(完整版)CFD基本理论

a2 p
写成向量形式：
A U B U 0 x y
U C U 0 x y
第二章 计算流体力学的基本理论
U
u v p
u 0 0
v 0 0
A
0
0
u 0
0 u
1
0
B
0 0
v 0
0 v
0
1
0 p 0 u
0 0 p v
v
u
C
A
1B
0
0
0
v u2 a
第二章 计算流体力学的基本理论
例
适定的微分方程的定解条件
椭圆方程的边界条件
L u 2u 0
Laplace方程，边值问题
Dirichlet问题 ，给定边值 上的函数值
Neuwmann问题 ，给定闭 边值上的法向导数值
或给定函数值和法向导数 值的函数关系 - Robin问题
第二章 计算流体力学的基本理论
u
1,2
v u
3,4
uv
a u2 v2 u2 a2
a2
如果：
1）u2 v 2 a2 0 2）u2 v 2 a2 0
M 1 四个实根，双曲型 M 1 两个实根，两个复根，
双曲－椭圆型
第二章 计算流体力学的基本理论
二维非定常理想流体流动的Euler方程
U A U B U 0 t x y
在 x L 处的u L,t 或 u L,t .
t
x
第二章 计算流体力学的基本理论
1.3微分方程的适定性
适定性是指微分问题的解必须存在，在给 定域内解是唯一的，并有连续性。
连续性是指微分方程和其初始与边界条件 中的参数稍被扰动，其解仍然存在且唯一。
鉴于微分方程的数值解是一种近似计算， 微分方程的适定性并不能保证数值方程的 适定性。但微分方程的适定性是求解问题 的基础，微分问题的解必须保证其可解性， 唯一性与连续性。
例 适定的微分方程的定解条件
波动问题
双曲型方程
第二章 计算流体力学的基本理论
例 适定的微分方程的定解条件
波动问题
在 x t 平面上取斜率 dx dt a 的一组特征线， 则在线上有 du dt 0 ，说明沿这些直线传播 的扰动不随时间变化。
双曲型方程 的初值问题
现给定初值条件
u x,0 x
U C U D U 0 x y t
D A1
C A1B
求C的特征值，结论与定常相同： 得到在X-Y平面的方程性质；
第二章 计算流体力学的基本理论
求D的特征值,得:
( 1 )2( 1 )( 1 ) 0
u
ua ua
1,2
1 u
,
3
u
1
a
4
u
1
a
为四个实根，即方程在 x-t平面为双曲型； 所以Euler 方程可以在时间座标方向推进， 而在定常问题中能否推进计算，必须根据 流动是否为超音速（M与1的关系）来定。
二阶拟线性方程组，可以通过降阶法进行类似的分析。
第二章 计算流体力学的基本理论
例
二维定常理想流体流动的Euler方程
u v ( u v ) 0
x
y
x y
u u v u 1 p
x
y
x
u v v v 1 p
x
y
y
u p v p a 2 (u v ) 0
x
y
x
y
⑵.n个特征值全部为互不相等的实数时，称方程在(t , xi ), 平面上为纯双曲型；而当n个特征值全部为实数， 但有部分为相等的实数时，称方程(t , xi )在 平面上为 双曲型；
⑶.当n个特征值全部为零时，称方程在 (t , xi )平面上 为纯抛物型；
⑷．当n个特征值部分为复数、部分为实数时，称方 程在(t , xi )平面上为双曲椭圆型；
2
uv
u2 a2
0
va 2 u2 a
2
u u2 a2 a2 u2 a2
v
u u u2 a2
v
u(u2 a2 )
v (u2
1
a
2
)
u
uv
u2 a2
第二章 计算流体力学的基本理论
求矩阵C的特征值得：
( v )2 [uv (u2 a2 )]2 a2(u2 v2 ) a4 0
计算流体力学
Computational Fluid Dynamics
第二章 计算流体力学的基本理论
授课人：钱 昆 船舶工程学院
第二章 计算流体力学的基本理论
1. 数值求解方法
以差分或积分方法，用代数方程代替微 分方程，以代数运算代替微分运算，最 终得到微分方程在离散点上的数值解。
第二章 计算流体力学的基本理论
第二章 计算流体力学的基本理论
几个典型的一维模型方程
l 一维波传播方程：u a u 0
t
x
l
一维热传递方程：u
t
2u x 2
l
一维对流扩散方程：u a u
t
x
2u x 2
l
Laplace方程：2u
x 2
2u y 2
0
l
Burger 方程：u u u
t
x
2u x 2
l 无粘Burger方程：u u u 0
流体力学典型一阶拟线性微分方程组的分类
对于一阶拟线性微分方程组的向量形式：
U AU F t xi
u1
U
u2
其中：U为n阶向量，
Hale Waihona Puke Baidu
un
A 为n 阶矩阵
若A的特征值为:
λi (i 1,2,...n), 即 A λI 0 的根
则有如下结论
第二章 计算流体力学的基本理论
⑴.当 n个特征值全部为复数时，称方程在 (t , xi ) 平面 上为纯椭圆型；
1. 1 典型数值求解方法
有限差分法 有限体积法 有限元方法 有限分析法 边界元方法
加权余量法
第二章 计算流体力学的基本理论
1.2 微分方程分类
当微分方程转化为差分方程并用数值方 法求解时，不同类型的微分方程，其数 值处理方法各异，其中包括提法的适定 性、物理解的性质、差分格式的适用性 等
第二章 计算流体力学的基本理论
在 t t1 时刻， x 处的变量仍为
u x,t1 x at1
不过以 a dx dt 向前传播了at1 的距离。 因此，该问题是适定的。
第二章 计算流体力学的基本理论
双曲型方程的初边值问题 给定边值条件 u(xb,t) (t)
第二章 计算流体力学的基本理论
双曲型方程的初边值问题 以一维非定常可压缩Euler方程为例
第二章 计算流体力学的基本理论
讨论方程组在(x,t)平面中区域R上的定解条件 u >0
第二章 计算流体力学的基本理论
例 适定的微分方程的定解条件
Navier-Stokes方程 ，粘性问题
需要给定的初始条件包括，t 0 时的u x,0 在 x 0 处的 u 0,t 或 u 0,t 和
x