列的性质用a1、q表示出来代入以上关系式，进而可求出q的值，最后根据等比数列的前n项和公式可得到答案．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列∴，∴，即∴q=2∴S4===15故选C【点评】本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质．属基础题．6．不等式组的解集是( )A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜3}【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；集合思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】分别求出每个不等式的解集，并求出交集，问题得以解决．【解答】解：由|x|﹣1＜0，解得﹣1＜x＜1，由x2﹣3x＜0，解得0＜x＜3，∴不等式组的解集是{x|0＜x＜1}，故选：A．【点评】本题考查了不等式组的解法，关键是求出每个不等式的解集，属于基础题．7．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则cos（π+B）的值为( )A．﹣B．C．D．【考点】余弦定理；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由三角形的三边，利用余弦定理求出cosB的值，利用诱导公式即可得解．【解答】解：∵由AB=5，BC=7，AC=8，根据余弦定理得：cosB==，∴cos（π+B）=﹣cosB=﹣．故选：A．【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式的应用，属于基础题．8．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( ) A．13项B．12项C．11项D．10项【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】先设数列的通项公式为a1q n﹣1，则前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得即a12q n﹣1=2，又根据所有项的积为64，进而求出n．【解答】解析：设数列的通项公式为a1q n﹣1则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n ﹣3，aq n﹣2，a1q n﹣1．1∴前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得：a16q3（n﹣1）=8，即a12q n﹣1=2又a1•a1q•a1q2…a1q n﹣1=64，∴=64，即（a12q n﹣1）n=642，∴2n=642，∴n=12故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为( )A．①② B．③④ C．①③ D．②④【考点】等比关系的确定．【专题】综合题；压轴题．【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知，①=f2（a n+1），故正确；②≠=f2（a n+1），故不正确；③==f2（a n+1），故正确；④f（a n）f（a n+2）=ln|a n|ln|a n+2|≠=f2（a n+1），故不正确；故选C【点评】本题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键．10．已知，x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为( )A．B．C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（1，﹣1），此时z=1×2﹣1=1，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+2，若对于n∈N*，都有a n+1＞a n成立，则实数的取值范围( )A．k＞0 B．k＞﹣1 C．k＞﹣2 D．k＞﹣3【考点】数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵对于n∈N*，都有a n+1＞a n成立，∴（n+1）2+k（n+1）+2＞n2+kn+2，化为k＞﹣（2n+1），∴k＞﹣（2×1+1），即k＞﹣3．故选D．【点评】熟练掌握数列的单调性和一次函数的单调性是解题的关键．12．在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则( )A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】此题新定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y），由题意（x﹣a）⊙（x+a）=（x﹣a）（1﹣x ﹣a），再根据（x﹣a）⊙（x+a）＜1，列出不等式，然后把不等式解出来．【解答】解：∵（x﹣a）⊙（x+a）＜1∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即x2﹣x﹣a2+a+1＞0∵任意实数x成立，故△=1﹣4（﹣a2+a+1）＜0∴，故选C．【点评】此题是一道新定义的题，要遵守命题人定的规则，另外此题主要还是考查一元二次不等式的解法．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得∠ACB，进而表示出AD，进而在Rt△ABD中，表示出AB和AD的关系求得x．【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角，建立方程求得AC．14．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．【专题】综合题；压轴题．【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．15．若对于任意实数x都会使|x﹣2|+|x﹣1|≥a成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1]．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由条件利用绝对值的意义求得|x﹣2|+|x﹣1|的最，小值为1，从而求得实数a的取值范围．【解答】解：|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到1、2对应点的距离之和，它的最小值为1，又对于任意实数x，|x﹣2|+|x﹣1|≥a成立，∴1≥a，故答案为：（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题，属于基础题．16．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则正整数m的值为5．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a m和a m+1的值，进而可得公差d，由通项公式和求和公式可得a1和m的方程组，解方程组可得所求．【解答】解：由题意可得a m=S m﹣S m﹣1=0﹣（﹣2）=2，a m+1=S m+1﹣S m=3﹣0=3，∴等差数列{a n}的公差d=a m+1﹣a m=3﹣2=1，由通项公式可得a m=a1+（m﹣1）d，代入数据可得2=a1+m﹣1，①再由求和公式可得S m=ma1+d，代入数据可得0=ma1+，②联立①②可解得m=5故答案为：5【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及方程组的解法，属中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对角边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=（1）求sinC的值（2）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）运用同角的平方关系和两角和的正弦公式计算即可得到；（2）运用正弦定理和三角形的面积公式计算即可得到．【解答】解：（1）由cosA=，得sinA==，即有sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=；（2）由正弦定理可得，a===，则ABC的面积为S=absinC==．【点评】本题考查正弦定理和面积公式的运用，考查两角和的正弦公式和同角的平方关系的运用，属于基础题．18．1．某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：甲乙生产能力台时/天产品时间工艺要求制白坯时间 6 12 120油漆时间8 4 64单位利润200 240问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【专题】应用题．【分析】设生产甲、乙两种型号的组合柜分别为x个、y个，利润为Z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值，从而求出所求．【解答】解：设生产甲、乙两种型号的组合柜分别为x个、y个，利润为Z元，那么①…目标函数为z=200x+240y…作出二元一次不等式①所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．把z=200x+240y 变形为，得到斜率为，在轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．如图可以看出，当直线经过可行域上A 时，截距最大，即z最大．…解方程组得A的坐标为x=4，y=8 …所以z max=200x+240y=2720．答：该公司每天生产生产甲、乙两种型号的组合柜分别为4个、8个，能够产生最大的利润，最大的利润是2720元．【点评】本题主要考查了简单线性规划的应用，以及平面区域图的画法和二元一次不等式组的解法，属于中档题．19．已知等差数列{a n}满足a2=2，a5=8．（1）求{a n}的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{b n}中，b1=1，b2+b3=a4，求{b n}的前n项和T n．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】综合题．【分析】（1）求{a n}的通项公式，可先由a2=2，a5=8求出公差，再由a n=a5+（n﹣5）d，求出通项公式；（2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q＞0），利用等比数列的通项公式可求首项b1及公比q，代入等比数列的前n项和公式可求Tn．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d∵a2=2，a5=8∴a1+d=2，a1+4d=8解得 a1=0，d=2∴数列{an}的通项公式a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣2（2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q＞0）由（1）知a n=2n﹣2b1=1，b2+b3=a4=6∴q≠1∴q=2或q=﹣3（舍去）∴{b n}的前n项和T n=2n﹣1【点评】等差数列与等比数列的通项公式的求解及前n项和的求解是数列的最基础的考查，是高考中的基础试题，对考生的要求是熟练掌握公式，并能进行一些基本量之间的运算．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}中，公差d=2，且b1+b2+b3=15．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）a n+1=2S n+1⇒a n=2S n﹣1+1（n≥2，n∈N*），两式相减，可得a n+1=3a n（n∈N*），从而可得数列{a n}的通项公式；由等差数列{b n}中，公差d=2，且b1+b2+b3=15可求得{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n•b n=（2n+1）×3n﹣1，利用错位相减法即可求得数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ））∵a n+1=2S n+1（n≥1，n∈N*），∴a n=2S n﹣1+1（n≥2，n∈N*），∴a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2，n∈N*），…2分又a1=1，a2=2a1+1=3，∴a2=3a1，∴a n+1=3a n（n∈N*）．∵a1=1，∴数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n=3n﹣1（n∈N*）…4分∵b1+b2+b3=15，∴b2=5，又d=2，∴b1=b2﹣d=3，…6分∴b n=3+2（n﹣1）=2n+1…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，T n=3×1+5×3+7×32+…+（2n﹣1）×3n﹣2+（2n+1）×3n﹣1，①3T n=3×3+5×32+7×33+…+（2n﹣1）×3n﹣1+（2n+1）×3n，②∴①﹣②得：﹣2T n=3×1+2×3+2×32+…+2×3n﹣1﹣（2n+1）×3n=3+2（3+32+33+…+3n﹣1）﹣（2n+1）×3n=3+2×﹣（2n+1）×3n…10分=﹣2n•3n…11分∴T n=n•3n（n∈N*）…12分【点评】本题考查等比数列关系的确定与等差数列通项公式的应用，突出考查错位相减法求和，考查综合运算与求解能力，属于难题．21．已知等差数列{b n}满足b1=1，b4=7．设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，证明：≤T n ＜．【考点】数列的求和．【专题】证明题；消元法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得b n，可得c n，由裂项相消法和不等式的性质可得．【解答】证明：∵等差数列{b n}满足b1=1，b4=7，∴b n=1+（n﹣1）=2n﹣1，∴c n===（﹣），∴数列{c n}的前n项和为T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）==，∵0＜≤1，∴2＜2+≤3，∴≤＜【点评】本题考查数列求和公式的裂项相消法，涉及不等式的性质，属中档题．22．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用绝对值的意义，|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标，从而得出结论．（2）转化不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≤，利用函数恒成立以及绝对值的几何意义，求出x的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，故不等式|x﹣1|+|x﹣2|≥2的解集为﹛x|x≤或x≥﹜，（2）由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为，故答案为．【点评】本题考查函数恒成立以及绝对值的意义，绝对值不等式的解法，判断数轴上满足|x ﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，是解题的关键．考查转化思想的应用．。
福建高二高中数学期中考试带答案解析
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，，则等于（）A． B． C． D2.复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．B．C．D．3.下面各组函数中为相等函数的是（）A．B．C．D．4.已知集合，，则（）A．B．C．D．5.用反证法证明命题:三角形的内角至少有一个钝角。
假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角6.下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10？B．i＜10?C．i＞20?D．i＜20?7.已知命题P：若则，命题q: 若则。
在命题：①，②③，④中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④8.我校开展研究性学习活动，高二某同学获得一组实验数据如下表：）A. B. C. D.9.如果函数在区间（－∞，3]上单调递减，则实数a满足的条件使（）A．a≤6B．a≥6C．a≥3D．a≥－310.已知命题；命题，则命题的（）是命题.A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件11.下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“使得”的否定是：“均有”D．已知命题，命题，使得．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是．12.下列类比推理的结论不正确的是（）①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；②类比“设等差数列的前项和为，则成等差数列”，得到猜想“设等比数列的前项积为，则成等比数列”；③类比“平面内，同垂直于一直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，同垂直于一直线的两直线相互平行”；④类比“设为圆的直径，为圆上任意一点，直线的斜率存在，则为常数”，得到猜想“设为椭圆的长轴，为椭圆上任意一点，直线的斜率存在，则为常数”.A．①④B．①③C．②③D．②④二、填空题1.设，那么的大小关系是________.2.设函数,若,________.3.已知函数定义域是，则的定义域是 .4.如下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，……，若按此规律继续下去，则 .三、解答题1.复数（），（1），求复数的模；（2）当实数 m为何值时复数为纯虚数；（3）当实数 m为何值时复数在复平面内对应的点在第二象限？2.已知集合．（1）求；（2）3.某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：甲厂：分组[29.86，[29.90，[29.94，[29.98，[30.02，[30.06，[30.10，（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2）由于以上统计数据填下面列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.甲厂乙厂合计4.已知函数（1）画出该函数的图像；（2）求函数的单调区间；（3）设，求在上的最大值.5.已知f（x）是定义在区间［-1，1］上的函数，且f（1）=1，若m,n∈［-1,1］,m-n≠0时，有. （1）判断函数的单调性，需要说明理由：（2）解不等式：；（3）若不等式，求实数的取值范围.福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.若集合，，则等于（）A． B． C． D【答案】C【解析】由题已知，；求它们的交集，则可得：【考点】集合的交集运算。
福建高二高中数学期中考试带答案解析
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合P＝{x|2≤x＜4}，Q＝{x|}，则P∩Q等于（）A．{x|3≤x＜4}B．{x|－3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3}D．{x|2≤x≤3}2.复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．B．C．D．3.设，，则A,B 的大小关系是（）A．B．C．D．4.小明想沏壶茶喝，当时的情况是，开水没有，烧开水需要15分钟，烧开水的壶要洗，需要1分钟，沏茶的壶和茶杯要洗，需2分钟，茶叶已有，取茶叶需1分钟，沏茶也需1分钟，小明要喝到自己所沏的茶至少需要花的时间为（）A．16分钟B．19分钟C．20分钟D．17分钟5.《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A．合情推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理6.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根7.已知x，y之间的一组数据如下表：）A．y＝x＋1B．y＝2x－1C．y＝x－D．y＝x8.执行如图所示的程序框图,则输出的k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69.函数f （x ）＝的定义域为（ ）A ．B ．C ．（2，＋∞）D ．10.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y ）的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解（x,y ）的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解（x,y ）的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解（x,y ）的个数为（ ） A ．76 B ．80 C ．86 D ．9211.已知命题：函数是奇函数；命题，则下列判断正确的是（ ）A ．是假命题B ．是真命题C ．是真命题D ．是真命题12.对任意,的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．13.已知抛物线y 2=4x,过点P （4,0）的直线与抛物线相交于A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）两点，则y 12+y 22的最小值是（ ） A ．8 B ．32 C ．16 D ．14.设的定义域为D ，若满足条件:存在,使在上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则t 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题1.已知复数满足，那么___.2.函数在区间上具有单调性，则a的取值范围是．3.已知，若存在，满足,则称是的一个“友好”三角形,若等腰存在“友好”三角形，则其顶角的度数为___.4.对于等差数列有如下命题：“若是等差数列，，是互不相等的正整数，则有”．类比此命题，给出等比数列相应的一个正确命题是：“若是等比数列，，是互不相等的正整数，则有”．5.已知，则的最小值为________．6.若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）＝，则＝______．三、解答题1.设复数满足，且是纯虚数，求．2.已知命题，，若是的充分不必要条件，求的取值范围．3.2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，有关数据见表1（单位：人）．核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表（表2）．表1（1）求研究小组的总人数；（2）写出表2中A、B、C、D、E的值，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关．4.已知函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若存在满足，求的取值范围.5.设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中e为自然对数的底数.（Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，；（Ⅱ）若关于x的不等式2mf（x）≤在（0，＋∞）上恒成立，求实数m的取值范围．福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.若集合P＝{x|2≤x＜4}，Q＝{x|}，则P∩Q等于（）A．{x|3≤x＜4}B．{x|－3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3}D．{x|2≤x≤3}【答案】A【解析】因或,故,选A.【考点】集合的运算.2.复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,故应选D.【考点】复数的运算.3.设，，则A,B 的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因,故,所以应选B.【考点】不等式的性质.4.小明想沏壶茶喝，当时的情况是，开水没有，烧开水需要15分钟，烧开水的壶要洗，需要1分钟，沏茶的壶和茶杯要洗，需2分钟，茶叶已有，取茶叶需1分钟，沏茶也需1分钟，小明要喝到自己所沏的茶至少需要花的时间为（）A．16分钟B．19分钟C．20分钟D．17分钟【答案】D【解析】因洗沏茶的壶和茶杯的分钟可以在烧水的时候做,取茶也可以与烧水同步,故至少需分钟就可以了,故应选D.【考点】算法及运用.5.《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A．合情推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理【答案】D【解析】因推理的格式符合三段论的形式,故是演绎推理,故应选D.【考点】推理的形式.6.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根【答案】A【解析】因至少有一个实数根的反面是无实数根,故应选A.【考点】反证法及运用.7.已知x，y之间的一组数据如下表：对于表中数据则根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是（）A．y＝x＋1B．y＝2x－1C．y＝x－D．y＝x【答案】C【解析】因,通过计算可知拟合程度最好的是直线,故应选C.【考点】线性回归方程及运用.8.执行如图所示的程序框图,则输出的k的值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】当时,继续运行；当时,继续运行；当时,继续运行；当时,继续运行；故当时,停止运行,输出,应选C.【考点】算法流程图的理解和识读.9.函数f（x）＝的定义域为（）A．B．C．（2，＋∞）D．【答案】A【解析】因,故,由对数函数的性质可得,故应选A.【考点】对数不等式的解法.10.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解（x,y）的个数为（）A．76B．80C．86D．92【答案】B【解析】因时,整数解的个数为,故当时,整数点的个数是,应选B.【考点】归纳推理及运算.【易错点晴】解答本题的关键是探寻出整数解的个数的表达式所存在的规律,这是进行归纳猜想的合情推理的基础,也是进行归纳、猜想的阶梯.本题的解答过程是通过对方程的整数解的个数的数字分析探究,不难发现当时,整数解的个数为,这说明个数的都是项数的四倍,即方程的整数解的个数的通项是,再取,就获得答案.运用数学的归纳法进行猜想时,一定要列举一些事实之后,当然这一猜想是有基础的,那就是对以上几个特殊值的归纳的结果.11.已知命题：函数是奇函数；命题，则下列判断正确的是（）A．是假命题B．是真命题C．是真命题D．是真命题【答案】C【解析】因,故是奇函数,命题真；由于,则,所以命题是假的,所以应选C.【考点】命题及复合命题的真假的判定.12.对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因（当且仅当时取等号）,故,应选C.【考点】绝对值不等式的几何意义及应用.13.已知抛物线y 2=4x,过点P （4,0）的直线与抛物线相交于A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）两点，则y 12+y 22的最小值是（ ） A ．8 B ．32 C ．16 D ．【答案】B 【解析】因,代入化简整理得:,故,由基本不等式可得,故应选B.【考点】直线与抛物线的位置关系及基本不等式的灵活运用. 14.设的定义域为D ，若满足条件:存在,使在上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则t 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题设函数的定义域是,则其值域是,由于函数在上是单调递减函数,所以,即；同理可得,由此可知方程有两个不等是实数根.令,则,则问题转化为函数和有两个不同的交点问题.而函数的最大值为,结合图象可知时,两函数的图象有两个不同的交点,故应选D.【考点】函数与方程思想、转化化归思想和数形结合思想的综合运用.【易错点晴】本题以新定义的缩倍函数为背景设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围的问题.解答本题的关键是深刻理解缩倍函数的定义的内涵,探寻题设中提供的参数合之间的数量关系,抽象概括其间的内在联系和规律,为问题的求解打开突破口.求解时借助题设条件和新定义的信息,运用分析判断的思维方式,抽象概括从而将问题转化为求函数函数和有两个不同的交点的前提下参数的取值范围,通过求函数的值域使本题获解.二、填空题1.已知复数满足，那么___.【答案】 【解析】因,故应填.【考点】复数及运算．2.函数在区间上具有单调性，则a 的取值范围是 ．【答案】【解析】因二次函数的对称轴为,所以当或时,二次函数在区间上单调.【考点】二次函数的图象和性质．3.已知，若存在，满足,则称是的一个“友好”三角形,若等腰存在“友好”三角形，则其顶角的度数为___.【答案】【解析】设顶角为,则由定义可得且,即,故.【考点】逻辑推理及运用．【易错点晴】本题以三角形的内角之间的正弦余弦的关系为前提定义了一个友好三角形的新概念和新的信息.解答本题时充分依据题设中提供的这一新的信息和概念,进行合理的推理和分析探究,最终使得问题巧妙获解.求解本题的关键是探寻出等腰三角形的顶角和底角与友好三角形的顶角和底角之间的关系且,借助三角形的内角和为,求出了即,故.4.对于等差数列有如下命题：“若是等差数列，，是互不相等的正整数，则有”．类比此命题，给出等比数列相应的一个正确命题是：“若是等比数列，，是互不相等的正整数，则有”．【答案】【解析】由类比推理的格式可知,等差数列是差,则等比数列是比,等差数列的差是,则等比数列的商是,故应填答案.【考点】类比推理及运用．【易错点晴】本题是一道合情推理中的类比推理题,类比的内容是等差数列与等比数列的之间的类比.所谓类比推理是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的推理方法.本题的解答就是借助等差和等比数列之间的这种相似进行类比推理的.解答时将差与比进行类比,将零与进行类比,从而使得问题巧妙获解.当然这需要对类比的内涵具有较为深刻的理解和把握.5.已知，则的最小值为________．【答案】【解析】因，故,由于该函数是开口向上的抛物线,因此当，函数取最小值为.【考点】二次函数的图象和性质．【易错点晴】本题表面上是一道求二元函数的最值问题,解答时充分借助题设条件中的,运用消元的思想,将两个变量变为一个变量,即利用消去未知数,将问题转化为求二次函数的最小值的问题,求解时直接将对称轴代入函数的解析式中可得,故所求最小值为.6.若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）＝，则＝______．【答案】【解析】因，故，，故.【考点】分段函数的图象和性质的综合运用．三、解答题1.设复数满足，且是纯虚数，求．【答案】或.【解析】试题分析:借助题设条件建立方程组求解.试题解析:设,由得；是纯虚数，则或【考点】复数的有关概念和运算．2.已知命题，，若是的充分不必要条件，求的取值范围．【答案】.【解析】借助题设条件建立不等式组求解.试题解析:由记A={x|x＞10或x＜-2},q:解得或1-a,记B={x|1+a或}.而p∴A B,即∴.【考点】充分必要条件及运用．3.2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，有关数据见表1（单位：人）．核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表（表2）．表1相关人员数抽取人数（2）写出表2中A、B、C、D、E的值，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关．【答案】（1）；（2）能在犯错误的概率不超过的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关.【解析】（1）依据题设条件建立方程求解；（2）借助题设条件运用独立性检验的卡方系数进行推断.试题解析:（1）依题意知＝＝，解得y＝4，x＝2.所以研究小组的总人数为2＋4＋6＝12.（2）根据列联表特点得A＝20，B＝50，C＝80，D＝30，E＝110.可求得χ2＝≈7.486＞6.635所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关【考点】正弦余弦定理及三角形面积公式的运用．4.已知函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若存在满足，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先去掉绝对值化为一次不等式求解；（Ⅱ）借助题设条件运用绝对值的几何意义求解.试题解析（Ⅰ）当时，.由得.当时，不等式等价于，所以；当时，不等式等价于，当时，不等式等价于，所以.所以原不等式的解集为（Ⅱ）因为原命题等价于，所以，所以为所求实数的取值范围.【考点】绝对值不等式及综合运用．【易错点晴】绝对值不等式一直是高中数学内容的难点之一.解答本题的关键是如何去掉函数解析式中的绝对值符号将其转化为普通的函数的形式,也是解答好本题的关键.求解过程中充分依据题设条件,运用绝对值的定义和几何意义,从而使得问题的解答简捷明快.求解第一问时,运用绝对值的定义将不等式化为整式形式的一元一次不等式,需要注意的是不要忘记讨论时的前提条件,这是解答这类问题的容易出错的地方.第二问中的不等式恒成立问题是巧妙地借助绝对值的几何意义从而使得问题的解答简捷巧妙独辟歧径.5.设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中e为自然对数的底数.（Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，；（Ⅱ）若关于x的不等式2mf（x）≤在（0，＋∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ），，证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）运用基本不等式推证即可；（Ⅱ）借助题设条件运用换元法将不等式问题转化为函数的最大值问题来求解.试题解析（Ⅰ），.证明：当时，，，故又由基本不等式，有，即（Ⅱ）由条件知 m（e x－e－x＋1）≤e－x－1在（0，＋∞）上恒成立．令 t＝e x（x＞0），则 t＞1，因为在R上为增函数，所以，所以m≤－＝－对任意 t＞1成立．因为,所以，=－当且仅当 t＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．因此实数 m 的取值范围是【考点】函数的奇偶性和基本不等式的运用．【易错点晴】函数的单调性、奇偶性和对称性等基本性质是函数的表达式和图象在平面直角坐标系中的反映和再现.借助这些性质可以推证和研究许多与函数有关的问题.本题在解答时充分依据题设条件,巧妙运用函数的奇偶性这一性质,求出了函数的解析表达式.然后运用指数函数和基本不等式证明了的结论；第二问中设置了不等式恒成立的情境下,求参变量的取值范围问题,求解时依据题设将其参变量分离出来,使其等价转化求构造函数的最小值问题.从而使得问题简捷巧妙地获解.。
福建高二高中数学期中考试带答案解析
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的共轭复数是（***）A．B．C．D．2.曲线y=在点（1，1）处切线的倾斜角为（***）A．0°B．45°C．90°D．135°3.有一段演绎推理：“因为对数函数是减函数；已知是对数函数，所以是减函数”，结论显然是错误的，这是因为（***）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误4.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（***）A．1B．C．D．5.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都是偶数”，正确的反设为（***）A．都是奇数B．中至多有一个是奇数C．中至少有一个是奇数D．中恰有一个是奇数6.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是（***）A．B．C．D．7.设是函数的导函数, 的图象如右图所示,则的图象最有可能是下图中的（***）A B C D8.函数的单调递增区间是（***）A．B．C．D．9.已知复数且，则的最小值是（***）A．B．C．D．10.若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（***）A．B．C．D．11.设、是两个非空集合，定义.若，，则中的元素个数有（***）A．4个B．7个C．12个D．16个12.如图，记曲线与直线围成的封闭区域为S，若随机地撒1000颗豆子在矩形ABCD中，则区域S中的豆子数最有可能是（***）K^S*5U.C#OA．888颗B．667颗C．446颗D．225颗二、填空题1.若复数为纯虚数，其中m∈R，i为虚数单位，则m= *** ；2.一辆汽车沿直线轨道前进，若司机踩刹车后汽车速度（单位：米/秒），则汽车刹车后前进 *** 米才停车；3.观察以下不等式可以归纳出对大于1的正整数n成立的一个不等式，则不等式右端的表达式应为 *** .4.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 *** .（用数字回答）K^S*5U.C#O5.若数列{} (n∈N)是等差数列,则通项为b=(n∈N)的数列也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{}是等比数列,且＞0(n∈N)，则通项为= *** (n∈N)的数列也是等比数列。
福建省福清西山学校高中部2019-2020学年高二数学上学期期中试题【含答案】
2 2 + 2−2
k=
=22
可得 PA 的斜率为
2 + 1− 2
，---10
则直线 l 的方程为 y−2 = 2 2(x− 2)，-----11
即为 y = 2 2x−2．-----12
21（12 分） (1) 因为 侧棱CC1 ⊥ 底面A1B1C1D1，B1C1 ⊂ 平面A1B1C1D1， 所以 CC1 ⊥ B1C1．-----1 经计算可得 B1E = 5，B1C1 = 2，EC1 = 3， 从而 B1E2 = B1C21 + EC21． 所以在 △ B1EC1 中，B1C1 ⊥ C1E，-----2 又 CC1 ⊂ 平面CC1E,C1E ⊂ 平面CC1E，CC1 ∩ C1E = C1，-----3 所以 B1C1 ⊥ 平面CC1E，----4 又 CE ⊂ 平面CC1E，故 B1C1 ⊥ CE．---5
D. △ ABC 为直角三角形的充要条件是 AB ⋅ AC = 0
5.
曲线
y
=
1x2 4
与
x2
+
y2
=
5
的交点是
( )
A. (2,1) ( ± 2 2,5)
B. ( ± 2,1)
C. (2,1) 或 (2 5,5)
D. ( ± 2,1) 或
∣ ∣1 1
6.
设
x
∈
R，则“x3
<
x− 1”是“ 2
< 2”的 ( )
.
x2−y2 = 1
16. 经过点 M(2,1) 作直线 l 交双曲线 2
于 A，B 两点，且 M 为 AB 的中点，则直线
l 的方程为
．
三、解答题（共 6 小题；共 70 分）
福建省福州市高二数学上学期期中试题(有答案)
福建省福州市高二数学上学期期中试题（完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．） 1、若数列的前4项分别是1111,,,2345--，则此数列的一个通项公式为（ ）A.1(1)1n n +-+B.(1)1n n -+C.(1)n n -D.1(1)n n--2、下列选项中正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，c d <，则a bc d> C ．若a b >，c d >，则a c b d ->- D ．若0ab >，a b >，则11a b< 3、不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为φ，那么 （ ）A. 0,0a <∆≥B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≤D. 0,0a >∆> 4、已知等差数列｛n a ｝满足,0101321=++++a a a a 则有（ ） 57.0.0.0.5199310021011==+<+>+a D a a C a a B a a A5、在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．06030或 B ．06045或 C ．060120或 D ．015030或 6、若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段 （ ） A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形 7、下列函数中，y 的最小值为2的是（ ）A.1y xx =+B.1(0)y x x x =+>C. 4(0)y x x x =+>D.y =8、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123=S ，606=S ，则9S =( )A ．192 B.300 C.252 D.3609、ABC ∆错误！未找到引用源。
福建高二高中数学期中考试带答案解析
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.是的共轭复数，若为虚数单位) ，则=（）A．B．C．D．2.若,则的解集为（）A．B．C．D．3.下列命题中正确的是（）A．复数与相等的充要条件是且B．任何复数都不能比较大小C．若则D．若，则或4.数列，…, 的前项的和等于（）A．B．C．D．5.对一切实数,不等式恒成立, 则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．C．D．7.已知函数，若在区间上单调递增减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.三次函数当时有极大值，当时有极小值，且函数过原点，则此函数是（）A．B．C．D．9.若是正实数，则的最小值（）A．B．C．D．10.复数满足方程那么在复平面内对应的点组成的图形为（）A．以为圆心，以为半径的圆B．以为圆心，以为半径的圆C．以为圆心，以为半径的圆D．以为圆心，以为半径的圆11.定义在上的函数满足其导函数满足则下列结论一定错误的是（）A．B．C．D．二、填空题1.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为．2.已知若则的表达式为．3.定积分．4.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为令则的值为．三、解答题1.已知求证：2.请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设.（1）某广告商要求包装盒侧面积最大，试问应取何值？（2）某广告商要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.3.求同时满足下列条件的所有复数.（1）是实数，且；（2）的实部和虚部都是整数.4.设函数其中（1）讨论在其定义域上的单调性；（2）当时，求取得最大值和最小值的的值.5.已知数列满足.（1）求；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.6.设函数（1）证明：在上单调递减，在上单调递增；（2）若对于任意，都有求的取值范围.福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.是的共轭复数，若为虚数单位) ，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据共轭复数的定义：两复数实部相同，虚部互为相反数。
福建省福清西山学校高中部2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
福建省福清西山学校高中部2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题p ：“∀x ∈（-∞，0），3x ≥4x ”的否定￢p 为（ ） A ．(),0x ∀∈-∞,34x x < B ．(),0x ∀∈-∞,34x x ≤ C ．()000,0,34xxx ∃∈-∞<D ．()000,0,34xxx ∃∈-∞≤2．已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，焦距等于6，离心率等于35，则此椭圆的方程是（ ）A ．22110036x y +=B ．22110064x y +=C ．2212516x y +=D ．221259x y +=3．已知向量()()()231203002a b c =-==，，，，，，，，，则()a b c ⋅+=（ ） A ．6B ．7C ．9D ．134．以下四个命题中正确的是（ ） A ．若1123OP OA OB =-，则P A B ，，三点共线 B ．若{}a b c ，，为空间的一个基底，则{}a b b c c a +++，，构成空间的另一个基底 C ．()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅D ．ABC 为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅= 5．曲线214y x =与225x y +=的交点是（ ）A ．()21，B ．()21±，C ．()21，或()D ．()21±，或()±6．设x ∈R ，则“31x <”是“1122x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若直线y kx =与双曲线22194x y-=相交，则k 的取值范围是( )A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,03⎛⎫-⎪⎝⎭C ．22,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．设直线220l x y +-=：与椭圆2214y x +=的交点为A B ，，点P 为椭圆上的动点，则使PAB △的面积为12的点P 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．设()()22644u t v =-=-，，，，，分别是平面αβ，的法向量.若αβ⊥，则t 等于（ ） A ．3B ．4C ．5D ．610．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=11．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点A （0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A B ．3 C D ．9212．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F cF c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2C 1D 1二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.14．设向量a 与b 互相垂直，向量c 与它们构成的角都是60，且5,3,8a b c ===，那么()()332a c b a +⋅-=__________.15．设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．16．经过点()21M ，作直线l 交双曲线2212y x -=于A B ，两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为__________.三、解答题17．（1）已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程； （2）已知双曲线的渐近线方程为34y x ，准线方程为165x =±，求该双曲线的标准方程.18．已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．19．在平面直角坐标系xOy 中，()()3030A B -，，，，动点P 满足10PA PB +=，设动点P 的轨迹为C . （1）求轨迹C 的方程；（2）若C 上有一点M 满足30AMB ∠=，求MAB △的面积.20．过双曲线2214y x -=的右支上的一点P 作一直线l 与两渐近线交于,A B 两点，其中P 是AB 的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P 坐标为()02x ，时，求直线l 的方程； 21．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面1,//,,1,2ABCD AB DC AB AD AD CD AA AB ⊥====,E 为棱1AA 的中点.（1）证明：11B C CE ⊥；（2）求二面角11B CE C --的正弦值.22．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值．参考答案1．C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【详解】命题是全称命题,则p ⌝：()000,0,34xxx ∃∈-∞＜,故选C 【点睛】本题考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键 2．C 【解析】 【分析】根据焦距可得3c =，再由35c e a ==，可得5a =，由222b a c =-即可求解. 【详解】由题意可得26c =，解得3c =， 又35c e a ==，可得5a =， ∴22225916b a c =-=-=，焦点在x 轴上，∴椭圆的方程是2212516x y +=.故选：C 【点睛】本题考查了由椭圆的焦距、离心率求椭圆的标准方程，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 3．C 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算即可计算求得结果. 【详解】由()()()231203002a b c =-==，，，，，，，，， ()2,0,5b c ∴+=，()()2230159a b c ∴⋅+=⨯+-⨯+⨯=，故选：C. 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及到加法运算和数量积运算，属于容易题. 4．B 【解析】 【分析】对于A ：P ，A ，B 三点共线时，(1)OP OA OB λμλμ=++=，故A 不正确；对于B ：,,a b b c c a +++不共线，所以 {,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故B 正确；对于C ：假设()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，不妨设(),a b m b c n ⋅==，则mc na =，因为向量,a c 不一定共线，故C 不正确；对于D ，·0AB AC =时，A ∠为直角，反之也可以是B ，C ∠为直角，故D 不正确. 【详解】对于A ：P ，A ，B 三点共线时，(1)OP OA OB λμλμ=++=，1123OP OA OB =-，P ∴，A ，B 三点共线不成立，故A 不正确；对于B ：若{,,}a b c 为空间的一个基底， 则,,a b c 不共线，∴,,a b b c c a +++不共线，∴{,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故B 正确；对于C ：假设()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅， 不妨设(),a b m b c n ⋅==， 则mc na =，因为向量,a c 不一定共线，故C 不正确； 对于D ，·0AB AC =时，A ∠为直角，故ABC 为直角三角形，反之也可以是B ，C ∠为直角， 故D 不正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查向量共线的条件，考查向量的数量积的计算，考查充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．属于较易题. 5．B 【解析】 【分析】直接联立方程组求解即可. 【详解】由222145y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 可得21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=⎩，故选：B. 【点睛】本题主要考查了求曲线的交点问题.属于容易题. 6．B 【解析】 【分析】分别求解三次不等式和绝对值不等式确定x 的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】 由31x <可得1x <， 由1122x -<可得01x <<， 据此可知“31x <”是“1122x -<”的必要而不充分条件. 故选B . 【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．C 【解析】 【分析】联立直线和双曲线的方程得到2236049x k=>-，即得k 的取值范围. 【详解】联立直线和双曲线的方程得222224936,49)36,x k x k x -=∴-=（ 当2490-=k ，即23k =±时，直线和双曲线的渐近线重合， 所以直线与双曲线没有公共点. 当2490k -≠，即23k ≠±时，2236049x k =>-， 解之得2233k -<<. 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 8．B 【解析】【分析】先求交点A,B 得AB =l 平行且与椭圆相切的直线方程，最后根据两直线距离判定点P 的个数. 【详解】由题意知，直线l 恰好经过椭圆的两个顶点()1,0，()0,2，故AB =， 若PAB △的面积为12，则1221h =（h 为AB 边上的高）， 所以h =联立2y x m =-+与椭圆方程2214y x +=，得228440x mx m -+-=． 令0∆=，得m =±即当直线l 平移到直线2y x =-+或2y x =-- 与椭圆相切，它们与直线l 的距离d =d =当d =>2个点符合要求；当d =<，没有满足题意的点； 所以一共有2个点符合要求． 故选：B. 【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系以及两平行直线距离公式，考查基本分析求解能力，属于中档题. 9．C 【解析】 【分析】根据向量垂直，数量积等于零即可求解. 【详解】因为αβ⊥，则()262440u v t ⋅=-⨯+⨯-+=， 所以5t =. 故选：C 【点睛】本题考查了空间向量垂值求参数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 10．B 【解析】 【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 11．A 【解析】试题分析：由题意，设P 在抛物线准线的投影为P '，抛物线的焦点为F ，则1(,0)2F ，根据抛物线的定义可知点P 到该抛物线的准线的距离为PP PF '=,则点P 到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和d PF PA AF =+≥==A. 考点：抛物线的定义及其简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义及其简单的几何性质，其中解答中涉及到抛物线的标准方程、抛物线的焦点坐标和准线方程，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中熟练掌握抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离四解答的关键.12．C 【解析】 【分析】由题意可知(),2c c 在双曲线上，代入双曲线方程可得2222241c c a c a --=，即可求解. 【详解】根据题意可知(),2c c 在双曲线上，所以222241c c a b -=，即2222241c c a c a --=， 所以222141e e e --=，整理可得42610e e -+=，（1e >），解得23e =+23e =-即1e =.故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.13．y =. 【解析】 【分析】根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案. 【详解】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =. 【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 14．62- 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积公式代入求解即可. 【详解】由已知条件可得：0,cos6020,cos6012a b a c a c b c b c ⋅=⋅=︒=⋅=︒=，故()()()23323296a c b a a b ab c a c +⋅-=⋅-+⋅-⋅022*********=-⨯+⨯-⨯=-.故答案为：62-. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式.属于较易题. 15．(x -1)2+y 2=4. 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果. 【详解】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4. 【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16．470x y --= 【解析】【分析】设点()11A x y ，，点()22B x y ，，代入双曲线方程，两式作差，利用中点坐标公式求出直线的斜率，根据点斜式即可求解. 【详解】设点()11A x y ，，点()22B x y ，，()00M x y ，，则221122x y -=，① 222222x y -=，②-①②得()()()()1212121220x x x x y y y y +--+-=， 1200122220y y x y x x -⨯-=-， 所以820k -=， 所以4k =，所以()142y x -=-，所以直线l 的方程为470x y --=. 故答案为：470x y --= 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，考查了“设而不求”的思想，属于基础题.17．（1）22143x y +=；（2）221169x y -=. 【解析】 【分析】（1）由题意可得21a c ==，，再由222b a c =-即可求解.（2）由准线方程可得焦点在x 上，再由234165b a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，解出,,a b c 即可求解.【详解】（1）设椭圆的标准方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意得21a c ==⇒，2223b a c =-=，所以所求椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）由题意知双曲线标准方程为22221x y a b-=，所以234165b a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，又222c a b =+， 解得43a b ==，，所以所求双曲线标准方程为221169x y -=. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、双曲线的标准方程，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 18．（1）12870x y --=；（2）3. 【解析】 【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+=联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.19．（1）2212516x y +=；（2）(162-.【解析】 【分析】（1）利用椭圆定义得动点P 的轨迹是以A B ，为焦点，长轴长为10的椭圆，求出,,a b c 即可得出结果；（2）在MAB △中，利用余弦定理得到(642MA MB ⋅=∣∣∣∣，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由椭圆定义得动点P 的轨迹是以A B ，为焦点，长轴长为10的椭圆，设轨迹C 的方程为22221x y a b+=，则534a c b ====，，，所以轨迹C 的方程为2212516x y +=. （2）在MAB △中，由余弦定理得2222AB MA MB MA MB cos AMB =+-⋅∠∣∣∣∣∣∣∣∣，即2236MA MB MA MB =+⋅，()22MA MB MA MB MA MB =+-⋅⋅∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣， 因为10MA MB +=∣∣∣∣，所以361002MA MB MA MB =-⋅⋅∣∣∣∣∣∣∣，解得(642MA MB ⋅=∣∣∣∣，所以MAB △的面积(11622MABS MA MB sin AMB =⋅∠=-∣∣∣∣. 【点睛】本题主要考查了利用椭圆的定义求解轨迹方程，考查了余弦定理以及三角形的面积公式.属于中档题.20．（1）2y x =±；（2）2y =-. 【解析】 【分析】（1）根据渐近线的方程by x a=±直接求解即可. （2）根据题意求出点P 坐标,再根据中点坐标公式求解,A B 的坐标,进而求得直线l 的斜率,再利用点斜式求解方程即可. 【详解】（1）由双曲线2214y x -=，得1,2a b ==，可得双曲线的渐近线方程为by x a=±， 即为2y x =±；（2）令2y =可得204124x =+=，解得0x =(负的舍去)，则P 坐标为)时设()()22A m m B n n -，，，， 由P 为AB 的中点，可得24m n m n +=-=，解得11m n ==，，即有)12A+，可得PA 的斜率为k ==则直线l 的方程为2y x -=，即为2y =-. 【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程以及利用双曲线上的点的坐标求解直线的方程，需要根据题意设对应的点的坐标，列出关系式，再根据双曲线上的点满足双曲线的方法代入求解.属于中档题.21．(1)证明见解析；(2)7. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得：()()()()()()110,0,0,0,0,2,1,0,10,2,2,1,2,1,0,1,0A B C B C E（1）易得()()111,0,1,1,1,1CE B C =-=--,则110B C CE ⋅=,11.B C CE ⊥ （2）由题意可得平面1B CE 的一个法向量()3,2,1m =--，平面1CEC 的一个法向量为()111,0,1B C =-，则111111,m B C cos m B C mB C ⋅=-⋅><=,故二面角11B CE C --的正弦值 试题解析：如图所示，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得()()()()()()110,0,0,0,0,2,1,0,10,2,2,1,2,1,0,1,0A B C B C E ，，（1）证明：易得()()111,0,1,1,1,1CE B C =-=--,于是110B C CE ⋅=, 所以11.B C CE ⊥（2）()11,2,1B C =--,设平面1B CE 的一个法向量(),,m x y z =，则100m B C m CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即20x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩消去x ，得20y z +=，不妨令1z =，所以平面1B CE 的一个法向量为()3,2,1m =--由（1）知，11,B C CE ⊥又11111,,,CC B C CE CC C CE CC ⊥⋂=⊂平面1CEC ， 所以11B C ⊥平面1CEC ，故()111,0,1B C =-为平面1CEC 的一个法向量，于是111111,14m B C cos m B C m B C ⋅<===>⋅,从而1121,.sin m B C ><=所以二面角11B CE C --22．（1）见解析；（2）5. 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线和11//A D B C 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB 中点F ，可证得DF ⊥平面1AMA ，得到平面1AMA 的法向量DF ；再通过向量法求得平面1MA N 的法向量n ，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值. 【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C =//ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O =，11111A C B D O ⋂=由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD四边形ABCD 为菱形 AC BD ∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：)A ，()0,1,2M ，)14A ，D （0，-1,0）1,,222N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF ，则1,022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠= BAD ∴∆为等边三角形 DFAB ∴⊥ 又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD 1DF AA ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMADF ∴为平面1AMA 的一个法向量，且33,02DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =，又()13,1,2MA =-，33,022MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭132033022nMA x y z n MN x y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令x =1y =，1z =- ()3,1,1n ∴=- cos ,15DF n DF n DF n ⋅∴<>===⋅ 10sin ,DF n ∴<>= ∴二面角1A MA N --【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.。
福建高二高中数学期中考试带答案解析
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设，，则S与的大小关系是A．B．C．D．2.在中，角C为最大角，且，则是A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．形状不确定3.等差数列中，若，则等于A．3B．4C．5D．64.不等式的解集是A．B．C．D．或或5.(文)点(3,1)和点(-4,6)在直线两侧，则的范围是A．B．C．D．6.(理)若点在直线的左上方，则实数的取值范围是A．B．C．D．或7.数列中，，则使前n项和取得最小值的n的值为A．52B．53C．54D．52或538.设，且，则四个数，b中最大的是A．B．C．D．9.数列的前项和为,则等于A．B．C．D．10.(文)已知x,y满足线性约束条件，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．11.已知x,y 满足线性约束条件，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．12.某工厂2009年生产某种产品2万件，计划从2010年起每年比上一年增长20%，这个工厂年产量超过12万的最早的一年是(注：lg2=0.3010,lg3=0.4771) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年13.(文)设x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数，如：[π]=3，[-1.2]=,[0.5]=0,则使[x 2-1]=3的x 的取值范围是 A ．[2,） B ．(-,-2] C ．(-,-2] ∪[2,）D ．[-,-2] ∪[2,]14.(理)在R 上定义运算：xy=x(1-y),若不等式（x-a ）(x+a)<1对任意实数x 都成立，则 A ．B ．0<<2C ．D ．15.若关于的不等式内有解，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、填空题1.等比数列中，若，则.2.已知数列｛a n ｝的前n 项和，那么它的通项公式为a n =_________3.已知实数满足则的最大值是_______4.ΔABC 中，3a+b=2c,2a+3b=3c,则sinA:sinB:sinC= .三、解答题1.（本小题12分）已知不等式的解集为（1)求b 和c 的值； (2)求不等式的解集.2.（本小题12分）若不等式对一切恒成立，试确定实数的取值范围．3.（本小题12分）ΔABC 中A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且求：（1）角B 的大小； （2）若，求ΔABC 的面积.4.（本小题12分）等差数列的前项和记为,已知.（1）求数列的通项；（2）若，求；（3）令，求数列的前项和．5.（本小题12分）运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米（单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升2a 元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14a 元.（1）求这次行车总费用关于的表达式；（2）当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值(a为常数) ．6.（本小题14分）某人有楼房一幢，室内面积共计180m2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，每天能获得最大的房租收益？（注：设分割大房间为x间，小房间为y间，每天的房租收益为z元）（1）写出x,y所满足的线性约束条件；（2）写出目标函数的表达式；（3）求x,y各为多少时，每天能获得最大的房租收益？每天能获得最大的房租收益是多少？福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.设，，则S与的大小关系是A．B．C．D．【答案】D【解析】,故应选Ｄ．【考点】本小题考查了作差比较法判断两个数的大小．点评：作差比较的依据为.2.在中，角C为最大角，且，则是A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．形状不确定【答案】B【解析】由余弦定理可知为锐角，又因为Ｃ为最大角，故是锐角三角形.【考点】本小题考查了余弦定理．点评：利用余弦定理判断三角形的形状，研究最大角的余弦值的符号即可判定其形状．易错点：最大角判断错误．3.等差数列中，若，则等于A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】．【考点】考查了等差中项．点评：等差中项：若,则.4.不等式的解集是A．B．C．D．或或【解析】或或【考点】考查了数轴穿根法解高次不等式．点评：解高次不等式一般采用数轴穿根法求解，要注意因式分解，并且把每个因式的x的系数化成正数，这点容易遗忘导致结果错误．5.(文)点(3,1)和点(-4,6)在直线两侧，则的范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知,即.【考点】考查二元一次不等式表示平面区域．点评：知识直线同侧的点不等式的符号相同，在直线两侧的点，不等式的符号异号．6.(理)若点在直线的左上方，则实数的取值范围是A．B．C．D．或【答案】C【解析】因为直线的左上方的点满足不等式,所以,即.【考点】本小题考查了一元二次不等式表示的平面区域．点评：关键是利用特殊点定出可行域对应的不等式是解决此类问题的关键．7.数列中，，则使前n项和取得最小值的n的值为A．52B．53C．54D．52或53【答案】D【解析】由得，所以前n项和取得最小值的n的值为53或52.【考点】等差数列的通项及前n项和公式．的最小值或最大值．也可利用二次函数的性质直接研究Ｓn的最值即可．点评：利用通项根据确定Sn8.设，且，则四个数，b中最大的是A．B．C．D．【答案】D【解析】令,可知最大值为b.【考点】考查了基本不等式以及作差比较等知识．点评：在研究此类小题时要注意此不等式的应用：.9.数列的前项和为,则等于A．B．C．D．【解析】因为.【考点】考查数列裂项求和． 点评：当为等差数列时，此求和一般要考虑裂项求和．10.(文)已知x,y 满足线性约束条件，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】作出不等组表示的可行域可知,选A.【考点】考查了不等组表示的平面区域，以及直线的斜率等知识.点评：作出不等式组表示的可行域是解题的关键，然后要注意目标式子的几何意义.11.已知x,y 满足线性约束条件，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】作出不等组表示的可行域可知表示可行域内的点与P （0，-1）连线的斜率，所以,故选A.【考点】考查了不等组表示的平面区域，以及直线的斜率等知识.点评：作出不等式组表示的可行域是解题的关键，然后要注意目标式子的几何意义.12.某工厂2009年生产某种产品2万件，计划从2010年起每年比上一年增长20%，这个工厂年产量超过12万的最早的一年是(注：lg2=0.3010,lg3=0.4771) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年【答案】B【解析】设a 1为这家工厂2009年生产这种产品的年产量，即a 1=2.并将这家工厂，2010，2011年生产这种产品的年产量分别记为a 2，a 3，根据题意，数列{a n }是一个公比为1、2的等比数列，其通项公式为a n =2×1.2n-1 根据题意，设2×1.2n-1=12两边取常用对数，得lg2+（x-1）lg1.2=lg12．.因为y=2×1.2x 是增函数，现x 取正整数，可知从2019年开始， 这家工厂生产这种产品的产量超过12万台 【考点】数列的应用.点评：解数列应用题关键是看出是哪种数列类型，然后构造相应数列解决即可.13.(文)设x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数，如：[π]=3，[-1.2]=,[0.5]=0,则使[x 2-1]=3的x 的取值范围是 A ．[2,） B ．(-,-2] C ．(-,-2] ∪[2,）D ．[-,-2] ∪[2,]【答案】C【解析】由[x]定义可知,所以x 的取值范围为(-,-2] ∪[2,）.【考点】解一元二次不等式.点评：本小题是新定义的题目，关键是搞清楚[x]中x 的取值范围为.14.(理)在R 上定义运算：x y=x(1-y),若不等式（x-a ）(x+a)<1对任意实数x 都成立，则 A ．B ．0<<2C ．D ．【答案】C【解析】由题意知恒成立，即恒成立，所以.【考点】一元二次不等式恒成立. 点评：本小题关键是搞请楚新运算：x y=x(1-y)，从而把不等式（x-a ）(x+a)<1转化为恒成立问题来解决.15.若关于的不等式内有解，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】不等式内有解等价于,令,所以. 【考点】一元二次不等式的解法以及一元二次函数最值问题. 点评：解本题要注意与不等式恒成立问题的区别.不等式内有解等价于.不等式内恒成立等价于.二、填空题1.等比数列中，若，则.【答案】180 【解析】因为，成等比数列，所以.【考点】等比数列的性质.点评：对于等比数列，连续取m 项和，若每m 项和不等于零，由这些m 项和也成等比数列.2.已知数列｛a n ｝的前n 项和，那么它的通项公式为a n =_________ 【答案】2n 【解析】,所以.【考点】等差数列的前n 项和公式及通项公式.点评：由Sn 求an:.3.已知实数满足则的最大值是_______【答案】7【解析】作出不等式组表示的可行域,当直线z=2x-y经过直线y=3与直线x-y=2的交点（5,3）时，z取得最大值，最大值为7.【考点】线性规则.点评：解决本小题关键是正确作出不等式组表示的可行域，采用直线定界，特殊点定域的方法.同时要注意目标函数中z与直线z=2x-y在y轴上的截距是正相关关系还是负相关关系，从而确定平移方向.4.ΔABC中，3a+b=2c,2a+3b=3c,则sinA:sinB:sinC= .【答案】【解析】由3a+b=2c,2a+3b=3c得.【考点】正弦定理.点评：本小题关键根据3a+b=2c,2a+3b=3c得到a:b:c，然后根据正弦定理可知,问题得解.三、解答题1.（本小题12分）已知不等式的解集为（1)求b和c的值； (2)求不等式的解集.【答案】(1)b=-(2+1)=-3,c=；(2)。
福建高二高中数学期中考试带答案解析
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知命题：，，那么命题为( )A．，B．，C．，D．，2.若，则“”是“”的( ) 条件A．充分而不必要B．必要而不充分C．充要D．既不充分又不必要3.在△中，若，则等于（）A．B．C．D．4.若，且，则在下列四个选项中，最大的是( )A．B．C．D．5.在直角坐标系中，满足不等式的点的集合（用阴影表示）是（）A．B．C．D．6.在首项为57，公差为的等差数列中，最接近零的是第( ) 项.A．14B．13C．12D．117.在等比数列中，（），，，则=（）A．B．C．或D．8.在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为，若角C=120°，，则()A. B.C. D.与的大小关系不能确定9.在数列中，如果存在常数，使得对于任意正整数均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫做数列的周期. 已知数列满足，若，当数列的周期为时，则数列的前2012项的和为（）A．1339 +a B．1341+a C．671 +a D．672+a10.在中，已知，，，P为线段AB上的一点，且.，则的最小值为( )A．B．C．D．二、填空题1.在中，角A、B、C所对的边分别为、、．若，则＝__________.2.在等比数列中，已知，则该数列的前12项的和为 .3.已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．4.如果对于任何实数，不等式都成立，那么实数的取值范围是．5.将给定的25个数排成如图所示的数表，若每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表中所有数之和为50，则表正中间一个数＝________________三、解答题1.(本小题满分13分)在中，分别是角的对边,且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）当时,求面积的最大值,并判断此时的形状．2.(本小题满分13分) 已知等差数列满足：，，的前n项和为．（Ⅰ）求通项公式及前n项和；（Ⅱ）令=(n N*)，求数列的前n项和．3.（本小题满分13分）已知两个集合,命题：实数为小于6的正整数，命题：A是B成立的必要不充分条件.若命题是真命题，求实数的值.4.（本题满分13分）我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD=6，∠ACD=45°,∠ADC=75°, 目标出现于地面点B处时，测得∠BCD=30°，∠BDC=15°(如图），求炮兵阵地到目标的距离.5.（本题满分14分）如图,有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD,在点A处有一个可转动的探照灯,其照射角始终为（其中点P，Q分别在边BC，CD上）,设．（Ⅰ）用t表示出PQ的长度,并探求的周长l是否为定值；（Ⅱ）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域阴影部分的面积S最大为多少（平方百米）?6.（本小题满分14分）已知数列满足，（）.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足（），证明：数列是等差数列；（Ⅲ）证明：（）.福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知命题：，，那么命题为( )A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】因为根据已知条件，可知命题P表示的为，对于任意的X，都有指数函数y=2x都大于零，这个显然是成立的，那么其否定就是将任意改为“存在”，将2x>0,改为2x0,即可。
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解得 ， ， ，
故双曲线的标准方程为 ；
（2）由，
O点到直线l的距离 ，
，
或
或
故所求直线方程为： 或
21．（1）k＜4时，方程表示椭圆，4＜k＜9时，方程表示双曲线（2）k=4（3）双曲线方程为
详解：（1）当且仅当 即 k＜4时，方程表示椭圆；
当且仅当（9﹣k）（4﹣k）＜0，即4＜k＜9时，方程表示双曲线．
A． 的方程为 B． 的离心率为
C． 的渐近线与圆 相切D．满足 的直线 仅有1条
11．已知点 是直线 上一定点，点 ， 是圆 上的动点，若 的最大值为 ，则点 的坐标可以是（）
A． B． C． D．
12．已知双曲线 的离心率为 ，右顶点为 ，以 为圆心， 为半径作圆 ，圆 与双曲线 的一条渐近线交于 ， 两点，则有（ ）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.
20．已知双曲线 ： （ ， ）的离心率为 ，虚轴长为4.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线 ： 与双曲线 相交于 ， 两点， 为坐标原点， 的面积是 ，求直线的方程.
21．已知二次曲线 的方程： ．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
，
圆 的圆心到直线 的距离
，
两圆的公共弦 的长为
19．(1) (2)
解析：
（1） ，2b=4，所以a=4，b=2，c= ，椭圆标准方程为
（2）设以点 为中点的弦与椭圆交于 ，则 ，分别代入椭圆的方程，两式相减得 ，所以 ，所以 ，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为 ，即 ．
20．（1） ；（2） 或
四、解答题
17．已知直线 的方程为 .
（1）求过点 ，且与直线 垂直的直线 方程；
（2）求过 与 的交点 ，且倾斜角是直线 的一半的直线 的方程.
18．已知圆 与 轴相切于点 ，圆心在经过点 与点 的直线 上
（1）求圆 的方程；
（2）若圆 与圆 : 相交于 、 两点，求两圆的公共弦 的长.
19．已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ．
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
二、多选题
9．下列说法正确的是（）
A．方程 表示一条直线B．到x轴的距离为2的点的轨迹方程为
C．方程 表示四个点D． 是 的必要不充分条件
10．在平面直角坐标系 中，动点 与两个定点 和 连线的斜率之积等于 ，记点 的轨迹为曲线 ，直线 ： 与 交于 ， 两点，则（）
（2）对于点 ，是否存在曲线 交直线 于 、 两点，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；
（3）已知 与直线 有公共点，求其中实轴最长的双曲线方程．
22．已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且椭圆 的离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）直线 交椭圆 于 、 两点，线段 的中点为 ，直线 是线段 的垂直平分线，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
A．渐近线方程为 B．渐近线方程为
C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．已知等腰三角形的底边所在直线过点 ，两腰所在的直线为 与 ，则底边所在的直线方程是_____________.
14．已知圆 ，点 ，若在直线 上（ 为坐标原点），存在异于 的定点 ，使得对于圆 上的任意一点 ，都有 为同一常数.则点 的坐标是________.
15．如图，F1、F2是椭圆C1： ＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是___．
16．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，点 为双曲线上一点， ，则双曲线的渐近线方程为___________；若双曲线 的实轴长为4，则 的面积为___________.
福清西山学校高中部2020-2021学年第一学期期中考试
高二数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题
1．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．m＜1B．m＞－1C．－1＜m＜1D．m＞1或m＜－1
2．与直线 垂直于点 的直线的一般方程是 （ ）
A． B． C． D．
福清西山学校高中部2020-2021学年11月份期中高二数学参考答案
1．C2．A3．A4．D5．D6．C7．D8．A9．CD10．AC11．AD12．BC
13． 或
14．
15．
16．
【详解】
双曲线的离心率为 ，所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为： ，
由题意知： ，所以 ， ，
设点 在右支上， ， ，则 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ①，
将 两边同时平方得： ②，
由①②得： ，所以 ，
所以 的面积为 ，
故答案为： ；
17．（1） ；（2） .
解：由题意设直线 为 ，则
，得 ，
所以直线 方程为 ，
（2）由 ，得 ，所以 ，
设直线 的倾斜角为 ，则直线 的倾斜角为 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
解得 或 ，
3．椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．若圆 与圆 的公共弦长为 ，则圆 的半径为（ ）
A． B． C． D．
5．已知过椭圆 的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 为其右焦点，若 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线 的左焦点为 ，圆 的圆心在 轴正半轴，半径为 ，若圆 与双曲线的两条渐近线相切且直线 与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线 的离心率为（）
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即
18．（1） ；（2） .
【详解】
（1）经过点 与点 的直线 的方程为：
，即 ，
由题意可得，圆心在直线 上，
联立 ，解得圆心坐标为 ，
故圆 的半径为 ，
则圆 的方程为 .
（2） 圆 的方程为 ，
即 ，
圆 : ，
两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为：
A． B． C． D．
7．已知双曲线 的右焦点为 ，点 在 的一条渐近线上， 为坐标原点，若 是等边三角形，则 的面积为（）
A． B． C． D．
8．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为 ，则椭圆的面积公式为 .若椭圆 的离心率为 ，面积为 ，则椭圆的 的标准方程为（）