以实数a 的取值范围为(1,2]．
答案] (1,2]
(2)已知各项均为正数的数列{a n }，其前n 项和为S n ，且S n ＝(S n －1
＋a 1)2
(n ≥2)，若b n ＝a n ＋1a n
＋a n
a n ＋1，且数列{
b n }的前n 项和为T n ，则
T n ＝________.
解析] 由题意可得，S n >0，因为S n ＝(S n －1＋a 1)2(n ≥2)，所
以S n ＝S n －1＋a 1，即数列{S n }是以S 1＝a 1为首项，以a 1为公差的等差数列，所以S n ＝n a 1，所以S n ＝n 2a 1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a 1－(n －1)2a 1＝(2n －1)a 1，当n ＝1时，适合上式，
所以b n ＝a n ＋1a n ＋a n a n ＋1＝2n ＋12n －1＋2n －12n ＋1＝1＋22n －1＋1－2
2n ＋1
＝2
＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝2n ＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n ＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫1－12n ＋1＝2n ＋4n 2n ＋1＝4n 2＋6n 2n ＋1. 答案] 4n 2＋6n
2n ＋1
四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．
第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．
第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．
第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．
【针对训练1】 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．
(1)求d ，a n ；
(2)若d<0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即5(a 1＋2d)·a 1＝(2a 1＋2d ＋2)2 d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4， 所以a n ＝－n ＋11或a n ＝4n ＋6. (2)设数列{a n }前n 项和为S n ，
因为d<0，所以d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则 由a n ≥0，即－n ＋11≥0得n ≤11. 所以当n ≤11时，a n ≥0，n ≥12时，a n <0.
所以n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ； n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 11|＋|a 12|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 11－a 12－…－a n ＝S 11－(S n －S 11)＝－S n ＋2S 11＝12n 2－21
2n ＋110.
综上所述，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧
－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.
考点
由参数变化引起的分类讨论
典例2 2015·江苏高考]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)试讨论f (x )的单调性；
(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同
的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，＋∞，求
c 的值．
解] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a
3. 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2>0(x ≠0)，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪
⎫
－2a 3，0时，f ′(x )<0，
所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减；
当a <0时，x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )>0，x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，－2a 3时，f ′(x )<0，
所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减．
(2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ，f ⎝
⎛⎭
⎪⎫－2a 3＝4
27a 3＋b ，
则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3＝b ⎝ ⎛⎭
⎪⎫427a 3＋b <0， 从而⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，
－4
27a 3
或⎩⎪⎨⎪⎧
a <0，
0
.
又b ＝c －a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，
4
27a 3－a ＋c >0
或⎩⎪⎨⎪⎧
a <0，
4
27a 3－a ＋c <0.
