兼容多个综合评价方案及其分类的数学模型
综合评价决策模型方法_数学建模
综合评价决策模型方法_数学建模决策模型方法是一个重要的工具，用于解决复杂的决策问题。
综合评价决策模型方法是一个基于多个指标或因素对决策方案进行评价的方法。
该方法在数学建模中常用于分析多个决策方案的优劣，帮助决策者做出最优决策。
首先，层次分析法是一种定性与定量相结合的分析方法，用来解决多个指标之间的相对重要性问题。
它通过建立层次结构，将问题分解为若干个层次，并对各层次进行权值的确定，从而得到最终的评价结果。
层次分析法主要包括建立层次结构模型、构造判断矩阵、计算权重和一致性检验等步骤。
其优点是结构明确、能够定量地评价各指标之间的重要性，但也存在权重确定的主观性较强的问题。
其次，灰色关联度法是一种基于灰色理论的模型，用于评价多个指标之间的关联程度。
它通过建立灰色关联度模型，将多个指标的值转化为灰色数列，进行关联度计算，从而得到各指标的权重。
灰色关联度法主要包括灰色关联度计算和权重确定两个步骤。
其优点是能够考虑指标之间的关联关系，但也存在对指标值的灵敏度较高的问题。
再次，熵权法是一种基于信息熵的权重确定方法，用于评价多个指标的重要性。
它通过计算各指标的熵值和权重，得到最终的评价结果。
熵权法主要包括计算指标熵值、计算指标熵权和综合计算这三个步骤。
其优点是能够客观地确定指标的权重，但也存在对指标值范围要求较高的问题。
最后，矩阵法是一种定量化的综合评价方法，用于评价多个决策方案的优劣。
它通过构造评价指标矩阵，对各决策方案的各指标进行评分，并计算出加权总分，从而对决策方案进行排序。
矩阵法主要包括构造评价指标矩阵、对矩阵进行归一化和计算加权总分这三个步骤。
其优点是方法简单、易于理解和使用，但也存在在权重确定上存在一定主观性的问题。
总的来说，综合评价决策模型方法在数学建模中起着重要的作用。
不同的方法有不同的优缺点，适用于不同的决策问题。
决策者在选择合适的方法时，需要根据实际情况和需求综合考虑。
多指标综合评价方法及权重系数的选择
多指标综合评价方法及权重系数的选择多指标综合评价方法是一种综合考虑多个评价指标的方法，通过构建合适的模型来对评价对象进行全面、客观的评价。
在进行多指标综合评价时，选择合适的权重系数是十分重要的，下面将介绍几种常用的多指标综合评价方法和权重系数的选择方法。
一、常用的多指标综合评价方法：1.加权求和法：该方法通过将各个指标的评价值乘以对应的权重系数，然后求和得到综合评价结果。
该方法简单直观，适用于指标的权重主观确定且各指标之间相互独立的情况。
2.层次分析法：该方法通过构建评价指标层次结构，通过专家的判断和主观权重赋值，计算各级指标的权重，然后通过计算各个综合评价层次的权重，得到最终的综合评价结果。
该方法适用于各级指标之间存在依赖关系的情况。
3.熵权法：该方法通过计算指标集合的信息熵值来确定每个指标的权重系数，信息熵值越大表示指标的差异性越大，权重越高。
该方法适用于指标之间差异较大、具有较强的差异性的情况。
4.模糊综合评价法：该方法通过构建模糊综合评价模型，将评价指标的模糊隶属度和权重系数相乘，然后求和得到综合评价结果。
该方法适用于指标权重不确定、评价模糊的情况。
二、权重系数的选择方法：1.主观赋值法：通过专家的主观判断和把握，根据评价对象的重要程度和关键性确定权重系数。
该方法适用于评价指标的具体含义和权重较为明确的情况。
2.统计分析法：通过对历史数据进行分析和回归，确定各个指标对评价结果的影响程度，从而确定相应的权重系数。
该方法适用于评价指标的历史数据较为丰富的情况。
3.层次分析法：通过构建评价指标层次结构，利用层次分析法计算各级指标的权重系数。
该方法适用于各级指标之间存在依赖关系且重要性不同的情况。
4.熵权法：通过计算指标集合的信息熵值来确定每个指标的权重系数。
该方法适用于指标之间差异较大、具有较强的差异性的情况。
总之，在选择多指标综合评价方法和权重系数时，需要根据具体的评价对象和目标，结合专业知识和实际情况，综合考虑各个方法的优缺点，选择合适的方法和合理的权重系数。
数学建模中的常见模型
数学建模中的常见模型数学建模综合评价模型是一种通过对各个评价指标进行量化，并将它们按照权重进行加权，最终得到一个综合评价值的方法。
这个模型可以应用于多指标决策问题，用于对被评价对象进行排名或分类。
常见的数学建模综合评价模型包括模糊综合评价模型、灰色关联分析模型、Topsis（理想解法）、线性加权综合评价模型、熵值法和秩和比法等。
模糊综合评价模型是一种基于模糊数学理论的方法，它将评价指标的模糊程度考虑在内，得到一个模糊评价结果。
该模型的步骤包括确定评价指标及其权重、构建模糊评价矩阵、进行模糊运算、得到模糊评价结果。
灰色关联分析模型是一种用于分析指标间关联性的方法，它可以帮助我们确定各个指标对被评价对象的影响程度。
该模型的步骤包括确定关联度计算方法、计算各个指标的关联度、得到综合关联度。
Topsis（理想解法）是一种基于距离的方法，它通过计算每个评价对象与理想解的距离，得到一个综合评价值。
该模型的步骤包括确定正负理想解、计算距离、得到综合评价值。
线性加权综合评价模型是一种常用的多指标决策方法，它将各个评价指标的权重与指标值线性组合起来，得到一个综合评价值。
该模型的优点是简单易操作，计算方便，可以对各个指标的重要性进行量化，并将其考虑在评价中。
但是，该模型的权重确定较为主观，且假设指标之间相互独立，不考虑相关性。
熵值法是一种基于信息熵理论的方法，它通过计算每个指标的熵值，得到一个综合评价值。
该模型的步骤包括计算指标的熵值、计算权重、得到综合评价值。
秩和比法是一种用于处理多指标决策问题的方法，它通过计算指标的秩和比，得到一个综合评价值。
该模型的步骤包括编秩、计算秩和比、得到综合评价值。
根据具体的评价需求和问题特点，我们可以选择合适的数学建模综合评价模型来进行评价。
每个模型都有其优点和缺点，需要根据具体情况进行选择和应用。
<span class="em">1</span><spanclass="em">2</span><span class="em">3</span> #### 引用[.reference_title] - *1* *2* *3* [数学建模——评价模型]()[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_sourc e":"vip_chatgpt_mon_search_pc_result","utm_medium":"di stribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_1"}}] [.reference_itemstyle="max-width: 100%"] [ .reference_list ]。
学生成绩综合评价模型(数学建模)
定义： （i=1,2…n）为n个学生的某一学期的原始成绩。
，这样就可以将一个偏正态分布转变成了 满足的正态分布，由于该函数单调递减函数，原始成绩高的反而变得成绩低了，为和传统保证一致，进行以下变换 。这样就能得到一个满足标准正态分布的数据了。下面通过坐标的偏移拉伸使得其满足相同分布的正态分布。
其次对原始数据进行SK检验得：
第一学期
第二学期
第三学期
第四学期
Sk
-1.236
-1.919
-1.944
-2.928
Ku
2.5
7.043
8,142
14.479
这样通过以上的分析，我们可以发现，直方图在标准正态分布曲线的右边，且Sk<0，则都属于负偏态分布，说明试题的总体难度是偏低的。而且根据Ku值渐渐变大可以发现试题中中等难度的题目越来越多了。根据其平均值和方差可知：学生在第四学期的平均成绩最高，其次是第二学期，第一学期和第三学期的平均成绩略低一些；但是从方差来看，第一、三学期低于第二、四学期，这从上图中也可以明显看出，第一、三学期学生的成绩分布要比第二四学期学生的成绩分布要集中。
（1）分析学生成绩平均值和稳定度的关系
根据已经标准化的成立，利用平均成绩与方差所联合做成的散点图，我们可以看出，大体的情况是，多数同学的成绩还是比较稳定的，就是个别同学，成绩起伏很大，并且大致趋势为，成绩越好的同学波动越小，相反，成绩不好的同学波动就很大。
（2）学生成绩段人数分析
由于这里要进行学生成绩段的分析，就不能使用已经标准化的成绩了，显然如果使用标准化后的数据，则数据基本满足标准正态分布，这样进行成绩的分段研究也就失去了意义。对原始数据进行成绩的分段分析得：
数学建模常见评价模型简介
常见评价模型简介评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。
主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。
层次分析模型通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。
例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。
步骤1 建立系统的递阶层次结构将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
设要比较各准则n C C C ,,,21 对目标O 的重要性，记判断矩阵为A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1135131112513131211714155712334211A 显然，A 是正互反阵。
步骤3计算被比较元素对于该准则的相对权重(1)一致阵的定义与性质 一致阵的定义要由A 确定n C C C ,,,21 对目标O 的权向量，我们首先考察一致矩阵的性质。
称满足n k j i a a a ik jk ij ,,2,1,,, ==⋅的正互反阵为一致阵。
例如⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A212221212111一致矩阵的性质矩阵A 的秩为1，A 的唯一非零特征根为n 。
矩阵A矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭11311231211557中，由431==C C 可以得到83223==C Ca ，而事实上723=a 。
因此矩阵A 并不是一致阵，事实上在大多情况下我们构造的成对比较矩阵都不是一致阵。
对于这样的矩阵我们如何来确定权向量呢？我们通常的作法是：对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A ，建议用对应于最大特征根λ的特征向量作为权向量。
综合评价预测学生学习成绩的数学模型
纲要对学生学习状况剖析的目的是激励优异学生努力学习获得更好的成绩，同时鼓舞基础相对单薄的学生建立信心，不停进步。
但是，现行的评论方式纯真的依据“绝对分数”评论学生的学习状况，忽视了基础条件的差异；只对基础条件较好的学生起到促使作用，对基础条件相对单薄的学生很难起到鼓舞作用。
所以，一种能够全面、客观、公正的新式综合评论模式急需成立与应用。
来改变传统的评论方式以更好地促使全体同学学习的进步与发展。
本文经过对附件所给的数据进行全面的整合与剖析，考虑各样可能要素对学习成绩的影响，并在此基础上成立了对学生学习状况的综合评论模型。
从解决以下几个问题来为学校供给更好的评论模型：1.针对问题一：对612名学生四个学期的综合成绩进行整体剖析，经过对数据的初步办理和计算，绘制表格做出扇形图，更为直观的对计算结果（均匀分、及格率、优异率、优异率、极差等）的分析客观整体的评论学生学习的状况。
运用matlab对其进行直方图的统计以及正态曲线的拟合，经过结果客观去全面公正的对整体学生的学习状况做出评论。
2.针对问题二：对详细到个人的学习状况的剖析和评论以及模型的成立。
m.考虑到每位同学的其实分数的差异即基础不同的同学学习成绩进步空间的难易是有差其余。
每位同学在不同难度的试卷测试中的发挥是不同样的，我们在成立模型的过程中引进了奖罚因子（a）并用多种微分方差和指数方程来变换测试成绩，使较低水平学生大幅增添的成绩与较高水平的选手小幅增添的成绩能够进行比较。
n.其次考虑到原始分一般不可以直接反应出考生间差异状况，不可以刻划出考生互相比较后所处的地位，也不可以说明考生在其余等值测试上应获取什么样的分值。
我们采纳了标准分计算法——将原始分数与均匀分数之差除以标准差所得的商数，来评定对象之间的差异，它是以标准差为单位胸怀原始分数走开均匀数的胸怀，标准分是一个抽象值，不受原始单位的影响，而且接受代数方法的办理。
综合上述要素，我们成立了标准分与进步度联合的综合评论数学模型。
用于系统评价的数学模型有哪些
用于系统评价的数学模型有哪些1)建模准备数学建模是一项创新活动，它所面临的课题是人们在生产和科研中为了使认识和实践进一步发展必须解决的问题。
“什么是问题？问题就是事物的矛盾，哪里有没解决的矛盾，哪里就有问题”。
因此发现课题的过程就是分析矛盾的过程贯穿生产和科技中的根本矛盾是认识和实践的矛盾，我们分析这些矛盾，从中发现尚未解决的矛盾，就是找到了需要解决的实际问题，如果这些实际问题需要给出定量的分析和解答，那么就可以把这些实际问题确立为数学建模的课题，建模准备就是要了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握对象的各种信息，弄清实际对象的特征，情况明才能方法对。
(2)建模假设作为课题的原型都是复杂的、具体的，是质和量、现象和本质、偶然和必然的统一体，这样的原型，如果不经过抽象和简化，人们对其认识是困难的，也无法准确把握它的本质属性。
建模假设就是根据实际对象的特征和建模的目的，在掌握必要资料的基础上，对原型进行抽象、简化，把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件，并且用精确的语言作出假设，是建模过程关键的一步。
对原型的抽象、简化不是无条件的，一定要善于辨别问题的主要方面和次要方面，果断地抓住主要因素，抛弃次要因素，尽量将问题均匀化、线性化，并且要按照假设的合理性原则进行，假设合理性原则有以下几点：①目的性原则：从原型中抽象出与建模目的有关的因素，简化掉那些与建模目的无关的或关系不大的因素。
②简明性原则：所给出的假设条件要简单、准确，有利于构造模型。
③真实性原则：假设条件要符合情理，简化带来的误差应满足实际问题所能允许的误差范围。
④全面性原则：在对事物原型本身作出假设的同时，还要给出原型所处的环境条件。
(3)模型建立在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条件首先区分哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知量，哪些是未知量；然后查明各种量所处的地位、作用和它们之间的关系，建立各个量之间的等式或不等式关系，列出表格、画出图形或确定其他数学结构，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻画实际问题的数学模型。
常用的综合评价模型
z
Hale Waihona Puke jmax1inzij
,
z
j
min
1in
zij , (
j
1, 2,
, m)
当 j 项指标为极小型指标时，取
z
j
min
1in
zij
,
z
j
max
1in
zij , (
j
1, 2,
, m)
（4） 计算各评价对象到正理想解和负理想解
的距离，计算公式分别如下：
m
m
di
(zij zij )2 ，di
的情况，给出综合评价数学模型
y ( y1, y2 , , yn ) f (w, x)
7.4.1. 简单的综合评价模型
1.线性加权综合模型
线性加权综合模型是使用最为普遍的一种综合评 价模型，其实质是在指标权重确定后，对每个评价对 象求各个指标的加权和，即令
m
yi wj xij , (i 1, 2, , n) j 1
(i 1, 2, n) .
（4） 秩和比排序：根据 RSRi (i 1, 2, n)
对评价对象进行排序。 秩和比法有以下优点： （1） 理论简单，计算方便，可以消除指标
异常值的干扰； （2） 能够区分指标的微小差异，分辨力强； （3） 适用范围广，不仅适用于有序资料，
也适用与无序资料。
设综合评价问题含有 n 个评价对象，m 个
评价指标，相应的指标观测值分别为
xij (i 1, 2, , n; j 1, 2, , m)
指标权重向量为 w (w1, w2 , , wm ) .则
秩和比法的计算过程如下：
（1） 建立原始数据矩阵：即将 n 个评 价对象 m 个评价指标相应的指标观测值排成 n 行 m 列的原始数据矩阵。
数学建模四大模型归纳
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
●旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n个城市，城市i与j之间的距离为d，找一条经过n个城ij市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
●车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP问题是VRP问题的特例。
●车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j个工作和m台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学建模常见评价模型简介
数学建模常见评价模型简介Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998常见评价模型简介评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。
主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。
层次分析模型层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。
其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。
运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：步骤1 建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
步骤2构造成对比较阵对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵；步骤3计算权向量并作一致性检验由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)组合权向量可作为决策的定量依据通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。
例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。
步骤1 建立系统的递阶层次结构将决策问题分为3个层次：目标层O ，准则层C ，方案层P ；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
图1 选择旅游地的层次结构步骤2构造比较矩阵标度值 含义1 两因素相比，具有同等重要性 3 两因素相比，前者比后者稍重要 5 两因素相比，前者比后者明显重要 7 两因素相比，前者比后者强烈重要 9 两因素相比，前者比后者极端重要2、4、6、8表示上述相邻判断的中间值以上各数值的倒数若指标i 与指标j 比较相对重要性用上述之一数值标度，则指标j 与指标i 的相对重要性用上述数值的倒数标度表1 1~9标度的含义设要比较各准则n C C C ,,,21 对目标O 的重要性，记判断矩阵为A显然，A 是正互反阵。
综合评价方法数学建模
综合评价方法数学建模综合评价方法在数学建模中被广泛应用，用于对模型的准确度和可靠性进行评估。
综合评价方法是通过分析模型的输入、输出和处理过程，结合实际情况来评价模型优劣的一种方法。
本文将介绍几种常见的综合评价方法，并分析它们的优点和不足。
一、误差分析法误差分析法是基于模型输出与实际数据之间的误差来评估模型准确度和可靠性的方法。
该方法通过计算模型的预测值与实际观测值之间的差异，来评估模型的拟合程度。
常用的误差指标包括残差平方和、均方根误差等。
优点是计算简单，直观易懂；缺点是只能评估模型的输出，在一些情况下无法全面评估模型的有效性。
二、参数敏感度分析法参数敏感度分析法是通过改变模型的输入参数，观察模型输出的变化情况，来评估模型的稳定性和可靠性的方法。
该方法通过计算参数的敏感度指标，来评估每个参数对模型输出的影响程度。
常用的敏感度指标包括偏导数、敏感度系数等。
优点是能够全面评估模型的输入对输出的影响；缺点是对于复杂的模型，计算量较大。
三、模型效果评估法模型效果评估法是通过对模型的输出进行评估来评价模型的准确度和可靠性的方法。
该方法通过建立与模型输出相对应的评价指标，来评估模型的效果。
常用的评价指标包括相关系数、拟合好坏指标等。
优点是对模型的整体效果进行综合评估；缺点是评价指标的选择和建立需要考虑实际问题的特点。
四、灵敏度分析法灵敏度分析法是通过改变模型的输入条件，观察模型输出的变化情况，来评估模型的可靠性和鲁棒性的方法。
该方法通过计算输入条件的灵敏度指标，来评估输入条件对模型输出的影响程度。
常用的灵敏度指标包括变动范围、影响程度等。
优点是能够评估模型对输入条件的容忍程度；缺点是对于复杂的模型，计算量较大。
五、假设验证法假设验证法是通过比较模型预测结果与实际观测结果，来评估模型的可靠性和适用性的方法。
该方法通过对模型的假设条件进行验证，来检验模型的合理性和适用性。
常用的方法包括残差分析、拟合优度检验等。
数学建模-综合评价模型及其应用
数作为隶属函数：
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(x)
[1 a (x
b )2
]1 ,1
x
3
a ln x b , 3 x 5
其中 a , b , a, b 为待定常数．
当“很满意”时，则隶属度为１，即 f (5) 1；
当“较满意”时，则隶属度为0.8，即 f (3) 0.8；
1、综合评价的目的
综合评价一般表现为以下几类问题：
ａ。分类——对所研究对象的全部个体进行分类， 但不同于复合分组（重叠分组）；
ｂ。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或 在分类基础上对各小类按优劣排序）；
ｃ。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一 事物作出整体评价）。如小康目标的实现程度、 现代化的实现程度。当然必须有参考系。
2、 构成综合评价问题的五个要素
（2）评价指标
评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(或发展)状况的基 本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不 同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。
一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每 一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指 标体系。
?平移变换法?其中jjxx1?jjjxmx????ijnijxm???1max?12将居中型化为极大型?对于居中型指标minmax22222ijjijjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjxmxmmxmmmmxmmmxmmmmxxmmx????????????????????其中大型指标令为最好要将其化为极取中间值jx对某个区间型数据指标x则111axxacxaxbxbxbc?????????????????其中ab为x的最佳稳定区间maxcammb???m和m分别为x可能取值的最大值和最小值
综合评价决策模型方法数学建模
综合评价决策模型 建模的两个主要方法：
1. 模糊综合评价方法 2.层次分析法
一、模糊综合评价模型
对方案、人才、成果的评价，人们的考虑的因素 很多，而且有些描述很难给出确切的表达，这时 可采用模糊评价方法。它可对人、事、物进行比 较全面而又定量化的评价，是提高领导决策能力 和管理水平的一种有效方法。
所以在北部湾（广西）经济区的产业建设上首先就重点 投资重化工业的建设，第二要大力发展旅游业，第三要 逐渐将海洋渔业、海产品加工形成规模；最后再对南海 的石油、天然气进行开采，为经济区的建设提供能源保 障。
5. 一致性检验与模型验证
5. 一致性检验与模型验证
5.1 一致性检验 属性层次模型（AHM）是球赛模型，而层次分析法 模型（AHP）是重量模型，在AHP中若有A≥B，B ≥C，则必要求A ≥C。所以必须对模型进行一致性检 验。 在球赛模型AHM中，甲队胜乙队，乙队胜丙队， 并不要求甲队一定要胜过丙队。所以，在AHM方法 中，可不做一致性检验 。
3.广西沿海产业决策属性层次结构
层次结构模型图：
产业决策选择G
区位条件C1
产业结构C2
区域互补C3
产业基础C4
资金需求C5
环境因素C6
地 理 位 置
自 然 资 源
区 位 政 策
经 济 腹 地
高 端 产 业
低 端 产 业
产 品 互 补
劳 力 互 补
产 业 转 移
经 济 辐 射
交 通 条 件
现 有 基 础
2.属性层次模型方法
所以uij满足：
uij u ji 1 (i j ) u 0 ( i j ) i j
(1)
数学模型的分类
数学模型的分类1.按照所用方法分类：如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、数学规划模型等2.按照应用领域分类：如人口模型、生态模型、交通流量模型、环境模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、生物学数学模型、医疗数学模型、地质学数学模型、气象学数学模型、经济学数学模型、社会学数学模型、物理学数学模型、化学数学模型、天文学数学模型、工程学数学模型。
3.按照建模目的分类：如描述模型、分析模型、预报模型、决策模型、优化模型、控制模型等。
4.按照表现特点分类：数学模型按是否考虑随机因素的影响分为确定性模型和随机性模型，突变性模型和模糊性模型；按是否考虑时间因素引起的变化分为静态模型和动态模型；按模型基本关系是否是线性分为线性模型和非线性模型；按模型中的变量为离散还是连续的可分为离散模型和连续模型（建模时通常先考虑确定性、静态、线性模型。
连续模型便于利用微积分方法求解，可做理论分析，而离散模型更适合在计算机上做数值计算。
将连续模型离散化，或离散变量视为连续量都是经常采用的处理方法）。
5.按照了解程度分类：可分为白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理比较清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，主要研究的是相关优化设计和控制等问题；灰箱主要指生态、气象、经济交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面还需要深入研究；黑箱主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理还很不清楚的现象。
现实中，我们描述一个模型往往不是只表达一种属性，而是同时表述多重属性，如确定性线性模型、连续动态模型、非线性数学规划模型等。
初等函数模型模型一般不涉及复杂的机理，研究对象往往是静态的、确定的，通常使用初等数学方法及微积分初步知识即可解决问题。
商品调价问题多步决策问题公平的席位分配量纲分析法建模优化模型在生产活动、经济管理和科学研究中经常遇到各种最大化或最小化问题，如企业生产成本最低，金融证券公司投资收益最大、风险最小，物流公司运输费用最小，工艺流程耗费时间最短，产品设计浪费材料最少，等等。
综合评价建模
综合评价建模综合评价方法一般有三种：传统的评判方法、模糊综合评判方法、层次分析法。
一、 传统的评判方法传统的评判方法有总评分法和加权评分法：总评分法：根据评判对象的评价项目),,2,1(n i u i =，首先，对每个项目确定出评价的等级和相应的评分数),,2,1(n i s i =，并将所有项目的分数求和∑==ni isS 1，然后，按总分的大小排序，从而确定出方案的优劣．加权评分法：根据评判对象的诸多因素（或指标）),,2,1(n i u i =所处的地位或所起的作用一般不尽相同．因此，引入权重的概念，求其诸多因素（指标）评分),,2,1(n i s i =的加权和∑==ni i is wS 1．其中i w 为第),,2,1(n i i =个因素（指标）的权值．二、 层次分析法层次分析（Analytic Hierarchy Process ，简记AHP ）是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法．它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的行之有效的一种方法，使人们的思维过程层次化．通过逐层比较多种关联因素来为分析、决策、预测或控制事物的发展提供定量依据，它特别适用于那些难于完全用定量进行分析的复杂问题，为解决这类问题提供一种简便实用的方法．因此，它在计算、制定计划、资源分配、排序、政策分析、军事管理、冲突求解及决策预报等领域都有广泛的应用．层次分析法解决问题的最突出的特点是分层比较，综合优化．其解决问题的基本步骤如下：1．系统的递阶层次结构分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构，首先要把与问题有关的各种因素层次化，然后构造出一个树状结构的层次结构模型，称为层次结构图．一般问题的层次结构图分为三层，如下图所示．最高层为目标层(O): 问题决策的目标或理想结果，只有一个元素．中间层为准则层(C): 包括为实现目标所涉及的中间环节各因素，每一因素为一准则，当准则多于９个时可分为若干个子层．最低层为方案层(P): 方案层是为实现目标而供选择的各种措施，即为决策方案． 一般说来，各层次之间的各因素，有的相关联，有的不一定相关联；各层次的因素个数也未必一定相同．实际中，主要是根据问题的性质和各相关因素的类别来确定．层次结构图2．构造两两比较矩阵（判断矩阵）对于同一层次的各因素关于上一层中某一准则（目标）的重要性进行两两比较，构造出两两比较的判断矩阵．构造比较矩阵不是把所有因素放在一起比较，而是将同一层的各因素进行两两对比．比较时采用相对尺度标准度量，尽可能地避免不同性质的因素之间相互比较的困难．同时，要尽量依据实际问题具体情况，减少由于决策人主观因素对结果造成的影响．设要比较n 个因素n C C C ,,,21 对上一层（如目标层）O 的影响程度，即要确定它在O 中所占的比重．对任意两个因素i C 和j C ，用ij a 表示i C 和j C 对O 的影响程度之比，按１～９的比例标度来度量),,2,1,(n j i a ij =．于是，可得到两两成对比较矩阵n n ij a A ⨯=)(，又称为判断矩阵，显然0>ij a ,),,2,1,(,1,1n j i a a a ii ijji ===因此，又称判断矩阵为正互反矩阵．比例标度的确定：ij a 取１～９的９个等级，而ji a 取ij a 的倒数（见下表）．比例标度值标度ija 含 义1 i C 与j C 的影响相同 3 i C 比j C 的影响稍强 5 i C 比j C 的影响强 7 i C 比j C 的影响明显地强 9 i C 比j C 的影响绝对地强2,4,6,8 i C 与j C 的影响之比在上述两个相邻等级之间91,,21 i C 与j C 的影响之比为上面ij a 的互反数由正互反矩阵的性质可知，只要确定A 的上（或下）三角的2)1(-n n 个元素即可．在特殊情况下，如果判断矩阵A 的元素具有传递性，即满足),,2,1,,(n k j i a a a ij kj ik ==则称A 为一致性矩阵，简称为一致阵．3．计算权重，进行一致性检验由比较矩阵计算被比较因素对每一准则的相对权重，并进行判断矩阵的一致性检验．相对权重向量确定（1） 和法取判断矩阵n 个列向量归一化后的算术平均值，近似作为权重，即),,2,1(111n i aa nw nj nk kjiji ==∑∑==类似地，也可以对按行求和所得向量作归一化，得到相应的权重向量．（2） 求根法（几何平均法）将A 的各列（或行）向量求几何平均后归一化，可以近似作为权重，即),,2,1(111111n i a a w nj nk nn j kj n ij n j i =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∏∏====（3） 特征根法设想把一大石头Z 分成n 个小块n c c c ,,,21 ，其重量分别为n w w w ,,,21 ，则将n 块小石头作两两比较，记j i c c ,的相对重量为),,2,1,(n j i w w a j i ij ==，于是可得到比较矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n w w w w w w w w w w ww w w w w w w212221212111A 显然，A 为一致性正互反矩阵，记Tn w w w ),,,(21 =W ，即为权重向量．且⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=n w w w 1,,1,121 W A 则W W W W A n w w w n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅1,,1,121这表明W 为矩阵A 的特征向量，且n 为特征根．事实上：对于一般的判断矩阵A 有W W A max λ=⋅，这里)(max n =λ是A 的最大特征根，W 为max λ对应的特征向量．将W 作归一化后可近似地作为A 的权重向量，这种方法称为特征根法（是一种最常用的方法）．一致性检验通常情况下，由实际得到的判断矩阵不一定是一致的，即不一定满足传递性和一致性．实际中，也不必要求一致性绝对成立，但要求大体上是一致的，即不一致的程度应在容许的范围内．主要考查以下指标： (1) 一致性指标：1max --=n nCI λ．(2) 随机一致性指标：RI ，通常由实际经验给定的，如下表．随机一致性指标n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.54 1.56 1.58 1.59(3) 一致性比率指标：RICI CR =，当10.0<CR时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，则max λ对应的特征向量可以作为排序的权重向量．此时()∑∑∑====⋅≈ni inj jijni iiw w annw 111max 1W A λ其中i )(W A ⋅表示W A ⋅的第i 个分量．4．计算方案层对目标层的组合权重和组合一致性检验，并进行排序．计算组合权重和组合一致性检验（1） 组合权重向量设第1-k 层上1-k n 个元素对总目标（最高层）的排序权重向量为()Tk n k k k k w w w )1()1(2)1(1)1(1,,,-----= W第k 层上k n 个元素对上一层(1-k 层)上第j 个元素的权重向量为()1)()(2)(1)1(,,2,1,,,,--==k Tk jn k j k j k jn j p p p k P则矩阵[])()(2)(1)(1,,,k n k k k k -=P P P P是1-⨯k k n n 阶矩阵，表示第k 层上的元素对第1-k 层各元素的排序权向量．那么第k 层上的元素对目标层（最高层）总排序权重向量为[]()T k n k k k k n k k k k k kk www)()(2)(1)1()()(2)(1)1()()(,,,,,,1 =⋅=⋅=---WP P P W PW或k k jn j k ij k in i w p wk ,,2,1,)1(1)()(1==-=∑-对任意的2>k 有一般公式)2()2()3()1()()(>⋅⋅⋅⋅=-k k k k WPPPW其中)2(W 是第二层上各元素对目标层的总排序向量．（2） 组合一致性指标设k 层的一致性指标为)()(2)(11,,,k n k k k CICICI - ，随机一致性指标为)()(2)(11,,,k n k k k RI RI RI -则第k 层对目标层的（最高层）的组合一致性指标为())1()()(2)(1)(1,,,-⋅=-k k n k k k k CICICI CIW组合随机一致性指标为())1()()(2)(1)(1,,,-⋅=-k k n k k k k RI RI RI RIW组合一致性比率指标为)3()()()1()(≥+=-k RICI CRCRk k k k当10.0)(<k CR 时，则认为整个层次的比较判断矩阵通过一致性检验．例1 一类选优排序问题在任何一个单位(如院校、科研单位等)都有根据某些条件对所属人员进行选优的问题（如职称评定、选调职级、教学成果奖、科研成果奖等）．为了使选优的结果更合理、更科学、更具有广泛的民主性，我们以某院校选优的实际问题为背景来分析研究这一问题．1 问题的提出设有)1(>N 个参评对象),,2,1(N n P n =，评判条件有九个方面，分别记为)9,,2,1()1( =k C k ，评委会由八个部门组成，分别记为)8,,2,1()2( =i C i，其中)2(1C 、)2(2C 对所有参评对象的各项条件都有评判权，并且具有决定性作用；)2(3C 对所有参评对象的条件)1(1C 、)1(2C 和)1(9C 具有评判权； )2(4C 对所有参评对象的条件)93()1(≤≤k C k 具有评判权； )2(5C 、)2(6C 、)2(8C 对部分有关的参评对象的所有条件具有评判权；)2(7C 仅对有主要关系的参评对象的)1(3C 、)1(4C 和)1(9C 具有评判权．现在要解决的问题是根据各评判员对各参评对象的评判结果综合排序选优．2 模型的假设与分析2．1模型假设:（1）各评判员按照业务主管部门的统一制定的量化标准对参评对象进行评判； （2）问题中所确定的评判员及权限是合理的，并具有充分的民主性；（3）问题中所确定的参评条件能够充分反映出参评对象的真实水平； （4）各评判员对参评对象的量化打分都是公平的．2．2模型的分析：这是一个一般性、又有代表性的选优排序问题，鉴于这一问题所考虑的因素较多，需要在多层次多因素中相互比较，综合排序选优，我们利用层次分析法对此做出决策．首先建立层次结构,共分四层：最上层为目标层(O):选择优秀对象；第二层为准则I 层()1(C ):评优的条件，共有九个因素，依次记为)9,,2,1()1( =k C k ； 第三层为准则Ⅱ层()2(C ):评判员,共有八个因素，依次记为)8,,2,1()2( =i C i ； 第四层为方案层(P): N (≥2)个参评对象，依次记为),,2,1(N n P n =．由问题的条件可知各层次之间的关系，)9,,2,1()1( =k C k 都与O 关联；)2(1C 、)2(2C 、)2(5C 、)2(6C 、)2(8C 与所有)9,,2,1()1( =k C k 关联；)2(3C 与)1(1C 、)1(2C 和)1(9C 关联；)2(4C 与)93()1(≤≤k C k 关联；)2(7C 与)1(3C 、)1(4C 、)1(9C 关联；所有)8,,2,1()2( =i C i与全体参评对象),,2,1(N n P n =关联．3 模型的建立与求解3．1 确定准则I 层()1(C )对目标层(O )的权重0W根据具体评优问题的实际，充分考虑各项条件)1(k C 在评优中所起的作用的大小，构造出成对比较矩阵()99⨯=ija A ，A 是一9阶正互反矩阵．求A 的最大特征值max λ及相应的特征向量，并对特征向量作归一化得()T w w w 0902010,,, =W由随机一致性指标45.1=RI ，计算一致性指标)1(CI 和一致性比率指标RICICR)1()1(=,若1.0)1(<CR，则说明0W 可作为权向量，否则要对A 的元素进行调整．3．2 确定准则Ⅱ层()2(C )对目标层(O )的权重1W(1) 求)2(C 对)1(k C 的权重向量)(1k W根据各评判员对各项条件)1(k C 评判的权威性程度来确定相应的比较矩阵，设)2(C 对)1(k C 的比较矩阵为())9,,2,1()( ==k b k ijk B ．注意到:如果有)91(00<≤j j 个评判员对条件)1(k C 不具有评判权，那么在构造比较矩阵k B 时先不考虑该评判员的作用，即k B 的阶数应为09j -，求出k B 的特征向量后在相应位置上补0j 个0．类似如上的方法可以求出每个k B 的最大特征值)(max k λ与相应的特征向量，并作一致性检验，将k B 的特征向量作归一化即为)2(C 对)1(k C 的权重向量，记为())9,,2,1(,,,)(18)(12)(11)(1 ==k w w w Tk k k k W （1.1）若某个k B 不满足一致性，则需对其进行调整，至使)91(1.00)2(0≤≤<k CR k ，且记()())2(9)2(2)2(1)2(*)2(9)2(2)2(1)2(*,,,,,,,RI RI RI CICICI ==RICI(2) 确定)2(C层对O 层的权重1W由(1.1)式得⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)9(18)2(18)1(18)9(12)2(12)1(12)9(11)2(11)1(111w w w w w w w w wW 计算01W W ⋅,并作归一化有()Tw w w 1812111,,, =W(3) 组合一致性检验由上可得0)2(*)2(0)2(*)2(,W RIW CI⋅=⋅=RICI,则组合一致性比率指标为)2()2()1()2(RICI CRCR+=若1.0)2(<CR ,则通过一致性检验，否则调整k B ．3．3 确定方案层(P )对准则Ⅱ层()2(C )的权重2W假设各评判员按统一的标准对所有参评对象的量化打分是已知的．设各评判员对第n 个参评对象)1(N n P n ≤≤量化打分记为矩阵()),,2,1(98)(N n T n ij n ==⨯T ,即为参评对象)1(N n P n ≤≤的分数矩阵．其中)(n ij T 表示第i 个评判员)2(i C 对n P 的第j 项条件)1(jC 的打分．根据模型的假设，由于每项条件)9,,2,1()1( =k C k 对O 的权重向量为0W ，于是对所有参评对象n P 的分数矩阵作相应转化，令()),,2,1(,,,)(8)(2)(10N n r r r Tn n n n n ==⋅=W T R即为参评对象n P 的水平向量，其中)81()(≤≤k r n k 表示第k 个评判员对参评对象n P 的综合评价指标．记())8,,2,1(,,,)()2()1( =='k r r r TN k k k kR ，由此可构造方案P 层对)2(k C 比较矩阵()N N k ij k d ⨯=)(D ，其中),,2,1,(,0,00,)()()()()(N j i r r r r d j k j k j k i k k ij =⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=时当时当，而且所有k D 均为一致阵．于是可知k D 的最大特征值0,)3()(max ==k k CR N λ，其任一列向量都是)(max k λ的特征向量．将其归一化可得P 层对)2(k C 层的权重向量．记作 ())8,,2,1(,,,)()(2)(1)( ==k w w w Tk N k k k W故矩阵[])8()2()1(2,,,WWWW =为方案P 层对准则Ⅱ层的权重,且一致性比率指标为01)3()3(==∑=nk kCRCR．3．4 确定方案层(P )对目标层(O )的组合权重W由于)2(C 对O 的权重1W 和P 对)2(C 的权重为2W ，于是P 对O 的权重为[]()TNw w w '''=⋅=⋅=,,,,,,211)8()2()1(12 WWWWW W W (1.2)如果组合一致性比率指标为1.0)3()2()1(<++=CRCRCR CR ,则组合权重W 可作为目标决策的依据.3．5 排序选优由于(1.2)式中的),,2,1(N n w n='是参评对象n P 对目标O 层的权重，即n w '就表示参评对象n P 的综合水平指标，按其大小依次排序选优．4 模型的评价与应用上面我们给出了一般的选优模型，利用此模型可以解决了实际中多因素的排序选优的一类问题，这种决策方法较其它的方法更具有公平合理性和广泛的民主性，可有效地排除人为因素对选优结果的影响．为选拔优秀人才提供了科学的理论依据，方法简便，可操作性强，易于实现，应用价值高．该模型虽然仅以由八个评判员，九项评判条件的选优排序问题提出的，但模型可以直接推广到任何半定量和半定性多层次、多因素的选优排序问题．模型的应用步骤如下：（1）由业务主管部门或领导机关制定各项条件的量化标准，确定评判员及评判权限； （2）组织各评判员对所有参评对象的各项条件量化打分，给出量化分数矩阵()),,2,1(98)(N n T n ijn ==⨯T ．（3）根据各评判条件对评优目标的影响和各评判员的权限及权威性，合理选择比较矩阵A 和)9,,2,1( =k k B 使得更符合实际． （4）将分数矩阵n T 输入计算机．（5）由计算机根据该模型提供的方法进行科学计算，最后输出排序结果．（6）根据排序结果选出优秀者．例2 合理分配住房问题1 问题的提出许多单位都有一套住房分配方案，一般是不同的．某院校现行住房分配方案采用“分档次加积分”的方法，其原则是：“按职级分档次，同档次的按任职时间先后排队分配住房，任职时间相同时再考虑其它条件（如工龄、爱人情况、职称、年龄大小等）适当加分，从高分到低分依次排队”．我们认为这种分配方案仍存在不合理性，例如，同档次的排队主要有任职先后确定，任职早在前，任职晚在后，既便是高职称、高学历，或夫妻双方都在同一单位（干部或职工），甚至有的为单位做出过突出贡献，但任职时间晚，则也只能排在后面．这种方案的主要问题是“按资排辈”，显然不能充分体现重视人才，鼓励先进等政策．根据民意测验，百分之八十以上人认为相关条件为职级、任职时间（为任副处的时间）、工龄、职称、爱人情况、学历、年龄和奖励情况．要解决的问题是：请你按职级分档次，在同档次中综合考虑相关各项条件给出一种适用于任意N人的合理分配住房方案．用你的方案根据表1中的40人情况给出排队次序，并分析说明你的方案较原方案的合理性．表1:40个人的基本情况及按原方案排序人员职级任职时间工作时间职称学历爱人情况出生年月奖励加分P1 8 1991.6 1971.9 中级本科院外 1954.9 0P2 8 1992.12 1978.2 高级硕士院内职工 1957.3 4P3 8 1992.12 1976.12 中级硕士院外 1955.3 1P4 8 1992.12 1976.12 中级大专院外 1957.11 0P5 8 1993.1 1974.2 中级硕士院外 1956.10 2P6 8 1993.6 1973.5 中级大专院外 1955.10 0P7 8 1993.12 1972.3 中级大专院内职工 1954.11 0P8 8 1993.12 1977.10 高级硕士院内干部 1960.8 3P9 8 1993.12 1972.12 中级大专院外 1954.5 0P10 8 1993.12 1974.8 高级本科院内职工 1956.3 4P11 8 1993.12 1974.4 中级本科院外 1956.12 0P12 8 1993.12 1975.12 高级硕士院外 1958.3 2P13 8 1993.12 1975.8 中级大专院外 1959.1 0P14 8 1993.12 1975.9 中级本科院内职工 1956.7 0P15 9 1994.1 1978.10 高级本科院内干部 1961.11 5P16 9 1994.6 1976.11 高级硕士院内干部 1958.2 0P17 9 1994.6 1975.9 高级本科院内职工 1959.6 1P18 9 1994.6 1975.10 高级本科院内职工 1955.11 6P19 9 1994.6 1972.12 初级中专院外 1956.1 0P20 9 1994.6 1974.9 中级大专院内职工 1957.1 0P21 9 1994.6 1975.2 高级硕士院外 1958.11 2P22 8 1994.6 1975.9 中级硕士院内职工 1957.4 3P23 9 1994.6 1976.5 中级本科院外 1957.7 0P24 9 1994.6 1977.1 中级本科院内干部 1960.3 0P25 8 1994.6 1978.10 高级硕士院内干部 1959.5 2P26 9 1994.6 1977.5 中级本科院内职工 1958.1 0P27 9 1994.6 1978.10 中级硕士院内干部 1963.4 1P28 9 1994.6 1978.2 中级本科院外 1960.5 0P29 9 1994.6 1978.10 高级博士后院内干部 1962.4 5P30 9 1994.6 1979.9 中级本科院外 1962.9 1P31 8 1994.12 1975.6 中级大专院内干部 1958.7 0P32 8 1994.12 1977.10 高级硕士院内干部 1960.8 2P33 8 1994.12 1978.7 高级博士后院外 1961.12 5P34 9 1994.12 1975.8 高级博士院外 1957.7 2P35 9 1994.12 1978.10 高级博士院内干部 1961.4 3P36 9 1994.12 1978.10 高级博士院内干部 1962.12 6P37 9 1994.12 1978.10 中级本科院内职工 1962.12 0P38 9 1994.12 1979.10 中级本科院内干部 1963.12 0P39 9 1995.1 1979.10 中级本科院内干部 1961.7 0P40 9 1995.6 1980.1 高级硕士院内干部 1961.3 42 模型的分析由题意可知，该问题是一半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，我们的主要利用层次分析法对此作出决策．鉴于原来的按任职时间先后排队的方案可能已被一部分人所接受，从某种意义上讲也有一定的合理性．现在提出要充分体现重视人才、鼓励先进等政策，但也有必要照顾到原方案合理的方面，如任职时间、工作时间、年龄的因素应重点考虑．于是，可以认为相关的八项条件在解决这一问题中所起的作用是不同的，应有轻重缓急之分．因此，假设八项条件所起的作用依次为任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况，这样能够符合大多数人的利益．任职时间早、工龄长、职级高、高职称、双职工、高学历、年龄大、受奖多的人员都能够得到充分的体现．任何一种条件的优越，在排序中都不能是绝对的优越，需要的是综合实力的优越．由上面的分析，首先将各项条件进行量化，为了区分各条件中的档次差异，确定量化原则如下：任职时间、工作时间、出生年月均按每月0.1分计算；职级差为1分，8级（处级）算2分，9级（副处级）算1分；职称每差一级1分，初级算1分，中级算2分，高级算3分；学历每差一档差1分，中专算1分，大专、本科、硕士、博士、博士后分别算2、3、4、5、6分；爱人情况：院外算1分，院内职工算2分，院内干部算3分；对原奖励得分再加1分．对40人的量化分数见表2．表2:40人的量化分数表3 模型的假设(1) 题中所述的相关的八项条件是合理的，有关人员均无异议；(2) 八项条件在分房方案中所起的作用依次为任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况；(3) 每个人的各项条件按统一原则均可量化，而且能够充分反映出每个人的实力； (4) 在量化有关任职时间、工龄、年龄时，均计算到1998年5月．4 模型的建立4．1 建立层次结构问题的层次结构共分三层：第一层为目标层()O ：综合选优排序；第二层为准则层()C ：相关条件，共有八个因素，依次为任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况，分别记为C (1,2,,8)k k = ；第三层为方案层()P ：()2N ≥个参评人员，依次记为()1,2,,n P n N = ．4．2 确定准则层()C 对目标层()O 的权重1W根据假设（2），C 层的八个因素是依次排列的，我们可以认为对决策目标的影响程度也是依次排列的，且相邻两个的影响程度之差可以认为基本相等．因此，构造比较矩阵如下：1234567812123456713121234561413121234511413121234161514131212317161514112121811615141121A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 这是一个8阶的正互反矩阵，经计算求得A 的最大特征值为max 8.28828λ≈，相应的特征向量作归一化有()10.331315,0.23066,0.157235,0.105903,0.0709356,0.0476811,0.0326976,0.0235625TW =(6.2)对应的随机一致性指标1 1.41RI =，则一致性指标m ax 180.04118381C I λ-=≈-，一致性比率指标1110.0292080.1C I C R RI =≈<，于是1W 作为C 层对O 层的权重向量．4．3 确定方案层()P 对准则层()C 的权重2W根据问题的条件和模型的假设，对每个人各项条件的量化指标能够充分反映出每个人的综合实力．由此可以分别构造P 层对准则C k 的比较矩阵()()()()()(),,,,1,2,,;1,2,,8k k k ik i ji j k N NjT B b b i j N k T ⨯==== 其中 （2.1）显然，所有的()1,2,,8k B k = 均为一致阵，由一致阵的性质可知，k B 的最大特征值()()max 2,0k k N CR λ==，其任一列向量都是()m ax k λ的特征向量，将其归一化可得P 对k C 的权重向量，记作()()()()()()12,,,1,2,,8Tk k k k NW w w w k == （2.2）记()()()11828,,,N W W WW⨯⎡⎤=⎣⎦ （2.3） 即为P 层对C 层的权重，且一致性比率指标为()82210k k C R C R===∑．4．4 确定方案层()P 对目标层()O 的组合权重W由于C 对O 的权重1W 和P 对C 的权重2W ，则P 对O 的权重为()()()()12821112,,,,,,TN W W W WWWW w w w ⎡⎤=∙=∙=⎣⎦(2.4)其组合一致性比率指标为210.0292080.1C R C R C R =+≈<，因此，组合权重W 可作为目标决策的依据．4．5 综合排序由于（2.2）式中的()1,2,,n w n N = 是参评人员n P 对目标O 层的权重，即n w 就表示参评人n P 的综合实力指标，按其大小依次排序，就可以得到决策方案．5 模型的求解在上面的模型中，取40N =．40个人的八项条件的量化指标如表2，由（2.1）、（2.2）式经计算可得P 层对C 层的权重矩阵2W ，其矩阵的每一列表示2W 的一列向量()k W ，即P层对准则C k 的权重向量()1,2,,8k = ．由（2.3）、（2.4）和（2.1）式可得P 对O 组合权重为()211240,,,(0.0315587,0.0300782,0.0277362,0.0267428,0.0285133,0.0267332,0.0269690,0.0287756,0.0258714,0.0286668,0.0258207,0.0272656,0.0250687,0.0263636,0.0257468,0.0247239,0.0239682,0.025151TW W W w w w =∙== 4,0.0207114,0.0225957,0.0237618,0.0263821,0.0215905,0.0231776,0.0273104,0.0224454,0.0232328,0.0210685,0.0259746,0.0208275,0.0249390,0.0265460,0.0258889,0.0226997,0.0241848,0.0248248,0.0207412,0.0213651,0.0212535,0.0227248)T以W 的40个分量作为40名参评人员的综合实力指标，按大小依次排序，结果如表3．表3：40人的排序结果6 模型的结果分析利用层次分析法给出了一种合理的分配方案，用此方案综合40人的相关条件得到了一个排序结果．从结果来看，完全达到了问题的决策目标，也使得每个人的特长和优势都得到了充分的体现．既照顾到了任职早、工龄长、年龄大的人，又突出了职称高、学历高、受奖多的人，而且也考虑了双干部和双职工的利益．但是，每一个单项条件的优势都不是绝对的优势．因此，这种方案是合理的，符合绝大多数人的利益．譬如，1P 在任职时间、工龄和年龄有绝对的优势，尽管其它条件稍弱，他仍然排在第一位．8P 与3P 、4P 、5P 、6P 、7P 相比，虽然任职时间晚，工龄短，年龄小，但是，在职称、学历、爱人情况、奖励情况都具有较强的优势，因此，他排在第三位是应该的．类似情况还有25P 、32P 、40P 等．相反的，4P 、6P 、9P 、19P 较其他人的任职稍早、工龄稍长、年龄稍大，但其他条件明显的弱，因此，次序明显靠后也是应该的．在多项条件相同时，只要有一项略强，就排在前面，如35P 与36P ，38P 与39P 等．这些都是符合决策原则的．三、 模糊综合评判方法模糊综合评判是模糊决策中最常用的一种有效方法．在实际中，常常需要对一个事物做出评价（或评估），一般都涉及到多个因素或多个指标，此时就要求我们根据这些因素对事物做出综合评价，这就是所谓的综合评判，即综合评判就是要对受多个因素影响的事物（或对象）做出全面的评价，故模糊综合评判又称为模糊综合决策或模糊多元决策．在这里，首先要介绍模糊数学方法的一些基本概念。
方案组合法
方案组合法简介方案组合法（Combination Method）是一种常用的决策分析方法，主要用于从多个候选方案中选择出最佳方案。
它通过对各个方案的不同因素进行评价和权重分配，最终利用数学模型将不同因素综合考虑，从而得出最佳方案。
方法步骤方案组合法的具体步骤如下：1.确定评价因素：首先需要明确待选择的方案所涉及的不同因素，例如成本、效益、风险等。
评价因素的选择应充分考虑实际情况和需求。
2.设定权重：为了对不同因素进行综合评估，需要为每个评价因素设定权重。
权重的设定可以基于专家判断、统计数据或者决策者的主观偏好。
3.评价方案：评价方案的目的是对每个方案在不同因素下的表现进行量化。
可以使用打分法、百分比法等评价方法进行量化评估。
4.综合评价：在得到各个方案在不同因素下的评价结果后，需要根据权重对各个评价结果进行加权求和，得到综合评价结果。
5.选择最佳方案：根据综合评价结果，选择具有最优综合评价值的方案作为最佳方案。
优点与应用领域方案组合法具有以下优点：•综合评价：通过考虑多个因素，能够综合评价各个方案的优劣，并且能够量化权衡不同因素的重要性。
•可视化：通过数学模型，能够将不同因素的评价结果综合起来，形成可视化的评价结果。
•灵活性：方案组合法适用于不同领域和场景，可以根据实际情况进行调整和扩展。
方案组合法在以下领域有广泛应用：•投资决策：在投资项目中，可以通过方案组合法评估不同投资方案的风险和收益，选择最佳投资方案。
•项目管理：在项目管理中，可以通过方案组合法对不同的项目方案进行评价和比较，选择最适合的项目实施方案。
•供应链管理：在供应链管理中，可以通过方案组合法对不同的供应链方案进行评估，选择最合适的供应链方案。
实例分析以一个投资决策的实例为例，假设投资者需要选择两个候选投资方案A和B，评价因素包括预期收益、风险和投资期限。
根据专家判断，设定各个评价因素的权重如下：预期收益为0.5，风险为0.3，投资期限为0.2。
常用综合评价方法 数学建模
评价对象 1 2 3 4 5 6 平均分
指标A 指标B 指标C 指标D
100 70 80 60 90 50 50 40 60 70 80 40 30 40 50 30 20 30 10 20 30 10 30 10不考虑专家权威程度：权重分别是0.41,0.31,0.18,0.10
系统分析法(systematic analysis method)： 是一种常用的凭经验挑选指标的方法， 首先将所有备选指标按系统（或属性、 类别）划分，再通过座谈或填调查表的 方法获得对各指标的专家评分，确定主 次，再从各系统内挑选主要的指标作为 评价指标。
文献资料分析优选法：即全面查阅有关 评价指标设置的文献资料，分析各指标 的优缺点并加以取舍。
7
确实重要
一个比另一个评价更有利，且在实践中证明
9
绝对重要
重要程度明显
2, 4
6, 8
两相邻程度的 中间值
➢ 指标聚类法：在存在众多指标的情况下，可将相似指 标聚成类，再从每类中找一个典型指标作为代表，从 而用少量几个典型指标作为评价指标来代表原来众多 的指标建立评价模型。
3.4 指标筛选建议
➢在实际工作中，往往综合使用多种方法 进行指标筛选，在获得较为满意的专业 解释的基础上，优先考虑那些被多种方 法同时选入的指标。
层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称 AHP)：由美国科学家T.L.Saaty于20世纪70年 代提出,是用系统分析的方法，对评价对象依 评价目的所确定的总评价目标进行连续性分 解,得到各级（各层）评价目标，并以最下层 指标作为衡量目标达到程度的评价指标。然 后依据这些指标计算出一综合评分指数对评 价对象的总评价目标进行评价，依其大小来 确定评价对象的优劣等级。
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系统工程学报JOURNAL OF SYSTEMS ENGINEERING1999年第14卷第2期 Vol.14 No.2 1999兼容多个综合评价方案及其分类的数学模型傅荣林秦寿康陈湛本摘要本文研究的模型，是与多种综合评价方法的样品排序有最大相关和给定样品排序分类时有最小差异的新评价模型.这些模型已应用于综合评价广州市工业企业50强中.关键词：评价方案，兼容度，差异度，分类，数学模型分类号：N94MATHEMATICAL MODELS OF THE COMPATIBILITY WITH MULTI-VALUATION SCHEMES AND CLASSIFICATIONSFu Ronglin Qin Shoukang Chen Zhanben(Guangzhou Municipal Institute of Systems Engineering,Guangzhou510400)Abstract In this paper， we study the new priority methods which have the maximal relatio n and the minimal difference degree withmulti-valuation priority methods under g iv en classifications,and the methods are applied in comprehensive evaluation fifty mighty works of Guangzhou City.Key words:valuation schemes,compatibility degree,differencedegree,classification，mathema tical model0 引言指标体系的综合评价方法是否可靠和准确取决于很多因素，一般来说，不存在普遍适用的综合评价方法.正因为如此，人们业已对系统综合评价方法做了很多研究，提出了许多有效的综合评价方法，如层次分析法、主成分分析法、模糊综合评判法、综合指数法和功效评分法等.这些方法都有各自的优点和特色：层次分析法模型具有层次结构，利于将决策者的经验判断给予量化，对目标结构复杂且缺乏一些数据的情况下更为实用，在社会、经济等领域都有着广泛的应用；主成分分析法模型则是理论上比较成熟，能用少数无关的主成分来代表原来众多相关的指标变量，且可从中提取权向量，因而日益为人们所重视；模糊综合评判法模型能把所有影响对象的独立因素联系到一起，应用等级隶属函数的方法，不仅可给出模糊对象的具体量数据乃至综合评价分，且可判定对象的优劣等级；综合指数法通常能与评价指标的统计口径一致，在社会经济统计中应用很广；功效评分法能够根据每一个评价指标的好坏具体给出指标的功效分数，结果直观，能把主观经验定量化，等等.但通常各种评价方法的样品排序结果都有一定的差异，如何把多种评价方法的样品排序结果兼容起来，使之能最大限度体现各种评价方法的结果和优点，这是一个值得研究的问题.针对这一问题，本文做了两方面的工作：①定义兼容度概念，得到了与各种评价方法的样品排序有最大兼容度的排序方法.②定义差异度概念，在给定评价排序分类时求出差异度最小且兼容度尽可能大的评价模型，同时把模型应用于广州市工业企业综合评价50强中，为广州市政府决策提供科学的依据.1 兼容多个评价方案的优化模型记h+1为评价方法(模型)数，n为评价样品数，则对某个评价指标体系，可得h+1种样品排序结果，称为评价方案.本节提出一个兼容各评价方案的优化模型.1.1 兼容度的概念根据多元统计分析理论，第i,j两个评价方案a(i)k 和a (j)k之间的相关程度，可通过(等级)相关系数(1)来度量，其中a(i)k 表示第k号样品在第i方案中所排的序数，a(i)为a(i)k的平均值.为了在等级相关系数意义下评定评价方案的优劣，提出兼容度的概念：定义1某个评价方案的兼容度，是指该评价方案与其它评价方案的等级相关系数的加权平均值.据此，某个评价方案{yk}与其它h个评价方案的兼容度，可按下式计算r y =ryjwj(2)w j =1,wj>0为第j种评价方法所占的相对权数，通常在对各种评价方法没有特别的偏好时都取(1h)，显然，若每种评价方法是独立的，某个方案的兼容度较大，则该方案的代表性较强，可靠性较高，它在兼容度意义下也就较好.1.2 兼容各评价方案的优化模型引理对任意两个递增数列{ai }和{bi}，有aib i≥∑ajbk，后一求和的j和k取1，2，…，n任两个排列的值.证对n用数学归纳法.当n=2时，j与k取不同值时即要证a 1b1+a2b2≥a1b2+a2b1由数列递增性得(a2-a1)(b2-b1)≥0知上式成立.假定不等式对项数为n-1时的数列成立，证明对项数为n时的数列也成立.若∑aj bk在j为n时，k也为n，则不等式的两边同时减去anbn项，由归纳假设知不等式成立；否则∑aj bk必含有项atbn和anbl，因为a n bn-atbn-anbl+atbl=(an-at)(bn-bl)≥0所以∑aj bk≤atbl-albn-anbl+anbn+∑ajbk(3)且∑aj bk+atbl-atbn-anbl=∑aj′bk′(4)j′和k′取1，2，…,n-1的某两个排列的值，于是由归纳假设及(3)和(4)得a i bi≥∑aj′bk′+anbn=∑ajbk+atbl-atbn-anbl+anbn≥∑ajbk即命题成立.定理与h个评价方案有最大兼容度的评价方案，其样品排序可按下法生成：将每个样品的h种排序结果求加权平均值，再对样品的加权平均值按递增规律排序而取序数1，2，…,n.证设所求的评价方案为y={yk}，注意(1)和(2)得(5)故(6)上式求最大是关于y取1，2，…，n的任意排列而言，故由引理知yk的取值规律为按∑hj=1wj a(j)k递增规律排序而相应取1,2,…，n.注由式(5)可看到：若把每一评价方案看成是n维欧氏空间的一个点，则求与h个评价方案有最大兼容度的评价方案的几何意义是：在n维欧氏空间中，求与h个点的欧氏距离平方有最小加权平均的点.2 兼容各评价方案分类的差异度最小的评价模型在实际应用中，经常需要对排序结果进行分类.为了使排序结果的每一分类尽可能与h个评价方案一致，定义差异度的概念.2.1 差异度的概念定义2某一评价方案的差异度，是指以该方案的排序为基准时，位于某一序号范围内(分类范围)的评价样品，在其余各种评价方案中，越出规定序号范围的评价样品个数的平均值.不言而喻，差异度越小，评价方案分类效果越好，但差异度是一局部指标，不能确定最优的分类评价方案，必须要结合兼容度这一整体指标才能得到在差异度最小的情况下，使兼容度尽可能大的分类评价方案.据此，在固定某一分类和等级分类的情况下建立兼容多个评价方案的优化模型.2.2 固定某一分类下，兼容多个评价方案的优化模型设评价方案分为L个类，范围分别为(Mi-1,Mi］,i=1,2,…,L,M=0，ML=n，按定义2，评价方案{xt }与其它h个评价方案关于第k类的差异度dxk为dxk=(1)/(h)λ(j)tk(7)其中下面构造兼容第k类与h个评价方案差异度最小的优化模型.设所求的第k 类优化评价方案为{xt}，令若D1的元素个数为Mk-Mk-1，则令Dx=D1，否则再令若1∪2的元素个数≥Mk-Mk-1，则令Dx=1∪2，否则重复以上做法，必有q,使Dx =1∪2∪…∪q,Dx的元素个数≥Mk-Mk-1.显然，x∈Dx关于i的差异数是严格递增的，i=1, 2,…，q.结合第1节的定理可得{xt }:按wja(j)x,x∈1递增规律排序而相应取M k-1+1,Mk-1+2,…,Mk-1+t1，t1为D1的元素个数，再按wja(j)x，x∈2递增规律排序而相应取Mk-1+t1+1,…,Mk-1+t1+t2,t2为2的元素个数，… ，最后可得{xt}的M k -Mk-1个样品排序结果，这一结果在差异度最小的情况下使兼容度尽可能大.2.3 等级分类下，兼容多个评价方案的优化模型分类的目的通常是给样品定等级，样品排序越前，等级越好.于是，当某种评价方法的样品排序位于第k分类之前，而平均排位在第k类时，不应把这一样品排序看成有一个差异数而使之排位靠后，这时应修改差异度这一概念.定义3某一评价方案的等级差异度，是指以该方案的排序为基准时，位于某一分类范围的评价样品，在其余各种评价方案中，大于分类范围的评价样品个数的平均值.公式(7)变为(8) 其中按照等级差异度公式(8)，仿照2.2做法可构造等级分类下，差异度最小且兼容h个评价方案的优化模型：仿2.2得第1类优化评价方案{xt }M1t=1，然后从n个样品中除去这M1个样品(h个评价方案也如此)，再从n-M1个样品仿2.2第2类优化评价方案{xt}M2t=M1+1,重复这一做法，最终可得优化的评价方案{xt }nt=1.3 应用实例采用国家制定的考核企业的12项指标(市场占有率、利税占有率、全员劳动生产率、成本费用利润率、流动资金周转率、产品销售率、总资产报酬率、净资产收益率、资产负债率、营运资金比率、资本保值增值率，资产增加值率)，对广州市1996年工业企业进行评价与排序，从中优选出工业50强，经初步筛选，从万家企业选出240家企业进行评价择优.采用层次分析法、主成分分析法、模糊综合评判法、功效评分法和综合指数法计算出5个评价方案，然后根据本文的1和2节(分两类，即第1类为1～50，第2类为51～240)的模型分别算出与5个评价方案有最大兼容度和最小差异度的评价方案，各方案的兼容度(wj=1/5,j=1,2,3,4,5,即权数相同)和差异度(范围按每方案的前50名为基准)结果见表1.表1 计算结果由表1可见最大兼容度法和最小差异度法能兼容各种综合评价方法.4 结论①提出了兼容度和差异度的概念，得到了兼容各评价方案的模型与算法，且在计算机上实现 .实践表明，本文提出的兼容各评价方案的优化模型与兼容各评价方案分类的差异度最小的优化模型值得推荐使用.②当今计算机和通讯技术等的飞跃发展，使各种评价方法实现已不再有很大的困难，因此，使用多种方法评价目标将会受到重视，而兼容多种评价方法的研究将会更有活力.③本文提出的模型具有科学性和实用性，本法的数据来源是各种综合评价方法的排序结果，因此能从各个侧面反映评价目标的真实性，把各种排序结果兼容起来的结果会更加可靠，更加科学；同时又可分析每一种评价方法的相关程度，对构造决策支持系统有较强的实用性.作者简介:傅荣林,男,硕士,副教授.male,M.,associate prof.作者单位:广州市系统工程研究所，广州 510400参考文献1 王莲芬，许树柏.层次分析引论.北京：中国人民大学出版社，19892 姜旭平等.PCA方法及其在多准则评估模型中的应用研究.系统工程理论与实践，1 997；17(4)：110～1153 丁瑾等.通信网络系统通话质量的模糊综合评判.系统工程学报，1996；11(3)：9 0～944 杨维权等.多元统计分析.北京：高等教育出版社，19905 吴国富等.多个变量分类和综合的多元分析法.数理统计与管理，1995；14(6)：5 2～596 MCCULLAGH P.Analysis of ordered categorical dataPh.D.Thesis.Universit y of London,19977 秦寿康，傅荣林，陈湛本等.广州市工业企业综合评价系统.1997。