兼容多个综合评价方案及其分类的数学模型

系统工程学报

JOURNAL OF SYSTEMS ENGINEERING

1999年第14卷第2期 Vol.14 No.2 1999

兼容多个综合评价方案及其分类的数学模型

傅荣林秦寿康陈湛本

摘要本文研究的模型，是与多种综合评价方法的样品排序有最大相关和给定样品排序分类时有最小差异的新评价模型.这些模型已应用于综合评价广州市工业企业50强中.

关键词：评价方案，兼容度，差异度，分类，数学模型

分类号：N94

MATHEMATICAL MODELS OF THE COMPATIBILITY WITH MULTI-VALUATION SCHEMES AND CLASSIFICATIONS

Fu Ronglin Qin Shoukang Chen Zhanben

(Guangzhou Municipal Institute of Systems Engineering,Guangzhou

510400)

Abstract In this paper， we study the new priority methods which have the maximal relatio n and the minimal difference degree with

multi-valuation priority methods under g iv en classifications,and the methods are applied in comprehensive evaluation fifty mighty works of Guangzhou City.

Key words:valuation schemes,compatibility degree,difference

degree,classification，mathema tical model

0 引言

指标体系的综合评价方法是否可靠和准确取决于很多因素，一般来说，不存在普遍适用的综合评价方法.正因为如此，人们业已对系统综合评价方法做了很多研究，提出了许多有效的综合评价方法，如层次分析法、主成分分析法、模糊综合评判法、综合指数法和功效评分法等.这些方法都有各自的优点和特色：层次分析法模型具有层次结构，利于将决策者的经验判断给予量化，对目标结构复杂且缺乏一些数据的情况下更为实用，在社会、经济等领域都有着广泛的应用；主成分分析法模型则是理论上比较成熟，能用少数无关的主成分来代表原来众多相关的指标变量，且可从中提取权向量，因而日益为人们所重视；模糊综合评判法模型能把所有影响对象的独立因素联系到一起，应用等级隶属函数的方法，不仅可给出模糊对象的具体量数据乃至综合评价分，且可判定对象的优劣等级；综合指数法通常能与评价指标的统计口径一致，在社会经济统计中应

用很广；功效评分法能够根据每一个评价指标的好坏具体给出指标的功效分数，结果直观，能把主观经验定量化，等等.但通常各种评价方法的样品排序结果都有一定的差异，如何把多种评价方法的样品排序结果兼容起来，使之能最大限度体现各种评价方法的结果和优点，这是一个值得研究的问题.

针对这一问题，本文做了两方面的工作：①定义兼容度概念，得到了与各种评价方法的样品排序有最大兼容度的排序方法.②定义差异度概念，在给定评价排序分类时求出差异度最小且兼容度尽可能大的评价模型，同时把模型应用于广州市工业企业综合评价50强中，为广州市政府决策提供科学的依据.

1 兼容多个评价方案的优化模型

记h+1为评价方法(模型)数，n为评价样品数，则对某个评价指标体系，可得h+1种样品排序结果，称为评价方案.

本节提出一个兼容各评价方案的优化模型.

1.1 兼容度的概念

根据多元统计分析理论，第i,j两个评价方案a(i)

k 和a (j)

k

之间的相关程度，

可通过(等级)相关系数

(1)

来度量，其中a(i)

k 表示第k号样品在第i方案中所排的序数，a(i)为a(i)

k

的平均值.

为了在等级相关系数意义下评定评价方案的优劣，提出兼容度的概念：定义1某个评价方案的兼容度，是指该评价方案与其它评价方案的等级相关系数的加权平均值.

据此，某个评价方案{y

k

}与其它h个评价方案的兼容度，可按下式计算

r y =r

yj

w

j

(2)

w j =1,w

j

>0为第j种评价方法所占的相对权数，通常在对各种评价方法没有特

别的偏好时都取(1h)，显然，若每种评价方法是独立的，某个方案的兼容度较大，则该方案的代表性较强，可靠性较高，它在兼容度意义下也就较好.

1.2 兼容各评价方案的优化模型

引理对任意两个递增数列{a

i }和{b

i

}，有a

i

b i≥∑a

j

b

k

，后一求和的j

和k取1，2，…，n任两个排列的值.

证对n用数学归纳法.

当n=2时，j与k取不同值时即要证

a 1b

1

+a

2

b

2

≥a

1

b

2

+a

2

b

1

由数列递增性得(a

2-a

1

)(b

2

-b

1

)≥0知上式成立.

假定不等式对项数为n-1时的数列成立，证明对项数为n时的数列也成立.

若∑a

j b

k

在j为n时，k也为n，则不等式的两边同时减去a

n

b

n

项，由归纳假

设知不等式成立；否则∑a

j b

k

必含有项a

t

b

n

和a

n

b

l

，因为

a n b

n

-a

t

b

n

-a

n

b

l

+a

t

b

l

=(a

n

-a

t

)(b

n

-b

l

)≥0

所以

∑a

j b

k

≤a

t

b

l

-a

l

b

n

-a

n

b

l

+a

n

b

n

+∑a

j

b

k

(3)

且

∑a

j b

k

+a

t

b

l

-a

t

b

n

-a

n

b

l

=∑a

j′

b

k′

(4)

j′和k′取1，2，…,n-1的某两个排列的值，于是由归纳假设及(3)和(4)得

a i b

i

≥∑a

j′

b

k′

+a

n

b

n

=∑a

j

b

k

+a

t

b

l

-a

t

b

n

-a

n

b

l

+a

n

b

n

≥∑a

j

b

k

即命题成立.

定理与h个评价方案有最大兼容度的评价方案，其样品排序可按下法生成：将每个样品的h种排序结果求加权平均值，再对样品的加权平均值按递增规律排序而取序数1，2，…,n.

证设所求的评价方案为y={y

k

}，注意(1)和(2)得