2018-2019年上海市大同中学高三下三模教师版

大同中学高三三模数学试卷一.填空题1.若全集为实数集R ，13log 2M x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则R C M =________1(,0](,)9-∞+∞U2.抛物线214y x =-的准线方程是________1y = 3.关于x 方程sin 1014cos x x=的解集为________{|12x x k ππ=+或5,}12x k k ππ=+∈Z 4.函数()2sin 1f x x =+，[,]2x ππ∈的反函数1()f x -=________1arcsin2x π--，[1,3]x ∈ 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]sin 0,1∈x ()[]1,3f x ∴∈ 令2sin 1y x =+，则1sin 2y x -= ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 1arcsin 2y x π-∴=- ()11arcsin2x f x π--∴=-，[]1,3x ∈ 5.函数()2sin()cos 4f x x x π=+的图像相邻的两条对称轴之间的距离是________2π()22sin cos cos sin cos cos sin cos 44f x x x x x x xππ⎫=+=+⎪⎭1cos 2121sin 2222242x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∴两条相邻的对称轴之间的距离为2242T ππ== 6.若212lim(1)3n n a a a -→∞+++⋅⋅⋅+=，则二项式10(2)x a -展开式的系数和是________1024 ()2112lim 113n n a a a a -→∞+++⋅⋅⋅+==-，解得：12a =-∴二项式()()101021x a x -=+，令1x =，则()102x a -展开式的系数和为1021024=7.某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为 .（结果用数值表示）14158.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是_____（单位：3cm ））12π+由三视图可得原图形如图：该几何体是一个三棱锥与半圆锥的组合体，三棱锥的底面是等腰直角三角形，半圆锥的底面半径为1，高均为3，则该几何体的体积2111(211)313222V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 9.设实数x 、y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为2，则23a b +的值为________1由约束条件可得可行域如下图（阴影部分）所示： 将z ax by =+化为a zy x b b=-+ 0,0a b >>Q 、 0ab∴-< 当z 取最大值时，a zy x b b =-+在y 轴截距最大 由图象可知，当a zy x b b=-+过A 时，在y 轴截距最大由36020x y x y --=⎧⎨-+=⎩得：()4,6A max 462z a b ∴=+=，即231a b += 10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的长是________167 由椭圆参数方程得椭圆C 的普通方程为：2214y x +=由直线参数方程得直线l 的普通方程为：33y x =-联立可得：()224314x x +-=，即27610x x --=，解得：11x =，217x =-116177AB ∴=+= 11.定义在R 上偶函数()f x 对于任意的x ∈R 有()()11f x f x +=-，且当[]2,3x ∈时，()269f x x x =-+-，若函数()log a y f x x =-在()0,∞+上只有四个零点，则实数a =______14()()11f x f x +=-Q ()f x ∴关于直线1x =对称又()f x 为偶函数，即()f x 关于0x =对称 ()f x ∴为周期函数且2T =()log a y f x x =-Q 在()0,∞+有且仅有四个零点，即()f x 与log ay x =在()0,∞+上有且仅有四个交点当1a >时，log ay x =在()0,∞+上单调递增，又1x =时，()log 110a f ==∴()f x 与log a y x =在()0,∞+不存在四个交点 01a ∴<<()f x ∴与log a y x =有且仅有四个交点，图象如下图所示：()4log 4a f ∴=，又()()421f f ==- log 41a ∴=-，解得：14a =12.已知向量,a b rr 满足1a =r ，2b =r ，则a b a b ++-r r r r 的取值范围是________()()22a b a b a b a b a ++-≥++-==r r r r r r r r rQ且()()24a b a b a b a b b ++-≥+--==r r r rr r r r r4a b a b ∴++-≥r r r r （当且仅当a b +r r 与a b -r r 反向时取等号）2a b a b++-≤==r r r r Qa b a b ∴++-≤r r r r a b a b +=-r r r r 时取等号，此时0a b ⋅=r r ）的综上所述：a b a b +=-r r r r的取值范围为4,⎡⎣ 二.选择题13.关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ D ） A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β14.在一次数学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ A ） A. 60B. 70C. 80D. 100当60为该班某学生的成绩时，则()26082484-=，则214849.6850s >⨯= 与方差为8.2矛盾 ∴60不可能是该班成绩15.已知双曲线C ：2214y x -=，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ D ） A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条由双曲线方程可知其顶点坐标为()1,0±①当直线l 斜率不存在时，直线l 方程为：1x =，满足与曲线C 只有一个公共点 ②当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：()11y k x -=-，即：()11y k x =-+联立()221114y k x y x ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩，整理可得：()()()2222422250k x k k x k k -+---+=当240k -=，即2k =±时，此时方程有且仅有一个实数根∴直线():211l y x =±-+与曲线C 有且仅有一个公共点当240k -≠时，()()()22222244250k kk k k ∆=-+--+=，解得：52k =∴直线()5:112l y x =-+与曲线C 有且仅有一个公共点 综上所述：满足条件的直线l 有4条16.有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（ A ）种 A. 48B. 72C. 78D. 84五个小球全排列共有：55120A =种排法当两个红色小球与两个黄色小球都相邻时，共有：22322324A A A =种排法当两个红色小球相邻，两个黄色小球不相邻时，共有：22222324A A A =种排法当两个红色小球不相邻，两个黄色小球相邻时，共有：22222324A A A =种排法∴颜色相同的小球不相邻的排法共有：12024242448---=种排法三.解答题17.如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===.（1）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．【解】）1）由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥得11122AB A B ==） 所以2221111A B AB AA +=.故111AB A B ⊥.由2BC =）112,1,BB CC == 11,BB BC CC BC ⊥⊥得115B C = 由2,120AB BC ABC ==∠=︒得23AC =由1CC AC ⊥，得113AC =，所以2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥.因此1AB ⊥平面111A B C .）2）如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD .由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ） 由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ） 所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角. 由1111115,22,21BC A B AC === 1111116cos 77C A B C A B ∠=∠=） 所以13C D ，故11139sin C D C AD AC ∠==因此，直线1AC 与平面1ABB 所成39. 方法二：）1）如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ）OC 为x ）y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz .由题意知各点坐标如下：()()()()()1110,3,0,1,0,0,0,3,4,1,0,2,3,1,A B A B C --因此()()()111113,2,3,2,0,23,3,AB A B AC ==-=-u u u v u u u u v u u u u v由1110AB A B ⋅=u u u v u u u u v得111AB A B ⊥. 由1110AB AC u u u v u u u u v⋅=得111AB AC ⊥. 所以1AB ⊥平面111A B C .）2）设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.由（））可知()()()110,23,1,3,0,0,0,2,AC AB BB ===u u u u v u u u v u u u v设平面1ABB 的法向量(),,n x y z =.由10,0,n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u u v 即30,20,x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩可取()3,1,0n =-. 所以11139sin |cos ,|13AC n AC n AC nθ⋅===⋅u u u u v u u u u v u u u uv 的因此，直线1AC 与平面1ABB18.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，向量m u r =(cos(A —B)，sin(A —B)),向量n r=(cosB ，—sinB),且m n ⋅=u r r3.5- (1)求sinA 的值；(2)若5,a b ==求角B 的大小及向量BA u u u r 在BC uuu r方向上的投影.【解】（1）由3·5m n =-r r，得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-，得3cos 5A =-；又0A π<<，所以4sin 5A ==；（2）由正弦定理得sin sin a b A B =，得sin B =，得4B π=；由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2223525()5c c =+-⨯⨯⨯-，解得1c =或7c =-（舍去）；BA u u u r 在BC uuur方向上的投影值为·cos 2BA BC c B BC ==u u u v u u u vu u u v ． 19.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （x *∈N ）名员工从事第三产业，调整后这x 名员工他们平均每人创造利润为310()500xa -万元，剩下员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设400x ≤，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a 的最大值. 【解】（1）剩余员工创造的年总利润为：()()10001010.2%x x -⨯⨯+()()10001010.2%100010x x ∴-⨯⨯+≥⨯，即25000x x -≤，解得：0500x ≤≤又*x ∈N 且[]1,1000x ∈ ∴最多调整500名员工从事第三产业（2）从事第三产业员工创造的年总利润为：310500x x a ⎛⎫⋅-⎪⎝⎭由（1）知剩余员工创造的年总利润为()()10001010.2%x x -⨯⨯+的()()31010001010.2%500x x a x x ⎛⎫∴⋅-≤-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，整理可得：21000250x ax x ≤++ x N *∈Q 且400x ≤ 10001250x a x∴≤++ 1000250x x +Q在[]1,400上单调递减 min 10004125010x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 415111010a ∴≤+= 即a 的最大值为511020.如图，以椭圆2221x y a+=（1a >）的右焦点2F 为圆心，1c -为半径作圆2F （其中c 为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T . （1）若54a =，P 为椭圆的右顶点，求切线长||PT ； （2）设圆2F 与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为k （0k >）的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，若3||)PT a c ≥-恒成立，且OA OB ⊥.求： （ⅰ）c 的取值范围；（ⅱ）直线l 被圆2F 所截得弦长的最大值. 【解】（1）由54a =得：2234c a b =-= ∴当P 为椭圆右顶点时，2531442PF a c =-=-= 又圆的半径为311144c -=-= ()2221131416PT PF c ∴=--=-=（2）（ⅰ）当2PF 取得最小值时，PT 取得最小值2min PF a c =-Q ，则()())22min31PTa c c a c =---≥-，即()()22114a c c -≥- 又221a c =+，10c ->，解得：314c ≤< 即c 的取值范围为3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭（ⅱ）由题意得：()1,0Q ，则直线():1l y k x =-联立()22211y k x x y a⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()22222222120a k x a k x a k a +-+-= 设()11,A x y ，()22,B x y ，则22122221a k x x a k +=+，22212221a k a x x a k -=+()()()()2222121212122211111k a y y k x x k x x x x a k -∴=--=-++=⎡⎤⎣⎦+OA OB ⊥Q ()22222121222221011k a a k a x x y y a k a k --∴+=+=++，整理可得：22k a = 又0k > k a ∴= ∴直线():1l y a x =-，即0ax y a --=∴圆心()2,0F c 到直线l距离d =，又半径1r c =-∴直线l 被圆2F截得的弦长为21c -==令1c t -=，则10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()f t ===∴当14t=，即14t =时，2min 32141t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()max 1441f t f ⎛⎫∴===⎪⎝⎭即直线l 被圆2F 截得的弦长的最大值为4121.给定数列{}n a ，记该数列前i 项12,,,i a a a ⋅⋅⋅中的最大项为i A ，即12max{,,,}i i A a a a =⋅⋅⋅，该数列后n i -项12,,,i i n a a a ++⋅⋅⋅中的最小项为i B ，记12min{,,,}i i i n B a a a ++=⋅⋅⋅，(1,2,3,,1)i i i d A B i n =-=⋅⋅⋅-； （1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的1d ，2d ，3d ；（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意n *∈N ，有21(1)33n n S a n λλ-=-++，其中λ为实数，0λ>且13λ≠，1λ≠.（ⅰ）设23(1)n n b a λ=+-，证明：数列{}n b 是等比数列；（ⅱ）若数列{}n a 对应的i d 满足1i i d d +>对任意的正整数1,2,3,,2i n =⋅⋅⋅-恒成立，求实数λ的取值范围. 【解】（1）由题意得：113A a ==，{}1234min ,,1B a a a == 1312d ∴=-={}212max ,4A a a ==，{}234min ,1B a a == 2413d ∴=-= {}3123max ,,7A a a a ==，341B a == 3716d ∴=-=（2）（ⅰ）当1n =时，()1111a a λλ-=-+ 11a ∴=()()()1122311313131b a λλλλ-∴=+=+=--- 13λ≠Q ，1λ≠ 10b ∴≠当2n ≥且*n N ∈时，()()11211133n n S a n λλ---=-+-+ ()()()112113n n n n n a S S a a λλλλ--∴-=--=-++ 123n n a a λ-∴=+()()()11122223133131n n n n n b a a a b λλλλλλ---⎡⎤∴=+=++=+=⎢⎥---⎣⎦∴数列{}n b 是以()3131λλ--为首项，λ为公比的等比数列（ⅱ）由（ⅰ）得：()13131n n b λλλ--=⋅- ()()13123131n n a λλλλ--∴=⋅---{}{}1212max ,,,min ,,,i i i i n d a a a a a a ++=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅， {}{}112122max ,,,,min ,,,i i i i i n d a a a a a a a ++++=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ {}{}1223min ,,,min ,,,i i n i i n a a a a a a ++++⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅Q 且1i i d d +> {}{}12112max ,,,,max ,,,i i i a a a a a a a +∴⋅⋅⋅>⋅⋅⋅{}1211max ,,,,i i i a a a a a ++∴⋅⋅⋅=对任意的1,2,3,,2i n =⋅⋅⋅-恒成立则1i i i d a a +=-，112i i i d a a +++=- 12120i i i i i d d a a a +++∴-=+-<即：()()()()2121313112103131i i λλλλλλλλλ----+-=-<--11 0λ>Q ()31031λλ-∴<-，解得：113λ<< λ∴的取值范围为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭。