轴对称重难点专练

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轴对称图形重难点题型培优

轴对称图形解答题较难题一、翻折变换题型1 ．（ 1 ）数学课上，老师出了一道题，如图①， Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=½AB，求证：∠ B=30°，请你完成证明过程．（ 2 ）如图②，四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片， E 、 F 分别为AB 、 CD 的中点，沿过点 D 的折痕将纸片翻折，使点 A 落在 EF 上的点 A′处，折痕交 AE 于点 G ，请运用（ 1 ）中的结论求∠ ADG 的度数和 AG 的长．（ 3 ）若矩形纸片 ABCD 按如图③所示的方式折叠， B 、 D 两点恰好重合于一点 O （如图④），当 AB=6 ，求 EF 的长．二、特异三角形1.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（ 1 ）如图 1 ，△ ABC 中，∠ B=2 ∠ C ，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ．求证： AE 是△ ABC 的一条特异线；（ 2 ）如图 2 ，若△ ABC 是特异三角形，∠ A=30°，∠ B 为钝角，求出所有可能的∠ B 的度数．5 ．等腰△ ABC 中， CA=CB ，点 D 为边 AB 上一点，沿 CD 折叠△ CAD 得到△ CFD ，边 CF 交边 AB 于点 E ， CD=CE ，连接 BF ．（ 1 ）求证： FD=FB ．（ 2 ）连接 AF 交 CD 的延长线于点 M ，连接 ME 交线段 DF 于点 N ，若EF=4EC ， AB=22 ，求 MN 的长．三、点的运动变化题型8 ．如图，△ ABC 是边长为 6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C运动（与 A 、 C 不重合）， Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（ Q 不与 B 重合），过 P 作 PE ⊥ AB 于 E ，连接PQ 交 AB 于 D ．（ 1 ）当∠ BQD=30°时，求 AP 的长；（ 2 ）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由．9 ．某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷树．如图，要求黄桷树的位置点 P 到边 AB 、 BC 的距离相等，并且点 P 到点 A 、 D 的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点 P （不写作法，保留作图痕迹）．四、等边三角形题型12 ．已知：在△ AOB 和△ COD 中， OA=OB ， OC=OD ．（ 1 ）如图①，若∠ AOB= ∠ COD=60°，求证：① AC=BD ②∠ APB=60°．（ 2 ）如图②，若∠ AOB= ∠ COD=α，则 AC 与 BD 间的等量关系式为，∠ APB 的大小为（直接写出结果，不证明）。

中考数学重点难点专题练习-第15讲非常规思维问题

中考数学重点难点专题练习-第15讲非常规思维问题一、轴对称/翻折的性质1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形；2. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点连线段的垂直平分线；3. 对称轴上的任意一点与每一对对应点所连线段相等；4. 若对应线段或对应线段的延长线相交，则交点一定在对称轴上.二、梯形常见辅助线的作法三、圆幂定理四、正弦定理与余弦定理五、阿基米德折弦定理【例题1】（1）如图1，四边形ABCD是菱形，∠BAD=∠BCD=60°，当AC=12时，则△BCD的周长=______. （2）如图2，若四边形ABCD不是菱形，∠BAD=2∠ACB=2∠ACD=60°，AC=12，判断△BCD的周长是否发生变化，并说明理由。

（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=∠ACD=45°，AC=12，求△BCD的周长。

【变式1】已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．（1）探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系；（2）已知：如图（2），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．图(1) 图(2)【例题2】如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC +∠DCB ＝90°，且BC ＝2AD ，以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1＝3，S 3＝9，则S 2的值为_____.【变式2-1】如图所示．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A +∠B ＝90°，AB ＝p ，CD ＝q ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求EF ．【变式2-2】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3:8:3:3:::2AB BC CD DA ，求∠B 、∠D【例题3】如图，P A切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝4，则P A的长为．【变式3-1】如图，CD是⊙O的直径，以D为圆心的圆与⊙O交于A、B两点，AB交CD于点E，CD交⊙D于P，已知PC＝6，PE：ED＝2：1，则AB的长为（）A．B．C．D．【变式3-2】九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：P A•PB＝PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可已证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB＝10cm，P A＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．【例题4】问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC……（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：（2）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为．（3）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为AB上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于点E，△BDC的周长为4+2，BC＝2，请求出AC的长．【变式4-1】我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E 是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O 上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠P AB＝45°时，求AH的长．【例题5】阅读下列材料，并完成相应的任务．托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，求证：AB•CD+BC•AD＝AC•BD下面是该结论的证明过程：证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．∵∴∠ABE＝∠ACD∴△ABE∽△ACD∴∴AB•CD＝AC•BE∵∴∠ACB＝∠ADE（依据1）∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC即∠BAC＝∠EAD∴△ABC∽△AED（依据2）……任务：（1）请继续完成上面的证明过程，并回答上述过程中的“依据1”和“依据2”分别是什么．（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：．（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为的中点，求AC的长．【变式5-1】问题探究：（1）已知：如图①，△ABC中请你用尺规在BC边上找一点D，使得点A到点BC的距离最短．（2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图②，P是正△ABC外接圆的劣弧BC上任一点（不与B、C重合），请你根据托勒密（Ptolemy）定理证明：P A＝PB+PC问题解决：（3）如图③，某学校有一块两直角边长分别为30m、60m的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点P处，使P到A、B、C三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说明理由．【例题6】如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sin A＝，sin B＝，∴c＝，c＝，∴＝根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．【变式6-1】观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD＝c sin B，AD＝b sin C，于是c sin B＝b sin C，即，同理有：，所以．即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．（1）如图（2），△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝；AC＝；（2）自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，）【变式6-2】在△ABC中，cos A＝，cos B＝，cos C＝，我们称为余弦定理，请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题：（1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝，求EF的长度；（2）通过合理的构造，试求cos105°．1. 如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于E，P是BA延长线上一点，连接PC交圆O于F，若PF＝7，FC＝13，P A：AE：EB＝2：4：1，则CD长为．2. 定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝°．3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC上一点，以CD为直径的圆与AB相切于点E，若CD＝3，tan∠AED＝，则AD的长为．4. 已知：如图，直角梯形ABCD中AD∥BC，∠A＝90°，CD＝CB＝2AD．点Q是AB边中点，点P在CD边上运动，以点P为直角顶点作直角∠MPN，∠MPN的两边分别与AB边、CB边交于点M、N．（1）若点P与点D重合，点M在线段AQ上，如图（1）．求证：．（2）若点P是CD中点，点M在线段BQ上，如图（2）．线段MQ、CN、BC的数量关系是：，并证明你的猜想．5. 已知：如图所示，E是等腰梯形一腰CD的中点，EF⊥AB，垂足为F，求证：S梯形ABCD＝AB•EF．6. 如图，在⊙O中，AB＝AC，点D是上一动点（点D不与C、B重合），连接DA、DB、DC，∠BAC＝120°．（1）若AC＝4，求⊙O的半径；（2）写出DA、DB、DC之间的关系，并证明．7. 如图：已知点A、B、C、D顺次在圆O上，AB＝BD，BM⊥AC，垂足为M．证明：AM＝DC+CM．8. 小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD ⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，P A，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，P A．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE，PE 与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．9. 阅读与思考：阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使AD＝DE，点F是上的一点，且＝，连接BF可得BF＝BE．（1）将上述问题中弦AB改为直径AB，如图1所示，试证明BF＝BE；（2）如图2所示，若直径AB＝10，EO＝OB，作直线l与⊙O相切于点F．过点B作BP⊥l于点P．求BP的长．10. 阅读下面的材料：如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D．求证：AP•AC+BP•BD＝AB2．证明：连接AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB＝∠AMP＝90°，∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．由割线定理得：AP•AC＝AM•AB，BP•BD＝BM•BA，所以，AP•AC+BP•BD＝AM•AB+BM•AB＝AB•（AM+BM）＝AB2．当点P在半圆周上时，也有AP•AC+BP•BD＝AP2+BP2＝AB2成立，那么：（1）如图（2）当点P在半圆周外时，结论AP•AC+BP•BD＝AB2是否成立？为什么？（2）如图（3）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来．11. 已知⊙O半径为R（1）如图1，过⊙O内一点P作弦AB，连接OP．求证：P A•PB＝R2﹣OP2．（2）如图2，过⊙O外一点P，作割线P AB，求证：P A•PB＝OP2﹣R2．12. （1）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，试利用所学知识证明：S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．（2）在数学中人们把（1）的结论称之为正弦定理的三角形面积公式，它在数学中有着广泛的应用；请利用此结论证明正弦定理：＝＝．（3）探索应用：在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的内角平分线，试证明：+＝（可能用到的知识：sin60°＝sin120°）．13. 已知：如图1，在锐角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，sin∠B＝，则AD＝c sin∠B；在Rt△ACD中，sin∠C＝，则AD＝；所以，c sin∠B＝b sin∠C，即，，进一步即得正弦定理：．参照利用正弦定理解答下题：如图2，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的长．中考数学重点难点专题练习-第15讲非常规思维问题一、轴对称/翻折的性质1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形；2. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点连线段的垂直平分线；3. 对称轴上的任意一点与每一对对应点所连线段相等；4. 若对应线段或对应线段的延长线相交，则交点一定在对称轴上.二、梯形常见辅助线的作法三、圆幂定理四、正弦定理与余弦定理五、阿基米德折弦定理【例题1】（1）如图1，四边形ABCD是菱形，∠BAD=∠BCD=60°，当AC=12时，则△BCD的周长=______. （2）如图2，若四边形ABCD不是菱形，∠BAD=2∠ACB=2∠ACD=60°，AC=12，判断△BCD的周长是否发生变化，并说明理由。

精品经典轴对称与等腰三角形重难点题型汇总140题

轴对称与等腰三角形重难点题型汇总最短路程问题在直线上找一点P,使PA+PB最小在直线上找一P,使PBPA-最小在直线上找一P,使PBPA-最大在OA、OB上分别找一点C、D,使△PCD周长最小并求出∠CPD的度数.在平面内找一点P,使P到OA、OB距离相等,同时到C、D两点距离相等。

分别在OA、OB上找出一点D、C,当PD+CD最小时,若∠AOB=480,∠PCD的度数为BD平分∠ABC,△ABC面积为12,AB=5,在BC、BD上分别找一点M、N，求CN+MN最小值.△ABC中AB=AC,D为BC中点,△ABC面积为24,BC=6,直线l垂直平分AC,P为l上动点,求△PCD周长最小值.正方形ABCD,面积为16,以AB为边在内部作等边三角形ABE,连接对角线AC.P为AC上一动点,求PD+PE最小值.等腰三角形等腰三角形性质与判定性质: 判定: 等边三角形300角问题：在坐标系中找等腰三角形问题1.已知点A坐标为(2a+3,3a+9)在第二象限，且a为整数.根据要求完成下列各题：(1)a= ；A点坐标为；(2)A点关于x轴对称的点坐标为；A点关于y轴对称的点坐标为； A点关于原点对称的点坐标为；(3)A点关于直线x=2对称的点坐标为；A点关于直线x=-2对称的点坐标为；A点关于直线y=-3对称的点坐标为；(4)连接OA,将OA绕点O旋转900，则旋转后A点对应坐标为；2.如图,∠ABC 内有一点P,(1)在BA、BC 边上各取一点P1、P2，使△PP1P2 的周长最小;(尺规作图)(2)若∠ABC=300，连接BP1，BP2，P1P2，判断△BP1P1形状并说明理由.3.如图所,MP和 NQ 分别垂直平分 AB和 AC．(1)若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数;(2)若∠PAQ=250，求∠BAC的度数。

4.如图，已知Rt △ABC,∠ACB=900，AD 平分∠BAC 与BC 交于D 点，M 、N 分别在线段AD 、AC 上的动点，连接MN 、MC,当MN+MC 最小时，画出M 、N 的位置.5.如图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB•的对称点，线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，若△PEF 的周长是20cm ，则线段MN 的长是________；若∠AOB=320，则∠EPF=6.如图,在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，S △ABC =48cm 2，AB=18cm ，BC=12cm ，求DE 的长。

2_文本：《轴对称》重难点解读

《轴对称》重难点解读图形的轴对称，是初中数学“空间与图形”领域当中的一个重要内容。

轴对称变换是数学中的一种基本的变换，同平移变换一样，它是保持两点之间距离不变的变换，即保持变换或合同变换，这种变换只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。

图形的轴对称的学习是从学生已有现实入手，来理解和学习轴对称以及其基本性质，观察、领悟轴对称在现实生活中的广泛应用，并利用轴对称性探究等腰三角形的性质（这为探索矩形、菱形、正多边形、圆的性质作好准备）。

同时，等腰三角形是一种特殊的三角形，也是我们几何学习中较为重要和常用的图形，它是我们今后各阶段学习的基础。

一、课标要求“轴对称”的主要内容包括“轴对称”、“画轴对称图形”、和“等腰三角形”和“最短路径”四个方面。

引导学生从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在生活中的广泛应用。

在此基础上，探索等腰三角形的性质和判定，并进一步学习等边三角形。

1.“轴对称”是立足于学生已有“生活现实”和“数学现实”，让学生从观察生活中的对称现象开始，通过空间想象，归纳出图形的轴对称和轴对称图形的概念，从整体上概括出轴对称的特征。

结合探索对称点的关系，归纳得出对应点的连线被对称轴垂直平分的性质，并结合这个性质的探索得到线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。

对于轴对称的概念，只要求学生“了解”或“理解”，这种要求借助图形直观不难达到，我们不可能也没有必要给出轴对称的严格定义；教学时应鼓励学生充分观察、动手操作，使用自己的语言概括出轴对称图形的特征（有条件的话，能够借助多媒体技术展示它们的轴对称性，协助学生建立轴对称图形和两个图形成轴对称的概念）。

轴对称的性质是通过“探索”得到的，即通过图形的运动变化去发现性质的，而不是单纯地把性质作为结论表现给学生。

实行这样的探索活动，有助于学生感受图形运动变化过程中的不变量和不变关系，从而为使用图形运动的方法研究图形的性质奠定基础。

线段垂直平分线的性质定理，能够通过图形的轴对称获得猜想，然后再使用三角形全等证明。

专题05 轴对称重难点题型分类(解析版)—八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题05轴对称重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《轴对称》这一章除各类压轴题之外的六种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：轴对称图形、垂直平分线的性质与判定、尺规作图、最短路径问题、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定。

适合于培训机构的老师给学生作培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一轴对称图形1．（2021·湖南）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；B．不是轴对称图形，故B不符合题意；C．不是轴对称图形，故C不符合题意；D．是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．2．（2021·辽宁）若点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a、b的值为（）A．a=3，b=－5B．a=－3，b=5C．a=3，b=5D．a=－3，b=1【详解】解：根据题意，点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a+b=-2，a=3,解得b=-5,故选：A．3.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（）A．3：55B．8：05C．3：05D．8：55【详解】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，分针指向11实际对应点为1，故此时的实际时刻是：8点5分．故选：B．4．（2022·浙江）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N 的位置上，若55∠-∠的值为（）∠=︒，则21EFGA．35︒B．40︒C．45︒D．55︒【详解】解：四边形ABCD 是长方形，∴AD BC ，∴55DEF EFG ∠=∠=︒，由折叠的性质得：55GEF DEF ∠=∠=︒，118070GEF DEF ∴∠=︒-∠-∠=︒，又∵AD BC ，21801110∴∠=︒-∠=︒，211107040∴∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．题型二垂直平分线的性质与判定1.垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．2.垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.．3.垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．（2015·湖北）如图，△ABC 中，AB =5，AC =6，BC =4，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，则△BDC 的周长是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【详解】解：∵ED 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD ，∵△BDC 的周长=DB +BC +CD ，∴△BDC 的周长=AD +BC +CD =AC +BC =6+4=10．故选C ．6.（2017·湖北）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为()A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°【详解】∵AB =AC ，∠A =30°，∴∠ABC =∠ACB =75°，∵AB 的垂直平分线交AC 于D ，∴AD =BD ，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．7．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：B．8．（2021·宁夏）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【详解】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，9．（2021·北京）如图所示，AD是ABC∠=∠．连结AF，求证：BAF ACF【详解】证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF，∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠CAD，∴∠FAC＝∠B，∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，即∠BAF＝∠ACF．10．（2021·山东）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．【详解】解：证明：∵AP是∠BAC的平分线，PM⊥AC，PN⊥AB，∴PM=PN，∵PQ是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，在Rt△PBN和Rt△PCM中，PB PCPM PN=⎧⎨=⎩，∴Rt△PBN≌Rt△PCM（HL），∴BN=CM．11．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【解答】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分线，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线D交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM＝CN；（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数．【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵DE垂直平分线BC，∴DB＝DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，，∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），∴BM＝CN；（2）解：由（1）得：∠BDM＝∠CDN，∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，在Rt△DMA和Rt△DNA中，，∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），∴∠ADM＝∠ADN，∵∠BAC ＝70°，∴∠MDN＝110°，∠ADM＝∠ADN＝55°，∵∠BDM＝∠CDN，∴∠BDC＝∠MDN＝110°，∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠EDC＝BDC＝55°，∴∠DCB＝90°﹣∠EDC＝35°，∴∠DCB＝35°．13．（2022·广东）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠EAD=12∠BAC=25°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，DE=DC，∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线.14．（2019·广东）如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：（1）∠ECD =∠EDC ；（2）OC =OD ；（3）OE 是线段CD 的垂直平分线．【详解】证明：（1）∵OE 平分∠AOB ，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴ED =EC ，即△CDE 为等腰三角形，∴∠ECD =∠EDC ；（2）∵点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠DOE =∠COE ，∠ODE =∠OCE =90°，OE =OE ，∴△OED ≌△OEC （AAS ），∴OC =OD ；（3）∵OC =OD ，且DE =EC ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线．题型三尺规作图15．（2022·辽宁）已知在ABC 中，点D 为线段BC 边上一点，则按照顺序，线段AD 分别是ABC 的（）A ．①中线，②角平分线，③高线B ．①高线，②中线，③角平分线C ．①角平分线，②高线，③中线D ．①高线，②角平分线，③中线【详解】解：①由作图方法可知，AD 是BC 边上的垂线，即AD 为△ABC 的高；②由作图方法可知AD 是∠BAC 的角平分线；③由作图方法可知D 在BC 的垂直平分线上，即AD 是BC 的中线；故选D ．16．（2022·山东）如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若ABC 的周长为12，5AB ，则ADC 的周长为（）A ．10B ．9C ．8D ．7【详解】根据题意可知MN 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ．∵△ABC 的周长为12，∴AB+BC+AC=12．∵AB=5，∴BC+AC=7，即AC+CD+BD=7，∴AC+CD+AD =7，所以△ADC 的周长为7．17．（2022·福建）如图，已知△ABC ．(1)求作BC 边上高AD ，交BC 于点D ，∠BAC 的平分线AE ，交BC 于点E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)若∠B ＝35°，∠C ＝65°，求∠DAE 的度数．【答案】（1）解：如图，线段AD ，线段AE 即为所求．（2）解：∵∠CAB =180°-∠B -∠C =80°，AE 平分∠CAB ，∴∠CAE =12∠CAB =40°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC =90°，∴∠CAD =90°-∠C =25°，∴∠DAE =∠CAE -∠CAD =15°．18．按要求完成下列作图，不要求写作法，只保留作图痕迹．（1）已知：线段AB ，作出线段AB 的垂直平分线MN ．（2）已知：∠AOB ，作出∠AOB 的平分线OC ．【解答】解：（1）如图（1），MN为所作；（2）如图（2），OC为所作；19．（2020·北京）如图，已知∠BAC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P到∠BAC两边的距离相等．【详解】解：作∠BAC平分线，再作线段MN的垂直平分线EF交于点P，如图，点P即为所求．理由：过点P作PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，连接PM，PN，∵AP平分∠BAC，∴PG=PH，∵EF垂直平分MN，∴PM=PN．题型四最短路径问题=，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，20.（青竹湖）如图，在△ABC中，AB AC则下列线段的长度等于BP EP+最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.AC【解答】解：B点的对称点为C，再连接E,C，故选：B．21．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A．40°B．100°C．140°D．50°【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故选：B．22．（2020·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0，0)，A(－1，2)，B(2，1)．(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）(2)在x 轴上画出点P ，使得PA +PB 的值最小．（1）解：如图所示，即为所求，由图形知，()112，A ，()121B -，；（2）解：如图，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB '，与x 轴的交点，即为点P ，23．（北雅）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2、y 2），其两点间的距离P 1P 2＝问题解决：已知A （1，5），B （7，3）（1）试求A 、B 两点的距离；（2）在x 轴上找一点P （不求坐标，画出图形即可），使PA +PB 的长度最短，求出PA +PB 的最短长度．（3）在x 轴上有一点M ，在y 轴上有一点N ，连接A 、N 、M 、B 得四边形ANMB ，若四边形ANMB 的周长最短，请找到点M 、N （不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB 的最小周长．【解答】解：（1）∵A （1，5）、B （7，3），∴AB ＝＝＝2，即A 、B 两点的距离为：2；（2）如右图1所示，作点A 关于x 轴的对称点A ′，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（1，﹣5），∴A ′B ＝＝10，即PA +PB 的最短长度是10；（3）作点A 关于y 轴的对称点A ′，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接A ′B ′于y 轴交于点N ，与x 轴交于点M ，如图2所示，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（﹣1，5），B ′（7，﹣3），∴AB ＝2，A ′B ′＝＝8，∴四边形ANMB 的最小周长是8+2．题型五等腰三角形的性质与判定1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。

【重难点突破】北师大版五年级上册数学第二、七单元轴对称和平移、可能性及数学好玩(含答案)

【重难点突破】北师大版五年级上册-第二、七单元轴对称和平移、可能性及数学好玩（含答案）一、选择题1．下图都是常见的安全标记，其中（）是轴对称图形。

A．B．C．D．2．像这样摆20个三角形需要（）根小棒。

A．41B．30C．25D．283．蜘蛛和蚂蚁一共有8只，共有60条腿（蜘蛛有8条腿，蚂蚁有6条腿），其中蜘蛛有（）只。

A．2B．4C．6D．74．天柱山推出甲，乙两种购票优惠方案（如下）。

一家2个大人带3个小孩去游玩，选择（）方案更省钱。

甲方案：成人每位100元，小孩每位40元。

乙方案：团体5人及5人以上每位80元。

A．甲B．乙C．甲和乙5．把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的（）总是相等的。

A．高B．上下两底的和C．面积D．周长6．用小棒按照下面的方式摆图形，第（）个图形刚好用了2021根小棒。

A．337B．338C．404D．4057．46名同学去划船，一共租了10条船正好坐满。

其中每条大船坐6人，每条小船坐4人。

大船租了（）条。

A．2B．3C．7D．88．如果假期有重要事情要通知同学们，怎样才能尽快通知到30名同学呢!如果用电话通知，那么，打电话的总次数为（）A．31次B．30次C．29次D．15次9．笑笑与淘气用摸球游戏来决定下围棋谁先走，摸到红球笑笑先走，摸到白球淘气先走，在下面（）盒子中摸最公平。

A．红球10个，白球0个B．红球6个，白球4个C．红球5个，白球5个D．红球4个，白球6个10．如下图，第100个图形由（）个小点组成。

① ② ③ ④A．297B．300C．303D．100二、填空题11．在方格纸上A处，放上一粒圆形纽扣，怎样才能将它平移到B处呢？先向________平移________格，再向________平移________格，到B 处．12．有1元和5元的纸币共25张，总值53元，1元的纸币有（________）张，5元的纸币有（________）张。

13．小明用小棒摆三角形这样摆下去摆7个三角形需要（________）根小棒，25根小棒能摆出（________）个三角形。

难点详解华东师大版七年级数学下册第10章轴对称、平移与旋转重点解析试题(含详解)

七年级数学下册第10章轴对称、平移与旋转重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下面的图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2、出行安全，认识交通路标非常重要．下列是部分交通路标，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3、如图1，北京2022年冬季奥林匹克运动会会徽（冬梦）主要由会徽图形、文字标志、奥林匹克五环标志三个部分组成，图形主体形似汉字“冬”的书法形态；如图2，冬残奥会会徽（飞跃）主要由会徽图形、文字标志、国际残奥委会标志三部分组成，图形主体形似汉字“飞”的书法字体．以下图案是会徽中的一部分，其中是轴对称图形的为（）．A．B．C．D．4、下面4个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5、如图，下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7、以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．8、下列图形不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．9、下列宣传图案中，既中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．10、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、将长度为5cm的线段向上平移10cm，所得线段的长度是_______cm．2、如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC 边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为_________．3、在如图所示的图中补一个小正方形，使其成为轴对称图形，共有__________种补法．4、如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则∠BDC 的度数为_____度．5、如图，在ABC 中，8AB ，将ABC 绕点B 按逆时针方向旋转30后得到11A BC ，则阴影部分面积为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，ABC 的三个顶点都在格点上．(1)画出ABC 关于y 轴对称的'''A B C ；(2)点P 为y 轴上一动点，当PA PB +取得最小值时，点P 的坐标为________．2、新定义：如图①，已知AOB ∠，在AOB ∠内部画射线OC ，得到三个角，分别为AOC ∠、BOC ∠、AOB ∠．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC 为AOB ∠的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【阅读理解】（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图①，48AOB ∠=︒，射线OC 为AOB ∠的“幸运线”，则AOC ∠的度数为______；（直接写出答案）【解决问题】（3）如图②，已知50AOB ∠=︒，射线OM 从OA 出发，以每秒10°的速度绕O 点顺时针旋转，同时，射线ON 从OB 出发，以每秒15°的速度绕O 点顺时针旋转，设运动的时间为t 秒()05t <<．若OM 、ON 、OB 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t 的值．【实际运用】（4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？3、在下面的方格纸中作图：(1)先画△ABC 关于直线l 1的对称图形△A 1B 1C 1，再画△A 1B 1C 1关于直线l 2的对称图形△A 2B 2C 2；(2)若△ABC 向右平移1格，则△A 2B 2C 2向____平移_____格．4、如图1，点O 为直线AB 上一点，将两个含60°角的三角板MON 和三角板OPQ 如图摆放，使三角板的一条直角边OM 、OP 在直线AB 上，其中60OMN POQ ∠=∠=︒．(1)将图1中的三角板OPQ 绕点O 按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边OP 在MON ∠的内部且平分MON ∠，此时三角板OPQ 旋转的角度为______度；(2)三角板OPQ 在绕点O 按逆时针方向旋转时，若OP 在MON ∠的内部．试探究MOP ∠与NOQ ∠之间满足什么等量关系，并说明理由；(3)如图3，将图1中的三角板MON 绕点O 以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板OPQ 绕点O 以每秒3°的速度按逆时针方向旋转，将射线OB 绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线OB 记为OE ，射线OC 平分MON ∠，射线OD 平分POQ ∠，当射线OC 、OD 重合时，射线OE 改为绕点O 以原速按顺时针方向旋转，在OC 与OD 第二次相遇前，当13COE ∠=︒时，直接写出旋转时间t 的值．5、在等边ABC 中，将线段AB 绕点A 顺时针旋转()0180αα︒<<︒得到线段AD ．（1）若线段DA 的延长线与线段．．BC 相交于点E （不与点B ，C 重合），写出满足条件的α的取值范围；（2）在（1）的条件下连接BD ，交CA 的延长线于点F ．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE ，AF ，CE 之间的数量关系，并证明．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2、D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义“沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形”选择即可．【详解】A．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；B．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；C．不是轴对称图形，故该选项不符合题意；D．是轴对称图形，故该选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．3、B【解析】【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【详解】解：A．不是轴对称图形，本选项不符合题意；B．是轴对称图形，本选项符合题意；C．不是轴对称图形，本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4、D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、矩形是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、菱形是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、正方形是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、平行四边形不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5、B【解析】【分析】如果一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形的概念逐一分析即可判断．【详解】第一、三个图形是轴对称图形，第二、四个图形不是轴对称图形，故符合题意的有两个；故选：B【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，掌握概念是关键．6、C【解析】【分析】利用中心对称图形的定义：旋转180 能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．【详解】解：A、不是中心对称图形，故A错误．B、不是中心对称图形，故B错误．C、是中心对称图形，故C正确．D、不是中心对称图形，故D错误．故选：C．【点睛】本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．7、D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义（在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）进行判断即可得．【详解】解：根据轴对称图形的定义判断可得：只有D选项符合题意，故选：D．【点睛】题目主要考查轴对称图形的判断，理解轴对称图形的定义是解题关键．8、D【解析】【详解】解：A、是轴对称图形，此项不符题意；B、是轴对称图形，此项不符题意；C、是轴对称图形，此项不符题意；D、不是轴对称图形，此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）是解题关键．9、C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．10、A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．【详解】解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．二、填空题1、5【解析】【分析】根据平移的性质解答．【详解】解：将长度为5cm 的线段向上平移10cm ，所得线段的长度是5cm ，故答案为：5．【点睛】此题考查了平移的性质：平移前后的图形全等，熟记平移的性质是解题的关键．2、8【解析】【分析】由折叠可得：,5,AD ED AC AE ===再求解,BE 利用7,BD DE AD BD +=+=从而可得答案.【详解】解：由折叠可得：,5,AD ED AC CE ===6,BC =651,BE BC CE ∴=-=-=7,AB =7,AD BD ∴+=718,BDEC BD DE BE BD AD BE AB BE ∴=++=++=+=+=故答案为：8.【点睛】本题考查的是轴对称的性质，掌握“成轴对称的两个图形的对应边相等”是解本题的关键.3、4【解析】【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【详解】解：如图所示：故答案为：4【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．4、15【解析】【分析】根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，求出∠CBD的度数，再求∠BDC的度数．【详解】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC＝BD，∴△CBD 是等腰三角形，∴∠BDC ＝∠BCD ，∵∠CBD ＝180°﹣∠DBE ＝180°﹣30°＝150°，∴∠BDC ＝（180°﹣∠CBD ）÷2＝15°．故答案为15．【点睛】根据旋转的性质，确定各角之间的关系，利用已知条件把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转求出即可．5、16【解析】【分析】根据旋转的性质得到△ABC ≌△A 1BC 1，A 1B =AB =8，所以△A 1BA 是等腰三角形，依据∠A 1BA =30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道1111A BA A BC ABC A BA S SS S S =+-=阴影，最终得到阴影部分的面积．【详解】解：∵在△ABC 中，AB =8，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A 1BC 1，∴△ABC ≌△A 1BC 1，∴A 1B =AB =8，∴△A 1BA 是等腰三角形，∠A 1BA =30°，过点A 1作1A D AB ⊥于点D∴11142A D AB == ∴1A BA S =12×8×4=16，又∵111A BA A BC ABC S S S S =+-阴影，11A BC ABC S S =△△，∴1A BA S S =阴影=16．故答案为：16．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)（0，3）【解析】【分析】（1）利用关于y 轴对称的点的坐标得到A ′、B ′、C ′的坐标，然后描点即可；（2）连接BA ′交y 轴于P 点，根据两点之间线段最短可判断P 点满足条件，从而得到P 点坐标．【小题1】解：如图，△A 'B 'C '为所作；【小题2】如图，根据轴对称的性质可知，PA PB PA PB '+=+，连接BA ′交y 轴于P 点，此时点P 为所求作，P 点坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．2、（1）是；（2）16°或24°或32°；（3）2或207或54；（4）18011．【解析】【分析】（1）根据幸运线定义即可求解；（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；（3）根据幸运线定义得到方程求解即可；（4）利用时针1分钟走0.5︒，分针1分钟走6︒，可解答问题．【详解】解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；故答案为：是；（2）①设∠AOC=x，则∠BOC=2x，由题意得，x+2x=48°，解得x=16°，②设∠AOC=x，则∠BOC=x，由题意得，x+x=48°，解得x=24°，③设∠AOC=x，则∠BOC=12x，由题意得，x+12x=48°，解得x=32°，故答案为：16°或24°或32°；（3）OB是射线OM与ON的幸运线，则∠BOM=12∠MON，即50-10t=12（50-10t+15t），解得t=2；∠BOM=13∠MON，即50-10t=13（50-10t+15t），解得t=207；∠BOM=23∠MON，即50-10t=23（50-10t+15t），解得t=54；故t的值是2或207或54；（4）时针1分钟走300.560︒=︒，分针1分钟走360660︒=︒，设小丽帮妈妈取包裹用了x分钟，则有0.5x+3×30=6x，解得：x=180 11．【点睛】本题考查了旋转的性质，幸运线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．3、 (1)见解析(2)右，1【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可．（2）利用平移的性质解决问题即可．(1)如图，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求作．(2)若△ABC向右平移1格，则△A2B2C2向右平移1格．故答案为：右，1．【点睛】本题考查了轴对称的性质，平移的性质，掌握轴对称与平移的性质是解题的关键．4、(1)135°(2)∠MOP-∠NOQ=30°，理由见解析(3)2273s或1363s．【解析】【分析】（1）先根据OP平分MON∠得到∠PON，然后求出∠BOP即可；（2）先根据题意可得∠MOP=90°-∠POQ, ∠NOQ=60°-∠POQ,然后作差即可；（3）先求出旋转前OC、OD的夹角，然后再求出OC与OD第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在OC与OD第二次相遇前，当13COE∠=︒时，需要旋转时间为t，再分OE在OC的左侧和OE在OC的右侧两种情况解答即可．(1)解：∵OP平分∠MON∴∠PON=12∠MON=45°∴三角板OPQ旋转的角：∠BOP=∠PON+∠NOB=135°．故答案是135°(2)解：∠MOP-∠NOQ=30°，理由如下：∵∠MON=90°，∠POQ=60°∴∠MOP=90°-∠POQ, ∠NOQ=60°-∠POQ,∴∠MOP-∠NOQ=90°-∠POQ -（60°-∠POQ）=30°．(3)解：∵射线OC平分MON∠，射线OD平分POQ∠∴∠NOC=45°，∠POD=30°∴选择前OC与OD的夹角为∠COD=∠NOC+∠NOP+∠POD=165°∴OC 与OD 第一次相遇的时间为165°÷（2°+3°）=33秒，此时OB 旋转的角度为33×5°=165° ∴此时OC 与OE 的夹角165-（180-45-2×33）=96°OC 与OD 第二次相遇需要时间360°÷（3°+2°）=72秒设在OC 与OD 第二次相遇前，当13COE ∠=︒时，需要旋转时间为t①当OE 在OC 的左侧时，有（5°-2°）t =96°-13°，解得：t =2273s ②当OE 在OC 的右侧时，有（5°-2°）t =96°+13°，解得：t =1363s 然后，①②都是每隔360÷（5°-2°）=120秒，出现一次这种现象∵C 、D 第二次相遇需要时间72秒∴在OC 与OD 第二次相遇前，当13COE ∠=︒时，、旋转时间t 的值为2273s 或1363s ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．5、（1）120180α︒<<︒；（2）①见解析；②AE =AF +CE ，证明见解析．【解析】【分析】（1）根据“线段DA 的延长线与线段BC 相交于点E ”可求解；（2）①根据要求画出图形，即可得出结论；②在AE 上截取AH =AF ，先证△AFD ≌△AHC ，再证∠CHE =∠HCE ，即可得出结果．（1）如图：AD 只能在锐角∠EAF 内旋转符合题意故α的取值范围为：120180α︒<<︒；（2）补全图形如下：（3）AE =AF +CE ，证明：在AE 上截取AH =AF ，由旋转可得：AB =AD ，∴∠D =∠ABF ，∵△ABC 为等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC=∠ACB =60°，∵∠DAF=∠CAH，∴△AFD≌△AHC，∴∠AFD=∠AHC，∠D=∠ACH，∴∠AFB=∠CHE，∵∠AFB+∠ABF=∠ACH+∠HCE=60°，∴∠CHE+∠D=∠D+∠HCE=60°，∴∠CHE=∠HCE，∴CE=HE，∴AE=AH+HE=AF+CE．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等边三角形性质及应用，解题的关键是正确画出图形和作出辅助线．。

轴对称重点和难点

轴对称图形主要内容：轴对称与轴对称图形、轴对称的性质、设计轴对称图案、线段、角的轴对称性、等腰三角形的轴对称性、等腰梯形的轴对称性。

重点：垂直平分线、角平分线、等腰三角形（直角三角形、等边三角形）的性质、等腰梯形的常用辅助线；难点是如何灵活应用所学知识解决问题。

难点：通过具体的轴对称图形实例,让学生经历观察、比较、分析等数学活动,从而让学生认识轴对称图形,知道轴对称与轴对称图形之间的区别,而后通过线段与角、等腰三角形、等腰梯形等轴对称图形加深对轴对称图形的理解。

变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。

初中数学轴对称重难点归纳

初中数学轴对称重难点归纳单选题1、如图是一个正方体，小敏同学经过研究得到如下5个结论，正确的结论有（）个①用剪刀沿着它的棱剪开这个纸盒，至少要剪7刀，才能展开成平面图形；②用一平面去截这个正方体得到的截面是三角形ABC，则∠ABC=45°；③一只蚂蚁在一个实心正方体木块P点处想沿着表面爬到C点最近的路只有4条；④用一平面去截这个正方体得到的截面可能是八边形；⑤正方体平面展开图有11种不同的图形．A．1B．2C．3D．4答案：B解析：根据正方体的每个面都是正方形判断②；根据一平面去截n棱柱，截面最多是（n+2）边形判断④；根据正方体的展开图判断⑤①；根据正方体有六个面，从P到C，可以走“前+上、前+右、左+上、左+后、下+右、下+后”这六处组合的面，这其中任何一个组合的两个面展开均是相同的长方形，而P到C的最短路线是这个长方形的对角线，判断③．解：（1）AB、BC、AC均是相同正方形的对角线，故AB=BC=AC，△ABC是等边三角形，∠ABC=60°，②错误；（2）用一平面去截n棱柱，截面最多是（n+2）边形，正方体是四棱柱，所以截面最多是六边形，④错误；（3）正方体的展开图只有11种，⑤正确；（4）正方体的11种展开图，六个小正方形均是一连一关系，即必须是5条边相连，正方体有12条棱，所以要剪12-5=7条棱，才能把正方体展开成平面图形，①正确；（5）正方体有六个面，P点属于“前、左、下面”这三个面，所以从P到C，可以走“前+上、前+右、左+上、左+后、下+右、下+后”这六处组合的面，这其中任何一个组合的两个面展开均是相同的长方形，而P到C的最短路线是这个长方形的对角线，这些对角线均相等，故从P到C的最短路线有6条；③错误．综上所述，正确的选项是①⑤，故选B小提示：本题考查了正方体的有关知识．初中数学中的典型题型“多结论题型”，判别时方法：①容易判别的先判别，无需按顺序解答；②注意部分结论间存在有一定的关联性．2、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD 为（）A．50°B．70°C．75°D．80°答案：B解析：根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=25°，∵∠B=60°，∠C=25°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，小提示：本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．3、如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直．．．角．三角形，满足条件的格点C的个数是（）A．2B．3C．4D．5答案：B解析：根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．4、如图所示，在3×3的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有()A．6种B．5种C．4种D．2种答案：C解析：轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此解答即可．如图所示，所标数字1，2，3，4都符合要求，一共有4种方法.故选C．小提示：本题重点考查了利用轴对称设计图案，需熟练掌握轴对称图形的定义，应该多加练习．5、下列命题中，属于假命题的是（）A．边长相等的两个等边三角形全等B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等C．周长相等的两个三角形全等D．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等答案：C解析：根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，逐一判断选项，即可得到答案．解：A、边长相等的两个等边三角形全等，是真命题，故A不符合题意；B、斜边相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题，故B不符合题意；C、周长相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，故C符合题意；D、底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题，故D不符合题意．故选：C．小提示：本题考查了命题与定理，牢记有关的性质、定义及定理是解决此类题目的关键．6、如果一个等腰三角形的周长为17cm，一边长为5cm，那么腰长为（）A．5cmB．6cmC．7cmD．5cm或6cm答案：D解析：此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边长或5cm是等腰三角形的腰长，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（17−5）÷2＝6（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是17−5×2＝7（cm），能够组成三角形．故该等腰三角形的腰长为：6cm或5cm．故选：D．小提示：此题考查了等腰三角形的两腰相等的定义，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．7、如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B 岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形答案：A解析：先根据方位角的定义分别可求出∠CAD=35°,∠BAD=80°,∠CBE=55°，再根据角的和差、平行线的性质可得∠BAC=45°，∠ABE=100°，从而可得∠ABC=45°，然后根据三角形的内角和定理可得∠C=90°，最后根据等腰直角三角形的定义即可得．由方位角的定义得：∠CAD=35°,∠BAD=80°,∠CBE=55°∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=80°−35°=45°由题意得：AD//BE∴∠ABE=180°−∠BAD=180°−80°=100°∴∠ABC=∠ABE−∠CBE=100°−55°=45°∴∠BAC=∠ABC=45°由三角形的内角和定理得：∠C=180°−∠BAC−∠ABC=90°∴△ABC是等腰直角三角形即A，B，C三岛组成一个等腰直角三角形故选：A．小提示：本题考查了方位角的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义等知识点，掌握理解方位角的概念是解题关键．8、下列命题中，属于假命题的是（）A．边长相等的两个等边三角形全等B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等C．周长相等的两个三角形全等D．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等答案：C解析：根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，逐一判断选项，即可得到答案．解：A、边长相等的两个等边三角形全等，是真命题，故A不符合题意；B、斜边相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题，故B不符合题意；C、周长相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，故C符合题意；D、底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题，故D不符合题意．故选：C．小提示：本题考查了命题与定理，牢记有关的性质、定义及定理是解决此类题目的关键．填空题9、如图，已知O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A＝50°，则∠BOC 的度数为_____度．答案：100解析：连接AO延长交BC于D，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC，再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A，即可求解．解：连接AO延长交BC于D，∵O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，∴OB=OA=OC，∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC，∵∠BAC=50°，∴∠BOC=100°．所以答案是：100．小提示：本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握它们的性质和运用是解答的关键．10、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△BPC的面积为 ___cm2．答案：1解析：根据等腰三角形三线合一的性质即可得出AP=PD，即得出△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，即可推出S△BPC=12S△ABC，即可求出答案．∵BD＝BA，BP是∠ABC的角平分线，∴AP=PD，∴△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，∴S△ABP=S△DBP，S△ACP=S△DCP．∵S△ABC=S△ABP+S△DBP+S△ACP+S△DCP，S△BPC=S△DBP+S△DCP，∴S△BPC=12S△ABC=12×2=1cm2．所以答案是：1．小提示：本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键．11、如图，等边△ABC的周长是18，D是AC边上的中点，点E在BC边的延长线上．如果DE＝DB，那么CE的长是_____．答案：3解析：由△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点可得∠DBE=30°，由DE=DB得∠E =30°，再证出∠CDE=∠E，得出AC=3即可．CD=CE=12∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，∴∠DBE=30°，又DE=DB，∴∠E=∠DBE=30°，∵等边△ABC的周长为18，∴AC=6，且∠ACB=60°，∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°，∴∠CDE=∠E，∴CD=CE=1AC=3．2故答案为3．小提示：此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明CD=CE是解题的关键．12、如图，∠ADC=∠DCF=120°，AD=DC=2CF，若AE=24，则线段CE长为______．答案：8解析：过点D作DH⊥AC于H，由等腰三角形的性质可得AH=HC，∠DAC=∠DCA=30°，由直角三角形的性质可证DH=CF，由“AAS”可证△DHE≌△FCE，可得EH=EC，即可求解．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵∠ADC=∠DCF=120°，AD=DC，DH⊥AC，∴AH=HC，∠DAC=∠DCA=30°，∴∠ACF=90°，AD=2DH，∵AD=2CF，∴DH=CF，在△DHE和△FCE中，{∠DEH=∠FEC∠DHE=∠FCE,DH=CF∴△DHE≌△FCE（AAS）∴EH=EC，EC=EH=12CH=12AH∵AE=24，∴EH=EC=8．故答案为8．小提示：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．13、把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上．若AB=2，则CD=____．答案：√6−√2．解析：如图，先利用等腰直角三角形的性质求出BC=√2AB=2√2，BF=AF=√2，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．如图，过点A作AF⊥BC于F，在RtΔABC中，∠B=45°，∴BC=√2AB=2√2，BF=AF=√22AB=√2，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2√2，在RtΔADF中，根据勾股定理得，DF=√AD2−AF2=√6，∴CD=BF+DF−BC=√2+√6−2√2=√6−√2，故答案为√6−√2．小提示：此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．解答题14、如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F.求证：AE= AF.答案：见解析解析：根据角平分线的性质得到∠ABF＝∠CBF，再根据余角的性质得到∠ABF＋∠AFB＝∠CBF＋∠BED＝90°，再结合题意根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论．∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABF＋∠AFB＝∠CBF＋∠BED＝90°，∴∠AFB＝∠BED，∵∠AEF＝∠BED，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF．小提示：本题考查等腰三角形的判定和性质、余角的性质和角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15、尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写画图过程，保留作图痕迹）答案：见解析.解析：分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．如图，点P为所作．小提示：本题考查了作图−应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．。

《轴对称和旋转》综合练习题(含答案)

《轴对称和旋转》综合练习题(含答案)轴对称和旋转综合练题(含答案)
问题1
一块正方形薄片绕其中一条边作旋转，问所得的形体是轴对称的吗？
答案：
是，所得的形体是轴对称的。

因为绕正方形的一条边旋转180度后，形体完全重合。

问题2
下面哪个形体是轴对称的？
A. 三角形
B. 四边形
C. 多边形
D. 圆形
答案：
D. 圆形是轴对称的，因为它的每一个点都能通过某个轴对称线与对应位置的点重合。

问题3
一个形体在旋转180度后仍然看起来一样，那这个形体是否是轴对称的？
答案：
不一定。

轴对称是指形体可以通过某个轴对称线与对应位置的点重合，而不仅仅是看起来一样。

问题4
一个三角形薄片绕着它的外接圆作旋转，问所得的形体是轴对称的吗？
答案：
是，所得的形体是轴对称的。

因为绕着三角形的外接圆作旋转180度后，形体完全重合。

问题5
一个五边形绕着其一个内角点作旋转，问所得的形体是轴对称的吗？
答案：
不是，所得的形体不是轴对称的。

因为绕着五边形的一个内角点作旋转180度后，形体不会完全重合。

难关必刷03轴对称之将军饮马模型(3种类型30题专练)(解析版)

难关必刷03轴对称之将军饮马模型（3种类型30题专练）【模型梳理】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？B军营河如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）类型一：两定一动在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．类型二：两定两动在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。

考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。

类型三：一定两动在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。

此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）BBBBBB【题型讲解】类型一：两定一动【例1】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】在中，，AD 是的中线，可得点B 和点D 关于直线AD 对称，连结CE ，交AD 于点P ，此时最小，为EC 的长，故选B.【变式】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．P OBAMNA类型二：两定两动【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为 A ．3B ．4C ．D ．【分析】此处E 点为折点，可作点C 关于AD 的对称，对称点C ’在AB 上且在AB 中点，化折线段CE +EF 为C ’E +EF ，当C ’、E 、F 共线时得最小值，C ’F 为CB 的一半，故选C ．【变式】如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是 A()E AFCDB()NMDCBAAB ．2C ．D ．4【分析】此处M 点为折点，作点N 关于BD 的对称点，恰好在AB 上，化折线CM +MN 为CM+MN ’．因为M 、N 皆为动点，所以过点C 作AB 的垂线，可得最小值，选C ．类型三：一定两动【例3】点P 是定点，在OA 、OB 上分别取M 、N ，使得PM+MN 最小。

专题轴对称章末重难点题型(举一反三)(原卷版)

2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
【例4】（金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（）
A．50°B．130°C．50°或140°D．50°或130°
【变式4-3】（新吴区期中）如图，在第一个△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（）
A．175°B．170°C．10°D．5°
A．6B．8C．4D．10
【变式2-2】（思明区校级期中）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（）
A．3B．4C．5D．6
【变式2-3】（西城区校级期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，山区期末）如图是网格中由五个小正方形组成的图形，根据下列要求画图（涂上阴影）
（1）图①中，添加一块小正方形，使之成为轴对称图形，且有两条对称轴；
（2）图②中，添加一块小正方形，使之成为轴对称图形，且只有一条对称轴（画出一个即可）
【变式6-1】（东明县期末）如图，下列4×4网格图都是由16个相间小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，在空白小正方形中，选取2个涂上阴影，使6个阴影小正方形组成个轴对称图形，请设计出四种方案．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点2角平分线的应用】

初中数学对称图形

初中数学对称图形篇一：初中数学轴对称图形练习轴对称与轴对称图形姓名______一、轴对称和轴对称图形1、下列的说法：①轴对称和轴对称图形意义相同；②轴对称图形必轴对称；③轴对称和轴对称图形的对称轴都是一直线；④轴对称图形的对称点一定在对称轴的两旁，其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、下列说法不正确的是（）A.两个关于某直线对称的图形一定全等B.对称图形的对称点一定在对称轴的两侧C.两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴D.平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称二、轴对称的性质1.若线段AB和A′B′关于直线l对称,则AB=A′B′ ( )2.若线段AB和A′B′在直线l的两旁,且AB=A′B′,则线段AB和A′B′关于直线l对称()3.若点A与A′到直线l的距离相等,则若点A与A′关于直线l对称 ()4.若△ABC≌△A′B′C′,则△ABC和△A′B′C′,关于某直线对称 ( )5、两个图形关于某直线对称，对称点一定在（）A、这直线的两B、这直线的同旁C、这直线上D、这直线的两旁或这直线上6、如果轴对称图形沿对称轴对折后，那么对称轴两旁的部分（）A、完全重合B、不完全重合C、两者都有7、下列说法正确的是（）A、两个全等的三角形一定关于某条直线对称B、关于某条直线对称的两个三角形一定全等C、直角三角形是轴对称图形D、锐角三角形是轴对称图形8、下列说法错误的是（）A、等边三角形是轴对称图形B、轴对称图形的对应边相等、对应角相等C、成轴对称的两条线段必在对称轴一侧D、成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分9、下列图形中，有无数条对称轴的是（）Ａ.长方形Ｂ.正方形Ｃ.圆Ｄ.等腰三角形10、下列图形中，点P与点G关于直线对称的是（）A B C D11、轴对称图形的对称轴的条数（）Ａ.1条Ｂ.2条Ｃ.3条图1.2-1 Ｄ.至少有1条12、如图1.2-1，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（）A、5 cmB、10 cmC、20 cmD、15 cm个人珍藏13、成轴对称的两个图形的对应线段___ ___、对应角___ __.如果两个图形关于某直线对称，那么连结的线段被垂直平分.14、如图1.2-2所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1＝110°,∠2＝46°,则x＝ .15、如图1.2-3，AB=AC=4cm，∠A=40°，点A和点B关于直线l对称，AC与l 相交于点D，则∠C=_________，△BDC的周长是________.l图1.2-3 图3.2-1图1.2-9 综合渗透1、如图1.2-8，等腰△ACB中，直线AD是它的对称轴；DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，则图中直角三角形有______个，全等三角形有________对，F点关于AD成轴对称的对应点是_____点。

《轴对称》重难点分析及教学设计

《轴对称》重难点分析及教学设计* 简要说明该“点”归属的上位知识、或单元（或主题、或领域、或某册教材）或在本学科内容体系中居于什么地位？对学生发展具有什么重要价值？* 详细说明该“点”在课标中是如何要求的？在教材单元（或主题、或领域）中的处于什么样的重要位置？是否是学科的基本结构（学科的基本概念、原理、法则，规律以及它们之间的相互关系）具有较强的可持续性、可迁移性，或较高的包容度？考试中的位置？等等。

[注2] 学习难点的主要表现（为什么是难点？）* 知识方面。

例如：感知模糊、理解错误、记忆混乱、难以迁移或应用……* 技能方面。

例如：未能领会要领，未能掌握方法或程序，未能熟练形成技巧，习惯性或心理定势的干扰，负迁移……* 态度、情意方面。

例如无法坚持、不感兴趣、无法转化为行为习惯……[注3] 学习难点的主要成因（难点是源自何方？）* 源于学生。

例如：缺乏认知前提（知识基础欠缺、知识漏洞），科学前概念的干扰，认为没用……以及其他本地、本校、本班学生特有的生活环境局限导致的经验空缺或思维定势的干扰。

* 源于知识技能本身。

例如：抽象，远离实际生活或生活经验，不符年龄特点，关系繁杂、过程曲折，……* 源于以往教学。

例如：方法单一、手段落后、跨度大、可接受性差、未提供支撑、讲不到点、思路不清……[注4] 化解难点的价值（化解该难点有什么意义？）* 对继后学习的影响。

例如：学懂了…有助于理解其他金属与非金属的属性。

* 对能力发展的影响。

例如：学会了…有助于继后的乘法运算技能的掌握（运算能力）。

* 其他。

例如：有助于某种学科思想的形成，或有助于创新思维能力的发展，或有助于学生价值观的形成，……。

轴对称中的最值模型问题(将军饮马)重难点题型专训(学生版)-初中数学

轴对称中的最值模型问题(将军饮马等)重难点题型专训题型一将军饮马之线段和最值题型二将军饮马之线段差最值题型三将军饮马之两定一动最值题型四三点共线最大值题型五双对称关系求周长最小值题型六两定两动型最值题型七两动一定最值题型八费马点最值问题将军饮马中最短路径问题四大模型一两定点在直线的异侧问题1作法图形原理在直线l 上找一点P ,使得P A+PB 的和最小。

连接AB ，与直线l 的交点P 即为所求。

两点之间，线段最短，此时P A +PB 的和最小。

二两定点在直线的同侧问题2：将军饮马作法图形原理在直线l 上找一点P ,使得P A +PB 的和最小。

作B 关于直线l 的对称点C ，连AC ，与直线l 的交点P 即为所求。

化折为直；两点之间，线段最短，此时P A +PB 的和AC 最小。

三两动点一定点问题问题3：两个动点作法图形原理作P 关于OA 的对称点P 1，作P 关于OB 的对称两点之间，线段最短，此时PC +PD +CD点P 在锐角∠AOB 的内部，在OA 边上找一点C ,在OB 边上找一点D ,,使得PC +PD +CD 的和最小。

点P 2，连接P 1P 2。

的和最小。

四造桥选址问题问题4：造桥选址作法图形原理直线m ∥n ，在m ，n 上分别求点M 、N ，使MN ⊥m ，MN ⊥n ，且AM +MN +BN 的和最小。

将点A 乡向下平移MN 的长度得A 1，连A 1B ，交n 于点N ，过N作NM ⊥m 于M 。

两点之间，线段最短，此时AM +MN +BN 的最小值为A 1B +MN 。

注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练．勾股定理公式：a 2+b 2=c 2【经典例题一将军饮马之线段和最值】1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E 、F ，画直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点，若BC =5，△ABC 的面积为15，则BM +MD 的最小长度为()A.5B.6C.7D.82.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠BAC，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.1.2B.2.4C.4.8D.9.63.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是．4.唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题．(1)如图2，作点B关于直线l的对称点B ，连接AB 与直线l交于点C，点C就是所求的位置．理由：如图3，在直线l上另取不同于点C的任一点C ，连接AC ，BC ，B C ，因为点B、B 关于直线l对称，点C、C 在直线l上，所以CB=，C B=，所以AC+CB=AC+CB =，在△AC B 中，依据，可得AB <AC +C B ，所以AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．(2)迁移应用：如图4，△ABC是等边三角形，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，AD=6，M是AD上的一个动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值是．【经典例题二将军饮马之线段差最值】5.如图，在△ABC中，AB=CB，∠B=100°．延长线段BC至点D，使CD=BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂线AM，DN．当AM-DN的值最大时，∠ACE的度数为．6.如图，AB⎳DP，E为DP上一动点，AB=CB=CD，过A作AN⊥EC交直线EC于N，过D作DM ⊥EC交直线EC于点M，若∠B=114°，当AN-DM的值最大时，则∠ACE=．7.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知△ABC的顶点均在格点上．(1)画出格点三角形ABC关于直线DE对称的△A B C ；(2)△A B C 的面积是(3)在直线DE上找出点P，使P A-PC最大，并求出最大值为．(保留作图痕迹)8.如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．(1)画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线MN对称；(2)在直线MN上画出点D，使∠BDM=∠CDN．(3)在直线MN上画出点P，使P A-PC最大．【经典例题三将军饮马之两定一动最值】9.小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在( )．A. B.C. D.10.(2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习)如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是．12.(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，(1)求BC的长；(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出P A+PC的最小值为．【经典例题四三点共线最大值】13.如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A-PB的最大值为.14.如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=10，M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值为()A.12B.15C.18D.2015.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,M在△ABC的内部，∠ACM=4∠BCM，P为射线CM上一点，当|P A-PB|最大时，∠CBP的度数是．16.如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．(2)若以N点为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为0，5，则△ABC关于x轴对称△A2B2C2，写出点A2,C2的坐标．(3)在直线MN上找点P使PB-P A的最大值．最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出PB-P A【经典例题五双对称关系求周长最小值】17.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°18.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF=()A.110°B.112°C.114°D.116°19.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=9cm，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长最小值为．20.在草原上有两条交叉且笔直的公路OA、OB，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，∠AOB=30°，OP=6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是．21.几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A ，连接A B，则A B与直线l的交点即为P，且P A+PB的最小值为线段A B的长．(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；(2)应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点(不同于点O)，使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；②如图3，∠AOB=20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．22.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=AB=4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM+MN+EN的最小值是．23.如图，在等边△ABC中，AC=12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP=5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为．【经典例题七两动一定最值】24.如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．25.如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB，AC上，则线段DE+DF的最小值是()A.BC边上高的长B.线段EF的长度C.BC边的长度D.以上都不对26.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则AP+PQ的最小值等于()A.4B.245C.5 D.48527.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是．【经典例题八费马点最值问题】28.【问题提出】(1)如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM，CM．若连接MN，则△BMN的形状是．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．【问题解决】(3)如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条AE,BE,CE，求三条路的长度和(即AE+ BE+CE)最小时，平行四边形公园ABCD的面积．29.已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点(Fermat po int)．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=()A.6B.32+6C.63D.930.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如图1，若点O是等边△ABC的费马点，且OA+OB+OC=18，则这个等边三角形的高的长度为；(2)如图2，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：点P是△ABC的费马点；(3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求．31.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如图1，若点O是高为3的等边△ABC的费马点，则OA+OB+OC=；(2)如图2，已知P是等边△ABD外一点，且∠APB=120°，请探究线段P A，PB，PD之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：①点P是△ABC的费马点；②P A+PB+PC=CD．32.若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，P A+PB+PC的值最小．(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到△ACP 处，连接PP ，此时△ACP ≌△ABP，这样就可以通过旋转变换，将三条线段P A，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=．(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠P AC，求证：BE=P A+PB+PC．(3)如图4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出P A+PB+PC的值．33.(2024八年级上·浙江·专题练习)如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接P A、PE，若P A+PE最小，则点P应该满足()A.P A=PCB.P A=PEC.∠APE=90°D.∠APC=∠DPE34.(24-25八年级上·全国·课后作业)如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,CD⊥AD，P是CD边上的一动点，要使P A+PB的值最小，则点P应满足的条件是()A.P A=PBB.PC=PDC.∠APB=90°D.∠BPC=∠APD35.(23-24八年级下·四川巴中·期末)如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC=5，△ABC 的面积为15，则BM+MD的最小长度为()A.5B.6C.7D.836.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.60°B.120°C.90°D.45°37.(23-24八年级上·湖南湘西·期末)在某草原上，有两条交叉且笔直的公路OA、OB，如图，∠AOB=30°，在两条公路之间的点P处有一个草场，OP=4．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，存在M、N使得△PMN的周长最小．则△PMN周长的最小值是( )．A.4B.6C.8D.1238.(22-23八年级下·福建漳州·期中)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=18，D是BC中点，EF垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为()A.3B.6C.9D.1239.(23-24八年级上·福建福州·期中)在平面直角坐标系xOy中，A0,4，动点B在x轴上，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转60°至AC，连接OC，则线段OC长度最小为()A.0B.1C.2D.340.(22-23七年级下·山东济南·阶段练习)如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°41.(21-22八年级上·四川广元·期末)如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2CD，在AD上找一点P，使PC+PB的值最小；则PC+PB的最小值为()A.4B.3C.5D.642.(21-22八年级上·广东广州·期中)在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，点P 是边AC 上一定点，此时分别在边AB ，BC 上存在点M ，N 使得△PMN 周长最小且为等腰三角形，则此时AP PC 的值为()A.12B.1C.32D.243.(2024七年级下·全国·专题练习)如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =5，S △ABC =15，AD ⊥BC 于点D ，EF 垂直平分AB ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB +PD 最小，则这个最小值为．44.(23-24七年级下·陕西西安·阶段练习)如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使△AMN 周长最小，此时∠MAN =80°，则∠BAD 的度数为．45.(23-24七年级下·山东济南·期末)在草原上有两条交叉且笔直的公路OA 、OB ，在两条公路之间的点P 处有一个草场，如图，∠AOB =30°，OP =6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是．46.(22-23七年级下·广东河源·期末)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=36°，在边AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF周长最小，此时∠EDF=．47.(22-23八年级上·广东东莞·期中)如图，点A-2，1，点P是在x轴上，且使P A+PB最小，写，B2，3出点P的坐标．48.(22-23八年级上·湖南岳阳·期中)如图，直线l垂直平分△ABC的AB边，在直线l上任取一动点O，连结OA、OB、OC．若OA=5，则OB=．若AC=9，BC=6，则△BOC的最小周长是．49.(22-23八年级上·四川绵阳·期中)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是0,2，点B在x轴的负半轴上且∠ABO=30°，点P与点O关于直线AB对称，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为．50.(22-23八年级上·海南海口·期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=36°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小．此时∠EDF的大小是．51.(22-23八年级上·湖北黄石·期末)如图，已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM=103cm，现要在OC,OA上分别找点Q，N，使QM+QN最小，则其最小值为cm．52.(21-22八年级上·福建厦门·期末)小河的两条河岸线a∥b，在河岸线a的同侧有A、B两个村庄，考虑到施工安全，供水部门计划在岸线b上寻找一处点Q建设一座水泵站，并铺设水管PQ，并经由P A、PB 跨河向两村供水，其中QP⊥a于点P.为了节约经费，聪明的建设者们已将水泵站Q点定好了如图位置(仅为示意图)，能使三条水管长PQ+P A+PB的和最小.已知P A=1.6km，PB=3.2km，PQ=0.1km，在A村看点P位置是南偏西30°，那么在A村看B村的位置是．53.(22-23八年级上·云南昆明·期末)如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A2,3．，B1,1，C5,3(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．(2)求△A1B1C1的面积；(3)在x轴上找一点P，使得PC+PB最小，请直接写出点P的坐标．54.(24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，已知A-3,4，B-1,2，C1,3．(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，将△ABC平移得到△A B C ，已知A 1,-1，则C 坐标是．(2)求出△ABC的面积；(3)在x轴上有一点P，使得P A+PB的值最小，保留作图痕迹．55.(23-24八年级下·广东深圳·期末)【综合实践活动】【问题背景】如图1，A，B表示两个村庄，要在A，B一侧的河岸边建造一个抽水站P，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站P应该修建在什么位置？【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：如图2，A，B是直线l同侧的两个点，点P在直线l上．P在何处时，P A+PB的值最小．画图：如图3，作B关于直线l的对称点B ，连结AB 与直线l交于点P，点P的位置即为所求．证明：∵B和B 关于直线l对称∴直线l垂直平分BB∴PB=，∴P A+PB=P A+PB根据“”(填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．)可得P A+ PB 最小值为(填线段名称)，此时P点是线段AB 和直线l的交点．【问题拓展】如图4，村庄B的某物流公司在河的对岸有一个仓库C(河流两侧河岸平行，即GD∥EF)，为了方便渡河，需要在河上修建一座桥MN(桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直)，请问桥MN修建在何处才能使得B到C的路线最短？请你画出此时桥MN的位置(保留画图痕迹，否则不给分)．【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形AEDC为花海景区，∠CDE=∠E=90°，AE=80米，DE=50米，长方形CFGH为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线(折线AM-MN-BN)，A为起点，终点B在ED上，BD=30米，MN为湖边观景台，长度固定不变(MN =40米)，且需要修建在湖边所在直线CF上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度．2156.(2023九年级·四川成都·专题练习)在△ABC 中，AC =BC ，点E 在是AB 边上一动点(不与A 、B 重合)，连接CE ，点P 是直线CE上一个动点．(1)如图1，∠ACB =120°，AB =16，E 是AB 中点，EM =2，N 是射线CB 上一个动点，若使得NP +MP 的值最小，应如何确定M 点和点N 的位置？请你在图2中画出点M 和点N 的位置，并简述画法；直接写出NP +MP 的最小值；(2)如图3，∠ACB =90°，连接BP ，∠BPC =75°且BC =BP ．求证：PC =P A ．57.(23-24七年级下·广东深圳·期末)【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A ，B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A ，B 到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作A 关于直线m 的对称点A ，连接A B 与直线m 交于点C ，点C 就是所求的位置．(1)请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：证明：如图3，在直线m 上另取任一点D ，连结AD ，A D ，BD ，∵直线m 是点A ，A 的对称轴，点C ，D 在m 上，22∴CA =，DA =，∴AC +CB =A C +CB =．在△A DB 中，∵A B <A D +DB ，∴A C +CB <A D +DB ．∴AC +CB <AD +DB ，即AC +CB 最小．(2)如图4，在等边△ABC 中，E 是AB 上的点，AD 是∠BAC 的平分线，P 是AD 上的点，若AD =5，则PE +PB 的最小值为．【拓展应用】(3)“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A 表示龙潭公园，点B 表示宝能广场，点C 表示万科里，点D 表示万科广场，点E 表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B 宝能广场和D 万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C 万科里、D 万科广场和E 龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A 与点C 关于BD 对称，请你用尺子在BD 上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G 表示)．58.(24-25八年级上·全国·假期作业)如图，B、C 两点关于y 轴对称，点A 的坐标是0,b ，点C 坐标为-a ,-a -b ．(1)直接写出点B 的坐标为；(2)用尺规作图，在x 轴上作出点P ，使得AP +PB 的值最小；(3)∠OAP =度．59.(21-22七年级上·陕西商洛·期末)点C 为∠AOB 内一点．23(1)在OA上求作点D,OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；(2)在(1)的条件下，若∠AOB=30°，OC=10，求△CDE周长的最小值．60.(23-24八年级上·湖南长沙·期末)在四边形ABCD中，∠BAD=BCD=90°，∠ABC=135°，AB=32，BC=1，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，求△BEF周长的最小值．61.(2023八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，CD平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA-AD向终点D运动．(1)点P在CA上运动的过程中，当CP时，△CPD与△CBD的面积相等；(直接写出答案)(2)点P在折线CA-AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD度数；(3)若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，则此时CP的长度(直接写出答案)．。

《轴对称》重难点突破训练

《轴对称》重难点突破训练一、填空题（每题2分，共32分）1 •线段轴是对称图形，它有_______ 对称轴，正三角形的对称轴有_________ 条. 2•下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个..与其他三个不同？请指出这个图形，并说明理由.冷涂涂涂答：这个图形是： ________________________ （写出序号即可），理由是 __________________________ .3 .等腰△ ABC 中，若/ A=30° 则/ B= ________ .4. A ABC 中，AD丄BC 于D，且BD=CD，若AB=3，贝U AC= _____ __.5. 在Rt A ABC 中，/ C=90° AD 平分/ BAC 交BC 于D，若CD=4，则点D 至UAB的距离是__________ .6. 判断下列图形（如图所示）是不是轴对称图形.⑴⑵⑶⑷（5）⑹7. _____________________________________________________________ 等腰△ ABC中，AB=AC=10，Z A=30°则腰AB上的高等于___________________ .8. 如图，△ ABC中，AD垂直平分边BC,且△ ABC的周长为24，贝U AB+BD= _____ ;又若/ CAB=60° 则/ CAD = ________ .9. 如图，△ ABC中，EF垂直平分AB，GH垂直平分AC,设EF与GH相交于O，则点0 与边BC 的关系如何？请用一句话表示： _____________________________________ .白处T7 10. 如图：等腰梯形 ABCD 中，AD // BC , AB=6, AD=5, BC=8,且 AB // DE , 则厶DEC 的周长是 _____________ . 11. 请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空12. 等腰梯形的腰长为2,上、下底之和为10且有一底角为60°则它的两底长分别为 _____________ . 13. 等腰三角形的周长是25 cm,—腰上的中线将周长分为3 : 2两部分，则此三角形的底边长为 _______ . 14. ____________________ 如图，三角形1与 _________________ 成轴对称图形，整个图形中共有 __________ 对称轴. 15. 如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 恰好落在如图C 1的位置, 若/ DBC=30o 则/ ABC 1= ________ .16. 如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知 OC 是对称轴，A B 第8题图第9题图 A D C A 第15题图A/ A=35o, / BCO=30o,那么/ AOB= __ _ .、解答题（共68 分）17. （5分）已知点M（3a-b,5）, N（9,2a 3b）关于x轴对称，求b a的值.18. （5分）已知AB=AC, BD=DC, AE平分/ FAC,问：AE与AD是否垂直?FE为什么?19. （5分）如图，已知：△ ABC中，BC v AC, AB边上的垂直平分线DE交AB 于D，交AC于E, AC=9 cm,A BCE的周长为15 cm,求BC的长.20. （5分）如图所示，已知△ ABC和直线MN .求作：△ A'B'C',使厶A B C和△ ABC关于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）21. （5分）如图，A、B两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水.（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹..B22. (5 分)如图，在. ABC 中，AB=AC , • A=92，延长 AB 至U D ，使 BD=BC , 连结DC .求.D 的度数，.ACD 的度数.23. (5分)有一本书折了其中一页的一角，如图：测得 AD=30cm,BE=20cm , / BEG=60°，求折痕EF 的长.24. (8分)如图所示，在△ ABC 中，CD 是AB 上的中线，且 DA=DB=DC .(1) 已知/ A=30，求/ ACB 的度数;(2) 已知/ A=40，求/ ACB 的度数;(3) 已知/ A=x ，求/ ACB 的度数；C(4) 请你根据解题结果归纳出一个结论.25. （6分）如图所示，在等边三角形ABC中，/ B、/ C的平分线交于点0,0B和0C的垂直平分线交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理.C26. （7分）已知AB=AC, D是AB上一点，DE丄BC于E, ED的延长线交CA的延长线于F，试说明厶ADF是等腰三角形的理由.B27. ( 7分)等边△ ABC中，点P在厶ABC内，点Q在厶ABC夕卜，且/ ABP=Z ACQ, BP=CQ，问△ APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论.28. (5分)如图①是一张画有小方格的等腰直角三角形纸片，将图①按箭头方向折叠成图②，再将图②按箭头方向折叠成图③.图1 图工图3(1) 请把上述两次折叠的折痕用实线画在图④中.(2) 在折叠后的图形③中，沿直线I剪掉标有A的部分，把剩余部分展开，将所得到的图形在图⑤中用阴影表示出来.图Q 图§答案一、填空题1. 2, 3 2 •④，不是轴对称图形3. 75度或30度4. 3 5. 4 6. （1）（3）（6）是轴对称图形，（2）（4）（5）不是轴对称图形7. 5 8. 12 9•点0到BC两35端的距离相等10.15 11.正反写的4和6 12.4,6 13. 一cm或5cm 14.2、34, 2 15. 30度16. 130度二、解答题17.9 18.垂直19. BC=6cm 20.略21.略22.22 度，66 度23.20cm24. （1）90度；（2）90度；（3）90度；（4）三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90度25.略26.略27.是等边三角形28.略。

轴对称之将军饮马五大模型重难点题型归纳(解析版)-初中数学

轴对称之将军饮马五大模型重难点题型归纳目录解题知识必备压轴题型讲练类型一、“2定点1动点”作图问题类型二、“2定点1动点”求周长最小值问题类型三、“2定点1动点”求线段最小值问题类型四、“1定点2动点”-线段/周长最小问题类型五、“1定点2动点”-角度问题压轴能力测评(11题)基本图模1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使P A+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,P A+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，P A+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得P A+PB值最小(或△ABP的周长最小)解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线性质得：P A=P A´，要使P A+PB最小，则需P A´+PB值最小，从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.类型一、“2定点1动点”作图问题1.如图，在平面直角坐标系中，点A4,4．，B2,-4(1)若点A关于x轴、y轴的对称点分别是点C，D，请分别描出点C，D并写出点C，D的坐标；(2)在y轴上求作一点P，使P A+PB最小．(不写作法，保留作图痕迹)【答案】(1)作图过程见解析，C4,-4，D-4,4(2)作图过程见解析．【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称点的性质及轴对称-最短路径问题，根据轴对称的性质得出对称点的坐标是解题的关键．(1)利用关于对称轴对称点坐标得出C、D两点坐标即可．(2)连接BD交y轴于点P，P点即为所求．【详解】(1)如图所示，C4,-4，，D-4,4(2)如图所示，连接BD交y轴于点P，P点即为所求．2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点(不写作法，但要保留作图痕迹)．【答案】见详解【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；求两点和距离最小一般采用作出一点的轴对称图形．然后连接对称点与另一点，与所在直线的交点即为所求的点；A，B的距离之和最小，那么应作出A关于河岸的对称点A ，连接A B交河岸与一点，这点就是所求的点．根据轴对称的性质即可作出图.【详解】解：根据题意作图如下：3.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A-5,1．，B-4,4，C-1,-1(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1的坐标；(2)已知点D2,2，请在x轴上找到一点P且PB+PD的值最小(作图)．【答案】(1)A15,1，画图见解析(2)P0,0，画图见解析【分析】本题考查直角坐标系中的描点，轴对称作图，最短距离问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．(1)根据对称点连线被对称轴垂直平分画图，根据图形即可得到A1的坐标；(2)找到D点关于x轴的对称点D1，连接BD1交x轴于一点即为P点，根据图形求解即可得到答案．【详解】(1)解：根据对称点连线被对称轴垂直平分分别作A、B、C三点的对称点A1、B1、C1，连接A1、B1、C1，如图所示：由图形可得：A15,1；(2)作D点关于x轴的对称点D1，连接BD1交x轴于一点即为P点，如图所示：由图可得：P0,0．4.如图，阳光明媚的周六，小明在学校(A)练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里(B)．请画出小明行走的最短路径．【答案】见详解【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．根据两点之间线段最短，轴对称的性质即可得到答案．【详解】解；如图所示：作点A的对称点A ，作点B的对称点B ，连接A B ，交C街和D街于点E,F，则AE+EF+BF=A E+EF+B F≥A B ，当点A ,E,F,B 共线时，小明行走的路径最短，故小明行走的最短路径是AE-EF-FB，类型二、“2定点1动点”求周长最小值问题5.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()A.6B.8C.10D.16【答案】C【分析】本题考查的是轴对称--最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，AM，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，CD=12BC=2，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，则MA=MC，∴MC+DM=MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM周长的最小值为CM+MD+CD=AD+CD=8+2=10．故选：C．6.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4，EF垂直平分BC，交AC于点D，则△ABP周长的最小值是()A.12B.6C.7D.8【答案】C【分析】本题主要考查了，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的值最小，即可得到△ABP周长最小．【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴点B，C关于EF对称．∴当点P和点D重合时，AP+BP的值最小．此时AP+BP=AC，∵AB=3,AC=4，∴△ABP周长的最小值是AP+BP+AB=AB+AC=3+4=7，故选：C．7.如图，等腰△ABC的底边BC=4cm，面积为8cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为多少？()A.4B.6C.8D.10【答案】B 【分析】连接AD ，AM ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AB 的垂直平分线可知，点A 关于直线EF 的对称点为点B ，MA =MB ，推出MB +MD =MA +MD ≥AD ，故AD 的长为MB +MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，MA ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC ⋅AD =12×4×AD =8，解得AD =4cm ，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点A 关于直线EF 的对称点为点B ，MA =MB ，∴MB +DM =MA +DM ≥AD ，∴AD 的长为MB +MD 的最小值，∴△BDM 的周长最短=4+12BC =4+12×4=4+2=6cm ．故选：B ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．8.如图：等腰△ABC 的底边BC 长为8，面积是24，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为．【答案】10【分析】本题考查的是最短路线问题，连接AD ，AM ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故得AD 长为CM +MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，AM ，如下图：∵△ABC 是等腰三角形，点D 是边BC 的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×8×AD=24，解得AD=6，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=CM+MD+CD=AD+12BC=6+12×8=10．故答案为：10．类型三、“2定点1动点”求线段最小值问题9.已知，等腰△ABC中，AB=AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC=5，BD=3，AD=4，那么线段BE+EF的最小值是()A.5B.3C.D.72【答案】C【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=3，∴点F′在AC上，∵BE+EF=BE+EF′，根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．在Rt△ACD中，AC=5，∵1 2•BC•AD=12•AC•BH，∴BH=245，∴BE+EF的最小值为245，故选：C10.如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为．【答案】6【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到AD =6，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于EF对称，再说明PB+PD的最小值，即可得到结论．【详解】解：∵AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC，AD⋅BC=15，∴12∴AD=6，∵EF垂直平分AB，∴点P到A，B两点的距离相等，即P A=PB，要求PB+PD最小，即求P A+PD最小，则A、P、D三点共线，∴AD的长度即PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值为6，故答案为：6．11.如图，△ABC的面积为14，AB=AC，BC=4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为．【答案】9【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．连接AD，由于ΔABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CP +PD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，∵ΔABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S ΔABC =12BC ·AD =12×4×AD =14，解得：AD =7，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CP +PD 的最小值，∴ΔCDP 的周长最短=(CP +PD )+CD =AD +12BC =7+12×4=7+2=9．故答案为：9．12.如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =4，△ABC 的面积是14，AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CM +DM 的最小值为()A.21B.7C.4D.2【答案】B【解答】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点．∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC •AD =12×4×AD =14，解得AD =7，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，连接AM ，则CM +DM =AM +DM ≥AD ，∴当点M 在线段AD 上时，CM +DM 的值最小，∴AD 的长为CM +MD 的最小值．故选：B ．类型四、“1定点2动点”-线段/周长最小问题13.如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，AB =14，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB ，AD 边上的动点，则PQ +BQ 的最小值是．【答案】7【分析】作点P 关于直线AD 的对称点P ，连接PP 、QP ，根据轴对称的性质、垂直平分线的性质可得PQ =P Q ，则欲求PQ +BQ 的最小值即为P Q +BQ 的最小值，即BP 的最小值，则当BP ⊥AC 时，BP 即P Q +BQ 的值最小，最小值为BC 的长．【详解】解：如图，作点P 关于直线AD 的对称点P ，连接PP 、QP ，∵AD是P、P 的对称轴，即AD是线段PP 的垂直平分线，∴PQ=P Q，∴PQ+BQ的最小值即为P Q+BQ的最小值，即BP 的最小值，∴当BP ⊥AC时，BP 即P Q+BQ的值最小，此时Q与D重合，P 与C重合，最小值为BC的长，∵在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14，∴BC=1AB=7，2∴PQ+BQ的最小值是7．故答案为：7．【点睛】本题考查的知识点是轴对称的性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短及含30°角的直角三角形的性质，解题关键是找出点P、Q的位置．14.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB的长为．【答案】7【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线CD的对称点E ，过E 作E F⊥AB于F，交射线CD 于P，连接PE，此时EP+FP的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠E =90°-∠B =30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得BE =2BF=10，进而求得CE=3即可求解．【详解】解：作点E关于射线CD的对称点E ，过E 作E F⊥AB于F，交射线CD于P，连接PE，如图，则E P=EP，∴EP +FP =E P +FP =E F ，此时EP +FP 的值最小，则BF =5，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =60°，AB =BC ，在Rt △BFE 中，∠E =90°-∠B =30°，∴BE =2BF =10，∵BE =4，CE =CE ，∴2CE +4=10，∴CE =3，∴AB =BC =3+4=7，故答案为：7．15.如图，在等腰△ABC 中，在AB 、AC 上分别截取AP 、AQ ，使AP =AQ ．再分别以点P ，Q 为圆心，以大于PQ 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点R ，作射线AR ，交BC 于点D ．已知AB =AC =10，AD =8，BC =12．若点M 、N 分别是线段AD 和线段AB 上的动点，则BM +MN 的最小值为()A.10B.12.8C.12D.9.6【答案】D 【分析】过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AD 于点M ，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC ，然后根据S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BH ，可得BH =485．作点H 关于AD 的对称点交AB 于点N ，连接M N ，可得M H =M N ，根据垂线段最短，当点M 、M 分别在M 、N 位置时，BM +MN 最小，进而可以解决问题．【详解】解：如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AD 于点M '，由作图可知，AD 平分∠BAC ，∵AB =AC ，∴AD ⊥BC ，∴BD =CD =12BC =12×12=6，∵AD =8，AC =10，BC =12，S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BH ，∴BH =BC ⋅AD AC=485，∵AB =AC ，AD ⊥BC ，作点H 关于AD 的对称点交AB 于点N ，连接M N ，∴M H =M N ，∴BH =BM +M H =BM +M N ，当点M 、M 分别在M 、N 位置时，BM +MN 最小，则BM +MN 的最小值为BH 的长485=9.6．故选：D ．【点睛】本题考查尺规作-作角平分线，利用轴对称求最短距离问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，AD ⊥BC 于点D ，AD =4，BD =3，点P 为AD 边上的动点，点E 为AB 边上的动点，则PE +PB 的最小值是．【答案】245【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，连接CP ，过点C 作CM ⊥AB ，可得PE +PB =PE +PC ，根据垂线段最短可知当E 、P 、C 三点共线且CE ⊥AB 时，PE +PB 的最小值为CM ，结合面积法求解即可．【详解】解：连接CP ，过点C 作CM ⊥AB ，∵AB =AC =5，AD ⊥BC ，AD =4，BD =3，∴BC =2BD =6，PB =PC ，∴PE +PB =PE +PC ，当E 、P 、C 三点共线且CE ⊥AB 时，PE +PB 的最小值为CM ，∵12BC ⋅AD =12AB ⋅CM ，∴CM =BC ⋅AD AB =6×45=245，即PE +PB 的最小值为245，故答案为：245．类型五、“1定点2动点”-角度问题17.如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE =142°，∠B =∠E =90°，AB =BC ，AE =DE ．在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN +∠ANM 的度数为()A.76°B.84°C.96°D.109°【答案】A【分析】本题考查了最短路线问题．延长AB至A'，使A B=AB，延长AE至A″，使A″E=AE，则BC垂直平分AA ，DE垂直平分AA″，所以AM=A M，A″N=AN，△ABC的周长为AM+MN+AN，要使其周长最小，即使A M+MN+A″N最小，设∠MAA =x，则∠AMN=2x，设∠NAA″=y，则∠ANM=2y，在△AA A″中，利用三角形内角和定理，可以求出x+y=38°，进一步可以求出∠AMN+∠ANM的值．【详解】解：如图，延长AB至A ，使A B=AB，延长AE至A″，使A″E=AE，则BC垂直平分AA ，DE垂直平分AA″，∴AM=A M，AN=A″N，根据两点之间，线段最短，当A ，M，N，A″四点在一条直线时，A M+MN+NA″最小，则AM+MN+AN的值最小，即△AMN的周长最小，∵AM=A M，AN=A″N，∴可设∠MAA =∠MA A=x，∠NAA″=∠NA″A=y，在△AA A″中，x+y=180°-∠BAE=180°-142°=38°，∵∠AMN=∠MAA +∠MA A=2x，∠ANM=2y，∴∠AMN+∠ANM=2x+2y=76°，故选：A．18.如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB=BC，AE=DE，∠BCD+∠CDE=230°，点P，Q分别在边BC，DE上，连接AP，AQ，PQ，当△APQ的周长最小时，∠P AQ的度数为()A.50°B.80°C.100°D.130°【答案】B【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长AB到点G使得BG=AB，延长AE到点F使得EF=AE，连接GF交BC、DE于点P1、Q1，则这时△APQ的周长最小，根据无变形的内角和求出∠BAE的度数，根据轴对称的性质得到∠P1AG=∠G，∠Q1AF=∠F，然后计算解题即可．【详解】解：延长AB到点G使得BG=AB，延长AE到点F使得EF=AE，∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴BC、DE垂直平分AG、AF，连接GF交BC、DE于点P1、Q1，则P1G=P1A，Q1F=Q1A，∴FG=P1G+P1Q1+Q1F=P1A+P1Q1+Q1A，这时△APQ的周长最小，∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠ABC=∠AED=90°，又∵∠BCD+∠CDE=230°，∴∠BAE=540°-∠ABC-∠AED-(∠BCD+∠CDE)=540°-90°-90°-230°=130°，∴∠G+∠F=180°-∠BAE=180°-130°=50°，又∵P1G=P1A，Q1F=Q1A，∴∠P1AG=∠G，∠Q1AF=∠F，∴∠P1AQ1=∠BAE-∠P1AG-∠Q1AF=∠BAE-∠G-∠F=130°-50°=80°，故选：B．19.如图，四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°，M，N分别是AB，AD上的点，当△CMN的周长最小时，则∠MCN的度数为()A.40°B.80°C.90°D.100°【答案】D【分析】作点C关于AB的对称点E，关于AD的对称点F，则CM=EM，CN=FN，可得CM+MN+CN= EM+MN+FN，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，EM+MN+FN的最小值等于线段EF的长，根据四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°得∠BCD=140°，根据三角形内角和定理得∠E+∠F=40°，根据等边对等角得∠CMN=2∠E，∠CNM=2∠F，即可得∠CMN+∠CNM=80°，根据三角形内角和定理即可得．【详解】解：如图所示，作点C关于AB的对称点E，关于AD的对称点F，则CM=EM，CN=FN，∴CM+MN+CN=EM+MN+FN，∴当E、M、N、F在同一条直线上时，EM+MN+FN的最小值等于线段EF的长，∵四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°，∴∠BCD=360°-∠A-∠B-∠D=360°-40°-90°-90°=140°，∴∠E+∠F=180°-∠BCD=180°-140°=40°，∵CM=EM，∴∠E=∠MCB，∴∠CMN=∠E+∠MCB=2∠E，∵CN=FN，∴∠F=∠NCD，∴∠CNM=∠F+∠NCD=2∠F，∴∠CMN+∠CNM=2(∠E+∠F)=2×40°=80°，∴∠MCN=180°-(∠CMN+∠CNM)=180°-80°=100°，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径．20.如图，四边形ABCD中，∠C=62°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为．【答案】56°【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A ，A″，即可得出∠AA E+∠A″=∠HAA =62°，进而得出∠AEF+∠AFE=2∠AA E+∠A″，即可得出答案．【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A ，A″，连接A A″，交BC于E，交CD于F，则A A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C=62°，∴∠DAB=118°，∴∠HAA =62°，∴∠AA E+∠A″=∠HAA =62°，∵∠EA A=∠EAA ，∠FAD=∠A″，∴∠EAA +∠A″AF=62°，∴∠EAF=118°-62°=56°，故答案为：56°．21.如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+ EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=5可求出α的度数．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=5，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长为：PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5，∴OC=OD=CD=5，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点睛】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．22.如图，直线l是一条河，A、B是两个新农村定居点，欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是()A. B.C. D.【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【详解】解：作A 关于l 的对称点A ，连接A B 交直线l 于点M ，如图所示，则AM +BM =A M +BM ≥A M根据两点之间，线段最短，可知选项D 铺设的管道，则所需管道最短．故选：D ．23.如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，点M ，N 分别是线段BD 、BC 上一动点，AB >BD 且S △ABC =10，AB =5，则CM +MN 的最小值为．【答案】4【分析】本题考查轴对称-最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，作点N 关于BD 的对称点N ，连接MN ，过点C 作CH ⊥ABy 于点H ．证明MN =MN ，再根据MN +MC =MN +MC ≥CH ，求出CH ，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题．【详解】解：作点N 关于BD 的对称点N ，连接MN ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ．∵BD 平分∠ABC ，∴点N 关于BD 的对称点在BA 上，∴MN =MN ，∵MN +MC =MN +MC ≥CH ，∵S △ABC =10，AB =5，∴12×5×CH =10，∴CH =4，∴MN +MC ≥4，∴MN +MC 的最小值为4．故答案为：4．24.如图，AD是等边△ABC的中线，点E，F分别是AD,AC上的动点，当EC+EF最小时∠ACE的度数为．【答案】30°【分析】根据对称性和等边三角形的性质，过点B作BF⊥AC于点F，交AD于点E，此时BE=CE，EC+ EF最小，进而求解．【详解】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴BE=CE，∴CE+EF=BE+EF，∴当B、F、E位于同一直线，且BF⊥AC时，EC+EF最小．过点B作BF⊥AC于点F，交AD于点E，∵△ABC是等边三角形，∴∠CBF=∠ABF=30°，∵BE=CE，∴∠CBF=∠ECB=30°，∴∠ACE=30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查了最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点E和F的位置．25.如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△P AB的周长最小时，∠APB=度，△P AB的周长的最小值是．【答案】120a【分析】分别作出点P关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点即为所确定的点；连接OP，OP ，OP″，由轴对称的性质得：OP=OP =OP″=a，∠P OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，证得△P OP″是等边三角形，即可得到结论．【详解】解：①分别作点P关于OM，ON的对称点P ，P″；连接P ，P″，分别交OM，ON于点A、点B，则此时△P AB的周长最小．连接OP，OP ，OP″，由轴对称的性质得：OP=OP =OP″=a，∠P OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，∵∠MON=30°，∴∠P OP″=2∠MON=60°，∴△P OP″是等边三角形，∴P P″=OP=a，∠AP O=∠APO，∠BP″O=∠BPO，∴∠APB=∠AP O+∠BP″O=120°，∴△P AB的周长=P P″=a，故答案为：120，a．【点睛】此题主要考查了轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点．26.如图，钝角三角形ABC的面积为12，最长边AB=6，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为【答案】4【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB，MN⊥BC，∴MN=ME，∴当C、M、E三点共线时，CM+MN有最小值，∴CE=CM+ME=CM+MN，∵三角形ABC的面积为12，AB=6，×6⋅CE=12，∴12∴CE=4．即CM+MN的最小值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将CM+MN的最小值为转化为CE，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．27.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM=°【答案】150【分析】要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A ，A″，即可得出∠A +∠A″=75°，进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA M+∠A″)，即可得出答案．【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A ，A″，连接A A″，交BC于M，交CD于N，则A A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB=105°，∴∠A'+∠A''=180°-∠BAD=180°-105°=75°，∵∠A =∠MAA ，∠NAD=∠A″，且∠A +∠MAA =∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠A +∠MAA +∠NAD+∠A″=2(∠A +∠A″)=2×75°=150°故答案为：150．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．28.如图，∠AOB=30°，M，N分别为射线OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，连接PM，PN，MN．若OP=5，则△PMN周长的最小值为．【答案】5【分析】首先分别作点P关于OA，OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA，OB于点M、N，连接OC、OD、PM，PN，易得△OCD是等边三角形，且此时CD的长即为△PMN周长的最小值，继而求得答案．【详解】解：如图所示：分别作点P关于OA，OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA，OB于点M、N，连接OC、OD、PM，PN，∵点P关于OA的对称点为点C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为点D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=5，∠COD=2∠AOB=2×30°=60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD=OC=5，∴△PMN 的周长为：PN +PM +MN =DN +CM +MN =CD =5，∴△PMN 周长的最小值为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题以及等边三角形的判定与性质，注意准确确定点M ，N 的位置是关键．29.如图，等边△ABC 和等边△A B C 的边长都是4，点B ，C ，B 在同一条直线上，点P 在线段A C 上，则AP +BP 的最小值为．【答案】8【分析】连接PE ，根据△ABC 和△A B C 都是边长为4的等边三角形，证明△ACP ≌△B CP ，可得AP =B P ，所以AP +BP =BP +B P ，进而可得当点P 与点C 重合时，AP +BP 的值最小，正好等于BB 的长，即可求解．【详解】解：如图，连接PB ，∵△ABC 和△A B C 都是边长为4的等边三角形，∴AC =B C ，∠ACB =∠A CB =60°，∴∠ACA =60°，∴∠ACA =∠A CB ，在△ACP 和△B CP 中，AC =B C∠ACA =∠A CB CP =CP，∴△ACP ≌△B CP SAS ，∴AP =B P ，∴AP +BP =BP +B P ，∴当点P 与点C 重合时，点A 与点B 关于A C 对称，AP +BP 的值最小，正好等于BB 的长，∴AP +BP 的最小值为4+4=8，故答案为：8．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．30.如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，直线EF 是线段AB 的垂直平分线，点D 是线段BC 的中点，点P 是直线EF 上一个动点．若△ABC 的面积为48，BC =12，则△PBD 周长的最小值是．【答案】14【分析】连接AD、AP；由EF是线段AB的垂直平分线，得到AP=BP，故BP+DP=AP+DP；当A、P、D 三点共线时，AP+DP最小，即为AD，此时△PBD的周长最小，再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可；【详解】解：如图，连接AD、AP；∵EF是线段AB的垂直平分线∴AP=BP∴C△PBD=BD+BP+DP=BD+AP+DP∴当A、P、D三点共线，即AP+DP=AD时，△PBD的周长最小；∵AB=AC，点D是线段BC的中点；∴AD⊥BC，BD=12BC=6；∴S△ABC=12BC·AD=12×12×AD=48即：6AD=48解得：AD=8∴△PBD的周长最小值为：AD+BD=8+6=14故答案为：14【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形三线合一的性质、线段的最小值等知识点；熟练运用上述基础知识转化线段是解题的关键．31.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A1,1,B4,2,C3,4．(1)若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，请在网格中画出△A1B1C1(2)写出△A1B1C1三顶点坐标：A1，B1，C1；(3)若点P为x轴上一点，使P A+PB最小(保留作图痕迹)．【答案】(1)见解析(2)-1,1,-4,2,-3,4(3)见解析【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．(1)利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(2)由(1)即可求解；(3)作A点关于x轴的对称点A ，连接BA 交y轴于P点．【详解】(1)解：∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，A1,1B4,2，,C3,4∴A1-1,1，,B1-4,2,C1-3,4如图，△A1B1C1为所作；(2)解：由(1)知A1-1,1，,B1-4,2,C1-3,4故答案为：-1,1,-3,4；,-4,2(3)解：如图，点P为所作．32.如图所示，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短．【答案】见解析【分析】本题考查了轴对称的性质以及线段最短，要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间，线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段上，为此作点P关于直线a的对称点P1，作点P关于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于点A，B，连接P A，PB，即得放牧所走的最短路线．【详解】解：如图所示，作点P关于直线a的对称点P1，作点P关于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于点A，B，连接P A，PB，由轴对称的性质知，P A=P1A，PB=P2B，∴先沿路线P A到点A处吃草，再沿路线AB到点B处饮水，最后沿路线BP回到营地，即P1，A，B，P2四点共线时，按这样的路线放牧所走的总路程最短．。

第十三章轴对称专项复习教学设计

第十三章轴对称专项复习教学设计王丽芳教学目标：1、使学生进一步掌握求等腰三角形的边、角的方法和技巧，能比较熟练的计算等腰三角形的边和角。

2、加深对等腰三角形性质和判定的理解，运用等腰三角形性质和判定进行证明。

教学重点：1、求等腰三角形的边、角。

2、有关等腰三角形的证明。

教学难点：在等腰三角形计算中的分情况讨论。

一、课堂导入：我们学完了第十三章轴对称，昨天晚上，同学们已经对照着导学案中的自主复习，对知识点进行了复习。

这节课，我们主要针对等腰三角形内容进行专项复习。

这个环节主要由小组探究完成。

下面给大约5分钟时间，小组内交流、讲解专题一，有关等腰三角形边、角的计算。

（组内交流，教师巡视，反馈探究情况，5分钟后小组代表展示，学生都弄不懂的问题，教师提示，带着学生一起分析，一边订正，一边总结做题方法）二、合作探究、专题训练专题一：等腰三角形边与角计算中的分类讨论思想与方程思想1、已知等腰三角形的一个内角是800，则它的另外两个内角是2、已知等腰三角形的一个内角是1000，则它的另外两个内角是3、已知等腰三角形有两边的长分别为6，3，则这个等腰三角形的周长是4、已知等腰三角形的周长为24，一边长为6，则另外两边的长是5、已知等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另外两边的长是6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角度数为7、一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm 和18cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是8、如图，∠A= 72°，AB=BC=CD=DE=EF ，求∠EDF =预测6、7、8问题较为严重。

时间允许的话，6、7、8小题的同步反馈，让学生做一做，并找学生板书。

专题二、关于等腰三角形证明题1、已知：EF ∥BC,CE 、CF 分别是△ABC 内、外角的平分线，求证：DE=DF 。

F E D C B A2、如图，△ABC 中，AB=AC, △ABC 的两腰上的中线BD 、CE 交于O 点，求证：（1）BD=CE （2）OB=OC.（专题二由小组内探究完成，学生前面展示，找另一学生讲解，在教师的提示下总结：1、角平分线遇平行线可得等腰三角形，进一步证明线段相等。