希尔伯特的23个问题-精选教学文档
数学素材：希尔伯特的23个数学问题
希尔伯特的23个数学问题湖南 黄爱民希尔伯特（Hilbert D ，1862．1．23~1943．2．14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一．1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的“希尔伯特23个问题”．这23个问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了二十世纪数学的发展．下面介绍部分问题给同学们．1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设．1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛———弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性．1963年，美国数学家科亨证明连续统假设和策梅洛———弗伦克尔集合论公理是彼此独立的．因此，连续统假设不能在策梅洛———弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否．希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决．2．算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性．希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明．1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法．1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性．1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决．3．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等．M ．W ．德恩1900年即对此问题给出了肯定解答．4．两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般．满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件．1973年，前苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决．《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决．5．物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学．1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化．后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功．但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑．6．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 七次方程的根依赖于3个参数a b c ，，，即()x x a b c ，，．这个函数能否用二元函数表示出来？前苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）．但如果要求是解析函数，则问题尚未解决．7．舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法．希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础．现在已有了一些可计算的方法，但严格的基础迄今仍未确立．8．半正定形式的平方和表示 一个实系数n 元多项式对一切数组12()n x x x L ，，，都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的．9．用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决．。
希尔伯特的23个问题
有很多重要的结果 1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2 的方程具有至少3个成串极限环的实例。 1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下， 与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。 1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限 环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微 分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16） 问题提供了新的途径。
15.舒伯特计数演算的严格基础
一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线， 问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特 给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题 一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可 计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。 但严格的基础至今仍未建立。
16.代数曲线和曲面的拓扑研究
3.两等底等高四面体体积之相 等
只根据合同公理证明等底等高的两个四 面体有相等之体积是不可能的。 问题的意思是：存在两个等高等底的四 面体，它们不可能分解为有限个小四面 体，使这两组四面体彼此全等德思1900 年已解决。
4直线为两点间的最短距离
此问题提的一般。满足此性质的几何很 多，因而需要加以某些限制条件。1973 年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对 称距离情况下，问题获解决。
7.某些数的无理性和超越性
需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数， 那么αβ一定是超越数或至少是无理数。苏联的 盖尔封特1929年、德国的施奈德及西格尔1935 年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论 还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数， 尚无统一的方法。
8.素数问题
素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德 巴赫猜想和孪生素共问题。 素数是一个很古老的研究领域。希尔伯 特在此提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以 及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。
希尔伯特23个问题及解决情况[修订]
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希尔伯特23个问题及解决情况[修订] 希尔伯特23个问题及解决情况1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。
在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想: 正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。
正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。
希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出:“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。
” 同时又指出:“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。
只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。
”他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征:清晰性和易懂性;虽困难但又给人以希望;意义深远。
同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。
就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”。
编号问题推动发展的领域解决的情况1 连续统假设公理化集合论 1963年，Paul J.Cohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。
即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。
2 算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划(“元数学”或“证明论”)但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。
数学的相容性问题至今未解决。
3 两等高等底的四面体体积之相等几何基础这问题很快(1900)即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解答。
4 直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。
希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。
希尔伯特23个问题及解决情况[修订]
希尔伯特23个问题及解决情况[修订] 希尔伯特23个问题及解决情况1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。
在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想: 正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。
正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。
希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出:“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。
” 同时又指出:“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。
只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。
”他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征:清晰性和易懂性;虽困难但又给人以希望;意义深远。
同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。
就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”。
编号问题推动发展的领域解决的情况1 连续统假设公理化集合论 1963年，Paul J.Cohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。
即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。
2 算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划(“元数学”或“证明论”)但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。
数学的相容性问题至今未解决。
3 两等高等底的四面体体积之相等几何基础这问题很快(1900)即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解答。
4 直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。
希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。
希尔伯特的23个问题（互动百科）
希尔伯特的23个问题（互动百科）
希尔伯特的23个问题
开放分类：数学数理逻辑科学自然科学
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1900年，希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了23道最重要的数学问题，这就是著名的希尔伯特的23个问题。
希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。
在许多数学家努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。
希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域，除数学物理外很少涉及应用数学，更不曾预料到电脑发展将对数学的产生重大影响。
20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。
希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题，7-12是数论问题，13-1 8属于代数和几何问题，19-23属于数学分析。
以下列出希尔伯特的23个问题：。
希尔伯特23个数学问题及其解决情况
希尔伯特23个数学问题及其解决情况希尔伯特23个数学问题及其解决情况已有95 次阅读2011-10-3 21:02|个人分类:Mathematics&Statistics|系统分类:科研笔记|关键词:数学世纪亚历山大希尔伯特全世界希尔伯特（HilbertD.，1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。
他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。
希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。
希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。
他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。
1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的“希尔伯特23个问题”。
1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。
当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。
1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。
由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。
下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：（1）康托的连续统基数问题。
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。
1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF 集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科恩（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。
希尔伯特的23个问题教材课程
证明了第一个问题是不可解的.即连续统假设的真伪不可 能在Zermelo_Fraeቤተ መጻሕፍቲ ባይዱkel公理系统内判定
３．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不
可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等.Ｍ· Ｗ·德恩1900年即对此问题给出了肯定解答.
解决的情况 某些数的无理性与超越性 超越数论 1934年
A.O.temohm 和Schneieder各自独立地解决了这问题的后 半部分.
８．素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等.一
般情况下的黎曼猜想仍待解决.哥德巴赫猜想的最佳结果 属于陈景润（１９６６），但离最解决尚有距离.目前孪 生素数问题的最佳结果也属于陈景润.
《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探 讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决.
解决的情况 直线作为两点间最短距离问题 几何基础 这一问题提
得过于一般.希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探 索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展， 但问题并未完全解决.
５．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假 定是可微的
11．系数为任意代数数的二次型 Ｈ·哈塞（１９２９）和Ｃ·Ｌ·西格尔（１９３６
，１９５１）在这个问题上获得重要结果.
解决的情况 系数为任意代数数的二次型 二次型理论 H.Hasse(1929)
和C. L.Siegel(1936,1951)在这问题上获得了重要的结果.
12．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域 上去
经过漫长的努力，这个问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决，答案是肯定的.
希尔伯特23个数学难题
希尔伯特23个数学难题1. 哥德巴赫猜想：任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和。
2. 佩尔方程：找出满足 x² - ny² = 1 的自然数解，其中 n 是一个给定的正整数。
3. 费尔马小定理：如果 p 是一个质数，那么对于任意整数 a，a^p - a 都是 p 的倍数。
4. 黎曼猜想：所有非平凡的自然数零点都位于复平面上的某一直线上，即 "黎曼 Zeta 函数的非平凡零点的实部等于 1/2"。
5. 庞加莱猜想：任何大于1的整数都可以表示成至多四个自然数的平方和。
6. 费马大定理：对于任意大于2的整数 n，方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
7. 罗宾逊算术：是否存在一个算术表达式，可表示为解 x^n + y^n = z^n，其中 n、x、y、z 都是多项式函数？8. 连续平面切片问题：一个单位区间上的无限个单位半径圆，是否一定能够被切割为有限个片，从而使得每个片的周长之和无上限？9. 康托对角线证明了无穷的数量比可数的数量更多，这一论断是否成立？10. 佛馬定理：给定一个序列 a0, a1, a2, ...，是否存在一个多项式 P(x) ，使得对于所有 n，P(n)和 a(n) 在整数环上取得相等的值？11. 黑洞信息悖论：如果一个物体掉入黑洞的话，它的信息会丢失吗？12. 度量空间完备性：对于一个给定的度量空间，是否所有的柯西序列都收敛于该空间的内点？13. 矩阵剖析：对于一个给定的方块矩阵，是否可以逐步剖析为若干个小方块，而每个小方块都可以分解为若干个更小的方块？14. 程序终止：是否存在一个通用的算法，可以判断任意给定程序是否会在有限的步骤内终止？15. 旅行推销员问题：对于给定的城市和距离，是否存在一个最短的闭合路径，使得旅行推销员途经每个城市一次，然后返回起点？16. 负二次定理：是否存在一个实数 a，满足 a * a = -1 ？17. 确定性因素分解：是否存在一个确定性的多项式时间算法，用于将大整数因式分解？18. 最短超球面问题：给定一组点，是否可以找到一个最小的超球面，将这些点全部覆盖？19. 生物学中的形态发生：如何解释、理解和预测生物体的形态发生过程？20. 难以判定的问题：是否存在一个问题，无法通过任何算法，以有限步骤确定其答案的正确性？21. 最大连续子序列和问题：给定一个整数序列，找出具有最大和的连续子序列。
23个问题
一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。
由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。
你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。
不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。
然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。
生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。
这是这种一般现象的一个例子。
与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。
不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。
它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。
二：霍奇(Hodge)猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。
基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。
这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。
不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。
在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。
霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
三：庞加莱(Poincare)猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
希尔伯特的23个问题
04 问题四：物理学的公理基 础
问题的表述
希尔伯特提出的问题四，主要关注物理学的基础公理。他 希望找到一组基本的公理，能够作为物理学理论的基石， 并使得整个物理学理论体系严密、一致和完备。
这个问题涉及到物理学的基本概念和原理，如空间、时间、 物质、力等，以及它们之间的关系和推导。
希尔伯特希望通过公理化方法，将物理学理论建立在坚实 的逻辑基础上，避免理论内部的矛盾和冲突，并使得理论 具有更好的预测和解释能力。
对于一般的域F，克罗内克假设仍然是一个开放的问题。目前的研究主要 集中在代数几何和代数数论领域，通过研究代数曲线、代数曲面和高维 代数簇的几何结构和性质，来探讨克罗内克假设的可能性。
尽管克罗内克假设尚未得到完全解决，但它的研究对于代数几何和代数 数论的发展有着重要的意义，有助于深入理解代数的结构和性质。
问题的研究历史
自希尔伯特提出这个问题以来，许多数学家和物理学家都致力于研究这个问题，尝试建立物理学的基 本公理体系。
20世纪初，德国数学家赫尔曼·外尔和埃米·诺特等人在这方面做出了重要贡献，他们尝试将相对论和量 子力学等现代物理学理论建立在公理基础上。
然而，尽管取得了一些进展，但至今仍未能够完全解决这个问题。许多物理学家认为，完全公理化整个 物理学理论体系可能是不现实的，因为物理学理论的发展和变化是不断进行的。
总结词
希尔伯特问题五至今仍未得到完全解决，尽管已有一些进展和新的观点。
详细描述
近年来，数学界对希尔伯特问题五的关注度有所提高，新的数学工具和技术为解决这个 问题提供了新的可能性。然而，尽管取得了一些进展，但该问题仍未得到完全解决。
06 问题六：数学分析中的形 式主义系统
问题的表述
01
希尔伯特的第六问题询问的是：是否存在一种形式化的、有效 的证明方法，能够确定数学分析中的所有命题的真伪？
希尔伯特的23个数学问题
希尔伯特提出的23个数学问题1.连续统假设1963年，P•科恩（Cohen）在下述意义下证明了该问题不可解：即连续真伪不可能在策梅罗（Zermelo）-弗伦克尔（Fracnkel）公理系统内判明。
2.算术公理的相容性1931年哥德尔“不完备定理”指出了用元数学证明自述公理相容性之不可行。
算术相容性问题至今尚未解决。
3.两等底等高的四面体体积之相等这一问题1900年即由希尔伯特的学生M•德恩（Dehn）给出肯定解答，是希尔伯特诸问题最早获得解决者。
4.直线作为两点间最短距离问题在构造各种特殊试题几何方面已有许多进展，但问题过于一般，未完全解决。
5.不要定义群的函数的可微性假设的李群概念1952年由A•格里森（Gleason）、D•蒙哥马利（Montgomery）、L•齐宾（Zippin）等人解决，答案是肯定的。
6.物理公理的数学处理在量子力学、热力学等部门，公理化方法已获得很大成功。
概率论的公理化则由A·H·柯尔莫哥洛夫等完成。
7.某些数的无理性与超越性1934年，A•O•盖尔范德和T•施奈德（Schneidcr）各自独立地解决了问题的后一半，即对任意代数α≠0，1和任意代数无理数β≠0证明了的超越性。
此结果1966年又被A•贝克（Backer）等大大推广。
8.素数问题一般情形的黎曼猜想仍等解决。
哥德巴赫猜想目前最佳结果属于陈景润，但尚未最后解决。
9.任意数域中最一般的互反律之证明已由高木贞治（Takagi Teiji）(1921)和阿廷解决10.丢番图方程可角性的判别1970年，马蒂雅谢维奇证明了希尔伯特所期望的一般算法是不存在的。
11.系数为任意代数数的二次型H•哈塞（Hasse，1929）和C•L•西格尔（Siegel，1951）在这问题上获得了重要结果。
12.阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域尚未解决。
13.不可能用两个变数的函数解一般七次方程连续函数情形1957年由B•阿诺尔德否定解决，如要求解析函数则问题尚未解决。
20世纪有待解决的23个重要数学问题
为了深入探讨20世纪有待解决的23个重要数学问题，首先我们需要了解这些问题的背景和意义。
这些问题集合称为希尔伯特问题，是由德国数学家希尔伯特于1900年在巴黎国际数学家大会上提出的。
这些问题被认为是当时数学界最重要的挑战，同时也被认为是当时数学研究的路线图。
在我看来，希尔伯特问题代表了数学领域的一些最基本的、未解决的问题，解决这些问题将极大地推动数学的发展，对数学领域的未来产生深远的影响。
我们有必要对这些问题进行深入的研究和探讨。
接下来，我们就一起来看一下这些23个重要数学问题所涉及的领域和内容：1. 椭圆曲线和模函数2. 黎曼猜想3. 黎曼曲面和自同构问题4. 黎曼－黎曼－梅特日对猜想5. 费马猜想6. 四色问题7. 线性偏微分方程问题8. 整数域中的因子理论问题9. 二次形式的四平方问题10. 勒让德三平方式定理11. 亥姆霍兹方程组的奇异点问题12. 微分几何中的de Rham理论问题13. 序列中的达布问题14. 算术基本定理15. 核的Fredholm性质16. 求解各向同性Navier-Stokes方程问题17. 球面上自同构问题18. 无穷范数二次型问题19. 李代数问题20. 纽结理论的拓扑化问题21. 缩约问题22. 数字理论中的良序集问题23. 微分方程理论中的希尔伯特第十三问题每个问题都牵涉到数学的某一领域，如代数、几何、拓扑、分析等。
解决这些问题需要数学领域里最前沿和最深入的知识，对数学领域有着巨大的挑战和推动作用。
希尔伯特问题是20世纪数学领域的一些未解之谜，它们代表了数学领域的基础和方向。
解决这些问题将使数学的发展迈出一个重要的步伐，对未来的数学研究有着深远的影响。
在这篇文章中，我们通过对每个问题的简要介绍和相关背景的阐述，帮助您了解了这些数学问题的重要性和意义。
我也借此机会希望更多的数学爱好者能够参与到这些问题的研究中，共同推动数学领域的发展。
希望我们的共同努力能够为解决这些重要数学问题贡献一份力量。
1900年希尔伯特提出的23个问题
1900年希尔伯特提出的23个问题1900年，德国数学家大卫·希尔伯特在国际数学家大会上提出了二十三个数学难题，这些难题被称为希尔伯特的23个问题。
这些问题涉及了数学的各个领域，从代数到分析，从几何到数论，从数学逻辑到拓扑等等。
希尔伯特希望通过这些问题的研究，推动数学的发展，解决一些重要的数学难题，促进数学与其他科学的交叉研究。
希尔伯特提出的23个问题中，最著名的是他的第一问题：连续统一的函数。
在这个问题中，希尔伯特问道，是否存在一个连续函数，可以将所有的整数映射到实数上去。
这个问题牵涉到了数学的基础理论，深刻地影响了数学的发展。
后来，通过对这个问题的研究，数学家们逐渐发展出了拓扑学的基本概念和方法，使得这个问题得到了更加深入和完善的解答。
除了第一问题，希尔伯特的23个问题中还有很多其他具有重要意义的问题。
比如第二个问题：是否存在一个确定性的算法，可以判断任意给定的二次方程是否有整数解。
这个问题涉及了数论和算法的复杂性理论，对计算机科学的发展起到了重要的推动作用。
另一个著名的问题是第七个问题：黎曼猜想。
这个问题是关于黎曼ζ函数的性质的猜想，涉及了复变函数的研究，对数论的发展有着重要的影响。
至今，黎曼猜想仍然是数学界的一个重要未解问题，解决它将对数论和几何拓扑学有着深远的影响。
希尔伯特的23个问题不仅对于数学的发展具有重要的意义，也深刻地影响了20世纪整个数学界的研究方向和发展轨迹。
许多数学家为了解决这些问题，进行了深入的研究，取得了众多重要的成果。
这些问题激发了无数数学家的智慧和创造力，推动了数学的发展，并促进了数学与其他科学领域的交叉融合。
然而，虽然希尔伯特的23个问题引起了广泛的关注，但并不是所有的问题都得到了解决。
一些问题已经在之后的几十年中被证明是不可解的，比如第十五个问题：希尔伯特方程是否有一个通解。
而一些问题，如黎曼猜想，至今仍然没有得到最终的证明。
虽然希尔伯特的23个问题本身遗留下许多未解之谜，但它们对于数学的发展起到了重要的推动作用。
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精品PPT课件----希尔伯特的23个问题
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26、我们像ห้องสมุดไป่ตู้一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
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27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
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28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
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29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
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30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
希尔伯特数学23个世界难题
希尔伯特数学23个世界难题
希尔伯特数学23个世界难题
1900年德国数学家希尔伯特在巴黎第二届国际数学家代表会上提出23个重要的数学问题，
称为希尔伯特数学问题
﹝Hilbert'sMathematicalProblems﹞。
内容涉及现代数学大部份重要领域，目的是为新世纪的数学发展提供目标和预测成果，结果大大推动了20世纪数学的发展。
该23个问题的简介如下：
1.连续统假设。
2.算术公理体系的兼容性。
3.只根据合同公理证明底面积相等、高相等的两个四面体有相等的体积是不可能的。
即不能
将这两个等体积的四面体剖分为若干相同的小多面体。
4.直线作为两点间最短距离的几何结构的研究。
5.拓扑群成为李群的条件。
6.物理学各分支的公理化。
7.某些数的无理性与超越性。
8.素数问题。
包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等问题。
9.一般互反律的证明。
10.丢番图方程可解性的判别。
11.一般代数数域的二次型论。
12.类域的构成问题。
具体为阿贝尔域上的克罗内克定理。
希尔伯特23个问题及解决情况
希尔伯特23个问题及解决情况1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。
在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想：正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。
正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。
希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。
” 同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。
只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。
”他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：清晰性和易懂性；虽困难但又给人以希望；意义深远。
同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。
就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”。
编号问题推动发展的领域解决的情况1 连续统假设公理化集合论1963年，Paul J.Cohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。
即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。
2 算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。
数学的相容性问题至今未解决。
3 两等高等底的四面体体积之相等几何基础这问题很快（1900）即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解答。
4 直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。
希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。
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希尔伯特的23个问题
希尔伯特（Hilbert D,1862.1.23~1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。
他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。
希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。
希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。
他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。
1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的希尔伯特23个问题。
1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。
当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。
1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。
由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。
下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：
1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。
1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔
集合论公理系统的无矛盾性。
1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。
因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。
希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。
希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。
1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。
1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。
3．两个等底等高四面体的体积相等问题
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。
M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。
满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。
1973
年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。
5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。
6.物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。
后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。
但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。
7.某些数的无理性与超越性 1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数0 ，1，和任意代数无理数证明了的超越性。
8.素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。
一般情况下的黎曼猜想仍待解决。
哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。
目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。
9．在任意数域中证明最一般的互反律该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。
10．丢番图方程的可解性能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。
希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。
11．系数为任意代数数的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。
12．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。
13．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x （a，b，c）。
这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解
决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。
但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。
14．证明某类完备函数系的有限性这和代数不变量问题有关。
1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。
15．舒伯特计数演算的严格基础一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？
舒伯特给出了一个直观解法。
希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。
现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。
但严格的基础迄今仍未确立。
16．代数曲线和代数曲线面的拓扑问题这个问题分为两部分。
前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。
后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。
17．半正定形式的平方和表示一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。
18．用全等多面体构造空间由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。
19．正则变分问题的解是否一定解析对这一问题的研究很少。
C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。
20．一般边值问题这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。
目前还在继续研究。
21．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。
22．由自守函数构成的解析函数的单值化它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。
23．变分法的进一步发展出这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。
20世纪以来变分法有了很大的发展。
这23问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数学的发展。