二次函数模型的巧用

二次函数模型的巧用

在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解．进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图像以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习．

一、“二次”的应用

函数、方程、不等式三者，在一定条件下可以相互联系. 函数是研究ｙ与x之间的对应关系，而方程则是求x取何值时，函数值恰好为零；不等式就是考察x的值在什么范围变化时，函数值为正或负. 当a ≠ 0时，方程ax2 + bx + c = 0的解就是二次函数y = ax2 + bx + c的图像与x轴交点的横坐标；不等式ax2 + bx + c > 0（或ax2 + bx + c 0的解集．

（３）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.

（４）若方程ax2 + bx + c = k有两个不相等的实数根，求k

的取值范围．

答案（１）x1 = 1，x2 = 3.（２）1 2.（４）k < 2.

例２（２００８年安徽省）如图为二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图像，在下列说法中：

①ａｃ＜０；

②方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的根是

ｘ１＝－１，ｘ２＝３

③ａ＋ｂ＋ｃ＞０

④当ｘ＞１时，ｙ随ｘ的增大而增大.

正确的说法有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （把正确的答案的序号都填在横线上）

答案正确的说法有：①②④.

２. 在解方程组的应用

例３（２００７甘肃陇南）如图，抛物线y = ■x2 + mx + n 交x轴于ａ，ｂ两点，交y轴于点ｃ，点ｐ是它的顶点，点ａ的横坐标是-３，点ｂ的横坐标是１．

（１）求m，n的值；

（２）求直线ｐｃ的解析式；

解（１）由已知条件可知：抛物线y = ■x2 + mx + n经过ａ（－３，０）、ｂ（１，０）两点．

∴０＝■－３ｍ＋ｎ，０＝■＋ｍ＋ｎ．，解得ｍ＝１，ｎ＝ -■．

（２）∵ y = ■x2 + x - ■，∴ｐ（－１，－２），ｃ０，－■．

设直线ｐｃ的解析式是ｙ＝ｋｘ＋ｂ，则－２＝－ｋ＋ｂ，ｂ＝－■．

解得ｋ＝■，ｂ＝－■．

∴直线ｐｃ的解析式是y = ■x - ■．

从以上解题可以看出，求两个图像的交点坐标，一般方法是把两

函数的解析式联立成方程组，求出方程组的解，就是它们的交点坐标；反之，图像交点的坐标，也就是方程组的解. 因此，在研究二次函数的问题时，必须让学生熟练掌握方程组的解法，明确函数、方程（组）的密切联系．

二、联系实际，综合运用

新课程标准，对学生能力的培养提出了较高要求，特别强调学生运用所学数学知识，解决现代社会实际问题的能力. 为了考查学生的能力，许多地方近几年的中考数学试题，解法灵活，思路开阔，不拘泥于旧的框框套套，能很好地考查学生综合运用知识的能力．１．在实际生活中的应用

例４（２００７兰州市）某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙（墙足够长），另外的部分用３０米的竹篱笆围成，现有两种方案：①围成一个矩形（如上左图）；

②围成一个半圆形（如上右图）．设矩形的面积为ｓ１平方米，宽为ｘ米，半圆形的面积为ｓ２平方米，半径为ｒ米，请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案（π≈３）．

解ｓ１＝ｘ（３０－２ｘ）＝－２ｘ２＋３０ｘ＝－２ｘ－■２＋■.

当ｘ＝■米时，ｓ１取最大值■平方米.

由３０＝πｒ得ｒ＝１０米.

ｓ２＝■πｒ２＝■×３×１００＝１５０平方米.

∵■＜１５０，∴ｓ１＜ｓ２，

∴应选择方案②.

从以上可以看出，把实际问题归结为二次函数问题，关键是从实际生活中获取必要的信息，将内在的本质联系挖掘出来，抽象处理有关信息，建立函数模型，利用函数知识来解决问题. 特别注意，利用函数解决实际问题时，自变量的取值范围必须要明确．

２．与几何有关的应用

例５（２００９兰州市）如图①，正方形ａｂｃｄ中，点ａ，ｂ的坐标分别为（0，10），（8，4），点ｃ在第一象限．动点ｐ在正方形ａｂｃｄ的边上，从点ａ出发沿ａ→ｂ→ｃ→ｄ匀速运动，同时动点ｑ以相同速度在ｘ轴正半轴上运动，当ｐ点到达ｄ点时，两点同时停止运动，设运动的时间为ｔ秒．

（１）当ｐ点在边ａｂ上运动时，点ｑ的横坐标x（长度单位）关于运动时间ｔ（秒）的函数图像如图②所示，请写出点ｑ开始运动时的坐标及点ｐ运动速度；

（２）求正方形边长及顶点ｃ的坐标；

（３）在（１）中当ｔ为何值时，△ｏｐｑ的面积最大，并求此时ｐ点的坐标；

（４）如果点ｐ，ｑ保持原速度不变，当点ｐ沿ａ→ｂ→ｃ→ｄ匀速运动时，ｏｐ与ｐｑ能否相等，若能，写出所有符合条件的ｔ的值；若不能，请说明理由．

解（１）q（１，０），点ｐ运动速度每秒钟１个单位长度.

（２）过点b作ｂｆ⊥ｙ轴于点f，be⊥x轴于点e，则bf ＝８，of = be = 4．

∴ af = 10 - 4 = 6，在ｒｔ△ａｆｂ中，ab = ■ = 10 过点c作cg⊥x轴于点g，与fb的延长线交于点h．

∵∠abc = 90°，ab = bc，

∴△ａｂｆ≌△ｂｃｈ．

∴ bh = af = 6，ch = bf = 8．

∴ｏｇ＝ｆｈ＝８＋６＝１４，ｃｇ＝８＋４＝１２．

∴所求ｃ点的坐标为（１４，１２）．

（３）过点ｐ作ｐｍ⊥ｙ轴于点ｍ，ｐｎ⊥x轴于点ｎ，

则△ａｐｍ∽△ａｂｆ．

∴■ = ■ = ■．∴■ = ■ = ■．

∴ am = ■t，pm = ■t.

∴ pn = om = 10 -■t，on = pm = ■t ．

设△ｏｐｑ的面积为s（平方单位）.

∴ｓ＝■×１０－■ｔ（１＋ｔ） = 5 + ■t - ■t2（０≤ t ≤１０）.

∵ a = -■＜０，

∴当t = -■ = ■时，△ｏｐｑ的面积最大．

此时ｐ的坐标为■，■．