6.2高等数学概率的基本公式

解：A=｛澄明度较差｝；B=｛标记不清｝
求P(A B)
P(A B) 1 P(A B)
1 P(A) P(B) P(AB)
1 6 5 4 20 20 20
0.65
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二、概率的乘法公式
1.条件概率
定义:事件A和B,若P(A)≠0,则下式称为在事件A 发生的条件下B发生的概率
P(B A) P( AB) P( A)
或 P( AB) P( A)P(B A) P(B)P( A B)
B
A
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例题1
10件物品中有2件次品,若不放回地抽取, 问:第一次取到正品后第二次取得正品的 概率.
解: 设 A={第一次取到正品}
B= {第二次取到正品}
则所求概率为: P(B A) P( AB)

0.001 0.95
0.001 0.95 0.999 0.002
0.32225
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四、独立重复试验和伯努利（Bernoulli)概型 独立重复试验： 在相同条件下重复试验，各次试验的结 果相互独立的随机试验。
伯努利（Bernoulli) 试验： 每次试验结果只有A与A的独立重复试验。
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例3：患结核病的人胸透被诊断为结核病的概 率为0.95，而未患病的人误诊的概率为0.002， 又知某城镇居民的结核病患病率为0.001，现 有一人经胸透被诊断为结核病，问确实患有 结核病的概率？
解：设A：被诊断为结核病；B：确实患有结核病
P（B/A） P( AB)
P(B)P(A B)
P( A) P(B)P(A B) P(B)P(A B)
特别地: 当条件A= U 时,条件概率就变成无条件概率了.
即:P(B/U)=P(B)
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2. 独立事件与乘法公式
独立事件定义: 若P(B)=P(B/A),则称事件B与事件A独立
由于：P( AB) P( A)P(B A) P(B)P( A B) P( A)P(B)
定理2:
事件A与B相互独立 P( AB) P( A)P(B)
1 P(ABC)
1 P(A)P(B)P(C)
1 4 2 3 3 534 5
例题3 (见142页例6-18)
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例题4: 彩电使用10000小时无故障的概率 为95%,使用15000小时无故障的概率为60%; 现有一台彩电已使用了10000小时无故障,问 该彩电继续使用到15000小时无故障的概率?
n
n
P( Ai ) p(A1 A2 ... An ) P(A1) ... P(An ) P(Ai )
i1
i1
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推论 2
对任一事件A, 有
__
P(A) 1 P(A)
推论 3
若事件A B,则
P(A-B)=P(A)-P(B)
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例题2
盒中有32只红球, 4只白球,从中任取2支, 求: 至少有1只白球的概率.
P(又聋又盲)=P(AB) P( A)P(B / A)
0.0050.12 0.0006
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条件概率的性质:
1. P(B/A) ≥0 2. P(U/A)=1 , P(V/A)=0 3. P(B/A)=1- P(B/A) 4. P(B1+B2/A)=P(B1/A)+P(B2/A)-P(B1B2/A)
P(A1)P(B A1) P(An )P(B An )
n
P(Ai )P(B Ai )
i 1
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例题1
口袋中有3红2白球，现无放回地取2球， 问第二次取到红球的概率？ 解：设A：第一次取到红球
B：第二次取到红球
P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A)
32 23 3 54 54 5
P( A)
8 7 10 9 7
8 10
9
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例题2
一群人中,聋子的概率为0.005,盲人的概 率为0.0085,而聋子中是盲人的概率为 0.12,求某人又聋又盲的概率. 解: 设A={聋子}; B={盲人} 则: P(A)=0.005; P(B)=0.0085; P(B/A)=0.12 所求概率：
解：P(恰好1只白球)=P(A)
C C C = 1 1 / 2 0.2032
4
32
36
P(恰好2只白球)=P(B)
C C = 2 2 0.0095
4
36
P(至少1只白球)=P(A+B) =P(A)+P(B)
解法2:
=0.2032+0.0095 =0.2127
C C P(D) 1 P(D) 1 2 32
解:
P(灯亮) = P(A+B)
= P(A)+P(B)-P(AB)
= 1111 3
2 2 22 4
法2：P(A B) 1 P(A B) 1 1 1 22

3 4
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推论1.
若A. B 为互不相容的两个事件,则 P(A+B) = P(A) + P(B)
一般地,若A1 ,A2,…,An 两两互不相容,则
3.P(甲脱靶/目标击中) P(A/( A B)) P(A)P(B) P(A B)
=0.3*0.9/0.97=0.278
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例题2
甲.乙.丙三人能破译某密码的概率分别为 1 , 1 , 1 .问密码能被破译出来的概率.
534
解: P(A B C) 1 P(A B C)
1.6%
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Bayes公式（逆概率公式）
P(Ai
B)

P(AiB) P(B)

P(Ai )P(B P(B)
Ai
)
另：
P( Ai B)
P( Ai )P(B Ai )
n
P( Ai )P(B Ai )
i 1
P(A)P(B A) P(A B)
P(A)P(B A) P(A)P(B A)
解:设A={使用10000小时无故障};
B={使用15000小时无故障} 所求概率为:
P(B/A)= P( AB) P(B) P( A) P( A)
=0.6/0.95=0.63
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三、全概率公式及Bayes公式
完备事件组:
n 事件A1 , A2 ,,… , An两两互不相容,且P(Ai)>0;
Ai U.
i 1
全概率公式
设事件A1 , A2 ,,… , An为一完备事件组,则对任 一事件B,都有:
n
P(B) P( Ai )P(B Ai )
i 1
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证明:
B
A1 A2 … Ai … An
P(B) P(BU ) P(B( A1 A2 An )) P( A1B A2B AnB) P( A1B) P( A2B) P( AnB)
2 36

0.2127返回
例题3
10名学生为同一年出生, 问至少二人同一天生
日的概率. 解:
P(二人同一天)=1-P(没有人同一天生日)
=1-
P10 365
36510
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例题4
一盒试样共20支，放置一段时间后，其中有6支 澄明度较差，有5只标记不清，有4只澄明度和标 记都不合要求，现从中任取1支，求这只无上述 问题的概率。
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例2： 甲、乙、丙三车间的次品率分别为1%，
1.5%，2%，且全厂各车间产品所占比例为 25%，35%，40%，求全厂的次品率？
解：
设Ai (I=1,2,3)：分别为抽得甲、乙、丙三车间的产品
B：表示抽到次品。
n
则：P（B） P( Ai )P(B Ai ) i 1 25%1% 35%1.5% 40%2%
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例2：
5个细菌随机出现在3个试管溶液中，则第一 个试管溶液中的细菌不多于一个的概率？
解：设：P(A)=P(某个细菌落在第一个试管)
1 3
P(k 1) P(k 0) P(k 1)

C50
(1)0 3
(
2 3
)5

C51
(
1 3
)1
(
2 3
)4
0.46
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例：扔硬币；射击等
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定理： n次Bernoulli试验中，事件A出现k次的概率为：
Pn (k) Cnk pk qnk
n
并且 Pn (k) 1 k 0
k 0,1,2, , n
其中P(A)=p，p+q=1
例1：扔5次硬币正面出现3次的概率为：
P5 (3) C530.530.553 0.3125
第二节 概率的基本公式
一、概率的加法
定理1. 设A; B 为任意两个事件,则: P(A+B) = P(A) +P(B) – P(AB)
AB
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)-P(AC)-
P(BC)+P(ABC)
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例题1
A
右图A,B开关的开与
关概率均为1/2 , 求
B
灯亮的概率.
A与B；B与A；A与B均相互独立 返回
例题1
甲打中的概率为0.7,乙打中的概率为0.9。 设A=｛甲打中｝；B=｛乙打中｝，则:
P(A)=0.7; P(B)=0.9 1.甲乙两人都打中的概率为:
P(AB)=P(A)P(B)=0.7*0.9=0.63 2.目标被打中的概率为:
P(A+B)=1-(1-0.7)(1-0.9)=0.97