圆的参数方程及应用

对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达

形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数）

，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。

一、求最值

例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。

【解】圆2

2

1x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩

。

则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++

=

1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++⨯

2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π

θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8

k π

θπ=-（k ∈Z ）

时，2223x xy y ++的最小值为22-。

【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。

二、求轨迹

例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列，

∠BAC=3π

，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹

方程。

【解】由∠BAC=

3

π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403π

θ<<），则B(2cos

θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23

π

))，由重心坐标公式并化简，得：

22cos()333

2sin()33x y πθπθ⎧

=++⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩

，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， C

x

y

O

A

B 图1

2224

()39

x y -+= （0≤x ＜1＝。

【点评】用圆的几何性质，∠BOC=2∠BAC=120°，再以∠ABO=θ为参数，求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x 的范围的限定。

三、求范围

例3 已知点P （x ，y ）是圆22(1)1x y +-=上任意一点，欲使不等式x+y+c ≥0恒成立，求c 的取值范围。

【解】圆22(1)1x y +-=的参数方程为：cos 1sin x y θ

θ=⎧⎨=+⎩

，则有：x+y=1+sin θ

+cos θ=1+2sin()4πθ+，－（x+y ）=－1－2sin()4π

θ+，－（x+y ）的最大值

为：－1+2，由于 x+y+c ≥0，所以，c ≥－（x+y ）恒成立，即c ≥－1+2。

【点评】将恒成立的问题，转化为求最值问题，利用圆的参数方程求最值简洁易算。

四、求斜率 例4 求函数sin 1

()cos 2

f θθθ-=-的最大值和最小

值。

【解】函数sin 1

()cos 2

f θθθ-=

-的值，是以原点

为圆心的单位圆上的点（cos θ，sin θ）与点（2，1）所连线的斜率，最值在切线处取得，容易求得最大值为：

4

3

，最小值为：0。

O

x

y

(2,1) 图2