2018-2019年上海市大同中学高三下三模教师版

大同中学高三三模数学试卷

一.填空题

1.若全集为实数集R ，13

log 2M x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩

⎭

，则R C M =________1(,0](,)9

-∞+∞U

2.抛物线2

14

y x =-的准线方程是________1y = 3.关于x 方程

sin 101

4cos x x

=的解集为________{|12

x x k π

π=+

或5,}12

x k k π

π=+

∈Z 4.函数()2sin 1f x x =+，[,]2

x π

π∈的反函数1()f x -=________1

arcsin

2

x π--，[1,3]x ∈ 当,2x ππ⎡⎤

∈⎢

⎥⎣⎦

时，[]sin 0,1∈x ()[]1,3f x ∴∈ 令2sin 1y x =+，则1sin 2y x -= ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

Q 1arcsin 2y x π-∴=- ()1

1arcsin

2x f x π--∴=-，[]1,3x ∈ 5.函数()2sin(

)cos 4

f x x x π

=+的图像相邻的两条对称轴之间的距离是________

2

π

()22sin cos cos sin cos cos sin cos 44f x x x x x x x

ππ⎫

=+=+⎪⎭

1cos 2121sin 2222242x x x π+⎛⎫=

+=++ ⎪⎝

⎭∴两条相邻的对称轴之间的距离为2242T ππ=

= 6.若21

2

lim(1)3

n n a a a -→∞

+++⋅⋅⋅+=

，则二项式10(2)x a -展开式的系数和是________1024 ()

2112

lim 113

n n a a a a -→∞

+++⋅⋅⋅+==-，解得：12a =-

∴二项式()()10

10

21x a x -=+，令1x =，则()10

2x a -展开式的系数和为1021024=

7.某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为 .（结果用数值表示）

14

15

8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）

，则该几何体的体积是_____（单位：3cm ））12

π

+

由三视图可得原图形如图：

该几何体是一个三棱锥与半圆锥的组合体，三棱锥的底面是等腰直角三角形，半圆锥的底面半径为1，高均为3，则该几何体的体积2111(211)313222

V ππ=

⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 9.设实数x 、y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪

-+≥⎨⎪≥≥⎩

，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为2，则

23a b +的值为________1

由约束条件可得可行域如下图（阴影部分）所示： 将z ax by =+化为a z

y x b b

=-

+ 0,0a b >>Q 、 0a

b

∴-

< 当z 取最大值时，a z

y x b b =-

+在y 轴截距最大 由图象可知，当a z

y x b b

=-+过A 时，在y 轴截距最大

由360

20

x y x y --=⎧⎨-+=⎩得：()4,6A max 462z a b ∴=+=，即231a b += 10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1123x t y ⎧=+⎪⎪

⎨

⎪=⎪⎩

（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨

=⎩

（θ为参数），设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的长是________16

7 由椭圆参数方程得椭圆C 的普通方程为：22

14

y x +=

由直线参数方程得直线l 的普通方程为：33y x =-

联立可得：()2

24314x x +-=，即27610x x --=，解得：11x =，217

x =-

116177

AB ∴=+

= 11.定义在R 上

偶函数()f x 对于任意的x ∈R 有()()11f x f x +=-，且当[]2,3x ∈时，

()269f x x x =-+-，若函数()log a y f x x =-在()0,∞+上只有四个零点，则实数a =______1

4

()()11f x f x +=-Q ()f x ∴关于直线1x =对称

又()f x 为偶函数，即()f x 关于0x =对称 ()f x ∴为周期函数且2T =

()log a y f x x =-Q 在()0,∞+有且仅有四个零点，

即()f x 与log a

y x =在()0,∞+上有且仅有四个交点

当1a >时，log a

y x =在()0,∞+上单调递增，又1x =时，()log 110a f ==

∴()f x 与log a y x =在()0,∞+不存在四个交点 01a ∴<<

()f x ∴与log a y x =有且仅有四个交点，图象如下图所示：

()4log 4a f ∴=，又()()421f f ==- log 41a ∴=-，解得：14

a =

12.已知向量,a b r

r 满足1a =r ，2b =r ，则a b a b ++-r r r r 的取值范围是

________

()()

22a b a b a b a b a ++-≥++-==r r r r r r r r r

Q

且()()

24a b a b a b a b b ++-≥+--==r r r r

r r r r r

4a b a b ∴++-≥r r r r （当且仅当a b +r r 与a b -r r 反向时取等号）

2

a b a b

++-≤

==r r r r Q

a b a b ∴++-≤r r r r a b a b +=-r r r r 时取等号，此时0a b ⋅=r r ）

的