2014年绵阳一诊理数
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y S B C D x
)， 2
A
x∈[0，3]的图象，且最高点为 S(1，2)， 折线段 AOD 为固定线路， 其中 AO= 3 ， （Ⅰ）求 A，ω，φ 的值； （Ⅱ）应如何设计，才能使折线段道路 BCD 最长？ 19． （本题满分 12 分）
数学（理科）试题第 3 页（共 10 页）
O
1
3
OD=4，折线段 BCD 为可变线路，但为保证驾驶安全，限定∠BCD=120º．
sin 2 x(sin x cos x) ． cos x
（Ⅰ）求函数 f (x)的定义域及最大值； （Ⅱ）求使 f ( x) ≥0 成立的 x 的取值集合． 17． （本题满分 12 分） 已知{an}为等差数列，且 a4=14，a5+a8=48． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设 Sn 是等比数列{bn}的前 n 项和，若 b1=a1，且 3S1，2S2，S3 成等差 数列，求 S4． 18． （本题满分 12 分） 安通驾校拟围着一座山修建一条环形训 练道路 OASBCD，道路的平面图如图所 示（单位：km） ，已知曲线段 ASB 为函 数 y=Asin(ωx+φ) (A>0， 0<ω<1， |φ|<
b1 (1 q 2 ) b (1 q 3 ) ， S3 1 ， 1 q 1 q
b1 (1 q 2 ) b (1 q 3 ) 3b1 1 ， 1 q 1 q
整理得：4q2=3q+q3，解得 q=0（舍去） ，q=1（舍去） ，q=3， „„„10 分 ∴ S4
2 (1 34 ) 80 ． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12 分 1 3
9．已知 ， 都是锐角，且 cos A．2 B．
2 11
2 2 或2 D． 或-2 11 11 1 10．已知 O 为△ABC 的外心， cos A ，若 AO AB AC ，则 的最 3
C．
大值为 A．
1 3
B．
2 6 sin( ) ． 3 3
∴ 当且仅当
6
时，折线段 BCD 最长，最长为
2 6 千米．„„„„12 分 3
19．解： （I）由于 f(3+x)=f(-x)知函数 f (x)关于 x 即
3 对称， 2
b 3 2 ，解得 b=-3，于是 f(x)=x -3x+2．„„„„„„„„„„„„3 分 2 2
2 sin x cos x(sin x cos x) 1 cos 2x 2 sin2 x 2 sin x cos x 2 sin 2x cos x 2 1 (sin 2 x cos 2 x)
数学（理科）试题第 4 页（共 10 页）
1 2 sin(2 x ) ， 4
1 2
C．
2 3
D．
3 4
第Ⅱ卷（非选择题，共 100 分）
二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11．设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2，则 a5=__________． 12．计算： 2 3 3 1.5 6 12 =__________．
x y 1 0， 13．已知变量 x，y 满足约束条件 x y 1 0， 则 z=2x+y 的最大值为________. y 1，
∴an=2+4(n-1)=4n-2．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 分 （II）设{bn}的公比为 q， 若 q=1，则 S1=b1，S2=2b1，S3=3b1， 由已知 2 2S2 3S1 S3 ，代入得 8b1=4b1，而 b1≠0，故 q=1 不合题意． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„ „„„7 分 若 q≠1，则 S1=b1， S 2 于是 2 2
6．已知函数 f (x)= ka x a x (a>0，且 a≠1)在 R 上是奇函数，且是增函数，则函 数 g(x)=loga(x-k)的大致图象是
y y y y
O
1
2
x
1页） 1 x 1 页（共 10 2 数学（理科）试题第
-1
O
O
x
-1 O
1
x
A． 7．若正数 a，b 满足 A．1 8．已知函数 f (x)=sin(
18．解： （I）由已知 A=2， 且有 2 sin( 0 ) 3 ，即 sin 由| |<
3 ， 2
2
得
3
．
又∵ 最高点为(1，2)， ∴ 2 sin(
3
) 2，解得
6
．
数学（理科）试题第 5 页（共 10 页）
∴ y 2 sin( x ) ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 分 6 3 （II）∵ B 点的横坐标为 3，代入函数解析式得 yB 2sin( 3 ) =1， ∴ BD 12 (4 3)2 2 ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8 分 在△BCD 中，设∠CBD=θ，则∠BDC=180º -120º -θ=60º -θ． 由正弦定理有 ∴ CD
∴ f ( x)max 1 2 ． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8 分 （II）由题意得 1 2 sin(2 x ) ≥0，即 sin(2 x ) ≤
π 4
π 4
2 ， 2
π 9π 3π ≤ 2 x ≤ 2kπ ，k∈Z， 4 4 4 π 整理得 kπ ≤x≤ kπ π ，k∈Z． 4
（Ⅰ）若函数 f (x)的图象在 x=0 处的切线方程为 y=2x+b，求 a，b 的值； （Ⅱ）若函数 f (x)在 R 上是增函数，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）如果函数 g(x)=f (x)-( a
x1 x2 ln 2a ． 2 1 2 )x 恰有两个不同的极值点 x1，x2，证明： 2
已知函数 f (x)=x2+bx+2，g(x)=|x2-1|，x∈R． （Ⅰ）若函数 f (x)满足 f (3+x)=f (-x)，求使不等式 f (x)≥g(x)成立的 x 的取 值集合； （Ⅱ）若函数 h(x)= f (x)+g(x)+2 在(0，2)上有两个不同的零点 x1，x2，求实 数 b 的取值范围． 20． （本题满分 13 分） 已知函数 y lg(1 tx x2 ) 的定义域为 M ，其中 t∈R． （Ⅰ）若 t
BD CD BC ， sin120 sin sin(60 )
π 6
π 3
2 6 2 6 sin ， BC sin(60 ) ， 3 3 2 6 [sin sin(60 )] 3
„„„„„„„„„„„„„9 分
∴ BC CD
2 6 3 1 [sin cos sin ] 3 2 2
2．对于非零向量 a，b， “a // b”是“a+b=0”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
3．若向量 a=(1，2)，b=(1，-1)，则 2a+b 与 b 的夹角为 A．0 B．
3
C．
2
D．π
4．已知命题 p： 2 是有理数，命题 q：空集是集合 A 的子集，下列判断正确 的是 A．p∨q 为假命题 C．( p)∨( q)为假命题 5．下列不等式中，正确的是 A．sin1º > cos1 C．sin1 < sin2 B．sin1 > cos1º D．sin2 < sin3 B．p∧q 为真命题 D．( p)∧( q)为假命题
3 ，求函数 f (x)= 3 4x 2x2 在 M 上的最小值及相应的 x 的值； 2 2x t 满足 g ( x1 ) g ( x2 ) 3 ，求 t x2 1
（Ⅱ）若对任意 x1，x2 M ，函数 g ( x) 的取值范围． 21． （本题满分 14 分）
1 已知函数 f ( x) e x x 2 ax （a∈R） ． 2
绵阳市高 2014 届级第一次诊断性考试
数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分． CBCDC ABBAD 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11．9 12．6 13．5 14． ( ， e2 )
1 e
15．①④
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解： （Ⅰ） cosx≠0 知 x≠kπ，k∈Z， 即函数 f (x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠kπ，k∈Z}．„„„„„„„„„3 分 又∵ f ( x)
1 或 x≥1， 2
1 ． 2
∴ 综上知，使不等式 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|x≤
1 或 x=1}． 2
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ „7 分
2 x 2 bx 3，x 1或x 1， （II） h( x) 1 x 1， bx 5，
绵阳市高中 2014 届第一次诊断性考试
数 学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合 A={x|1<x<4}，集合 B={y|y2<4}，则 A∩B= A． C．(1，2) B．{1，2} D．(1，4)
数学（理科）试题第 2 页（共 10 页）
x2)≥f (x1)+ f (x2)成立，则称函数为“美好函数” ．给出下列结论： ① 若函数 f (x)为美好函数，则 f (0)=0； ② 函数 g(x)=2x-1(x∈[0， 1])不是美好函数； ③ 函数 h(x)=xα(α∈(0，1)，x∈[0， 1])是美好函数； ④ 若函数 f (x)为美好函数，且 x0∈[0，1] ，使得 f(f (x0))=x0，则 f (x0)=x0． 以上说法中正确的是___________． （写出所有正确结论的序号） 三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明．证明过程或演 算步骤． 16． （本题满分 12 分） 已知函数 f ( x)
解得 2kπ 结合 x≠kπ，k∈Z 知满足 f(x)≥0 的 x 的取值集合为 {x| kπ
π ≤x< kπ π ，k∈Z}．„„„„„„„„„„„„„„„„„„12 分 4
17．解： （I）设{an}的公差为 d，则由题知
a1 3d 14， 解得 a1=2，d=4． „„„„„„„„„„„„„„4 分 a1 4d a1 7d 48，
B．
C．
D．
1 1 1 9 1 ，则 的最小值为 a b a 1 b 1
B．6
C．9
D．16
kx )，其中 k>0，若当自变量 x 在任何两个整数间（包 4 6
括整数本身）变化时，至少含有 2 个周期，则最小的正整数 k 为 A．50 B．51 C．12 D．13
4 5 ， sin( ) ，则 tan 为 5 5
14．已知 f (x)是 R 上的减函数，A(3，-1)，B(0，1)是其图象上两个点，则不等 式| f (1+lnx)|<1 的解集是__________． 15．对于定义域为 [0， 1]的函数 f (x)，如果同时满足以下三条：①对任意的 x ∈[0， 1] ， 总有 f (x)≥0； ②f (1)=1； ③若 x1≥0， x2≥0， x1+x2≤1， 都有 f (x1+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 x 1或x 1， x 1， g ( x) 2 1 x 1， 1 x ，
当 x≤-1，或 x≥1 时，由 f(x)≥g(x)有 x2-3x+2≥x2-1，解得 x≤1， ∴ 此时 x 的范围为 x≤-1，或 x=1． 当-1<x<1 时，由 f(x)≥g(x)有 x2-3x+2≥1-x2，解得 x≤ ∴ 此时 x 的范围为-1<x≤
)， 2
A
x∈[0，3]的图象，且最高点为 S(1，2)， 折线段 AOD 为固定线路， 其中 AO= 3 ， （Ⅰ）求 A，ω，φ 的值； （Ⅱ）应如何设计，才能使折线段道路 BCD 最长？ 19． （本题满分 12 分）
数学（理科）试题第 3 页（共 10 页）
O
1
3
OD=4，折线段 BCD 为可变线路，但为保证驾驶安全，限定∠BCD=120º．
sin 2 x(sin x cos x) ． cos x
（Ⅰ）求函数 f (x)的定义域及最大值； （Ⅱ）求使 f ( x) ≥0 成立的 x 的取值集合． 17． （本题满分 12 分） 已知{an}为等差数列，且 a4=14，a5+a8=48． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设 Sn 是等比数列{bn}的前 n 项和，若 b1=a1，且 3S1，2S2，S3 成等差 数列，求 S4． 18． （本题满分 12 分） 安通驾校拟围着一座山修建一条环形训 练道路 OASBCD，道路的平面图如图所 示（单位：km） ，已知曲线段 ASB 为函 数 y=Asin(ωx+φ) (A>0， 0<ω<1， |φ|<
b1 (1 q 2 ) b (1 q 3 ) ， S3 1 ， 1 q 1 q
b1 (1 q 2 ) b (1 q 3 ) 3b1 1 ， 1 q 1 q
整理得：4q2=3q+q3，解得 q=0（舍去） ，q=1（舍去） ，q=3， „„„10 分 ∴ S4
2 (1 34 ) 80 ． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12 分 1 3
9．已知 ， 都是锐角，且 cos A．2 B．
2 11
2 2 或2 D． 或-2 11 11 1 10．已知 O 为△ABC 的外心， cos A ，若 AO AB AC ，则 的最 3
C．
大值为 A．
1 3
B．
2 6 sin( ) ． 3 3
∴ 当且仅当
6
时，折线段 BCD 最长，最长为
2 6 千米．„„„„12 分 3
19．解： （I）由于 f(3+x)=f(-x)知函数 f (x)关于 x 即
3 对称， 2
b 3 2 ，解得 b=-3，于是 f(x)=x -3x+2．„„„„„„„„„„„„3 分 2 2
2 sin x cos x(sin x cos x) 1 cos 2x 2 sin2 x 2 sin x cos x 2 sin 2x cos x 2 1 (sin 2 x cos 2 x)
数学（理科）试题第 4 页（共 10 页）
1 2 sin(2 x ) ， 4
1 2
C．
2 3
D．
3 4
第Ⅱ卷（非选择题，共 100 分）
二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11．设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2，则 a5=__________． 12．计算： 2 3 3 1.5 6 12 =__________．
x y 1 0， 13．已知变量 x，y 满足约束条件 x y 1 0， 则 z=2x+y 的最大值为________. y 1，
∴an=2+4(n-1)=4n-2．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 分 （II）设{bn}的公比为 q， 若 q=1，则 S1=b1，S2=2b1，S3=3b1， 由已知 2 2S2 3S1 S3 ，代入得 8b1=4b1，而 b1≠0，故 q=1 不合题意． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„ „„„7 分 若 q≠1，则 S1=b1， S 2 于是 2 2
6．已知函数 f (x)= ka x a x (a>0，且 a≠1)在 R 上是奇函数，且是增函数，则函 数 g(x)=loga(x-k)的大致图象是
y y y y
O
1
2
x
1页） 1 x 1 页（共 10 2 数学（理科）试题第
-1
O
O
x
-1 O
1
x
A． 7．若正数 a，b 满足 A．1 8．已知函数 f (x)=sin(
18．解： （I）由已知 A=2， 且有 2 sin( 0 ) 3 ，即 sin 由| |<
3 ， 2
2
得
3
．
又∵ 最高点为(1，2)， ∴ 2 sin(
3
) 2，解得
6
．
数学（理科）试题第 5 页（共 10 页）
∴ y 2 sin( x ) ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 分 6 3 （II）∵ B 点的横坐标为 3，代入函数解析式得 yB 2sin( 3 ) =1， ∴ BD 12 (4 3)2 2 ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8 分 在△BCD 中，设∠CBD=θ，则∠BDC=180º -120º -θ=60º -θ． 由正弦定理有 ∴ CD
∴ f ( x)max 1 2 ． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8 分 （II）由题意得 1 2 sin(2 x ) ≥0，即 sin(2 x ) ≤
π 4
π 4
2 ， 2
π 9π 3π ≤ 2 x ≤ 2kπ ，k∈Z， 4 4 4 π 整理得 kπ ≤x≤ kπ π ，k∈Z． 4
（Ⅰ）若函数 f (x)的图象在 x=0 处的切线方程为 y=2x+b，求 a，b 的值； （Ⅱ）若函数 f (x)在 R 上是增函数，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）如果函数 g(x)=f (x)-( a
x1 x2 ln 2a ． 2 1 2 )x 恰有两个不同的极值点 x1，x2，证明： 2
已知函数 f (x)=x2+bx+2，g(x)=|x2-1|，x∈R． （Ⅰ）若函数 f (x)满足 f (3+x)=f (-x)，求使不等式 f (x)≥g(x)成立的 x 的取 值集合； （Ⅱ）若函数 h(x)= f (x)+g(x)+2 在(0，2)上有两个不同的零点 x1，x2，求实 数 b 的取值范围． 20． （本题满分 13 分） 已知函数 y lg(1 tx x2 ) 的定义域为 M ，其中 t∈R． （Ⅰ）若 t
BD CD BC ， sin120 sin sin(60 )
π 6
π 3
2 6 2 6 sin ， BC sin(60 ) ， 3 3 2 6 [sin sin(60 )] 3
„„„„„„„„„„„„„9 分
∴ BC CD
2 6 3 1 [sin cos sin ] 3 2 2
2．对于非零向量 a，b， “a // b”是“a+b=0”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
3．若向量 a=(1，2)，b=(1，-1)，则 2a+b 与 b 的夹角为 A．0 B．
3
C．
2
D．π
4．已知命题 p： 2 是有理数，命题 q：空集是集合 A 的子集，下列判断正确 的是 A．p∨q 为假命题 C．( p)∨( q)为假命题 5．下列不等式中，正确的是 A．sin1º > cos1 C．sin1 < sin2 B．sin1 > cos1º D．sin2 < sin3 B．p∧q 为真命题 D．( p)∧( q)为假命题
3 ，求函数 f (x)= 3 4x 2x2 在 M 上的最小值及相应的 x 的值； 2 2x t 满足 g ( x1 ) g ( x2 ) 3 ，求 t x2 1
（Ⅱ）若对任意 x1，x2 M ，函数 g ( x) 的取值范围． 21． （本题满分 14 分）
1 已知函数 f ( x) e x x 2 ax （a∈R） ． 2
绵阳市高 2014 届级第一次诊断性考试
数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分． CBCDC ABBAD 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11．9 12．6 13．5 14． ( ， e2 )
1 e
15．①④
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解： （Ⅰ） cosx≠0 知 x≠kπ，k∈Z， 即函数 f (x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠kπ，k∈Z}．„„„„„„„„„3 分 又∵ f ( x)
1 或 x≥1， 2
1 ． 2
∴ 综上知，使不等式 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|x≤
1 或 x=1}． 2
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ „7 分
2 x 2 bx 3，x 1或x 1， （II） h( x) 1 x 1， bx 5，
绵阳市高中 2014 届第一次诊断性考试
数 学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合 A={x|1<x<4}，集合 B={y|y2<4}，则 A∩B= A． C．(1，2) B．{1，2} D．(1，4)
数学（理科）试题第 2 页（共 10 页）
x2)≥f (x1)+ f (x2)成立，则称函数为“美好函数” ．给出下列结论： ① 若函数 f (x)为美好函数，则 f (0)=0； ② 函数 g(x)=2x-1(x∈[0， 1])不是美好函数； ③ 函数 h(x)=xα(α∈(0，1)，x∈[0， 1])是美好函数； ④ 若函数 f (x)为美好函数，且 x0∈[0，1] ，使得 f(f (x0))=x0，则 f (x0)=x0． 以上说法中正确的是___________． （写出所有正确结论的序号） 三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明．证明过程或演 算步骤． 16． （本题满分 12 分） 已知函数 f ( x)
解得 2kπ 结合 x≠kπ，k∈Z 知满足 f(x)≥0 的 x 的取值集合为 {x| kπ
π ≤x< kπ π ，k∈Z}．„„„„„„„„„„„„„„„„„„12 分 4
17．解： （I）设{an}的公差为 d，则由题知
a1 3d 14， 解得 a1=2，d=4． „„„„„„„„„„„„„„4 分 a1 4d a1 7d 48，
B．
C．
D．
1 1 1 9 1 ，则 的最小值为 a b a 1 b 1
B．6
C．9
D．16
kx )，其中 k>0，若当自变量 x 在任何两个整数间（包 4 6
括整数本身）变化时，至少含有 2 个周期，则最小的正整数 k 为 A．50 B．51 C．12 D．13
4 5 ， sin( ) ，则 tan 为 5 5
14．已知 f (x)是 R 上的减函数，A(3，-1)，B(0，1)是其图象上两个点，则不等 式| f (1+lnx)|<1 的解集是__________． 15．对于定义域为 [0， 1]的函数 f (x)，如果同时满足以下三条：①对任意的 x ∈[0， 1] ， 总有 f (x)≥0； ②f (1)=1； ③若 x1≥0， x2≥0， x1+x2≤1， 都有 f (x1+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 x 1或x 1， x 1， g ( x) 2 1 x 1， 1 x ，
当 x≤-1，或 x≥1 时，由 f(x)≥g(x)有 x2-3x+2≥x2-1，解得 x≤1， ∴ 此时 x 的范围为 x≤-1，或 x=1． 当-1<x<1 时，由 f(x)≥g(x)有 x2-3x+2≥1-x2，解得 x≤ ∴ 此时 x 的范围为-1<x≤