2013-06《数学建模与数学实验》复习 答案

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2. 某城市共有六个区, 各区有居民：一区 221 万, 二区 120 万, 三区 111 万, 四区 57 万, 五区 86 万, 六区 38 万. 现该市要选出 503 名人大代表,请你用判别数法设计一个代表名额的分配方案. 解：该市共有 6 个区，第 i 个区居民数为 ni（i=1，2，3…6）.一共要选出 N 个人大代表。 就全市而言，每个人大代表代表的居民数为 a=n/N ，第 i 区按居民数比例应分得席位为 αi=ni*N/n=ni/a。最后实际分得的席位为 Ni，每个席位代表的居民数 ai=ni/Ni.(i=1,2,3…6) ， ai 越大的区吃亏就越大，所以应该优先照顾之。αi 取整后每个席位代表的居民数就为
r=503-（175+95+88+45+68+30）=2 其中 β4 和 β6 较大，所以 N4=45+1=46，N6=30+1=31。分出 77，剩下 426。 第二轮计算 区别 一 二 三 五 人数 2210000 1200000 1110000 860000 5380000 αi 174.9925651 95.01858736 87.89219331 68.09665428 426 βi 0.005704397 0.000195656 0.010255096 0.001421386
kt
带入 T(0)=37，解得 C=9，并带入 m=28得：
T 9e kt 28
又因为：T(t1)=30.8；T(t1+60)=29.1 所以： 30.8 9e
kt1
28
29.1 9ek (t1 60) 28
上两式联立解得 t1=75 min=1.25 h
4.有 r 个人在一楼进入电梯,楼上有 n 层. 假设每个乘客在任何一层楼出电梯的概率相同, 各乘 客在哪层出电梯是相互独立的. 试求直到电梯中的 r 个乘客出空为止时, 电梯需停次数的数学期 望. (假定在楼上没有人进电梯).
[ i ]
[ i ]
ni

a[ i ] a([ i ] i ) (1 i ) [ i a] [ i ]
其中， i 称为判别数，< αi >，[αi]分别为 αi 的小数部分和取整部分， βi 越大就吃亏越大， i 必须优先照顾之。其中：
为使总利润最大，应该选哪 4 人？又如何分配任务？最大利润是多少？
背景知识：设有 n 项任务要分给 n 个人去完成,每人完成一项. 由于每个人的专长不同,故完
成不同任务所需的成本或产生的经济效益也不同. 若第 i 个人完成第 j 项任务的成本为 cij ,则如 何分配这些工作任务 , 使总成本最小或产生的经济效益最大？这类问题称为指派问题，矩阵 C=(cij)称为成本矩阵. 设置变量 Z 为总成本，
8．放射性废物的处理模型 4.2 9．捕鱼业的产量模型 5.2 10．效益分配的 Shapley 值 6.2
11．自然顺序方阵的性质 第二章 2 幻方趣谈 12．生产配套模型 13．统筹方法 7.5 6.6
注：(1) 闭卷考试；(2) 带计算器；(3)考试记得带学生证 (4) 答疑: 7 月 3 日下午 3:00～5:30, 在四号楼 4238. (5) 考试: 7 月 5 日上午 9:00～11:30. (课室未知) (6) 考试过程 2.5 小时，做七题 (7) 研究生院培养办电话：87110730 ************************************************************ 复 习 题 1.在“ 棋子颜色的变化”问题中，若初态不出现全黑或全白的特殊状态，则当 n=5 时，从第一步 开始，必是 3 步一个周期地变化.请证明之. 证明：由于 n 2 1 时，第 n-1 步与第 1 步等价。这是因为：
25 19 C 27 23 22 24 18 22 25 30 5 8 0 8 1 20 21 28 19 29 2 0 8 0 9 23 29 20 27 21 0 4 3 2 5 0 0 0 0 0
0* 8 1 2 8 1 9 6 0 0* 5 6 0 6 1
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《数学建模与数学实验》复习
（2013 年 6 月）
1. 棋子颜色的变化 2.1 2．席位公平分配的判别数法 2.3 3. 简单微分方程模型（冷却模型）
4．传送带的效率模型（或同类问题）2.10 5．指派问题 6.5 6．Steiner 点及其应用（n<=4） 3.8 7．Fibonacci 数列及其应用 2.8
1 指派第i人做第j项任务 xij , i, j 1, 2, 0 不指派第i人做第j项任务 ,n
建立数学模型： min Z
c x
j 1 i 1
n
n
ij ij
（总成本最小）
约束条件：
x
i 1
n j 1
n
ij
1, j 1,2,...n
1, i 1,2,...n
r N [ i ] i
i 1 i 1
m
m
N=503，n=221 万+120 万+111 万+57 万+86 万+38 万=6330000 第一轮计算 区别 一 二 三 四 五 六 合计 人数 2210000 1200000 1110000 570000 860000 380000 6330000 αi 175.6129542 95.35545024 88.20379147 45.29383886 68.33807267 30.19589258 503 βi 0.003502595 0.003741581 0.002315812 0.006529753 0.004971657 0.006529753
解：我们把电梯作为考虑对象，电梯每层要么停要么不停，只有这两种情况。而停与不停 是随机的，因此可把电梯每层停与不停用一个随机变量表示，从而可定义一个随机变量序列 i 如下：
3
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i
0 1
楼上第i层电梯不停 楼上第i层电梯要停
i 0 时当且仅当第 i 层电梯没有一个人出电梯，每个人在第 i 层不出电梯的概率为 1
5 6 10 7 30 11 12 9 1 30 3 8 2 10 30 7 5 11 3 30 8 0 1 9 30
0 0 2 10 3 0 0 11 5 4
*
0 1 10 11 1 6 4 2 8 0
r=426（174+95+87+68）=2 其中 β3、β1 大，所以 N3=87+1=88、N1=174+1=175 席。分出 263 席，剩下 163 席。 2
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第三轮计算 区别 二 五 人数 1200000 860000 2060000 αi 94.95145631 68.04854369 163 βi 0.010121876 0.000713878
r=163-（94+68）=1 其中，β2 较大，所以 N2=94+1=95 分出 95 席，剩下 68 席分给第二区，即 N2=68。 各个席位分别为 175、95、88、46、68、31
3. 牛顿发现在较小范围内，物体冷却速率正比于该物体与环境温度的差值. 司法部门常用此理 论推算凶杀的作案时间.例如，某天晚上在一住宅内发现一尸体,法医于 23:35 赶到现场, 立即测 量得死者体温是 30.8℃, 一小时后再测量得死者体温是 29.1℃,法医还注意到当时室温是 28℃, 试利用冷却模型推算受害者的死亡时间.(假设正常体温为 37℃) 解：设置变量，时间为 t（min） ，室内温度 m(℃) ，物体的温度 T(t) 因为物体冷却速率
（每项任务由一人完成）
x
ij
（每人只承担一项任务）
xij 0,1 i, j 1,2,..., n
求解上述矩阵的方法：把成本矩阵变换到存在 n 个独立的 0 元素(在不同行不同列),且保持
4
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每个 Cij 非负.这时让这 n 个 0 元素的位置对应的 xij=1,其余位置的 xij=0，就得最优解.因为它是 目标值为 0 的可行解。 求解步骤（匈牙利法） ： (1)把成本矩阵的各行每一元素分别减去该行中的最小元素,再检查每列中是否都有 0,若不 是，则把没有 0 的列的每一元素分别减去该列中的最小元素. (2)如果能在矩阵中找到 n 个独立的 0 元素, 就可以进行指派, 即对应于这 n 个 0 元素的位 置的 xij=1,其余位置的 xij=0. 结束. (3)当独立的 0 个数 k<n 时, 可用 k 条直线覆盖全部 0. 然后从未被覆盖的各元素中,选出最 小的元素 a,把未被覆盖的各元素减去这个最小元素,而两直线交叉处的元素加上这个最小元素. （这种操作相当于：未被覆盖的行都减 a ，被覆盖的列都加 a .） (4)重复第(3)步, 直做到能在矩阵中找到 n 个独立的 0 为止,这样就可以进行指派. 对于最大化指派问题必须先用一个较大的数 M（可以用所有元素中最大的一个数）分别减 去各元素，把新得到的矩阵用匈牙利方法进行求解即可。 另外，当人数和任务数不相等的时候，需要用到虚拟处理方法，即人数(n) 大于任务数(m) 时，虚拟 n-m 个任务，相应的 Cij=0；相似地，当人数(n)小于任务数(m)时，则虚拟 m-n 个人， 相应 Cij=0；这样就化为人数与任务数相等的情况 解： 由于题目中人数为 5， 任务数为 4， 所以先虚拟任务数， 相应的 Ci5=0， 得到“ 虚拟矩阵”C：
最后得到 5 个独立的 0，所以产生最优的指派方案，即工人 1 对应工作 A，工人 2 对应工 作 D，工人 3 对应工作 C，工人 4 对应工作 E，工人 5 对应工作 B。 最大利润 F=25+29+28+0+30=112(百元)
1 ， n
而每个人出与不出电梯又是独立的，因此所有 r 个人都不出电梯的概率为
1 P( i 0) (1 ) r n
则 P( i 1) 1 (1 1 ) r
n
i 的数学期望 E i 1 (1 1 ) r
n
记 1 2 n ，则 为电梯停的次数。
m
Cn 1 n 1 Cn 1 Cn 1 f (n 1, j ) a j a C j 1 a j 2 a j 3 a j n1
1 2 3 n 1
又由于 n 2 时， C2m (k 1,2,3,n 1) 都是偶数
m
k
所以上式 f (n 1, j ) a j a j n1 f (1, j n 1) = f (1, j 1) 由上式可知 n=5 时，第 4 步与第 1 步等价 又因为 n 个棋子的布局只有有限种，且每步变化规则是相同的，从而每一步的布局都是由上一 局唯一确定的，所以棋子的颜色变化总是周期性的。又由于第 4 步与第 1 步等价，所以从第一 步开始，必然会 3 步一个周期地变化。 1
dT 正比于该物体与环境温度的差值(T-m)，所以建立微分方程模型： dt dT k (T m) ，其中零时刻 T(0)=37 dt
设死亡距法医首次测量体温之间的时间为 t1，所以 T(t1)=30.8；T(t1+60)=29.1 解微分方程可知： ln(T m) kt C ，即： T Ce m
的数学期望： E E1 E 2 E n n[1 (1 1 ) r ]
n
5.公司有 4 项工作要做，现准备在 5 人中选出 4 人来做，每人做且只做一项工作，每人完成各 项工作的获利如下表： （单位：百元） 工作 A 工人 1 工人 2 工人 3 工人 4 工人 5 25 19 27 23 22 工作 B 24 18 22 25 30 工作 C 工作 D 20 21 28 19 29 23 29 20 27 21