最新高考-2018届高考数学逻辑推理与证明 精品
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件:第六章 不等式、推理与证明 6.6 精品
【解析】选D.由条件知,左边从20,21到2n-1都是连续的, 因此当n=k+1时,左边应为1+2+22+…+2k-1+2k,而右边应 为2k+1-1.
感悟考题 试一试
3.(2016·东营模拟)用数学归纳法证明
“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,在验证n=1时,左边计算所
得的式子为 ( )
1 > k k 1
1 k 1
k k 1 1
>
k2 1
k 1
k 1.
k 1
k 1 k 1
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)可知对任何n∈N*,n>1,
1 1 1 均 成1 立> . n
23
n
3.若不等式 1 1 1 a 对一切正整数n都
n 1 n 2
3n 1 24
成立,求正整数a的最大值,并证明结论.
2k 2k 1 2k 2
1 1 1 1 .
k2 k3
2k 1 2k 2
即当n=k+1时,等式也成立. 综合(1)(2)可知,对一切n∈N*,等式成立.
【规律方法】数学归纳法证明等式的思路和注意点 (1)思路:用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”, 弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始 值n0是多少.
【变式训练】(2014·安徽高考改编)设整数p>1. 证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p>1+px. 【证明】①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不 等式成立.
②假设当p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx成立. 则当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)·(1+kx) =1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x. 所以当p=k+1时,原不等式也成立. 综合①②可得,当x>-1且x≠0时,对一切整数p>1,不等式 (1+x)p>1+px均成立.
最新-2018版高三数学一轮62推理与证明复习学案精品
个值 n0 应该为 3。
2、数学归纳法两个步骤有何关系?数学归纳法中两个步骤体现了递推思想,第一步是递推基 础,也叫归纳奠基,第二步是递推的依据,也叫归纳递推。两者缺一不可。 【要点名师透析】
一、合情推理与演绎推理 (一)归纳推理 ※相关链接※ 1、归纳推理的特点: ( 1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象, 因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围; ( 2)归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的。
上的高的乘积的三分之一
三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周
长的乘积的一半
思路点拨:由表格一、二两个问题的类比可知,线对面,长度对面积,从而内切圆应相对内
切球,从而可解。
解答:本题由已知前两组类比可得到如下信息:①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比
对象;②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象;③三角形边上的高与三棱锥
2018 版高三数学一轮精品复习学案:第二节 推理与证明
【高考目标导航】 一、合情推理与演绎推理 1、考纲点击 ( 1)了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现 中的作用; ( 2)了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理; ( 3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 2、热点提示 ( 1)归纳推理与数列相结合问题是考查重点; ( 2)类比推理、演绎推理是重点,也是难点; ( 3)以选择题、填空题的形式考查合情推理;考查演绎推理的各种题型都有,难度不大,多 以中低档题为主。 二、直接证明与间接证明 1、考纲点击 ( 1)了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、 特点; ( 2)了解间接证明的一种基本方法——反证法,了解反证法的思考过程、特点; 2、热点提示 ( 1)本考点在历年高考中均有体现,主要以考查直接证明中的综合法为主; ( 2)分析法的思想应用广泛,反证法仅作为客观题的判官方法,一般不会单独命题; ( 3)题型以解答题为主,主要在与其他知识点交汇处命题。 三、数学归纳法 1、考纲点击 ( 1)了解数学归纳法的原理; ( 2)能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 2、热点提示 ( 1)归纳——猜想——证明仍是高考重点; ( 2)常与函数、数列、不等式等知识结合,在知识的交汇处命题是热点; ( 3)题型以解答题为主,难度中等偏上。 【考纲知识梳理】 一、合情推理与演绎推理
2018版高考数学(理)一轮复习文档:第十二章推理证明、算法、复数12.2含解析
1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.3.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是错误!;如果某个事件A 包括的结果有m 个,那么事件A 的概率P (A )=m n. 4.古典概型的概率公式P (A )=错误!。
【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”)(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.(×)(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面"“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.(×)(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋,测其重量,属于古典概型.( ×)(4)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为错误!.(√)(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数,其和为5的概率是0。
2。
(√)(6)在古典概型中,如果事件A中基本事件构成集合A,且集合A中的元素个数为n,所有的基本事件构成集合I,且集合I中元素个数为m,则事件A的概率为错误!。
( √)1.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A。
错误!B。
错误!C.14D.错误!答案B解析基本事件的总数为6,构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2,所以所求概率P=错误!=错误!,故选B.2.(2016·北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )A。
2018版高考数学全国人教B版理大一轮复习课件:第十二
答案 (1)C (2)B
规律方法
(1) 高考对算法初步的考查主要是对程序框图含
义的理解与运用,重点应放在读懂框图上,尤其是条件分 支结构、循环结构.特别要注意条件分支结构的条件,对 于循环结构要搞清进入或退出循环的条件、循环的次数,
是解题的关键.
(2)解决程序框图问题要注意几个常用变量: ①计数变量:用来记录某个事件发生的次数,如i=i+1; ②累加变量:用来计算数据之和,如S=S+i; ③累乘变量:用来计算数据之积,如p=p×i.
处理框、 输入、输出框 、______ 起、止框、_____________ (2)基本的程序框图有________
流程线 等图形符号和连接线构成. 判断框 、________ _______
2.三种基本逻辑结构
名称 内容
顺序结构
最简单的算法结
条件分支结构
循环结构
定义
指定 条件 根据指定条件决 依据_____ 构,语句与语句 重复执行 不同 定是否________ 选择执行_____ 之间,框与框之 指令 的控制结 一条或多条指令 _____ 从上到下 间按_________ 构 的控制结构 的顺序进行
)
3 A.- 2
3 B. 2
1 C.- 2
1 D. 2
解析
按照程序框图依次循环运算,当 k=5 时,
5π 1 停止循环,当 k=5 时,S=sin 6 =2.
答案 D
3.(2016· 全国Ⅱ卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如 图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x= 2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( )
【训练1】 (1)(2017· 西安调研)根据下面框图,当输入x为2 017时, 输出的y=( )
最新-2018届高考数学总复习测评课件32 精品
举一反三
3.用三段论证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数.
证明: 设x1∈(-∞,1],x2∈(-∞,1],x1<x2, 则Δx=x2-x1>0. Δy=f(x2)-f(x1)=(-x22+2x2)-(-x12+2x1) =x12-x22+2x2-2x1
=(x1+x2)(x1-x2)+2(x2-x1) =(x1-x2)(x1+x2-2). ∵x1<x2≤1, ∴x1+x2<2,∴x1+x2-2<0, ∴(x1-x2)(x1+x2-2)>0. 则f(x2)-f(x1)>0 f(x2)>f(x1), ∴f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数.
2
2 2
2x
2x 2
2 2
∴f(-5)+…+f(0)+…+f(6)=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+[f(-
3)+f(4)]+[f(-2)+f(3)]+[f(-1)+f(2)]+[f(0)+f(1)]=
ห้องสมุดไป่ตู้6.
2 2
3
2
11.观察下列等式:
①sin210°+cos240°+sin 10°cos 40°= ; 3 ②sin26°+cos236°+sin 6°cos 36°= . 3 4
(3)证明:当k≥2时,
f
1
1
f
1
2
f
1
3
...
f
1
n
2018版高考数学人教A版理科大一轮复习配套课件:第十
合情推理与演绎推理
最新考纲
1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行
简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用;2.了解演绎 推理的重要性 , 掌握演绎推理的基本模式 , 并能运用它们进 行一些简单推理;3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差 异.
知识梳理
1.合情推理 类型 定义 部分 对象具有某 根据一类事物的_____ 特点
(2)根据规律, 知不等式的左边是 n+1 个自然数的平方的倒 数的和,右边分母是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,分 子是以 3 为首项,2 为公差的等差数列,所以第 n 个不等式 2n+1 1 1 1 应该为 1+22+32+…+ < . (n+1)2 n+1
答案
4n(n+1) (1) 3
部分到_____ 整体 、 由____ 全部 对 归纳推理 种性质,推出这类事物的_____ 个别到_____ 一般 由____ 象都具有这种性质的推理 根据两类事物之间具有某些类似 类比推理 (一致)性,推测一类事物具有另一 类事物类似(或相同)的性质的推理 特殊 由特殊 ____到____
2.演绎推理 (1) 定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结 论,我们把这种推理称为演绎推理 . 简言之,演绎推理是由
解析
第 n 个等式左边共有 2n 项且等式左边分母分别为 1, 1 1 1 2,…,2n,分子为 1,正负交替出现,即为 1- + - +…+ 2 3 4 1 1 - ;等式右边共有 n 项且分母分别为 n+1,n+2,…, 2n-1 2n 1 1 1 2n,分子为 1,即为 + +…+2n.所以第 n 个等式可为 n+1 n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1-2+3-4+…+ -2n= + +…+2n. 2n-1 n+1 n+2
2018版高考数学(理)一轮复习文档:第十二章推理证明、算法、复数12.3含解析
1.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2.几何概型中,事件A的概率的计算公式P(A)=构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积。
3.几何概型试验的两个基本特点(1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;(2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性.4.随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;③计算频率f n(A)=错误!作为所求概率的近似值.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.(√)(2)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.(√)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.(×) (6)从区间[1,10]内任取一个数,取到1的概率是P=错误!。
( ×)1.(教材改编)在线段[0,3]上任投一点,则此点坐标小于1的概率为( )A。
错误! B.错误! C.错误!D.1答案B解析坐标小于1的区间为[0,1],长度为1,[0,3]区间长度为3,故所求概率为错误!。
2.(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤121 ()2log x+≤1”发生的概率为()A.错误!B。
错误!C。
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件:第六章 不等式、推理与证明 6-5 精品
【知识梳理】 1.直接证明
内 容
综合法
分析法
从已知条件出发,经 从待证结论出发,一步一步寻
过逐步的推理,最后 求结论成立的充分条件,最后
定 达到待证结论的方 达到题设的已知条件或已被
义 法,是一种从_原__因__ 证明的事实的方法,是一种从
推导到_结__果__的思维 _结__果__追溯到产生这一结果的
因为A1D1⊂平面A1BD1,D1B⊂平面 A1BD1,A1D1∩D1B=D1, 所以平面A1BD1∥平面ADC1, 因为A1B⊂平面A1BD1,所以A1B∥平面ADC1.
【加固训练】
1.(2016·枣庄模拟)设a,b,c>0,证明:a2 b2 c2 a b c.
bca
【证明】因为a,b,c>0,根据基本不等式,
只需证a2+13a+42>a2+13a+40,只需证42>40, 因为42>40成立,所以P>Q成立.
感悟考题 试一试
2.(2016·滨州模拟)用反证法证明命题“若a,b∈N,ab
可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设
的内容应该是 ( )
A.a,b都能被5整除
B.a,b都不能被5整除
C.a,b不都能被5整除
D.a能被5整除
【解析】选B.“至少有一个能被5整除”的反面是“都 不能被5整除”.
3.(2016·菏泽模拟)设a=lg2+lg5,b=ex(x<0),则a与b
的大小关系为 ( )
A.a>b
B.a<b
C.a=b
D.a≤b
【解析】选A.因为a=lg2+lg5=lg10=1,而b=ex<e0=1,
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件:第六章 不等式、推理与证明 6.4 精品
22
2
正方形数 N(n,4)=n2=2n2 0 n,
2
五边形数 N(n,5)=3 n2 1 n 3n2 n,
22
2
六边形数 N(n,6)=2n2-n4=n2 2n,
2
k边形数 N(n,k)= (k 2)n2 (k 4)n ,
2
所以N(10,24)=22102 2010 2=2010002000.
【规范解答】(1)选B.根据题干图所示的规则排列,设最 上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9, 第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18, 这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104. 由9a+104=2012,得a=212,是自然数.
(2)三角形数 N(n,3)=1 n2 1 n n2 n,
A.2 011
B.2 012
C.2 013
D.2 014
(2)(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家
研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个
三角形数为 n n 1 1 n2 1 n,记第n个k边形数为N(n,
2 22
k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:
△EDF和△PEF的面积,相应于直角三角形的2条直角边 a,b和1条斜边c,图中的四面体有3个“直角面”S1,S2, S3和1个“斜面”S.于是,类比勾股定理的结构,我们猜 想S2=S12+S22+S32成立.
【母题变式】 1.把本例(2)条件“由勾股定理,得c2=a2+b2”换成 “cos2A+cos2B=1”,则在空间中,给出四面体性质的 猜想.
2018高考数学第6章不等式推理与证明第4节归纳与类比教师用书文北师大版
第四节归纳与类比[考纲传真] 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性;掌握演绎推理的基本模式,并能用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.1.归纳推理(1)定义:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理方式.(2)特点:①是由部分到整体,由个别到一般的推理.②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.2.类比推理(1)定义:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程.(2)特点:①是两类事物特征之间的推理.②利用类比推理得出的结论不一定是正确的.3.合情推理(1)定义:是根据实验和实践的结果,个人的经验和直觉,已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.4.演绎推理(1)定义:是根据已知的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.( )(2)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )(3)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m 是3的倍数,则m 一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.( )(4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2.由“半径为R 的圆内接矩形中,正方形的面积最大”,推出“半径为R 的球的内接长方体中,正方体的体积最大”是( )A .归纳推理B .类比推理C .演绎推理D .以上都不是B [类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).所以,由“半径为R 的圆内接矩形中,正方形的面积最大”,推理出“半径为R 的球的内接长方体中,正方体的体积最大”是类比推理.]3.(教材改编)已知数列{a n }中,a 1=1,n ≥2时,a n =a n -1+2n -1,依次计算a 2,a 3,a 4后,猜想a n 的表达式是( )A .a n =3n -1B .a n =4n -3C .a n =n 2D .a n =3n -1 C [a 1=1,a 2=4,a 3=9,a 4=16,猜想a n =n 2.]4.“因为指数函数y =a x 是增函数(大前提),而y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提),所以函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”,上面推理的错误在于( ) A .大前提错误导致结论错误B .小前提错误导致结论错误C .推理形式错误导致结论错误D .大前提和小前提错误导致结论错误A [“指数函数y =a x是增函数”是本推理的大前提,它是错误的.因为实数a 的取值范围没有确定,所以导致结论是错误的.]5.(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市;乙说:我没去过C 城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.A [由题意可推断:甲没去过B 城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A ,C 城市,而乙“没去过C 城市”,说明乙去过城市A ,由此可知,乙去过的城市为A.](1)(2016·武汉4月调研)数列12,13,23,14,24,34,…,1m +1,2m +1,…,mm +1,…的第20项是( )A.58B .34C .57D .67(2)(2016·山东高考)观察下列等式:⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3-2+⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3-2=43×1×2; ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5-2+⎝⎛⎭⎪⎫sin 4π5-2=43×2×3; ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7-2+…+⎝⎛⎭⎪⎫sin 6π7-2=43×3×4; ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9-2+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9-2=43×4×5; ……照此规律,⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n +1-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n +1-2+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n +1-2+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n +1-2=________. (1)C (2)43n (n +1) [(1)数列m m +1在数列中是第1+2+3+…+m =m m +2项,当m =5时,即56是数列中第15项,则第20项是57,故选C. (2)通过观察已给出等式的特点,可知等式右边的43是个固定数,43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半,43后面第二个数是第一个数的下一个自然数,所以,所求结果为43×n ×(n +1),即43n (n +1).] [规律方法] 1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等;(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳,合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.2.归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.[变式训练1] (1)已知x ∈(0,+∞),观察下列各式:x +1x ≥2,x +4x 2=x 2+x 2+4x 2≥3,x +27x 3=x 3+x 3+x 3+27x 3≥4,…,类比得x +a x n ≥n +1(n ∈N *),则a =__________. (2)下面图形由小正方形组成,请观察图641(1)至图(4)的规律,并依此规律,写出第n 个图形中小正方形的个数是__________.【导学号:66482303】图641(1)n n (n ∈N *) (2)n n +2(n ∈N *) [(1)第一个式子是n =1的情况,此时a =11=1;第二个式子是n =2的情况,此时a =22=4;第三个式子是n =3的情况,此时a =33=27,归纳可知a =n n .(2)由题图知第n 个图形的小正方形个数为1+2+3+…+n .所以总个数为n n +2(n∈N *).]n 数列,则数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n =a 1+a 2+…+a n n 也是等差数列,类比这一性质可知,若正项数列{c n }是等比数列,且{d n }也是等比数列,则d n 的表达式应为( )A .d n =c 1+c 2+…+c n nB .d n =c 1·c 2·…·c n nC .d n =n c n 1+c n 2+…+c n n nD .d n =n c 1·c 2·…·c n(2)(2016·贵州六校联考)在平面几何中,△ABC 的∠C 的平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC =AE BE.把这个结论类比到空间:在三棱锥A BCD 中(如图642),DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ,则得到类比的结论是________________.【导学号:66482304】图642(1)D (2)AE EB =S △ACD S △BCD[(1)法一:从商类比开方,从和类比到积,则算术平均数可以类比几何平均数,故d n 的表达式为d n =n c 1·c 2·…·c n .法二:若{a n }是等差数列,则a 1+a 2+…+a n =na 1+n n -2d ,∴b n =a 1+n -2d =d 2n +a 1-d 2,即{b n }为等差数列;若{c n }是等比数列,则c 1·c 2·…·c n =c n 1·q 1+2+…+(n -1)=c n 1·q n n -2,∴d n =n c 1·c 2·…·c n =c 1·q n -12,即{d n }为等比数列,故选D.(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB =S △ACD S △BCD.] [规律方法] 1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,提出猜想,其中找到合适的类比对象是解题的关键.2.类比推理常见的情形有:平面与空间类比;低维与高维类比;等差数列与等比数列类比;运算类比(和与积、乘与乘方,差与除,除与开方).数的运算与向量运算类比;圆锥曲线间的类比等.[变式训练2] 给出下面类比推理(其中Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若a ,b ∈R ,则a -b =0⇒a =b ”类比推出“a ,c ∈C ,则a -c =0⇒a =c ”; ②“若a ,b ,c ,d ∈R ,则复数a +b i =c +d i ⇒a =c ,b =d ”类比推出“a ,b ,c ,d ∈Q ,则a +b 2=c +d 2⇒a =c ,b =d ”;③“a ,b ∈R ,则a -b >0⇒a >b ”类比推出“若a ,b ∈C ,则a -b >0⇒a >b ”;④“若x ∈R ,则|x |<1⇒-1<x <1”类比推出“若z ∈C ,则|z |<1⇒-1<z <1.”其中类比结论正确的个数为( )A .1B .2C .3D .4B [类比结论正确的有①②.]数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n +1=nS n (n ∈N *).证明: (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列; (2)S n +1=4a n .【导学号:66482305】[证明] (1)∵a n +1=S n +1-S n ,a n +1=n +2nS n , ∴(n +2)S n =n (S n +1-S n ),即nS n +1=2(n +1)S n . 2分∴S n +1n +1=2·S n n ,又S 11=1≠0,(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义,这里省略了)5分(2)由(1)可知S n +1n +1=4·S n -1n -1(n ≥2), ∴S n +1=4(n +1)·S n -1n -1=4·n -1+2n -1·S n -1 =4a n (n ≥2),(小前提)8分又a 2=3S 1=3,S 2=a 1+a 2=1+3=4=4a 1,(小前提)∴对于任意正整数n ,都有S n +1=4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)12分[规律方法] 演绎推理的一般模式为三段论,三段论推理的依据是:如果集合M 的所有元素都具有性质P ,S 是M 的子集,那么S 中所有元素都具有性质P .应用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大前提,小前提,然后再找结论.[变式训练3] 如图643所示,D ,E ,F 分别是BC ,CA ,AB 上的点,∠BFD =∠A ,且DE ∥BA .求证:ED =AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来).图643【导学号:66482306】[证明] (1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)∠BFD 与∠A 是同位角,且∠BFD =∠A ,(小前提)所以DF ∥EA .(结论)5分(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE ∥BA 且DF ∥EA ,(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形.(结论)8分(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED 和AF 为平行四边形的对边,(小前提)所以ED =AF .(结论)上面的证明可简略地写成:⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD =∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒ 四边形AFDE 是平行四边形⇒ED =AF . 12分[思想与方法]1.合情推理的过程概括为从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想2.演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特殊情况的结论的推理方法,是由一般到特殊的推理,常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.[易错与防范]1.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比,那么就会犯机械类比的错误.2.合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.3.演绎推理是由一般到特殊的推理,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严谨性,书写格式的规范性.。
2018版高考数学全国人教B版理大一轮复习讲义:第十二
基础巩固题组(建议用时:35分钟)一、选择题1.用数学归纳法证明“2n>2n+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6解析∵n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.∴n的第一个取值n0=3.答案 B2.某个命题与正整数有关,如果当n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可以推出n =k+1时该命题也成立.现已知n=5时该命题成立,那么()A.n=4时该命题成立B.n=4时该命题不成立C.n≥5,n∈N*时该命题都成立D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立解析显然A,B错误,由数学归纳法原理知C正确,D错.答案 C3.利用数学归纳法证明不等式“1+12+13+…+12n-1>n2(n≥2,n∈N*)”的过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时,左边增加了()A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项解析左边增加的项为12k+12k+1+…+12k+1-1共2k项,故选D.答案 D4.对于不等式n2+n<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,12+1<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式k2+k<k+1成立,当n=k+1时,(k+1)2+k+1=k2+3k+2<(k2+3k+2)+(k+2)=(k+2)2=(k +1)+1.∴当n =k +1时,不等式成立,则上述证法( ) A.过程全部正确 B.n =1验得不正确 C.归纳假设不正确D.从n =k 到n =k +1的推理不正确解析 在n =k +1时,没有应用n =k 时的假设,不是数学归纳法. 答案 D5.用数学归纳法证明1+2+3+…+n 2=n 4+n 22,则当n =k +1时左端应在n =k的基础上加上( ) A.k 2+1 B.(k +1)2C.(k +1)4+(k +1)22D.(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k +1)2解析 当n =k 时,左端=1+2+3+…+k 2.当n =k +1时,左端=1+2+3+…+k 2+(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k +1)2, 故当n =k +1时,左端应在n =k 的基础上加上(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k +1)2.故选D. 答案 D 二、填空题6.设S n =1+12+13+14+…+12n ,则S n +1-S n =________. 解析 ∵S n +1=1+12+…+12n +12n +1+…+12n +2n ,S n =1+12+13+14+…+12n .∴S n +1-S n =12n +1+12n +2+12n +3+…+12n +2n .答案12n+1+12n +2+12n +3+…+12n +2n7.数列{a n }中,已知a 1=2,a n +1=a n3a n +1(n ∈N *),依次计算出a 2,a 3,a 4,猜想a n =________.解析 a 1=2,a 2=23×2+1=27,a 3=273×27+1=213,a 4=2133×213+1=219.由此,猜想a n 是以分子为2,分母是以首项为1,公差为6的等差数列.∴a n =26n -5. 答案26n -58.凸n 多边形有f (n )条对角线.则凸(n +1)边形的对角线的条数f (n +1)与f (n )的递推关系式为________.解析 f (n +1)=f (n )+(n -2)+1=f (n )+n -1. 答案 f (n +1)=f (n )+n -1 三、解答题9.用数学归纳法证明:1+122+132+…+1n 2<2-1n (n ∈N *,n ≥2). 证明 (1)当n =2时,1+122=54<2-12=32,命题成立. (2)假设n =k 时命题成立,即1+122+132+…+1k 2<2-1k . 当n =k +1时,1+122+132+…+1k 2+1(k +1)2<2-1k +1(k +1)2<2-1k +1k (k +1)=2-1k +1k -1k +1=2-1k +1,命题成立.由(1)(2)知原不等式在n ∈N *,n ≥2时均成立. 10.数列{a n }满足S n =2n -a n (n ∈N *).(1)计算a 1,a 2,a 3,a 4,并由此猜想通项公式a n ; (2)证明(1)中的猜想.(1)解 当n =1时,a 1=S 1=2-a 1,∴a 1=1; 当n =2时,a 1+a 2=S 2=2×2-a 2,∴a 2=32;当n =3时,a 1+a 2+a 3=S 3=2×3-a 3,∴a 3=74;当n =4时,a 1+a 2+a 3+a 4=S 4=2×4-a 4, ∴a 4=158.由此猜想a n =2n -12n -1(n ∈N *).(2)证明 ①当n =1时,a 1=1,结论成立. ②假设n =k (k ≥1且k ∈N *)时,结论成立, 即a k =2k -12k -1,那么n =k +1时,a k +1=S k +1-S k =2(k +1)-a k +1-2k +a k =2+a k -a k +1, ∴2a k +1=2+a k .∴a k +1=2+a k 2=2+2k -12k -12=2k +1-12k .所以当n =k +1时,结论成立. 由①②知猜想a n =2n -12n -1(n ∈N *)成立.能力提升题组 (建议用时:20分钟)11.(2017·昆明诊断)设n 为正整数,f (n )=1+12+13+…+1n ,经计算得f (2)=32,f (4)>2,f (8)>52,f (16)>3,f (32)>72,观察上述结果,可推测出一般结论( ) A.f (2n )>2n +12 B.f (n 2)≥n +22C.f (2n )≥n +22D.以上都不对解析 因为f (22)>42,f (23)>52,f (24)>62,f (25)>72,所以当n ≥1时,有f (2n )≥n +22. 答案 C12.设f (x )是定义在正整数集上的函数,且f (x )满足:“当f (k )≥k 2成立时,总可推出f (k +1)≥(k +1)2成立”.那么,下列命题总成立的是( ) A.若f (1)<1成立,则f (10)<100成立 B.若f (2)<4成立,则f (1)≥1成立C.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立D.若f(4)≥16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立解析选项A,B的答案与题设中不等号方向不同,故A,B错;选项C中,应该是k≥3时,均有f(k)≥k2成立;对于选项D,满足数学归纳法原理,该命题成立.答案 D13.设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域),则f(2)=________,f(n)=________.(n≥1,n∈N*)解析易知2个圆周最多把平面分成4片;n个圆周最多把平面分成f(n)片,再放入第n+1个圆周,为使得到尽可能多的平面区域,第n+1个应与前面n 个都相交且交点均不同,有n条公共弦,其端点把第n+1个圆周分成2n段,每段都把已知的某一片划分成2片,即f(n+1)=f(n)+2n(n≥1),所以f(n)-f(1)=n(n-1),而f(1)=2,从而f(n)=n2-n+2.答案4n2-n+214.数列{x n}满足x1=0,x n+1=-x2n+x n+c(n∈N*).(1)证明:{x n}是递减数列的充要条件是c<0;(2)若0<c≤14,证明数列{x n}是递增数列.证明(1)充分性:若c<0,由于x n+1=-x2n+x n+c≤x n+c<x n,∴数列{x n}是递减数列.必要性:若{x n}是递减数列,则x2<x1,且x1=0.又x2=-x21+x1+c=c,∴c<0.故{x n}是递减数列的充要条件是c<0.(2)若0<c≤14,要证{x n}是递增数列.即x n+1-x n=-x2n+c>0,即证x n<c对任意n≥1成立. 下面用数学归纳法证明:当0<c≤14时,x n<c对任意n≥1成立.①当n =1时,x 1=0<c ≤12,结论成立.②假设当n =k (k ≥1,k ∈N *)时结论成立,即x k <c .因为函数f (x )=-x 2+x +c 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,12内单调递增,所以x k +1=f (x k )<f (c )=c ,∴当n =k +1时,x k +1<c 成立.由①,②知,x n <c 对任意n ≥1,n ∈N *成立. 因此,x n +1=x n -x 2n +c >x n ,即{x n }是递增数列.。
2018年高考数学 专题13.2 推理与证明试题 理
推理与证明【三年高考】1. 【2017课标II ,理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。
老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩。
看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩。
根据以上信息,则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D2.【2016高考新课标2理数】有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3,乙的卡片上数字为2和3,丙卡片上数字为1和2.3.【2015高考山东,理11】观察下列各式:0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律,当n ∈N 时,012121212121n n n n n C C C C -----++++= .【答案】14n -【解析】因为第一个等式右端为:01144-= ;第二个等式右端为:12144-= ;第三个等式右端为:23144-= 由归纳推理得:第n 个等式为:01211212121214n n n n n n C C C C ------++++= 所以答案应填:14n -4.【2015江苏高考,23】 已知集合{}3,2,1=X ,{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈= ,{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,,令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.(1)写出(6)f 的值;(2)当6n ≥时,写出()f n 的表达式,并用数学归纳法证明.【解析】(1)()613f =.(2)当6n ≥时, ()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩(t *∈N ).下面用数学归纳法证明:①当6n =时,()666621323f =+++=,结论成立;②假设n k =(6k ≥)时结论成立,那么1n k =+时,1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +,()2,1k +,()3,1k +中产生,分以下情形讨论:1)若16k t +=,则()615k t =-+,此时有()()12132323k k f k f k k --+=+=++++ ()111223k k k ++=++++,结论成立;2)若161k t +=+,则6k t =,此时有()()112123k k f k f k k +=+=++++()()()11111223k k k +-+-=++++,结论成立; 3)若162k t +=+,则61k t =+,此时有()()11122223k k f k f k k --+=+=++++ ()()1211223k k k +-+=++++,结论成立;4)若163k t +=+,则62k t =+,此时有()()2122223k k f k f k k -+=+=++++()()1111223k k k +-+=++++,结论成立; 5)若164k t +=+,则63k t =+,此时有()()1122223k k f k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++,结论成立;6)若165k t +=+,则64k t =+,此时有()()1112123k k f k f k k -+=+=++++()()()11121223k k k +-+-=++++,结论成立.综上所述,结论对满足6n ≥的自然数n 均成立.【2017考试大纲】1.合情推理与演绎推理(1)了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.(2)了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.(3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.2.直接证明与间接证明(1)了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.(2)了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点.3.数学归纳法了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 高考对本部分知识的考查主要在合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容,其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识,代表研究性命题的发展趋势,选择题、填空题、解答题都可能涉及到,该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面,在新的高考中都会涉及和渗透,但单独出题的可能性较小.【2018年高考复习建议与高考命题预测】推理与证明是数学的基础思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式,推理一般包括合情推理与演绎推理,在解决问题的过程中,合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养.证明包括直接证明与间接证明,其中数学归纳法是将无穷的归纳过程,根据归纳原理转化为有限的特殊(直接验证和演绎推理相结合)的过程,要很好地掌握其原理并灵活运用.推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点,需要采用多种数学方法才能解决问题,如:函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等,对学生的知识与能力要求较高,是对学生思维品质和逻辑推理能力,表述能力的全面考查,可以弥补选择题与填空题等客观题的不足,是提高区分度,增强选拔功能的重要题型,因此在最近几年的高考试题中,推理与证明问题正在成为一个热点题型,并且经常作为压轴题出现. 预测2018年高考将会有题目用到推理证明的方法.复习建议:推理证明题主要和其它知识结合到一块,属于知识综合题,解决此类题目时要建立合理的解题思路.【2018年高考考点定位】高考的考查:合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法(理科)等内容,其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识,代表研究性命题的发展趋势,选择题、填空题、解答题都可能涉及到,该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面,在新的高考中都会涉及和渗透,但单独出题的可能性较小;【考点1】合情推理与演绎推理【备考知识梳理】1.合情推理(1)定义:根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理叫做合情推理.(2)合情推理可分为归纳推理和类比推理两类:①归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理;归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类a.数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等;b.形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.②类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的分类:类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法a.类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解;b.类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键;c.类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移.2.演绎推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理叫做演绎推理.演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真.(2)模式:三段论①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.(3)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理.【规律方法技巧】1. 归纳推理与类比推理之区别:(1)归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.在进行归纳时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论.(2)类比推理是由特殊到特殊的推理,是两类类似的对象之间的推理,其中一个对象具有某个性质,则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质.2.演绎推理问题的处理方法从思维过程的指向来看,演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提,而作出关于该类事物的判断的思维形式,因此是从一般到特殊的推理.数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的.三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成,大前提是一个一般性原理,小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形,结论则是大前提和小前提的逻辑结果.3.应用合情推理应注意的问题:(1)在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论.(2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质.注意:归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性.4.归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想);③检验猜想.实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);③检验猜想.观察、比较→联想、类推→猜想新结论5.演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理,其最常见的形式是三段论,它是由大前提、小前提、结论三部分组成的.三段论推理中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来,提示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断:结论.(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提.一般地,若大前提不明确时,一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.6.归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理,在进行归纳时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论,归纳推理所得的结论不一定可靠,但它是由特殊到一般,由具体到抽象的认知过程,是发现一般规律的重要方法.类比推理是由特殊到特殊的推理,是两类类似的对象之间的推理,其中一个对象具有某个性质,则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,否则会犯机械类比的错误.演绎推理是由一般到特殊的推理,数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的,只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的,其结论一定是正确,一定要注意推理过程的正确性与完备性.【考点针对训练】1. 【湖北省荆州中学2018届高三第二次月考】如图,在梯形ABCD 中,()AB DC AB a CD b a b ==>,,.若 EF AB , EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ,则可推算出:形ABCD 中,延长梯形两腰AD BC ,相交于O 点,设OAB , OCD 的面积分别为12S S ,, EF AB 且EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ,则OEF 的面积0S 与12S S ,的关系是( )【答案】C2. 【江西省南昌市2017届高三第三次模拟】已知,,若3333312343025n +++++=,则n =A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】观察所提供的式子可知,等号左边最后一个数是3n 时,n=10.本题选择C 选项. 【考点2】直接证明与间接证明【备考知识梳理】1.直接证明 (1)综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法.框图表示:P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(2)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法. 分析法的思维特点是:执果索因;分析法的书写格式: 要证明命题Q 为真,只需要证明命题1P 为真,从而有……,这只需要证明命题为真,从而又有……这只需要证明命题P 为真,而已知P 为真,故命题Q 必为真框图表示:Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件.2.间接证明反证法:要证明某一结论A 是正确的,但不直接证明,而是先去证明A 的反面(非A )是错误的,从而断定A 是正确的,即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的论证的一种数学证明方法.【规律方法技巧】1. 明晰三种证题的一般规律(1)综合法证题的一般规律:用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是能想到从哪里起步,我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐步推出结论.(2)分析法证题的一般规律:分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论出发,倒着分析,寻找结论成立的充分条件.应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件.(3)反证法证题的一般规律:反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是:或者是A,或者是非A.即在同一讨论过程中,A和非A有且仅有一个是正确的,不能有第三种情况出现.2.综合法证题的思路:3.分析法证题的技巧:(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.(2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证.4.反证法证明问题的一般步骤:(1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否定结论)(2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾)(3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)注意:可能出现矛盾四种情况:①与题设矛盾;②与反设矛盾;③与公理、定理矛盾④在证明过程中,推出自相矛盾的结论.5.反证法是一种重要的间接证明方法,适用反证法证明的题型有:(1)易导出与已知矛盾的命题;(2)否定性命题;(3)唯一性命题;(4)至少至多型命题;(5)一些基本定理;(6)必然性命题等.【考点针对训练】1. 【宁夏石嘴山市2017届高三第三次模拟】高三(1)班某一学习小组的A 、B 、C 、D 四位同学周五下午参加学校的课外活动,在课外活动时间中,有一人在打篮球,有一人在画画,有一人在跳舞,另外一人在散步. ①A 不在散步,也不在打篮球; ②B 不在跳舞,也不在跑步; ③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件; ④D 不在打篮球,也不在跑步; ⑤C 不在跳舞,也不在打篮球. 以上命题都是真命题,那么D 在 .【答案】画画【解析】由①②④,可知,A 、B 、D 都不散步,必有C 在散步,由③可知必有A 在跳舞,由⑤可知D 不在打篮球,因此D 在画画,故答案为画画.2. 【山东莱芜市第一中学2017年高三数学模拟】用反证法证明命题“设,a b 为实数,则方程20x ax b ++=没有实数根”时,要做的假设是A. 方程20x ax b ++=至多有一个实根B. 方程20x ax b ++=至少有一个实根C. 方程20x ax b ++=至多有两个实根D. 方程20x ax b ++=恰好有两个实根 【答案】A【解析】至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选A. 【考点3】数学归纳法 【备考知识梳理】1. 一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常叫做归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法.2.数学归纳法:设{}n p 是一个与正整数相关的命题集合,如果:①证明起始命题1p (或0p )成立;②在假设k p 成立的前提下,推出1k p +也成立,那么可以断定{}n p 对一切正整数成立. 3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤为: ①归纳奠基:证明当取第一个自然数0n 时命题成立;②归纳递推:假设n k =,(k N *∈,0k n ≥)时,命题成立,证明当1n k =+时,命题成立; ③由①②得出结论. 【规律方法技巧】1. 明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法,它们的表述严格而且规范,两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在n =k +1时一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”.2. 用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型,其关键点在于弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,以及初始值0n 的值.(2)由n k =到1n k =+时,除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n k =时的式子,即充分利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.弄清左端应增加的项,明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用的方法:乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.简言之:两个步骤、一个结论;递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.[来 3. 数学归纳法证明不等式的注意问题(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n k =成立,推证1n k =+时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.4. “归纳——猜想——证明”的模式,是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式.其一般思路是:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.其关键是观察、分析、归纳、猜想,探索出一般规律.5. 使用数学归纳法需要注意的三个问题 在使用数学归纳法时还要明确:(1)数学归纳法是一种完全归纳法,其中前两步在推理中的作用是:第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,二者缺一不可;(2)在运用数学归纳法时,要注意起点0n ,并非一定取1,也可能取0,2等值,要看清题目; (3)第二步证明的关键是要运用归纳假设,特别要弄清楚由n k =到1n k =+时命题变化的情况.6. 数学归纳法常用于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法.例如根据递推公式写出数列的前几项,通过观察项与项数的关系,猜想出数列的通项公式,再用数学归纳法进行证明,初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式;利用数学归纳法证明不等式时,要注意放缩法的应用,放缩的方向应朝着结论的方向进行,可通过变化分子或分母,通过裂项相消等方法达到证明的目的. 【考点针对训练】1.用数学归纳法证明不等式“241321...2111>++++n n n (n >2)”过程中,由k n =到1+=k n 时,不等式的左边( )A .增加了一项12k 1+()B .增加了两项112k 12k 1+++() C .增加了一项12k 1+(),又减少了一项1k 1+ D .增加了两项112k 12k 1+++(),又减少了一项1k 1+ 【答案】D【解析】当1+=k n 时,不等式左边为2211211......3121++++++++++k k k k k k ,比较k n =时,增加了221121+++k k ,但也减少了11+k ,故选D. 2. 【江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟】已知函数,设()n f x 为()1n f x -的导数, *n N ∈. (1)求()()12,f x f x ;(2)猜想()n f x 的表达式,并证明你的结论.【应试技巧点拨】1.逻辑推理即演绎推理,就是从一般性的前提出发,通过推导即“演绎”,得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于,它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.2.归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理,在进行归纳时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论,归纳推理所得的结论不一定可靠,但它是由特殊到一般,由具体到抽象的认知过程,是发现一般规律的重要方法.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等;(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).3.类比推理是由特殊到特殊的推理,是两类类似的对象之间的推理,其中一个对象具有某个性质,则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质.类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,否则会犯机械类比的错误.4.反证法是一种重要的间接证明方法,适用反证法证明的题型有:(1)易导出与已知矛盾的命题;(2)否定性命题;(3)唯一性命题;(4)至少至多型命题;(5)一些基本定理;(6)必然性命题等.证明问题的一般步骤:(1)反设; (2)归谬; (3)立论.注意:可能出现矛盾四种情况:①与题设矛盾;②与反设矛盾;③与公理、定理矛盾④在证明过程中,推出自相矛盾的结论.1.【西藏自治区拉萨中学2017届高三第八次月考】在一次国际学术会议上,来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌,为了使他们能够自由交谈,事先了解到的情况如下: 甲是中国人,还会说英语.乙是法国人,还会说日语. 丙是英国人,还会说法语.丁是日本人,还会说汉语. 戊是法国人,还会说德语.则这五位代表的座位顺序应为( ) A. 甲丙丁戊乙 B. 甲丁丙乙戊 C. 甲乙丙丁戊 D. 甲丙戊乙丁 【答案】D【解析】这道题实际上是一个逻辑游戏,首先要明确解题要点:甲乙丙丁戊5个人首尾相接,而且每一个人和相邻的两个人都能通过语言交流,而且4个备选答案都是从甲开始的,因此,我们从甲开始推理.思路一:正常的思路,根据题干来作答.甲会说中文和英语,那么甲的下一邻居一定是会说英语或者中文的,以此类推,得出答案.思路二:根据题干和答案综合考虑,运用排除法来解决,首先,观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流,戊不能和甲交流,因此,B ,C 不成立,乙不能和甲交流,A 错误,因此,D 正确.2.【2017届山西省高三3月一模】已知P 是圆222x y R +=上的一个动点,过点P 作曲线C 的两条互相垂直的切线,切点分别为,M N , MN 的中点为E .若曲线,且222R a b =+,则点E 的轨迹方程为若,且222R a b =-,则点E 的轨迹方程是( )【答案】B【解析】由于椭圆与双曲线定义中的运算互为逆运算,所以猜想与双曲线对应的点E 的轨迹3. 【江西省新余市2017届高三高考全真模拟】我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.+类似上述过程,则=( )【答案】A4. 【北京市朝阳区2017届高三二模】“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目,包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”.规定每一项运动的前三名得分都分别为,,(且),选手最终得分为各项得分之和.已知甲最终得22分,乙和丙最终各得9分,且乙的马术比赛获得了第一名,则游泳比赛的第三名是A. 甲B. 乙C. 丙D. 乙和丙都有可能 【答案】B 【解析】。
【高三数学试题精选】2018年高考理科数学试题推理与证明解析当类汇编
2018年高考理科数学试题推理与证明解析当类汇编
5 2时,将Pi分成2i段,每段个数,并对每段c变换,得到Pi+1,例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置
(1)当N=16时,x7位于P2中的第___个位置;
(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第___个位置
【答案】(1)6;(2)
【解析】(1)当N=16时,
,可设为 ,
,即为 ,
,即 , x7位于P2中的第6个位置,;
(2)方法同(1),归纳推理知x173位于P4中的第个位置
【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力
需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题
6【sin15°cs15°
(3)sin218°+cs212°-sin18°cs12°
(4)sin2(-18°)+cs248°- sin2(-18°)cs248°
(5)sin2(-25°)+cs255°- sin2(-25°)cs255°
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广位三角恒等式,并证明你的结论
解答(I)选择(2)
(II)三角恒等式为
5。
2018版高考数学(理)一轮复习文档:第十二章推理证明、算法、复数12.1含解析
1.概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数,称事件A 出现的比例f n(A)=错误!为事件A出现的频率.(2)对于给定的随机事件A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定,我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小,并把这个常数称为随机事件A的概率,记作P(A).2.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)3。
概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1。
(2)必然事件的概率P(E)=1.(3)不可能事件的概率P(F)=0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=1-P(B).【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的.(×)(2)随机事件和随机试验是一回事.(×)(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( √)(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( ×)(5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.(√)(6)两互斥事件的概率和为1。
(×)1.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a,从{1,2,3}中随机选取一个数b,则b>a的概率是()A。
错误! B.错误! C.错误!D。
2018版高考数学(理)一轮复习文档:第十二章推理证明、算法、复数12.6含解析
1.离散型随机变量的均值与方差一般地,若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)均值称E(X)=x1p1+x2p2+…+x i p i+…+x n p n为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称D(X)=错误!(x i-E(X))2p i为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,并称其算术平方根错误!为随机变量X的标准差.2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aE(X)+b。
(2)D(aX+b)=a2D(X).(a,b为常数)3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).4.正态分布(1)正态曲线:函数φμ,σ(x222()x uσ--,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ为参数(σ〉0,μ∈R).我们称函数φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;③曲线在x=μ处达到峰值错误!;④曲线与x轴之间的面积为1;⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图甲所示;⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示.(3)正态分布的定义及表示一般地,如果对于任何实数a,b (a<b),随机变量X满足P(a〈X≤b)=ʃ错误!φμ,σ(x)d x,则称随机变量X服从正态分布,记作X~N(μ,σ2).正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ-σ〈X≤μ+σ)=0。
6826;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0。
9544;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0。
2018版高考数学(理)一轮复习文档:第十二章推理证明、算法、复数12.4含解析
1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,则表X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时也用等式P(X=x i)=p i,i=1,2,…,n表示X的分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质①p i≥0,i=1,2,…,n;②错误!i=1.3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X服从两点分布,即其分布列为其中p=P(X=1)称为成功概率.(2)超几何分布一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=错误!,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*。
如果随机变量X的分布列具有下表形式,则称随机变量X服从超几何分布.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×")(1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.(√)(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(√)(3)某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次命中的次数X服从两点分布.( ×)(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名演员,其中女演员的人数X服从超几何分布.(√)(5)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( ×)(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(√)1.(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的事件是( )A.一颗是3点,一颗是1点B.两颗都是2点C.甲是3点,乙是1点或甲是1点,乙是3点或两颗都是2点D.以上答案都不对答案C解析根据抛掷两颗骰子的试验结果可知,C正确.2.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于()A.0 B.错误! C.错误!D。
2018年高考数学试题分类汇编——集合与逻辑精品
( A) 1,4
( B) 1,5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( C) 2,4
( D) 2,5
(2018 江西理数) 2. 若集合 A= x | x 1, x R , B= y | y x2, x R ,则 A B =
A. x | 1 x 1 B. x | x 0
C. x | 0 x 1 D.
(2018 安徽文数) (1) 若 A= x | x 1 0 , B= x | x 3 0 ,则 A B =
(D)
既不充分也不必要条件
(2018 山东文数)( 1) 已知全集 U R ,集合 M x x2 4 0 ,则 CU M =
A. x 2 x 2 B. x 2 x 2 C. x x 2或 x 2 D. x x 2或 x 2
(2018 北京文数) ⑴ 集合 P { x Z 0 x 3}, M { x Z x2 9} ,则 P I M =
(A) { x | 1 x 2}
(B) { x | 3 x 1}
(C) { x |1 x 4}
(D) { x | 2 x 1}
( 2018 山东文数) (7) 设 an 是首项大于零的等比数列,则“ a1 a2 ”是“数列 an 是
递增数列”的 ( A)充分而不必要条件
(B)
必要而不充分条件
(C) 充分必要条件
(A) a |0 a 6 (B) a | a 2,或a 4 (C) a | a 0,或 a 6 (D) a | 2 a 4
(2018 天津理数) (9) 设集合 A= x || x a | 1, x R , B x || x b | 2, x R .若 A B,
则实数 a,b 必满足
(A) | a b | 3
2018年高考数学 第七章 不等式、推理与证明 专题26 推理与证明考场高招大全
专题二十六 推理与证明考点58 合情推理与演绎推理考场高招1常见的归纳推理类型及相应方法 1.解读高招2.典例指引1(1)(2016广东广州一模)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为( ) A.2 017×22 013B.2 017×22 014C .2 017×22 015 D.2 016×22 016(2)某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有一层,就一个球;第2,3,4,…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n 堆第n 层就放一个乒乓球,以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数,则f (3)= ;f (n )= (答案用含n 的代数式表示).【解析】 (1)如图,(2)观察图形可知:f(1)=1,f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20,…,故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数,即f(2)=f(1)+3;f(3)=f(2)+6;f(4)=f(3)+10;…;f(n)=f(n-1)+.将以上(n-1)个式子相加可得f(n)=f(1)+3+6+10+…+=[(12+22+…+n2)+(1+2+3+…+n)]=.【答案】 (1)B(2)103.亲临考场1.(2015山东,理11)观察下列各式:=40;=41;3=42;=43;……照此规律,当n∈N *时,+…+=【答案】 4n-12.(2013陕西,理14)观察下列等式 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 ……照此规律,第n 个等式可为 .【答案】 12-22+32-42+…+(-1)n+1n 2=(-1)n+1·【解析】第n 个等式的左边第n 项应是(-1)n+1n 2,右边数的绝对值为1+2+3+…+n=,故有12-22+32-42+…+(-1)n+1n 2=(-1)n+1.3.(2013湖北,理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数为n 2+n.记第n 个k 边形数为N (n ,k )(k ≥3),以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:三角形数N(n,3)=n2+n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=n2-n,六边形数N(n,6)=2n2-n,…………可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=1 000【答案】1.解读高招2.典例指引2(1)已知数列{a n}为等差数列,若a m=a,a n=b(n-m≥1,m,n∈N*),则a m+n=.类比等差数列{a n}的上述结论,对于等比数列{b n}(b n>0,n∈N*),若b m=c,b n=d(n-m≥2,m,n∈N),则可以得到b m+n= .(2)若P0(x0,y0)在椭圆=1(a>b>0)外,过P0作椭圆的两条切线的切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是=1,那么对于双曲线则有如下命题:若P0(x0,y0)在双曲线=1(a>0,b>0)外,过P0作双曲线的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程是. 【解析】 (1)设数列{a n}的公差为d1,数列{b n}的公比为q,则在等差数列中a n=a1+(n-1)d1,在等比数列中b n=b1q n-1.∵a m+n =,∴b m+n =.【答案】 (1)(2)=1考场高招3 演绎推理的应用规律1.解读高招5步骤 ①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断温馨 提醒 演绎推理是高考重点考查的内容之一,推理的基本模式和思维过程贯穿于数学解题过程的始终.在证明的过程中,往往大前提不写出来2.典例指引3(2017辽宁葫芦岛测评)在一次国际学术会议上,来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌上,为了使他们能够自由交谈,事先了解到的情况如下: 甲是中国人,还会说英语;乙是法国人,还会说日语; 丙是英国人,还会说法语;丁是日本人,还会说汉语;戊是法国人,还会说德语.则这五位代表的座位顺序应为 ( ) A.甲、丙、丁、戊、乙 B.甲、丁、丙、乙、戊 C.甲、乙、丙、丁、戊D.甲、丙、戊、乙、丁【答案】 D 3.亲临考场1..(2017课标Ⅱ,理7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】 D 因为甲不知道自己的成绩,所以乙、丙的成绩是一位优秀一位良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙知道自己的成绩.又因为乙、丙的成绩是一位优秀一位良好,所以甲、丁的成绩也是一位优秀一位良好.又因为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选D.2.(2016课标Ⅱ,理15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.【答案】 1和3【解析】由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.考点59直接证明与间接证明考场高招4灵活应用直接证明的两大方法(综合法、分析法)解题1.解读高招2.典例指引4(1)求证:当x∈[0,1]时,x≤sin x≤x.(2)已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.求证:.7所以H(x)在[0,1]上是减函数,则H(x)≤H(0)=0,即sin x≤x.综上,x≤sin x≤x,x∈[0,1].(2)要证,即证=3,即证=1,只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),即证c2+a2=ac+b2.因为△ABC三个内角A,B,C成等差数列,所以B=60°,由余弦定理,得b2=c2+a2-2ac cos 60°,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.3.亲临考场1..(2012辽宁,理12)若x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是()A.e x≤1+x+x2B.≤1-x+x2C.cos x≥1-x2D.ln(1+x)≥x-x29。
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《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座—逻辑、推理与证明、复数、框图一.课标要求:1.常用逻辑用语(1)命题及其关系①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题;②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系;(2)简单的逻辑联结词通过数学实例,了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。
(3)全称量词与存在量词①通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义;②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2.推理与证明(1)合情推理与演绎推理①结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用;②结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理;③通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
(2)直接证明与间接证明①结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点;②结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法--反证法;了解反证法的思考过程、特点;(3)数学归纳法了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题;(4)数学文化①通过对实例的介绍(如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律),体会公理化思想;②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用;3.数系的扩充与复数的引入(1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系;(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件;(3)了解复数的代数表示法及其几何意义;(4)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加减运算的几何意义。
4.框图(1)流程图①通过具体实例,进一步认识程序框图;②通过具体实例,了解工序流程图(即统筹图);③能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用;(2)结构图①通过实例,了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息;②结合作出的结构图与他人进行交流,体会结构图在揭示事物联系中的作用。
二.命题走向常用逻辑用语本部分内容主要是常用的逻辑用语,包括命题与量词,基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式。
预测18年高考对本部分内容的考查形式如下:考查的形式以填空题为主,考察的重点是条件和复合命题真值的判断。
推理证明本部分内容主要包括:合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法(理科)等内容,其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识,代表研究性命题的发展趋势,选择题、填空题、解答题都可能涉及到,该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面,在新的高考中都会涉及和渗透,但单独出题的可能性较小;预计2018年高考将会有较多题目用到推理证明的方法。
复数复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义,一般是选择题、填空题,难度不大,预计今后的高考还会保持这个趋势。
预测2018年高考对本讲的试题难度不会太大,重视对基本问题诸如:复数的四则运算的考查,题目多以选择、填空为主。
框图本部分是新课标新增内容,历年高考中涉及内容很少,估计2018年高考中可能在选择题、填空题中以考察流程图和结构图的定义和特征的形式出现;也可能以画某种知识的结构图或解决某类问题的流程图为形式的解答题出现,但不论哪种形式,所占份量都不会很大。
三.要点精讲1.常用逻辑用语(1)命题命题:可以判断真假的语句叫命题;逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词;简单命题:不含逻辑联结词的命题。
复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
常用小写的拉丁字母p,q,r,s,……表示命题,故复合命题有三种形式:p或q;p且q;非p。
(2)复合命题的真值“非p“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示:“p且q注:1“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反;“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真,其他情况为假;“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况为真;3°真值表是根据简单命题的真假,判断由这些简单命题构成的复合命题的真假,而不涉及简单命题的具体内容。
(3)四种命题如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互为逆命题;如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命题,这个命题叫做原命题的否命题;如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定,那么这两个命题叫做互为逆否命题,这个命题叫做原命题的逆否命题。
两个互为逆否命题的真假是相同的,即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时,可转化为判断其逆否命题的真假。
(4)条件一般地,如果已知p⇒q,那么就说:p是q的充分条件;q是p的必要条件。
可分为四类:(1)充分不必要条件,即p⇒q,而q⇒p;(2)必要不充分条件,即p⇒q,而q⇒p;(3)既充分又必要条件,即p⇒q,又有q⇒p;(4)既不充分也不必要条件,即p⇒q,又有q⇒p。
一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作:p⇔q.“⇔”叫做等价符号。
p⇔q表示p⇒q且q⇒p。
这时p既是q的充分条件,又是q的必要条件,则p是q的充分必要条件,简称充要条件。
(5)全称命题与特称命题这里,短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号∀表示。
含有全体量词的命题,叫做全称命题。
短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号∃表示,含有存在量词的命题,叫做存在性命题。
2.推理与证明(1)合情推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理(简称归纳)。
归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理;根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理,叫做类比推理(简称类比)。
类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3)一般地,事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的,而是相互制约的。
如果两个事物在某些性质上相同或类似,那么它们在另一些性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的;(4)在一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题就越可靠。
(2)演绎推理分析上述推理过程,可以看出,推理的灭每一个步骤都是根据一般性命题(如“全等三角形”)推出特殊性命题的过程,这类根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理,叫做演绎推理。
演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真。
(3)证明反证法:要证明某一结论A是正确的,但不直接证明,而是先去证明A的反面(非A)是错误的,从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的论证的一种数学证明方法。
反证法的步骤:1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;2)从这个假设出发,通过推理论证,得出矛盾;3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
注意:可能出现矛盾四种情况:①与题设矛盾;②与反设矛盾;③与公理、定理矛盾④在证明过程中,推出自相矛盾的结论。
分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法通常叫做分析法。
用分析法证明不等式的逻辑关系是:分析法的思维特点是:执果索因;分析法的书写格式:要证明命题B为真,只需要证明命题为真,从而有……,这只需要证明命题为真,从而又有……这只需要证明命题A为真,而已知A为真,故命题B必为真。
综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法,用综合法证明不等式的逻辑关系是:综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法。
3.数系的扩充与复数的引入形如a+bi(a,b )R ⊂的数,我们把它们叫做复数,全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母C 表示,其中a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部。
复数的加法法则:(a+bi )+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ;复数的加法法则:(a+bi )-(c+di)=(a -c)+(b -d)i ;复数的乘法法则:(a+bi )(c+di )=(ac -bd)+(ad+bc)i ;复数的除法法则:(a+bi)÷(c+di)=dic bi a ++=))(())((di c di c di c bi a -+-+=22)()(d c iad bc bd ac +-++=22d c bd ac +++i d c adbc 22+-; 4.框图 (1)结构图首先,你要对所画结构图的每一部分有一个深刻的理解和透彻的掌握,从头止尾抓住主要脉络进行分解,然后将每一步分解进行归纳与提炼,形成一个个知识点并将其逐一地写在矩形框内。
最后,按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连,这样就画成了知识结构图。
认识结构图:由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线构成。
绘制结构图的步骤:1)先确定组成系统的基本要素,以及这些要素之间的关系;2)处理好“上位”与“下位”的关系;“下位”要素比“上位”要素更为具体, “上位”要素比“下位”要素更为抽象。
3)再逐步细化各层要素;4)画出结构图,表示整个系统。
(2)流程图绘制流程图的一般过程:首先,用自然语言描述流程步骤;其次,分析每一步骤是否可以直接表达,或需要借助于逻辑结构来表达;再次,分析各步骤之间的关系;最后,画出流程图表示整个流程。
鉴于用自然语言描述算法所出现的种种弊端,人们开始用流程图来表示算法,这种描述方法既避免了自然语言描述算法的拖沓冗长,又消除了起义性,且能清晰准确地表述该算法的每一步骤,因而深受欢迎。
设计算法解决问题的主要步骤: 第一步、用自然语言描述算法;算法可以用自然语言来描述,但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观,我们更经常地用图形方式来表示它。