《二次根式》培优专题一精编版
二次根式培优(可编辑修改word版)
a -1 2 -b2x -4yb -a a -b a -b(1-x)2a2(a -1)22 ⨯ 33 ⨯ 32 ⨯ 55 ⨯ 56 66 + 56 + 5 6 5二次根式专题一二次根式 a (a ≥ 0) 非负性的综合应用1.已知实数a, b满足+= 0 ，则a +b =.2.若y = 3 + 5 + 3 ，求( 5x) y的值.3.已知+- 2 -2 = 0 ，求x 与y 的值. 专题二利用二次根式的性质将代数式化简4.把(a -b)化成最简二次根式正确的结果是（）A. B. C. - D. -5.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则( a - 3)2+ 化简后为（）A.2B.-8C. 8 - 2aD. -2 - 2a6.化简：-+ ( x -2)2.7.已知( a )2<1，化简：.专题一二次根式的分母有理化1.阅读下列运算过程：二次根式的乘除运算==2 3，3==2 5.52数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么化简的结果是（）A．2 B．6 C．D．312.化简：，甲、乙两位同学的解法如下：甲：1== - ；4 -2x xy x-1a -bb -a(a -5)2(x + 2)22 32566 - 5( 6 + 5)( 6 - 5)6 + 5 6 5 1⨯( 2 -1) ( 2 +1)( 2 -1)2 3 + 2 1⨯( 3 - 2) ( 3 + 2)( 3 - 2)3 24 + 34 3 2 +13 + 2n 2 3 2 + 2 3 2 3 23 3 (23 - 2) + 2 22 -1 2(22 -1) + 2 22 -1 2 + 2 3 乙：1 = 6 - 5 =（ 6 + 5）（ 6 - 6 + 55）= - .下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙的解法都正确B ．甲正确，乙不正确C ．甲、乙的解法都不正确D ．乙正确、甲不正确3.观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：1== 2 -11 = = = -1，= - ，3 - 21 11 同理可得：= - ，… .从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（++1 1+…+）（+1 ）的值．2013 + 2012专题二 二次根式乘除中的规律与方法4. 计算：（1） ( +1)( -1) =；（2） ( + 2)( - 2) =；（ 3） (2 + 3)(2 - 3) =；（4） ( + 2)( - 2) =；根据以上规律，请写出用 n （ n 为正整数）表示上述规律的式子：.5. 已知 a = - n +1 ， b = - （ n > 0 ），试比较 a 、b 的大小.6. 观察下列各式及其验证过程:2 = ，验证： 2 = = = =．(1) 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4（2）针对上述各式反映的规律，写出用 n ( n 为自然数，且 n ≥ 2 )表示的等式，并证明它成立.6 + 5 2 +12 -13 - 24 + 32013 2 2 3 3 5 5 n + 3 n + 2 4152 5 2 ⨯ 4 ⨯ 6 ⨯ 8 +16 16 4 ⨯ 6 ⨯ 8⨯10 +16 (4 ⨯10)2 16 6 ⨯ 8⨯10 ⨯12 +16 (6 ⨯12)2 16 8⨯10 ⨯12 ⨯14 +16 (8⨯14)2 16 2n (2n + 2)(2n + 4)(2n + 6) +16 1 2 + 1专题 二次根式的加减运算规律与技巧1.计算： (1 + 3)(2 - 3)．2.已知 x = + ， y = - ，求 x 2 - xy + y 2 的值.3. 观察下列各算式：① =+ = 16 + 4 = 20 ；② = + = 40 + 4 = 44 ；③ = + = 72 + 4 = 76 ；④ = + = 112 + 4 = 116 ，…（1） 根据以上规律计算：；（2） 请你猜想的结果（用含 n 的式子表示）.4. 如果记 y = x 1 + x = f (x ) ，并且 f ( 1) 表示当 x =时 y 的值，即 f ( 1) == 1； f ( 22) ) 表示当 x =时 y 的值，即 f ( 2 ) =； f ( 1) 表示当 x = 2时 y 的值，即 f ( 1) = 2 = ；….求 f (1) + f ( + f ( 1) + f ( 2 3) + f ( 1) + + f ( 3100 ) + f ( ) 的值．5 2 (2 ⨯ 8)2 2006 ⨯ 2008⨯ 2010 ⨯ 2012 +16 1 1 1 + 1 2 21 +2 1 2 12 1 + 1 22) 1 1003 + 2 a b 5 3 2 2 3专题一 二次根式与乘法公式 二次根式的混合运算1.计算： (2 + 3)2013(2 - 3)2014 = .2. 计算： (- 2)3 ( + 8)3 ．3. 已知 a =， b = ，求 a 3b - ab 3 的值.专题二 二次根式与新定义运算4. 对于两个不相等的实数 a 、b ，定义一种新的运算如下： a * b =a - b(a + b > 0) ，如： 3* 2 ==3 - 2，那么6 *(5 * 4) =.5. 用“ ⊗ ”定义一种新运算：对任意实数 a 、b ，都有 a ⊗ b =- (a > b > 0) ，如： 5 ⊗ 3 = - ，求(16 ⊗ 4) ⊗ (25 ⊗ 9) 的值.专题三 二次根式与其他知识的综合应用6. 已知长方形的长为(2 + 3 2) cm ，宽为(2 - 3 2) cm ，则长方形的面积为cm ².7. 已知 a =1 1- 2a + a2 ，求- a -1a 2 - a的值.8. 先化简，再求值： b 2 - a 2 ÷ (a + 2ab + b 2)( 1 + 1 ) ，其中 a = + ， b = - . a 2- ab a a b3 12 12 -11 2 +1 a + b 5 5 5 2 + 3a 2- 2a +1 3。
二次根式培优提高训练
《二次根式》培优一、知识讲解1．根式中的相关概念⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。
⑵ nn 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。
⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。
⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。
时，a c +=+ 2. 二次根式的性质 （1）()20a a =≥. （200 0 0a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩当时，当时，当时.3.二次根式的运算法则：对于二次更是的加减，先把二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可. （1）(a b =+ （2)0,0a b ≥≥（3）)0,0a b =≥> （4）)0ma =≥（5）若0a b >>>4. 分母有理化（1）把分母中的根号化去叫做分母有理化.（2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式.互为有理数因式。
分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0.二、习题讲解基础巩固1.化简：（1） （2（3（4）（5（6） 解：（1）. （23. （3）（43. （5）232-.（6）2. 设y =，求使y 有意义的x 的取值范围.解：由题知2102010x x x -≥⎧⎪-≥⎨⎪->⎩，解得1221x x x ⎧≥⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩，所以x 的取值范围为122x ≤≤.3.（1）已知最简二次根式ba = ，b = . （2）已知0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 .解：（1）由题知：2322b a b b a -=⎧⎨=-+⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩.（2）因为0≥，2160m -≥0=所以221016040n m m m -+=⎧⎪-=⎨⎪->⎩，解得49m n =-⎧⎨=-⎩.所以15===.所以2mn n +-的倒数的算术平方根为15.4. （1）若m=，试确定m 的值.（2）已知x 、y为实数，13y x =-，求56x y +.解：（1）因为19901990x y x y -+≥⎧⎨--≥⎩，即199199x y x y +≥⎧⎨+≤⎩，所以199x y+=①.所以0=.又因为0≥0≥，所以3520 230 x y m x y m +--=⎧⎨+-=⎩②③.由①，②，③可得：2001m =.5.在、1999有多少个？解：由题知：==19个.6.计算：（1）((1617解：（1）原式((16=⎡⎤⎣⎦()(16=1211-（2）(5+解：原式(()=5555256+-（3）22-解：原式22=⎤⎤+-⎦⎦=⎤⎤+⎦⎦===（4）计算：(1111x x +++解：原式((1111x x ⎡⎤⎡⎤=++-⎣⎦⎣⎦()()()()222311111x x x x x x ⎡⎤=-+-=-++=-⎢⎥⎣⎦（5）(解：原式{}{}⎤⎤⎡⎡=⎦⎦⎣⎣()()523235⎡⎤⎡⎤=--+-⎣⎦⎣⎦=24=.7.化简：=..A. BCD解：()()⎣⎦=⎡⎡+⎣⎣()()222+=-=212==12=+8.计算：.解：原式()()4172x x --=())())417247x x x x --=---)12=-3=-.9.设x =，y =，n 为自然数，如果22219721993x xy y ++=成立，求n的值.解：由题知：()2222197221931993x xy y x y xy ++=++=x y +=22+==42n =+.1xy ==.当x y +==-1xy =时，()224219311993n ++⨯=，即()242900n +=. 因为n 为自然数，所以4230n +=，解得7n =.10. 若正整数a 、m 、n=，则a 、m 、n 的值依次是 . 解：因为0≥0≥，即m n ≥.由题知：22=，即2a m n -=+-所以2a m n =+=.故有8mn=.因为a 、m、n 为正整数，所以8m =，1n =，3a =. 11.（1）)))201220112010121412010--+= .解：原式)))20102112142010⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦)2010151242010⎡⎤=+--+⎣⎦2010=.（2）化简：解：原式==3=3=3==3===.二、拓展提高1.已知x=，y=，求22y xx y+的值.解：由题知：原式()()()()()()()2 22332223x y x y xy x y x xy yy xxy xyxy⎡⎤++-+-++⎣⎦===x y+=22+=10=，1xy==. 当10x y+=，1xy=时，原式()22101031⨯-=970=.2.（1））. 5A-1B-. 5C. 1D（2）代数式.解:（1）=)21=2=，==3=-.所以231=+-=，故答案选D.（2）222=+82818=++=因为0≥==3.若1x =，则54322171816x x x x x +--+-的值为 .解：因为1x =，所以()221x -=，化简的22160x x --=.原式543322216216216x x x x x x x x =+---+++-()()222161x x x x =+--+()201x x =⨯-+0=4. 已知非零实数a 、b 满足等式542b a a b ab b a ++=+的值. 解：由542b a a b ab b a++=+可得：22542b a a b ++=+，即()()22120b a -+-=，解得2a =，1b =.所以原式1===.5.22006= 解：令2006x =，由题知： 原式2x =2x =2x =2x =221x x x =+--1200612005x =-=-=.6. 已知2=的值为 .解：令m =n 22210m n m n -=⎧⎨-=⎩. 所以()()()22210x y x y x y x y -=+-=+=5m n =+=.7.化简：.解：原式=-==2==5=.8.计算：⋅⋅⋅+.解：原式==+⋅⋅⋅+4512025=-1145=-4445=.9.⋅⋅⋅+解：原式=37132612=++⋅⋅⋅1111111112233420102011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112010122320102011=+++⋅⋅+⨯⨯⨯111112010122320102011=+-+-+⋅⋅+-1201012011=+-201020102011=。
二次根式培优提高训练
《二次根式》培优一、知识讲解1．根式中的相关概念⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。
⑵ nn 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。
⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。
⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。
⑸设a 、b 、c 、d 、m 是有理数，且m 不是完全平方数 ，则当且仅当a c =、b d =时，时，a c +=+2. 二次根式的性质 （1）()20a a =≥. （200 0 0a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩当时，当时，当时. 3.二次根式的运算法则：对于二次更是的加减，先把二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可. （1）(a b =+ （2)0,0a b =≥≥（3）)0,0a b =≥> （4）)0ma =≥（5）若0a b >>>4. 分母有理化（1）把分母中的根号化去叫做分母有理化.（2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式.互为有理数因式。
分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0.二、习题讲解基础巩固1.化简：（1） （2（3（4）（5（6） 解：（1）（2. （3）（4. （5）232-（6）. 2. 设y =，求使y 有意义的x 的取值范围.解：由题知2102010x x x -≥⎧⎪-≥⎨⎪->⎩，解得1221x x x ⎧≥⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩，所以x 的取值范围为122x ≤≤.3.（1）已知最简二次根式ba = ，b = . （2）已知0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 .解：（1）由题知：2322b a b b a -=⎧⎨=-+⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩.（2）因为0≥，2160m -≥0=所以221016040n m m m -+=⎧⎪-=⎨⎪->⎩，解得49m n =-⎧⎨=-⎩.所以15===.所以2mn n +-的倒数的算术平方根为15.4. （1）若m=试确定m 的值.（2）已知x 、y为实数，13y x =-，求56x y +.解：（1）因为19901990x y x y -+≥⎧⎨--≥⎩，即199199x y x y +≥⎧⎨+≤⎩，所以199x y+=①.所以0=.又因为0≥0≥，所以3520 230 x y m x y m +--=⎧⎨+-=⎩②③.由①，②，③可得：2001m =.5.在、1999是同类二次根式的共有多少个？解：由题知：==19个. 6.计算：（1）((1617解：（1）原式((16=⎡⎤⎣⎦()(16=1211-（2）(5+解：原式(()=5555256+--（3）22-解：原式22=⎤⎤-⎦⎦=⎤⎤⎦⎦===（4）计算：(1111x x ++++解：原式((1111x x ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()()()()222311111x x x x x x ⎡⎤=-+-=-++=-⎢⎥⎣⎦（5）(解：原式{}{}⎤⎤⎡⎡=⎦⎦⎣⎣()()523235⎡⎤⎡⎤=--+-⎣⎦⎣⎦=24=.7.化简：=..A. BCD解：()()⎣⎦=⎡⎡-+⎣⎣=-=212+==12=+8.计算：. 解：原式()()4172x x --=())())417247x x x x --=---)12=-3=-.9.设x =，y =，n 为自然数，如果22219721993x xy y ++=成立，求n的值.解：由题知：()2222197221931993x xy y x y xy ++=++=x y +=+22+==42n =+.1xy ==.当x y +==-1xy =时，()224219311993n ++⨯=，即()242900n +=. 因为n 为自然数，所以4230n +=，解得7n =.10. 若正整数a 、m 、n=a 、m 、n 的值依次是 . 解：因为0≥，即m n ≥.由题知：22=，即2a m n -=+-.所以2a m n =+=.故有8mn=.因为a 、m 、n 为正整数，所以8m =，1n =，3a =. 11.（1）)))201220112010121412010--+= .解：原式)))20102112142010⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦)2010151242010⎡⎤=+--+⎣⎦2010=.（2）化简：解：原式==3=3=3==3===.二、拓展提高1.已知x=，y=，求22y xx y+的值.解：由题知：原式()()()()()()()2 22332223x y xy xyx y x xy yy xxyxy xy⎡⎤++-+-++⎣⎦===x y+=22+=10=，1xy==. 当10x y+=，1xy=时，原式()22101031⨯-=970=.2.（1））. 5A-1B. 5C. 1D（2）代数式.解:（1）=)21=2=，==3=-所以231=+-=，故答案选D.（2）222=+82818=+=因为0≥==3.若1x =，则54322171816x x x x x +--+-的值为 .解：因为1x =，所以()221x -=，化简的22160xx --=.原式543322216216216x x x x x x x x =+---+++-()()222161x x x x =+--+()201x x =⨯-+0=4. 已知非零实数a 、b 满足等式542b a a b ab b a ++=+. 解：由542b a a b ab b a++=+可得：22542b a a b ++=+，即()()22120b a -+-=，解得2a =，1b =.所以原式1===.5.22006= 解：令2006x =，由题知： 原式2x =2x =2x =2x =221x x x =+--1200612005x =-=-=.6. 已知2=的值为 .解：令m =n =22210m n m n -=⎧⎨-=⎩. 所以()()()22210x y x y x y x y -=+-=+=5m n =+=.7.化简：.解：原式===2=51-=-5=.8.计算：⋅⋅⋅+.解：原式=+⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅4512025=-1145=-4445=.9.⋅⋅⋅+解：原式=37132612=++⋅⋅⋅1111111112233420102011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112010122320102011=+++⋅⋅+⨯⨯⨯111112010122320102011=+-+-+⋅⋅+-1201012011=+-201020102011=。
二次根式拓展专题培优
二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题：1、使式子xx 2-有意义的x 的取值范围是 2、无论x 取任何实数，m x x +-62都有意义，则m 的取值范围是3、已知22284x x y -+-=，求x+y 的值4、已知实数a,b,c 满足0432=-++b a ,012442=--+c b c ，求a+b+c 的值.练习： 1、使式子11--x x 有意义的x 的取值范围是 2、若4342-=-+-b a a ，则b a 22-= 3、若a a a =-+-20152014,则22014-a = 二、简单的二次根式的化简例题：1、如果式子322)1(2-=-+-x x x ，则x 的取值范围是 2、把a b b a --1)(根号外的因式移到根号内的结果为练习：1、化简（1)a a 1- (2）22x xx --2、已知a ，b ，c 为∆ABC 的三边,化简2222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是3、若x x +=-11，则2)1(-x =三、二次根式的运算与规律探究例题:1、观察下列各式：1131432112+⨯+=⨯⨯⨯+，1232543212+⨯+=⨯⨯⨯+,1333654312+⨯+=⨯⨯⨯+,猜测=⨯⨯⨯+201720162015201412、计算2201612018201720162015-+⨯⨯⨯的结果为练习:1、设n,k 为正整数，，，，已知,则2、小明做数学题时,发现,，,，按上述规律,第n 个等式是3、设S=++…+，求不超过S 的最大整数四、分母有理化例题：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述,其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：，与的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式可以这样解:,像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化．解决问题:①的有理化因式是 ，121分母有理化得 ②计算：③计算:．④已知，，则⑤已知:,,，试比较a 、b 、c 的大小。
(完整word)二次根式培优题
二次根式培优题1. 若02=+a a ,则a 的取值范围是___________.2. 若代数式1681222+-++-x x x x 的结果是5—2x ，则x 的取值范围是__________.3. 已知ABC ∆的边长为c b a 、、(c b a 、、为整数),且满足04412=+-+-b b a ，求ABC ∆的周长.4. 若x 满足23)31(2x x --=-，则x 的整数解的个数有_____个.5. 在实数范围内分解因式: (1) 32-a ; （2)742-a ； （3))0,0(2>>++y x y xy x 。
6. 已知实数a 满足()a a a =-+-220072006，那么2006-a 的值是_______.7. 若m 满足等式y x y x m y x m y x --⋅+-=-++--+19919932253，试确定m 的值.8. 要使代数式2113----x x 有意义，实数x 的取值范围是_______________。
9. 比较大小：25 , 32 , 23---.10.化简:(1) )0(48342>+-y y y ;（2)()()()0222222>--+ab b a b a(2)161213b -； （4）23322-; (5）b a 3--;(6) )0(12122>>+-b a bab a a ;(7）32416++⨯。
11。
把下列各式中根号外的因式移到根式内：(1) x y xy -； （2)aa --⋅-11)1(。
12。
计算:(1)3232245-；（2）3612-;(3）)5131(15-÷（3）()()201220112323-⨯+；（4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷7225283212；(5)()()()()13132131322+--++-(6) ()()632632+--+(7) ba b a aba b a a a +----;(8）()()233623346++++13。
《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)
《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1《二次根式》培优专题之一——难点指导及典型例题【难点指导】1、如果a 是二次根式，则一定有a ≥0；当a ≥0时，必有a ≥0；2、当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，因此有()a a =2；反过来，也可以将一个非负数写成()2a 的形式； 3、()2a 表示a 2的算术平方根，因此有a a =2，a 可以是任意实数； 4、区别()a a =2和a a =2的不同： 2a 中的可以取任意实数，()2a 中的a 只能是一个非负数，否则a 无意义． 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若m ＜0，则将负号留在根号外．即： x m x m 2-=(m ＜0)．（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：6、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有． 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．【典型例题】1、概念与性质2、二次根式的化简与计算例1. 化简a a 1-的结果是（ ） A ．a - B ．a C ．-a - D ．-a分析：本题是同学们在做题时常感困惑,容易糊涂的问题.很多同学觉得选项B形式最简单,所以选B;还有的同学觉得应有一个负号和原式对应,所以选A 或D;这些都是错误的.本题对概念的要求是较高的,题中隐含着0a <这个条件,因此原式的结果应该是负值,并且被开方数必须为非负值.解：C. 理由如下:∵二次根式有意义的条件是10a -≥,即0a <， ∴原式=211()()()a a a a a---=--⋅-=--.故选C. 例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式解：例3、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512+，b=512-．3、在实数范围内分解因式例. 在实数范围内分解因式。
二次根式培优试卷
第一章二次根式好题精选一．选择题1．下列各式中计算正确的是（）A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8 B．＝4a（a＞0）C．＝3+4＝7 D．＝2．化简（x≠y，且x、y都大于0），甲的解法；＝＝﹣；乙的解法：＝＝﹣，下列判断正确的是（）A．甲的解法正确，乙的解法不正确B．甲的解法不正确，乙的解法正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确3．设a，b≠0，式子有意义，则该式等于（）A．B．C．D．4．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a5．若＝3﹣a，则a与3的大小关系是（）A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥36．已知，则的值为（）A．1 B．C．D．7．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x8．估计代数式+的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间9．若＝﹣，则（）A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．ab≤0 D．ab≤0且b≠010．设S 1＝1，S2＝1+3，S3＝1+3+5，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），S＝++••+，其中n为正整数，用含n的代数式表示S为（）A．n B．C．n2D．二．填空题（共10小题） 11．已知：x ＝，计算x 2﹣x +1的值是 ．12．化简：()()23352325-+-+的结果为____________________13．在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一点，如果这个正方形的面积为m ，△ABE 的面积等于正方形面积的四分之一，那么BE 的长用含m 的代数式表示为 ． 14．化简：2＜x ＜4时，﹣＝ ．15．已知a ，b 均为正整数，如果0＜﹣b ＜1，我们称b 是的“主要值”，那么的主要值是 ．三．解答题（共15小题） 16．计算（1）﹣+（2）（）（）﹣（﹣）217．．18．先化简，再求值 （1）（﹣），其中a ＝17﹣12，b ＝3+2（2）（a +）（a ﹣）﹣（﹣a ）2，其中a ＝2﹣1．（3）+，其中x＝19．观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）20．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．21．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．22．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值23．（利用解决本题）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：++．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．下列计算正确的是（）A．＝±4 B．2×32＝62＝36C．（﹣5）÷（﹣2）×（﹣）＝﹣5 D．﹣2×+2×（3+）+4＝10【分析】根据实数与二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．【解答】解：A．＝4，此选项错误；B．2×32＝2×9＝18，此选项错误；C．（﹣5）÷（﹣2）×（﹣）＝×（﹣）＝﹣，此选项错误；D．﹣2×+2×（3+）+4＝﹣2+6+2+4＝10，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．化简（x≠y，且x、y都大于0），甲的解法；＝＝﹣；乙的解法：＝＝﹣，下列判断正确的是（）A．甲的解法正确，乙的解法不正确B．甲的解法不正确，乙的解法正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确【分析】分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，或者运用因式分解和约分．【解答】解：甲的解法：＝＝﹣，利用平方差公式进行分母有理化，正确；乙的解法：＝＝﹣，利用因式分解进行分母有理化，正确；故选：C．【点评】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，分母有理化是指把分母中的根号化去．3．下列计算正确的是（）A．＝±15 B．＝﹣3 C．＝D．＝【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、＝15，故此选项错误；B、＝3，故此选项错误；C、＝，故此选项错误；D、＝，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．4．设a，b≠0，式子有意义，则该式等于（）A．B．C．D．【分析】先根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式﹣a3≥0，再根据公式＝|a|及有理数的乘法法则得出a、b的取值范围，然后化简即可．【解答】解：由题意，得﹣a3≥0，又∵＝b2≥0，b为任意数，∴﹣a3≥0，∴a≤0，∴＝＝•＝．故选：D．【点评】本题主要考查了二次根式的性质及二次根式的化简．用到的知识点有：①二次根式的被开方数是非负数；②两个公式：＝（a≥0，b≥0），＝|a|．5．下列各式中计算正确的是（）A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8B．＝4a（a＞0）C．＝3+4＝7D．＝【分析】根据二次根式的意义、性质逐一判断即可得．【解答】解：A．、没有意义，此选项错误；B．＝2a（a＞0），此选项错误；C．＝＝5，此选项错误；D．＝，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是二次根式的定义和性质．6．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（）A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a【分析】首先根据三角形的三边关系得到根号内或绝对值内的式子的符号，再根据二次根式或绝对值的性质化简．【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边，∴a+c＞b，a+b＞c，即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．故选：B．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，＝a；a＜0时，＝﹣a；a＝0时，＝0．绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数；正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0．7．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（）A．n B．n C．n D．n+【分析】认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1…f（）+f（）＝1，所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．故选：A．【点评】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．8．若＝3﹣a，则a与3的大小关系是（）A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3【分析】等式左边为算术平方根，其结果3﹣a应该为非负数．【解答】解：∵＝3﹣a∴3﹣a≥0∴a≤3故选：B．【点评】注意：算术平方根是非负数，这是解答此题的关键．9．已知，则的值为（）A．1 B．C．D．【分析】根据，可以求得a、b的值，从而可以求得所求式子的值，本题得以解决．【解答】解：∵，∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，解得，a＝3，b＝2，∴＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查二次根式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．10．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x【分析】先进行因式分解，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．【解答】解：＝＝|x﹣1|∵x＜1，∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，故选：D．【点评】根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．11．的整数部分是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由于＝﹣1，＝﹣，…，＝﹣+，于是可得原式＝﹣1+﹣+…﹣+，计算即可．【解答】解：∵＝﹣1，＝﹣…＝﹣+，∴原式＝﹣1+﹣+…﹣+＝﹣1+10＝9．【点评】本题考查了二次根式的加减法．解题的关键是对每一个分式分母有理化．12．估计代数式+的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【分析】先化成最简二次根式，再合并，最后求出的范围即可．【解答】解：+＝+＝2＝，∵2＜＜3，∴代数式+的运算结果在2到3之间，故选：B．【点评】本题考查了二次根式的加减法，估算无理数大小的应用，主要考查学生的计算能力．13．已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先把化为最简二次根式，由+3＝可知，化为最简根式应与为同类根式，即可得到此方程的正整数解的组数有三组．【解答】解：∵＝10，x，y为正整数，∴，化为最简根式应与为同类根式，只能有以下三种情况：+3＝+9＝4+6＝7+3＝10．∴，，，共有三组解．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．14．若＝﹣，则（）A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．ab≤0 D．ab≤0且b≠0【分析】先判断结果的情况，再判断ab积的情况．【解答】解：∵＝≥0又∵＝﹣，∴﹣≥0∴ab≤0且b≠0故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题需着眼于整体．本题易忽略b≠0而出错．15．设S 1＝1，S2＝1+3，S3＝1+3+5，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），S＝++••+，其中n为正整数，用含n的代数式表示S为（）A．n B．C．n2D．【分析】求出S1，S2，S3，…的值，代入后根据二次根式的性质求出每一部分的值，再求出最后结果即可．【解答】解：∵S1＝1，S2＝1+3＝4，S3＝1+3+5＝9，…，S n＝1+3+5+…+（2n﹣1），∴S＝++••+，＝+++…+＝1+2+3+…+n＝，故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：1+2+3+…n＝．二．填空题（共10小题）16．计算（）＝．【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可得．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝×＝，故答案为：【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．17．如果（a，b为有理数），则a＝6，b＝4．【分析】先计算出（2+）2，再根据可得答案．【解答】解：∵（2+）2＝4+4+2＝6+4，∴a＝6、b＝4．故答案为：6、4．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．18．计算：（3+1）（3﹣1）＝17．【分析】根据平方差公式计算即可．【解答】解：原式＝（3）2﹣12＝18﹣1＝17故答案为：17．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键．19．已知：x＝，计算x2﹣x+1的值是+4．【分析】先将x的值分母有理化得出x＝+1，再代入原式，根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：∵x＝＝＝＝+1，∴x2﹣x+1＝（+1）2﹣（+1）+1＝4+2﹣﹣1+1＝+4．故答案为：+4．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及分母有理化．20．当x＝1﹣时，x2﹣2x+2028＝2030．【分析】将x的值代入x2﹣2x+2028＝（x﹣1）2+2027，根据二次根式的运算法则计算可得．【解答】解：当x＝1﹣时，x2﹣2x+2028＝（x﹣1）2+2027＝（1﹣﹣1）2+2027＝（﹣）2+2027，＝3+2027＝2030，故答案为：2030．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则及完全平方公式．21．若x＝﹣1，则＝2．【分析】将x的值代入原式＝，计算可得．【解答】解：当x＝﹣1时，原式＝＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．22．已知：m+n＝10，mn＝9，则＝±．【分析】先求所求的代数式的完全平方形式，然后直接开平方即可求得的值．【解答】解：∵m+n＝10，mn＝9，∴（）2＝＝＝＝，∴＝±．故答案是：．【点评】考查了二次根式的化简求值，需要掌握完全平方公式，属于基础计算题．23．在正方形ABCD中，E是边BC上一点，如果这个正方形的面积为m，△ABE的面积等于正方形面积的四分之一，那么BE的长用含m的代数式表示为．【分析】首先根据正方形的面积，表示出△ABE的面积，然后利用三角形的面积的公式表示出线段BE的长即可．【解答】解：∵正方形的面积为m，△ABE的面积等于正方形面积的四分之一，∴正方形的边长AB＝，△ABE的面积为，∵S△ABE＝AB•BE＝BE＝，∴BE＝，故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是表示出正方形的边长及直角三角形的面积．24．化简：2＜x＜4时，﹣＝2x﹣6．【分析】首先根据x的范围确定x﹣2与x﹣4的符号，然后利用算术平方根的定义，以及绝对值的性质即可化简．【解答】解：∵2＜x＜4，∴x﹣2＞0，x﹣4＜0，∴原式＝﹣＝|x﹣2|﹣|x﹣4|＝x﹣2﹣（4﹣x）＝x﹣2﹣4+x＝2x﹣6．故答案为：2x﹣6．【点评】本题考查了二次根式的化简，正确理解算术平方根的性质是关键．25．已知a，b均为正整数，如果0＜﹣b＜1，我们称b是的“主要值”，那么的主要值是4．【分析】根据a，b均为正整数，如果0＜﹣b＜1，我们称b是的“主要值”，可以求得的主要值．【解答】解：∵0＜﹣4＜1，∴的主要值是4，故答案为：4．【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，可以估算出处于哪两个整数之间．三．解答题（共15小题）26．计算（1）﹣+（2）（）（）﹣（﹣）2【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．【解答】解：（1）原式＝﹣2+10＝；（2）原式＝2﹣6﹣（2﹣2+）＝﹣4﹣＝﹣4．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．27．当t＝2时，求二次根式的值．【分析】将t的值代入＝＝|3﹣t|计算可得．【解答】解：当t＝2时，＝＝|3﹣t|＝|3﹣2|＝3﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的基本性质．28．已知a，b，c为△ABC三边，化简+|b﹣a﹣c|．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定a﹣b﹣c以及绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【解答】解∵a，b，c为△ABC三边，∴原式＝|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝b+c﹣a+a+c﹣b＝2c．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．29．．【分析】根据二次根式的定义得出x﹣8≥0，8﹣x≥0，求出x，代入求出y，把所求代数式化简后代入求出即可．【解答】解：要使y＝++9有意义，必须x﹣8≥0，且8﹣x≥0，解得：x＝8，把x＝8代入得：y＝0+0+9＝9，∴＝，＝+，＝+，＝．【点评】本题考查了对二次根式有意义的条件，二次根式的化简，分母有理化等知识点的应用，解此题的关键是求出x、y的值，通过做此题培养了学生灵活运用性质进行求值的能力，题目比较典型．30．计算：（1）﹣+（2）（﹣）（+）+（﹣1）2【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．【解答】解：（1）原式＝4﹣3+＝；（2）原式＝5﹣2+4﹣2＝7﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．31．化简求值：已知：x＝，y＝，求（x+3）（y+3）的值．【分析】将x和y的值分母有理化，再代入到原式xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9计算可得．【解答】解：当x＝＝＝，y＝＝＝时，原式＝xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9＝×+3×（+）+9＝+3×+9＝+3+9＝+3．【点评】此题考查了二次根式的化简求值与分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式及二次根式的混合运算顺序与运算法则是解答问题的关键．32．先化简，再求值：（﹣），其中a＝17﹣12，b＝3+2【分析】将原式利用二次根式的性质和运算法则化简为，由a＝17﹣12＝（3﹣2）2、b＝3+2＝（+1）2，代入计算可得．【解答】解：原式＝（﹣）•＝[﹣]•＝•＝，∵a＝17﹣12＝32﹣2××（2）2＝（3﹣2）2，b＝3+2＝（）2+2+1＝（+1）2，∴原式＝＝＝＝．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．33．先化简，再求值：（a+）（a﹣）﹣（﹣a）2，其中a＝2﹣1．【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可化简二次根式，最后将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝a2﹣5﹣3﹣a2+2a＝2a﹣8．∵a＝2﹣1，∴原式＝2×（2﹣1）﹣8＝4﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和二次根式的性质．34．先化简，再求值：已知x＝，求+的值．【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案．【解答】解：∵x＝＝3﹣2，∴x﹣2＝1﹣2＜0，则原式＝x﹣1+＝x﹣1﹣1＝x﹣2＝1﹣2．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质．35．观察下列各式：＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）＝1（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：＝1+；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；（2）根据规律，写出等式；（3）根据（2）的规律，即可解答．【解答】解：（1）＝1＝1；故答案为：1；（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；（3）．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．36．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：（1）∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2××＝（+）2，∴＝＝+；（2）∵7﹣4＝4+3﹣4＝22+（）2﹣2×2×＝（2﹣）2，∴＝＝2﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．37．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与3+互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，故答案为：3，；（2）＝﹣2＝2﹣；（3）∵，∴a（﹣1）+b＝﹣1+2，∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，∴﹣a＝﹣1，a+＝2，解得，a＝1，b＝2．【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．38．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值【分析】先由a、b的值计算出a+b、a﹣b、ab的值，再代入到原式＝a2+3ab+b2﹣a+b＝（a+b）2﹣（a﹣b）+ab．【解答】解：∵a＝，b＝，∴a+b＝2，a﹣b＝﹣2，ab＝1，∴原式＝a2+3ab+b2﹣a+b＝a2+2ab+b2﹣a+b+ab，＝（a+b）2﹣（a﹣b）+ab＝（2）2﹣（﹣2）+1＝13+2．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，在解答此题类目时要根据各题的特点灵活解答．39．（利用解决本题）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：++．【分析】根据两边之和大于第三边可将各二次根式求出，从而可得出化简后的答案．【解答】解：由三边关系得：a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c＝4c．【点评】本题考查二次根式的化简及三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是关键．40．现有一组有规律的数：1，﹣1，，﹣，，﹣，1，﹣1，，﹣，，﹣…其中1，﹣1，，﹣，，﹣这六个数按此规律重复出现．（1）第50个数是什么数？（2）把从第1个数开始的前2017个数相加，结果是多少？（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为520，那么一共是多少个数的平方相加？【分析】（1）首先根据这列数的排列规律，可得每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，然后用50除以6，根据余数的情况判断出第50个数是什么数即可；（2）首先用2017除以6，求出一共有多少个循环，以及剩下的数是多少；然后用循环的个数乘以1+（﹣1）++（﹣）++（﹣）＝0，再加上剩下的数，求出把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少即可；（3）首先求出1，﹣1，，﹣，，﹣六个数的平方和是多少；然后用520除以六个数的平方和，根据商和余数的情况，判断出一共有多少个数的平方相加即可．【解答】解：（1）这列数每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，∴50÷6＝8…2，∴第50个数是﹣1．（2）∵2017÷6＝336…1，且1+（﹣1）++（﹣）++（﹣）＝0，∴从第1个数开始的前2017个数的和是：336×0+1＝1．（3）∵12+（﹣1）2+（）2+（﹣）2+（）2+（﹣）2＝12，520÷12＝43…4，而且12+（﹣1）2+（）2＝4，∴43×6+3＝261，即共有261个数的平方相加．【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，而且每个循环的6个数的和是0．。
八年级数学二次根式培优专题
解答为：原式 =a+ (1 a)2 =a+（ a-1） =2a-1=17．
两种解答中， _______的解答是错误的，错误的原因是
2. 若-3≤ x≤ 2 时，试化简│ x-2│ + (x 3)2 + x2
__________．
10x 25 。
七、其他
1．等式 x 1g x 1 x2 1成立的条件是（ ）
（ 2）二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等 于这两个数的商的算术平方根。反过来就是商的算术平方根的性质。
x
2．把二次根式
（ y>0）化为最简二次根式结果是（
）．
y
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． （ 2） . ( a) 2 aa( 0) ．注意：此性质既可正用，也可反用， 反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式： a ( a) 2 ( a 0)
8. 2 + 3 的 有 理 化 因 式 是 ________ ； x- y 的 有 理 化 因 式 是 _________． - x 1 - x 1 的有理化因式是 _______．
2. 把下列各式的分母有理化
（ 1） 1 ； （ 2） 1 ； （ 3） 2 ； （4）3 3 4 2 ．
51
1 23
； ②b
（ 3）分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式
【典例解析】
一、概念
7、二次根式的运算： （ 1）二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积， 等于这两个因式积的算术平方根。 反过来就是积的算术平方根的性质。
《二次根式》培优试题及答案精编版
《二次根式》提高测试（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（）【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．2．3－2的倒数是3＋2．（）【提示】231-＝4323-+＝－（3＋2）．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（）【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、ba x 2-是同类二次根式．…（ ）【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ）29x +是最简二次根式．【答案】×．（二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a ＝_．【答案】－2aa ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）．12．比较大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________．【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52．【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4，∴_______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（）（A ）x 2 （B ）－x 2（C ）－2x （D ）2x【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0． 19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（）（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义． （四）在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】（3x ＋5y ）（3x －5y ）．22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2(2x －1)2．（五）计算题：（每小题6分，共24分）23．（235+-）（235--）；【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．（a 2m n －m ab mn ＋m n nm）÷a 2b 2m n ；【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2mn－m ab mn ＋m n n m ）·221ba n m＝21bn m m n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b－ab 1＋221b a ＝2221b a ab a +-． 26．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a ba ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （六）求值：（每小题7分，共14分）27．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy yx +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x22a x +＝－x （22a x +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x 1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1．七、解答题：（每小题8分，共16分）29．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算． 【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）]＝（25＋1）（1100-）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x - ＝|xy yx +|－|x y y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴yx＜xy ．∴ 原式＝x y y x +－y x xy+＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
八年级数学二次根式培优专题
《二次根式》培优习题训练 【知识要点】1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2. ()()a aa 20=≥．3. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系.（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．（3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．4、性质：（1）非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．（2）.()()a aa 20=≥性质既可正用，也可反用， 反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式：a a a =≥()()20（3） a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．5、（1）最简二次根式：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．（2）同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
6、（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们 的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有 理化因式确定方法如下：①单项二次根式：a =来确定，如：，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a +与a -，，分别互为有理化因式。
（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式 7、二次根式的运算：（1）二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积， 等于这两个因式积的算术平方根。
初二数学《二次根式》竞赛培优精选题(含解析)
二次根式竞赛培优题（含解析）一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．39940002．计算：=（）A．B．C．D．3．的结果是（）A．B．C．D．4．的值是（）A．B．C．1D．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共24小题）6.已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为．7．化简=．8．化简．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为．10．方程的解是x=11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=．12．计算：=（其中a＞0）13．的值为．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=．15．若n为整数，且是自然数，则n=．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：．20．计算﹣20062的结果是．21．设=．22．若，，则x6+y6的值是．23．当时，的值为．24．已知，，则k=．25．当1≤x≤2时，经化简等于．26．计算=．27．已知x=，那么+1的值是．28．化简：，得到．29．=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．二次根式竞赛培优题（含解析）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．3994000【分析】设1998=a，把被开方数变形后，利用多项式的乘法法则计算后，加上a2再减去a2，前三项结合提取a2，剩下的三项利用完全平方公式化简，接着三项合并后提取2a，整体再利用完全平方公式化简，从而得到被开方数为一个数的完全平方，利用化简公式=|a|及a大于0即可得到最后结果．【解答】解：设1998=a，则1997×1998×1999×2000+1=（a﹣1）a（a+1）（a+2）+1=a4+2a3+a2﹣a2﹣a2﹣2a+1=a2（a+1）2﹣2a（a+1）+1=[a（a+1）﹣1]2，所以==1998×1999﹣1=3994001．故选：A．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，考查了换元的思想，本题的技巧性比较强，要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点，同时注意利用凑项的方法构造满足公式的特征，以及注意二次根式的化简公式=|a|的运用．2．计算：=（）A．B．C．D．【分析】根据每个加数的特点，推出一般规律为，将所得式子化简，分别取n=1，2，3，…，40，寻找抵消规律，得出结论．【解答】解：∵=（）=（）=（）=（﹣）∴分别取n=1，2，3， (40)原式=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，观察式子的特点，得出一般规律，将一般规律化简代值，再观察抵消规律是解题的关键．3．的结果是（）A．B．C．D．【分析】把每个加数分母有理化，然后通分计算即可．【解答】解：=（）=．故选：D．【点评】主要考查二次根式的分母有理化．主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．4．的值是（）A．B．C．1D．【分析】认真观察式子的特点，总结规律，可发现，，，据此作答．【解答】解：由题意可知第k项是∴原式=（++=1﹣=1﹣=．故选：B．【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是审清题意，找准规律答题．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6【分析】找到1000＜5×x2＜2000中符合x的整数值即可得出答案．【解答】解：由题意得：与=20，是同类二次根的被开方数一定为5，由此及题意可：1000＜5×x2＜2000，x可取15、16、17、18、19，共5个．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的知识，有一定难度，关键是根据同类二次根式的形式得出的同类二次根式应该满足．二．填空题（共24小题）6．已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为3998000．【分析】由等式可知=x1，=x2，…解得x1=x2=x3=…=x1999=2，由此代入求得数值即可．【解答】解：∵，∴=x1，=x2，…∴x1=x2=x3=…=x1999=2，∴x1+2x2+3x3+…+1999x1999=2×（1+2+3+ (1999)=2×（1999+1）×1999÷2=3998000．故答案为：3998000．【点评】此题考查二次根式的化简求值，解答此题的关键是找出对应关系，求出x1、x2、x3、…、x1999的值．7．化简=2011．【分析】先根据平方差公式和二次根式的性质得到=，然后根据同样的方法由内到外依次化简即可得到答案．【解答】解：∵=，∴原式=======2011．故答案为2011．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了平方差公式．8．化简后2．【分析】由于===﹣1，其他根式也可以进行同样的化简，然后合并同类二次根式即可求解．【解答】解：=﹣1+﹣++++++=3﹣1=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式化简二次根式从而达到化简题目的目的．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为10．【分析】利用不等式≤，结合S1+S2+S3+…+S n ＞10，解不等式即可．【解答】解：∵S i表示第i个三角形的面积，由不等式≤n，得≤n=n，而S1+S2+S3+…+S n=，S1+S2+S3+…+S n＞10，∴n＞10，即n2（n+1）＞800，n为正整数，n的最小值为9．但n=9时，代入S1+S2+S3+…+S n＜10，不符合题意，故n=10．【点评】本题考查了二次根式的运用．利用均值不等式和不等式的传递性解题．10．方程的解是x=2011【分析】将各分式中的分母有理化，再通分，注意观察抵消规律．【解答】解：原方程化为：+++…+=，通分得=，解得x=2011．故答案为：2011．【点评】本题考查了二次根式的化简在解方程中的运用．关键是将各分式的分母有理化，寻找抵消规律．11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=﹣．【分析】首先将M式中各个分式进行分母有理化，再求出N式的值，代入代数式求值即可解答．【解答】解：将M分母有理化可得M=（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣1．N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994=（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+┉+（1993﹣1994）=﹣1×997=﹣997，∴==﹣．故答案为﹣．【点评】本题主要考查分母有理化的方法，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．12．计算：=4（其中a＞0）【分析】仔细观察会发现有以下规律：第1项加上第8项等于1，第2项加上第7项等于1，依此类推最后求得的结果4．【解答】解：第一项与最后一项相加得：+，=+，=，=1，同理可得：第二项与倒数第二项的和也是1；第三项与倒数第三项的和也是1；所以原式=1+1+1+1=4．故应填：4．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，同时也考查了学生的逻辑思维能力，是一道不错的规律型问题．13．的值为1998999.5．【分析】本题涉及数字大且数字之间有联系，可用换元法解题，设k=2000，将所求算式转化为关于k的算式，将被开方数配成完全平方式，开平方，再将k的值代入即可．【解答】解：设k=2000，原式=====，当k=2000时，原式=1998999.5．故本题答案为：1998999.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，当算式数字较大，并且数字之间有联系时，用换元法解题，可使运算简便．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=8．【分析】读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．【解答】解：∵，∴+，即1﹣，∴，解得k=8．故答案为：8．【点评】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．15．若n为整数，且是自然数，则n=﹣14或﹣7或﹣2或5．【分析】设=p，再把等式两边同时乘以4，利用平方差公式把等式左边化为两个因式积的形式，列出关于p、n的方程组，求出n 的值即可．【解答】解：∵设=p（P为非负整数），则n2+9n+30=p2，∴4n2+36n+120=4p2，∴（2n+9）2+39=4p2，∴（2p+2n+9）（2p﹣2n﹣9）=39，∴或或或，解得或或或，∴n=﹣14或﹣7或﹣2或5．故答案为：﹣14或﹣7或﹣2或5．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意把原式化为两个因式积的形式是解答此题的关键．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为2012.5．【分析】根据新定理得f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1；f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1，由此得到f（）+f（）=1（n≥2的整数），所以原式=+．【解答】解：f（）=，∵f（）==，f（）=，则f（）+f（）=1，f（）==，f（）==，则f（）+f（）=1，∴f（）+f（）=1，∴=+=2012.5．故答案为2012.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了阅读理解能力．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．【分析】根号里面的式子大于等于0，从而可得≥0，﹣≥0，从而能得出u和v的值，继而可得出答案．【解答】解：由题意得：≥0，﹣≥0，从而=0，2u﹣v=0，u=v，又v=，∴u=，∴u2﹣uv+v2=．故答案为．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，注意掌握根号里面的式子大于等于0这个知识点比较关键．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是或．【分析】由是正整数可得，a是含﹣2的代数式；再由是整数，可得化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，据此确定a的值．【解答】解：∵是正整数，∴a是含﹣2的代数式；∵是整数，∴化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，∴a=或．故答案为：或．【点评】此题主要考查二次根式的混合运算，要熟练掌握合并同类二次根式和分母有理化．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：答案不唯一；如（288，8，8），（48，24，8）．【分析】由于三个复合二次根式的和为1，则它们的被开方数为完全平方数，设任意一个复合二次根式的被开方数为（）2（x，y为正整数，x＞y），然后通过正整数的含义，得到x，y为两个相邻正整数，即每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后是﹣1，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，第三个复合二次根式化简后必为，最后求的a，b，c的值．【解答】解：因为几个复合二次根式的和为1，则每个复合二次根式的被开方数一定为完全平方数．设==x+y﹣2，（x，y为正整数，x＞y），所以有=x+y，﹣=﹣2．∴a+1=（x+y）2，a=4xy，∴（x﹣y）2=1，即x﹣y=1．则每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后为﹣1，而要消掉，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，要消掉，则第三个复合二次根式化简后必为．最后正好为﹣=1．所以=（﹣1）2=3﹣=3﹣，则a=8，同理得b=24，c=48．故得到一组正整数（a，b，c）为：8，24，48．故答案为8，24，48．【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简：．20．计算﹣20062的结果是2005．【分析】先把“2005×2006×2007×2008+1=（20052+3×2005+1）2”化为完全平方的形式，再开平方，然后再来求值．【解答】解：∵2005×2006×2007×2008+1=2005×（2005+3）×（2005+1）（2005+2）+1=（20052+3×2005）×（20052+3×2005+2）+1=（20052+3×2005）2+2（20052+3×2005）+1=（20052+3×2005+1）2∴=20052+3×2005+1；∴﹣20062=20052+3×2005+1﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）+3×2005+1=2005；故答案为：2005．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值．解答此题的难点是化“2005×2006×2007×2008+1”为完全平方的形式，并开平方，然后再利用平方差公式求出20052﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）的值．21．设=．【分析】把已知条件的左边相乘得，这样出现了所求代数式，设=z，代入变形所得的等式，逐步变形，消去x、y，即可求得z．【解答】解：据条件式令=z，则（1）式化为：z+xy+=9，即有9﹣z=xy+，平方得，81﹣18z+z2=x2y2+（x2+1）（y2+4）+2xy（2），又由z2==x2（y2+4）+y2（x2+1）+2xy，代入（2）得，81﹣18z=4，所以．即=，故答案为：．【点评】此题考查二次根式的化简求值，难度较大，多次利用已知条件求解．22．若，，则x6+y6的值是40．【分析】根据题意可求出x2+y2，x2﹣y2，利用平方差公式可求得x4﹣y4，（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6﹣x2y4﹣y2x4，由此可得答案．【解答】解：由题意得：x2+y2=2++2﹣=4，x2﹣y2=2+﹣（2﹣）=2，x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）=8，又（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6+x2y4+y2x4，∴可得：x6+y6=32﹣x2y2（x2+y2）=32+2×4=40．故答案为：40．【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，有一定难度，关键是熟练运用平方差及完全平方公式．23．当时，的值为．【分析】利用完全平方公式对代数式化简再把代入化简的结果计算即可．【解答】解：原式=﹣，∵，∴=2005，∴x＜，∴原式=﹣+x，=x，当时，原式=．故答案为．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值和二次根式的性质=a（a≥0）的应用．24．已知，，则k=﹣1．【分析】先从等式右边进行分母有理化，即原式=﹣2，然后依次循环即可求k的值．【解答】解：由原式可知=+2﹣4=﹣2，∴4+=+2，依此类推得：=+2，∴k=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了分母有理化的知识，解题时可从等式右边进行分母有理化，那样会简便些．25．当1≤x≤2时，经化简等于2．【分析】先配成完全平方式，再根据二次根式的性质化简计算即可．【解答】解：∵1≤x≤2，∴=+=+1+1﹣=2．故答案为：2．【点评】考查了二次根式的性质，解题的关键是将根号内的式子配成完全平方式．26．计算=2010．【分析】因为=，=，=，…，可发现=1+=1+1﹣，=1+=1+﹣…，依此类推再把1+1﹣，1+﹣…相加可得问题答案．【解答】解：原式=++++…+，=1+1﹣+1+﹣+1+﹣+1+﹣…+1+﹣，=2010+（1﹣+﹣+﹣…+﹣），=2010+（1﹣），=2010．【点评】本题考查了二次根式的化简，在化简中注意有关数列的规律．27．已知x=，那么+1的值是2．【分析】先根据分母有理化得到x=﹣1，所以x+1=，然后将代数式化为含有（x+1）2的形式，把x+1的值代入求出代数式的值．【解答】解：∵x==﹣1，∴x+1=．原式=（3x3+10x2+5x+4）=[（3x3+6x2+3x）+3x2+（x2+2x+1）+3]=[3x（x+1）2+3x2+（x+1）2+3]=[3x•2+3x2+2+3]=[（3x2+6x+3）+2]=[3（x+1）2+2]=（3×2+2）=2．故答案是：2．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，先根据分母有理化把x的值化简，得到x+1=，再把代数式化成含有x+1的形式，然后代入代数式可以求出代数式的值．28．化简：，得到1．【分析】将被开方数的分子、分母提公因式，约分，再开平方，约分即可．【解答】解：原式=（）1004=（）1004（）1004=1．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，关键是将被开方数的分子、分母提公因式，约分．29．=﹣3．【分析】因为=，代入并通分计算即可．【解答】解：原式===﹣1﹣1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查二次根式的混合运算，关键是求=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）设n=1999，从而可将根号里面的数化为完全平方的形式，继而可得出答案．（2）分别将各二次根式配方可得出答案．（3）将分子及分母分别化简，然后运用提公因式的知识将分子及分母简化，继而得出答案．（4）设=a，=b，=c，从而可将原式化简，继而可得出答案．【解答】解：（1）设n=1999，则原式===n2+3n+1，故原式=20002+1999；（2）原式=+++++++=﹣1+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣，=﹣1，=3﹣1，=2；（3）原式=，=，=+，=﹣；（4）设=a，=b，=c，则原式=++，=，=0．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，难度较大，注意换元法及完全平方知识的运用．。
专题一(数形结合-在二次根式的运用)
初三培优（专题一）二次根式的运算1.热身运动（1（22.二次根式的定义（1）已知222,_______x y +=则(2) 1a <当_______. 3.双重二次根式的化简（1 （24.同类二次根式（1）已知整数x,y =那么整数对（x,y ）的个数（ ）（2）已知x,y a b =+=求（ ） 5.综合运用已知15,2a b c +-=-求a+b+c 的值数形结合-在二次根式的运用一．最值问题1.已知a,b均为正数，且a+b=2,求。
2.已知整数x,y。
C为线段BD上的一动点，分别过B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC,已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；(2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？(3)根据（2的最小值二、面积问题背景引入：在△ABC 中，AB 、BC 、AC 51013道题时，先建立一个正方形网格（每个正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示。
这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积。
（1） 请你将△ABC 的面积直接填写在横线上。
____________思维拓展（2） 我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法，若△ABC 5a 、22a 、17a （a ＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积。
探索创新（3）若△ABC 2216m n +2294m n +222m n +（m ＞0，n ＞0，且m n ≠），试运用构图法求出这个三角形的面积。
2.已知a,b 222222,4,4a b a b a b +++是三角形的三条边的长，求这个三角形的面积。
3.设a,b,c,d 为正实数，a<b,c<d,bc>ad,222222,,()()a c b d b a d c ++-+-，求此三角形的面积。
(完整版)二次根式培优练习题.doc
二次根式培优练习题一．选择题（共14 小题）1．使代数式有意义的自变量 x 的取值范围是（）A． x≥ 3 B． x＞3 且 x≠4 C． x≥ 3 且 x≠4 D．x＞32．若=3﹣a，则 a 与 3 的大小关系是（）A． a＜ 3B． a≤3 C．a＞3 D．a≥33．如果等式（ x+1）0=1 和=2﹣3x 同时成立，那么需要的条件是（）A． x≠﹣ 1 B． x＜且 x≠﹣ 1 C．x≤或 x≠1 D．x≤且 x≠﹣ 14．若 ab＜0，则代数式可化简为（）A． a B．a C．﹣ a D．﹣ a5．已知 xy＜0，则化简后为（）A．B．C．D．6．如果实数 a、b 满足，那么点（ a， b）在（）A．第一象限B．第二象限 C．第二象限或坐标轴上D．第四象限或坐标轴上7．化简二次根式，结果正确的是（）A．B．C．D．8．若 a+ =0 成立，则 a 的取值范围是（）A．a≥0 B．a＞0 C．a≤0 D．a＜ 0 9．如果 ab＞ 0， a+b＜0，那么下面各式：①= ，②× =1，③÷=﹣b，其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③10．下列各式中正确的是（）A．B．=±3 C．（﹣）2=4 D．3 ﹣ =2 11．在二次根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A． 2 个 B．3 个 C．4 个 D． 5 个12．若是一个实数，则满足这个条件的 a 的值有（）A． 0 个 B．1 个 C．3 个 D．无数个13．当 a＜0 时，化简的结果是（）A．B．C．D．14 ．下列计算正确的是（） A ．B．C．D．二．填空（共13 小）15．二次根式与的和是一个二次根式，正整数 a 的最小；其和．16．已知 a、b 足=a b+1， ab 的．17．已知 | a 2007|+ =a， a 20072的是．18．如果的是一个整数，且是大于 1 的数，那么足条件的最小的整数a= ．19．已知 mn=5， m +n = ．20．已知 a＜0，那么 | 2a| 可化．21．算：的果．22．若最二次根式与是同二次根式， x= ．．若，x= ；若 2 2， x= ；若（ x 1）2 ，．23 x =（ 3）=16 x=24．化 a 的最后果．25．察分析，探求出律，然后填空：，2，，2 ，，，⋯，（第n 个数）．26．把根号外的因式移到根号内：=27．若 a 是的小数部分， a（a+6）= ．三．解答（共7 小）28．下列解程：= = = = 2；===．回答下列：（1）察上面的解程，直接写出式子=；（2）察上面的解程，直接写出式子=；（3）利用上面所提供的解法，求++++⋯+的．29．一个三角形的三分、、（1）求它的周（要求果化）；（2）你一个适当的x ，使它的周整数，并求出此三角形周的．30．如，数 a、b 在数上的位置，化：．31．先下列的解答程，然后作答：形如的化，只要我找到两个数a、b 使 a+b=m，ab=n，（）2+（）2=m，? = ，那么便有= = ±（ a＞ b）例如：化解：首先把化，里 m=7， n=12；由于 4+3=7，4×3=12，即（）2+（）2=7，? =，∴===2+由上述例的方法化：（1）；（2）；（3）．．已知x=2 ，求代数式（2+（2+ ）x+ 的．32 7+4 ）x33．数 a、b 在数上的位置如所示，化：| a| ．34．察下列各式：；；⋯，你猜想：（1）=，=．（2）算（写出推程）：（3）你将猜想到的律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来．参考答案一．选择题（共14 小题）1．C；2．B；3．D；4．C；5．B；6．C；7．D；8．C；9．B；10．A；11．B；12．B；13．A；14．D；二．填空题（共13 小题）15．6；﹣；16．±；17．2008；18．1；19．±2；20．﹣3a；21．1；22．0；23．±5；± 3；5 或﹣ 3； 24．﹣ 2；25．2；；26．；27．2；三．解答题（共7 小题）28．﹣；﹣；29．；30．；31．；32．；33．；34．5；6；；。
二次根式培优训练
二次根式培优训练第I卷（选择题）一、单选题1）A．6 B C．D．【答案】D.=======故选D【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键.2．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（）．A B C D【答案】C【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n （n-1），∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n （n-1）+n-3＝n 2-3， ∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3故选：C ．【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．第II 卷（非选择题）二、填空题3．若a ，b ，c是实数，且10a b c ++=，则2b c +=________． 【答案】21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案． 【详解】∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123==∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2251121b c +=⨯+=．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 4．12211112a =++，22211123a =++，32211134a =++，，22111(1)n a n n =+++，其中n 为正2020a +__________．【答案】202020202021【分析】根据题目条件，先求出1a ，2a ，3a ，n a 的值，代入原式后求出各式的算术平方根，再利用裂项公式()11111n n n n =-++进行化简与计算，即可求解．【详解】解：21221131122a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，22221171236a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，2322111313412a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，⋯⋯()()()2221111111n n n a n n n n ⎡⎤++=++=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，··，3713202020211 (261220202021)⨯+=++++⨯， 1111111?··112233*********=++++++++⨯⨯⨯⨯， 111111120201?··2233420202021⎛⎫=+-+-+-++- ⎪⎝⎭，1202012021=+-， 202020202021=．故答案为202020202021．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是找出1a ，2a ，3a ，na 的值的规律，再用裂项法求出结果．5．已知y18的值为_____．【答案】【分析】首先由二次根式有意义的条件求得x ＝8，则y ＝18，然后代入化简后的代数式求值． 【详解】解：由题意得，x ﹣8≥0，8﹣x≥0，解得，x ＝8，则y ＝18， ∵x＞0，y ＞0，∴把x ＝8， y ＝18【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定x 、y 的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简．6．已知y x +3，当x 分别取1，2，3，……，2021时，所对应的y 值的总和是_____． 【答案】2023．【分析】依据二次根式的性质化简，即可得到y ＝|x ﹣2|﹣x +3，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y 值的总和．【详解】解：∵33|2|3y x x x x +=+=--+， ∴当x ＜2时，y ＝2﹣x ﹣x +3＝5﹣2x ， 即当x ＝1时，y ＝5﹣2＝3； 当x ≥2时，y ＝x ﹣2﹣x +3＝1，即当x 分别取2，3，…，2021时，y 的值均为1，综上所述，当x 分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y 值的总和是3+2020×1＝2023，故答案为：2023． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质．7．阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整．1==== ……==由此，我们可以解决下面这个问题：1S =+++⋅⋅⋅+，求出S 的整数部分． 解：2111S =+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++211<++⋅⋅⋅++1110019=++-=2111S =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++ ∴S 的整数部分是________． 【答案】见解析；18【分析】把各分母中第二个被开方数都加上1，增大分母，减小分数的值，构造大于的不等式，变形确定s 的整数界点值，根据夹逼法确定整数值 【详解】 ∵2111S =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++>⋅⋅⋅+1=；1)18=>；∴18＜S ＜19， ∴S 整数部分为18， 故答案为：>+⋅⋅⋅+；1=；1)18=>；18；【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，不等式的性质，估算的思想，熟练确定S 位于哪两个整数之间是解题的关键．8．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若()0a a ≥不是某个有理数的平方，则方程2x a =在有理数范围内无解；若b 不是某个有理数的立方，则方程3x b =在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________．①93x =在实数范围内有解；②202050x -=在实数范围内的解不止一个；③245x x +=在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的()0a a ≥≥【答案】①②【分析】根据立方根、平方根的定义可判断①②；利用开平方法解方程后可判断③的解的情况；利用特殊值法可判断④．【详解】①93x =，则()333x =，即3x =∴93x =，在实数范围内有解，故选项①正确； ②202050x -=，则()210105x =，∴202050x -=在实数范围内的解有两个，故选项②正确； ③245x x +=，整理得：4250x x +-=，配方得：2212124x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，开方得：212x +=或212x +=(舍去)，∴212x ==， ∴原方程在在实数范围内有解，且一正一负，故选项③错误； ④当0a =0； 当8a =2>=； 当18a =12<=；故选项④错误；综上，①②正确， 故答案为：①②．【点睛】本题考查了完全平方公式，开平方解方程，是信息给予题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 三、解答题91=【答案】2 【分析】.【详解】22212(12+)(10)2x x x +∴⨯∴-+==【点睛】本题考查二次根式的化简求值，注意利用平方差公式和整体带入求得答案.10．有两个十分喜欢探究的同学小明和小芳，他们善于将所做的题目进行归类，下面是他们的探究过程。
《二次根式》培优专题一
二次根式培优专题一、【基础知识精讲】1. 二次根式：形如,a （其中a _______ ）的式子叫做二次根式。
2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含_____ 。
3. 同类二次根式：二次根式化成_____________ 后，若____________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：（1）（,a）2= ______ （其中a ____ ）（2）a2〉（其中 a ____ ）5. 二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。
届= _______________ （其中a^_ b _______ ）；J a= _____________ （其中a^_ b ______ ）.V b（4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如3的有理化因式就是3 ,.8的有理化因式可以是也可以是2 , b 的有理化因式就是弋a -乜b.（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.（6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式.6. 双重二次根式的化简：二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。
双重二次根式化简的方法是：设x 0, y 0, a 0, y 0,且x y 二a, xy 二b，贝Ua 2、b =（x y） 2xy = （ . x）2（. y）2 2、x y =（ x . y）2如：要化简.5 —2一6，: 2 • 3 =5, 2 3=6 /• .5 —鸟一6 =.（一2 —一3）2= J3 —, 2 但要注意最后的结果是正数，所以不能是■ 2—、3二、【例题精讲】类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（）A. . 45 B • 、、3-7 C•、、14 D 2、二次根式孕1有意义时的X的取值范围是x-43、已知：y = •. x • 2 x「2 • 1,贝U （x y）2001 = ___ 。
二次根式提高培优(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次根式典型习题训练一、概念（一）二次根式1x、x>0）1x y+（x≥0，y•≥0）．（二）最简二次根式1y>0）化为最简二次根式结果是（）．A（y>0）By>0）C（y>0）D2．（x≥0）3．_________．4. 已知〉xy0，化简二次根式_________．（三）同类二次根式1是同类二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2、是同类二次根式的有______3．若最简根式3a是同类二次根式，求a、b的值．【最新整理，下载后即可编辑】4.n是同类二次根式，求m、n的值．（四）“分母有理化”与“有理化因式”1.+的有理化因式是________；x-的有理化因式是_________．-的有理化因式是_______．2.把下列各式的分母有理化（1；（2；（3（4．二、二次根式有意义的条件：1．（1）当x在实数范围内有意义？（2）当x是多少时，+11x+在实数范围内有意义？（3）当x2在实数范围内有意义？（4）当__________2.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数3．已知，求xy的值．4．5.若11m +有意义，则m 的取值范围是 。
6．要是下列式子有意义求字母的取值范围（1(2) (3)三、二次根式的非负数性1=0，求a 2004+b 2004的值．2，求x y 的3.2440y y -+=，求xy 的值。
四、⎪⎩⎪⎨⎧==a a a 2 的应用 1． a ≥0，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．A B C D ．2．先化简再求值：当a=9时，求a ≥0x解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．3．若│1995-a│，求a-19952的值．4. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│5．化简）．B C．D．A6．把（a-1a-1）移入根号内得（）．AB C．D．五、求值问题:求x2-xy+y2的值1.当x=2．已知a=3+23.已知4．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x 的值．52.236-（）的值．（结果精确到0.01）6．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27．7．当（结果用最简二次根式表示）8. 已知2310-+=x x六、大小的比较的大小。
二次根式拓展专题培优(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题：1、使式子xx 2-有意义的x 的取值范围是2、无论x 取任何实数，m x x +-62都有意义，则m 的取值范围是3、已知22284x x y -+-=，求x+y 的值4、已知实数a,b,c 满足0432=-++b a ，012442=--+c b c ，求a+b+c 的值。
练习： 1、使式子11--x x 有意义的x 的取值范围是2、若4342-=-+-b a a ，则b a 22-=3、若a a a =-+-20152014，则22014-a =二、简单的二次根式的化简例题：1、如果式子322)1(2-=-+-x x x ，则x 的取值范围是 2、把ab b a --1)(根号外的因式移到根号内的结果为练习： 1、化简（1）aa1- （2）22x x x--2、已知a,b,c 为∆ABC 的三边，化简2222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是3、若x1，则2)1-1=x+x=(-三、二次根式的运算与规律探究例题：1、观察下列各式：121312+1431⨯+，⨯=⨯⨯+5463333+⨯+，猜测⨯⨯⨯=12++，1542312⨯3⨯⨯2=+12+⨯2015120142016⨯⨯⨯+2017练习：1、设n,k为正整数，，，，已知,则2、小明做数学题时,发现,,,,按上述规律,第n个等式是3、设S=++…+，求不超过S的最大整数四、分母有理化例题：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述，其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：，与的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式可以这样解：，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．1分母有理化解决问题：①的有理化因式是，12得②计算：③计算：．④已知,,则⑤已知:,,,试比较a、b、c的大小.21++++3220032004232、已知则3、已知实数x,y满足,则的值为五、二次根式的计算综合题（2）（3）（4）638638-++（5）24066312305941--+++六、二次根式的求值例题：1、先化简,再求值,其中,.2 3、若,,求xy.4、设a=，求a 5+2a 4-17a 3-a 2+18a-17的值．5、正数m,n 满足,求的值.x x2、若,,则3、当时,多项式的值为4、正实数a,b满足,且满足,求的值5、如果,求的值.。
培优专题：二次根式精编版
二次根式培优一、知识的拓广延伸1、挖掘二次根式中的隐含条件一般地，我们把形如a a()≥0的式子叫做二次根式，其中0a≥。
根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是0a≥，由此我们判断下列式子有意义的条件：1(1;2(4);1x++-++2、教科书中给出：(0)a a=≥，在此我们可将其拓展为：a aa aa a2==≥-<⎧⎨⎩||()()（1）、根据二次根式的这个性质进行化简：①数轴上表示数a的点在原点的左边，化简2a②化简求值：1a a=15③已知，132m-<<，化简2m④______=；⑤若为a,b,c________=;___________=.（2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。
①若1m =,求m 的取值范围。
4x =-，则x 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．③若a =④3,2xy 已知求的值。
二．二次根式a 的双重非负性质：①被开方数a 是非负数，即0≥a②二次根式a 是非负数，即0≥a例1. 要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．21＜x ≤3例2（1）化简x x -+-11 ＝_______．(2)x ＋y )2，则x －y 的值为( )(A)－1． (B)1． (C)2． (D)3．例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．以上都不是(2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。
三，如何把根号外的式子移入根号内我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。
在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。
如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。
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二次根式培优专题、【基础知识精讲】1. 二次根式：形如...a （其中a ______ ）的式子叫做二次根式。
2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含______ 。
3. 同类二次根式：二次根式化成______________ 后，若 ___________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：（1）G.-/a ）= ____ （其中a ___ ）（ 2）a2 = _______ （其中a ___ ）5. 二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。
JOb= _________ （其中a^_ b ______ ）；J a= ______________ （其中a—一b ____ ）.\ b（4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如,3的有理化因式就是,3 ,.8的有理化因式可以是8也可以是2 , ，b 的有理化因式就是需- Ub .（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.（6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式.6. 双重二次根式的化简：二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。
双重二次根式化简的方法是：设x 0, y 0, a 0, y 0 ,且x y 二a, xy = b，贝Ua 2、b = （x y） 2、_ xy = C、x）2（、._ y）22 xy = （、x .. y）2如：要化简5 —26,••• 2, 3=5, 2 3=6 /• 5 —2~6 =、（—2 —一3）2「3 —、、2 但要注意最后的结果是正数，所以不能是 2 —.3二、【例题精讲】类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（）A.45 B . C . . 14 DJ2x _12、二次根式二孕丄有意义时的X的取值范围是 ___________________________x -43、已知：y = . x ■ 2 ：【，：..：一x —2 ________________ 1，贝U （x y）2001= 。
类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简）1、实数在数轴上的位置如图1所示，化简|a-1|+ ..（a匚2）2= _______-..?.'■（图1）2、把-4.、3的根号外的因式移到根号内得 ___________ ;3、化简：—xj_g = _____________ ;4、化简、；(3 - 7)2 2 . ( 7 -5)2：(2 - . 7)2-5、化简./7 - 2 ；6 = _______ 。
6、代数式3 - 4 - x2的最大值是______________ ，类型三：考查同类二次根式与最简二次根式（化简）把3.1 , 2-..3 , 1 ,27 , ；、75按由大到小的顺序排列为：_____________________类型四：考查二次根式的运算（加减乘除混合运算、分母有理化）1、若a =2，3 , b =2 - .3 , 则a与b的关系是（)A .互为相反数；B.互为倒数； C.互为负倒数；D.以上均不对。
1 + 1 + 1 ■■■•■・・ 4+ 12、计算：12 .2:3 3 499 ,100【同步练习】•、选择题（每小题 3分，共30分） 下列说法正确的是（ ）若寸a? = —a ，则 a<0 B .若%；a? = a,则a > 0二次根式3：2（m ・3）的值是（）3.2B . 2.3C . 2.23.化简 | x — y | x 2 （x ：：： y ：：： 0）的结果是（ y - 2x B . y C . 2x - ya是二次根式，则a , b 应满足的条件是b把mJ -------- 根号外的因式移到根号内,V mB .-、mF 列各式中，一定能成立的是（二、填空题（每小题 3分，共30 分） 11.若•. x-5不是二次根式，则 x 的取值范围是 12 . (2005 •江西)已知 a<2, .(a-2)2二13 .当x=. 时，二次根式■. X * 1取最小值，其最小值为 ____________14 .计算： 12" 2718 二 ______ ; （3. 48 -4.27 亠 2.3） = _______15 .若一个正方体的长为 2 6cm ，宽为3cm ，高为2cm ，则它的体积为 _____________ Cm ' 16 .若 y = x-33-x 4，贝U x y= ___________17 .若 3的整数部分是a ,小数部分是b ,^ U\3a -b 二 _____________ 18 .若..m （m -3） = m , m -3，贝U m 的取值范围是 ____________a ,b 均为非负数 B . a , b 同号 a >0, b>0_0(2005 •湖北武汉) -a \ -ab已知 a<b ，化简二次根式C . a , ab 一- a 3b 的正确结果是（D . a 「一 abA . C. ■ 2---------------- 2■ （-2.5） =（、2.5）、x 2 -2x 1 =x-1若x+y=0 ,则下列各式不成立的是（x 2 - y 2 = 0 B . 3. x 3 y = 0 当x - -3时，二次根m2、2B .鱼2.18 x =10，则 x 等于（）10 .已知 X 2 2 B . ± 2=(•a)2■■.a 2 .2 _ 9 = Jx - 3C . ■ x 2 y 2 二 0D .、x . y 二 0x 5x 7式的值为 5 , 则m 等于()C.-5D .D . 5的平方根是5得（19.20.已知a, b, c 为三角形的三边，则(a・b-c)2• (b-c-a)2• . (b • c - a)2=化简21.（前5题每小题6分,2〔1 18电\2 23.25.已知:2 2 ，求x £3—126.已知: 27、后两题每题7分, 共44分）22.24.-X • 1的值。
y = 1 -8x 8x -1阅读下面问题:1 (2 1) 1 .2 ( . 2 1)(、2 -1)3 — 23 .2 (一3 、2)(、3 - 2) 试求：⑴1的值;<7 +V6(5 48 _ 6.27 4.. 15)「3,18 G. 2 1)J (-2)，X y 2- y x y -2的值。
y「3一・2; 1二5-2丁5+2 (丁5 +2)((5 -2)1的值;3.2 . 17=.5 -2⑶_____ 1（n为正整数）的值。
.n 1 ■ n【培优练习】•、二次根式的非负性1 •若 2004 —a + Ja —2005 = a ，贝U a —20042 = __________ 2•代数式2x —3—J4x —13的最小值是 _________________4. 若 m 适合关系式 3x 5y - 2 - m 、2x 3y-m = x-199 y . 199-x-y ，求 m 的值.、二次根式的化简技巧 （一）构造完全平方化简得，1 +4 +一1_2=\ n (n +1)________________2 .化简：y23、2y-5-y-2.2y-5 .3.化简.,6 • .8 •12，24 .3.已知y - . x -8 •.一8 -x 18，求代数式2xy x.. y _ y. x的值.1、由1丄- n 12- (n 1)2 2 21 . n (n 1)1 . 2n 2n 1 1 . 2n(n 1) . 1—I 22_ 12 2_ 12222n (n +1)n (n +1)n (n +1) n (n +1)=1 21 1n(n 1)[n (n 1)（拓展）计算计弓弓弓吋弓专*…十乩金- 6.6 - 4.23 ”2(二) 分母有理化111 11 .计算： ------- ■ ---------- ■ ---------- --------- --- : ---------- 的值.3 +U3 5j3 +3J5 7 <5 +5j7 49J47 +47』492 .分母有理化：艮+启+药三、二次根式的应用 （一）无理数的分割■' E—1的整数部分为x ，小数部分为.5 -13 •设、19-8、'3 的整数部分为a ，小数部分为b ，试求a b 1的值b（二）性质的应用1.设m 、x 、y 均为正整数，且m_ 28 二 x_ y ，贝y x y m2.设 x = i 2 + 2 + T2 +P", y = 弋2\'2$"，则((A ) x y (B ) x y (C ) x = y (D )不能确定3 .计算:-2 -，31•设a 为.,3 • .5 - ： 3 - 5的小数部分,b 为；.6 • 3,. 3 - • 6 - 3「3的小数部分，则---的值为（ b a1 二(B ) ( C )1j- 兀(D) 2 - 3 ——82 •设 21 2y ，试求x xy y 的值.2（三）有二次根式的代数式化简已知.xC. x 2、y）»y（6、x 5 y），求，求1-2汀『一為\2a+1的值2,3 a -1 a - a5 .已知：a , b 为实数，且b = "a一2+¥一a.求（J2 b+a *2 b a 2的值. a+J2x「xy-y的值.2x ,xy 3y已知、x i x y =3、. y x 5 y，求2x , xy 3y的值。
3 .已知: x y 2 xy的值x y4 .已知a.8.7。