数值分析第1章习题

(A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）为有效数字(有效数字)

A. 4和3

B. 3和2

C. 3和4

D. 4和4

解..14159.3==*πx ,1103142.0⨯=a 时,1=m ,3102

1...00041.0)(-*⨯≤

=-=a x a E m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当1103141.0⨯=a 时,1=m , 2102

1005.0...00059.0)(-*⨯=≤=-=a x a E ，m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。 (A)2. 为了减少误差，在计算表达式19992001-时，应该改为

199920012+计算，是属于（）来避免误差。（避免误差危害原则）

A.避免两相近数相减；

B.化简步骤，减少运算次数；

C.避免绝对值很小的数做除数；

D.防止大数吃小数 解：由于2001和1999相近，两数相减会使误差大，因此化加法为减法，用的方法是避免误差危害原则。

(B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则（避免误差危害原则）

A.计算123460.60.612345++-

B.计算

25612520000450⨯- C.计算10.99994- D.计算11x x

+- 解:A 会有大数吃掉小数的情况C 中两个相近的数相减，D 中两个相近的数相减也会增大误差

(D)4.若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字)

A. 5

B. 4

C. 7

D. 3 解：51021)(-⨯=

a E 即m-n= -5,2103400.0-⨯=a ，m= -2，所以n=3，即有3位有效数字 (A)5.设*x 的近似数为40.32710a =⨯，如果a 具有3位有效数字，则a 的相对误差限为

()（有效数字与相对误差的关系）

A ． 35103-g B. 33105-g C. 53105-g D. 5103

g -2 解：因为40.32710a =⨯所以31=a ,因为a 有3位有效数字，所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a 的相对误差限为 31103510.5--⨯==

n r a δ

1.设2

10256.000256.0,002567.0-⨯===a x 则a 有2位有效数字，若210257.000257.0-⨯==a 则a 有3位有效数字。(有效数字)

解:002567.0=x ,2

10256.0-⨯=a 时,2-=m ，4102

100005.0000007.0)(-⨯=≤=-=a x a E ，m-n= -4,所以n=2,即有2位有效数字。当210257.0-⨯=a 时2-=m , 5102

1000005.0000003.0)(-⨯=≤=-=a x a E ，m-n= -5,所以n=3,即有3位有效数字。

2.设x *

=2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x=2.3150(有效数字)

解：一般四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到最末位，有几位就称该近似数有几位有效数字，所以要取5位有效数字有效数字的话，第6位是5，所以要进位，得到近似数为2.3150.

3.设数据12x x ，的绝对误差分别为0.0005和0.0002，那么12x -x 的绝对误差约为 0.0007 。（误差的四则运算）

解：因为0005.01=x δ，0002.02=x δ，0007.0)(2121=+=-x x x x δδδ

4.算法的计算代价是由 时间复杂度 和 空间复杂度 来衡量的。(算法的复杂度)

5.设x 的相对误差为2%，则x n

的相对误差为 2n% 。（函数的相对误差） 解：%2,)('1

==-r n nx x f δ，%2)()(')(1

n n x x nx x x f x f x f r r n n r =⨯=⨯=≈-δδδδ 6.设x >0，x 的相对误差为δ，则ln x 的绝对误差为 δ 。（函数的绝对误差） 解：x x f ln )(=，x x f 1)('=，δδδδδδδ==⨯=≈=x x x x f x x f x f x r r r )(')(')(, 7.设2(x)x 2f x =+，则x =2时的条件数为 3/2 。(条件数)

解:622)('=+⨯=x x f 8222)(2=⨯+=x f ，2

3862)()('))(()(=⨯==

=x f x xf x f cond x C 三 计算题(2⨯20分=40分)

1.要使20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？（有效数字和相对误差的关系）

解：设取n 位有效数字,由定理)1(110.21--≤n r a δ由于...4.420=知1a =4所以要使相对误

差限小于0.1%,则3)1()1(10%1.0101108

1-----==•≤•≤n n r δ，只要取n-1=3即n=4。所以20的近似值取4位有效数字,其相对误差限小于0.1%。

2.已测得某场地长l 的值为*110l m =，宽d 的值为m d 80*

=，已知

m d d m l l 1.0,2.0**≤-≤-试求面积ld s =的绝对误差限和相对误差限。

（误差的四则运算） 解：因为ld s =,l d s d l s =∂∂=∂∂, 所以 )()()(*****d l s d s l s δδδ⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=, 其中：.1.0)(,2.0)(,110,80****

**m d m l m l d s m d l s ====⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂δδ 则⎪⎩

⎪⎨⎧=≈===⨯+⨯≈%31.0880027)()()(271.01102.080)(******2

*d l s s s s m s r δδδδ