画法几何 两立体相交
两立体相交
特殊点
3.取点 3.取点
4.光滑连线， 4.光滑连线，判别可见性 光滑连线 5.整理轮廓线， 5.整理轮廓线，完成作图 整理轮廓线 已知两圆柱的三面投影，求它们的相贯线。 例1 已知两圆柱的三面投影，求它们的相贯线。
五.柱柱相贯
例2
五.柱柱相贯
两轴线正交的圆柱，其相贯线一般有三种情况： 两轴线正交的圆柱，其相贯线一般有三种情况：
吉林化工学院自编教材
§3.3 两立体相交 §3.3 Intersection of Two Solid s
重点及难点
重点： 重点：利用立体投影的积聚性求解相贯线 的 画法。 画法。 难点：1.相贯线上特殊点的确定 相贯线上特殊点的确定； 难点：1.相贯线上特殊点的确定； 2.轮廓线的整理 轮廓线的整理。 2.轮廓线的整理。
七.模糊画法
三.影响相贯线形状的因素
四.相贯线的解
思路
方法
步骤
求两个曲 两个曲 求它 贯线 实质 求它 们 共 。 图时， 图时， 求 ， 别 可见 ， 将各 光 连 来， 贯线。 贯线。
积 求 辅 求
积 求 贯线 骤：
四.相贯线的求解
利用积聚性法求解相贯线的作图步骤
1.空间分析 1.空间分析 两立体相对位置关系， 两立体相对位置关系， 相贯线的空间形状特点 2.投影分析： 2.投影分析： 投影分析 利用积聚性求出 相贯线的两面投影 极限位置点 转向轮廓线上的点 对称相贯线在对称面上的点 一般点 端点 足够量
一.相贯线的定义
两立体相交， 表面产生的交线称为相贯线。 两立体相交，其表面产生的交线称为相贯线。两立 产生的交线称为相贯线 体称为相贯体。 体称为相贯体。
二.相贯线的性质
相贯线是两个立体表面的共有线， 1. 相贯线是两个立体表面的共有线，也是两个立体表面的分界 相贯线上的点是两个立体表面的共有点。 线。相贯线上的点是两个立体表面的共有点。 两个立体的相贯线一般为封闭的空间曲线， 2. 两个立体的相贯线一般为封闭的空间曲线，特殊情况下可能 是平面曲线或直线。 是平面曲线或直线。
画法几何立体表面的交线
1’
4’
5’
2’
3’
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影和 侧面投影已知，正面投影为 双曲线并反映实形；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ
1” 、ⅡⅢ；
3 求出一般点ⅣⅤ ；
4”(5”) 4 光滑且顺次地连接各点，
作出截交线，并且判别可见 性；
5 整理轮廓线。
2”(3”)
24
1 53
点击动画
点击动画
例10 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。
4 整理轮廓线。
y
a1
4
s
y
2 b
例3 求立体截切后的投影
6
（5）4
1
2 （3）
35
1
6
24
6
5
4
3 1 2 Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
5.1.2 平面与曲面立体相交
曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直 线所围成的平面图形或多边形。
截交线
点击动画
截交线
点击动画
1. 平面与圆柱相交
截平面平行于轴线， 交线为平行于轴线的 两条平行直线
1. 表面取点法
表面取点法求作相贯线的一般步骤
（1）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和 相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况 （平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置， 两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相 贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。
1’ 6’
2’(3’) 4’(5’)
1”
3” 5” 6”
2” 4”
6 1
5 3
2 4
例11 已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。
两立体表面相交
图3.31 圆柱与圆锥正交的相贯线
（3）顺序连接各点并判别可见性
依次光滑连接各点的正面投影，由于相贯线前后对称，可见与不可见投影重合， 画一段粗实线，即得到相贯线的正面投影。如图3.25d所示。 2. 两正交圆柱相贯线的三种形式 如表3-4所示，圆柱相贯线有两外表面相贯、外表面与内表面相贯（垂直圆柱轴 线穿孔）、两内表面相贯三种形式。相贯线的形状和求作方法是完全相同的。
(a)
(b)
(c)
(d)
图3.26 正交两圆柱相贯线的弯曲趋向
4.相贯线的近似画法 两不等直径的圆柱体（或圆孔）轴线垂直相交，当两圆柱正交且直径相差较大 （直径之比>=1.5），并且对交线形状的准确度要求不高时，允许用大圆柱的半 径作圆弧来代替相贯线，或用直线代替非圆曲线。如图3.27所示。
(a) 用圆弧代替相贯线
(b) 用直线代替相贯线
图3.27 相贯线的近似画法（一）
在不致引起误解时，如图3.28a所示两圆柱偏交的相贯线，可用直线代替，如图3.28b所示。
(a)
(b)
图3.28 相贯线的近似画法（二）
3.29
也可采用模糊画法表示相贯线。如图3.29a所示的圆柱与圆锥相交的相贯线，可按如图 3.29b所示的形式画出。
图
相 贯 线 的 近 似 画 法 （ 三 ）
(a)
(b)
1.2利用辅助平面法求相贯线 当两相交回转体的投影都没有积聚性时，相贯线需要用辅助平面法求解。 1.辅助平面法的作图原理 辅助平面法主要是根据三点共面的原理。如图3.30所示，当圆柱与圆锥相交时， 为求得公有点，可假想用一个平面P（辅助平面）截切圆柱和圆锥。平面P与圆
画法几何：第九周 立体与立体相交
• 辅助球面法——同心球面法
若将球心放在回转体的轴线上，球将与回转体相交产生 交线——垂直于轴线的圆。
辅助球面法：以球面为辅助面，利用三面共点原理找点。
a’ k’ l’ b’ c’≡d’
d
a
b
k
l
c
分析：
a”≡b”
两圆柱体正交，相贯线是前后及左
d”
k”≡l” c”
右分别对称的封闭空间曲线；其水平投
影和侧面投影均为已知，即：水平投影
积聚在俯视图的小圆上，侧面投影积聚
在左视图中大圆上方圆弧上。
作图步骤：
* 作特殊点A、B、C、D；
* 求中间点K、L；
* 光滑连接曲线;
d' 1'6' 4' c' 5' 2' 8'
3'7'
6”(4 ”)8”
1” 5” 2” 3” 7”
1 5 64 (3) 7 d 8 c
2
《画法几何》
P5H
第9周 立体与立体相交
作图： (1)选辅助面(正平面); (2)求斜圆柱轮廓线与半 球的交点; (3)求中间点； (4)判断可见性并连线； (5)补画轮廓线；
第9周 立体与立体相交
*
9.1 平面体与回转体相交
相贯线是由若干段平面曲线或直线组 成的空间折线，每一段都是平面体的棱面 与回转体表面的交线。
求相贯线的实质是求各棱面与回转 面的截交线。
《画法几何》
第9周 立体与立体相交
*
【例】已知三棱柱与圆柱相贯的俯视图和左视图，求作主视图。
虚线
圆柱轮廓线终点
《画法几何》
第9周 立体与立体相交
3*
两立体相交ppt
研究现状和问题
研究现状
目前对于两立体相交的研究已经取得了一定的成果，但还存在一些问题需要 进一步探讨。
问题
现有的研究方法对于某些特殊情况下的两立体相交处理效果不理想，需要寻 找更有效的方法来处理这些情况。
02
两立体相交的基本概念
两立体相交的定义
两立体相交是指两个立体图形在某个平面上有且仅有一个公 共点。
01
如果两立体图形有且仅有一个公共点，那么它们会有一条交线
。
判断交线的形状和位置
02
根据两立体图形的形状和相对位置，可以判断交线的形状和位
置。
判断两立体图形的共有边是否为交线
03
如果两立体图形在某个方向上有且仅有一个公共点，那么这个
公共边就是它们的交线。
03
两立体相交的作图方法
辅助平面法
定义
辅助平面法是一种通过引入一 个或多个辅助平面来寻找两立
机械制造工艺
在机械制造工艺中，两立体相交可以用于制定加工路线、加工方法以及工件的定位和装夹 方案等。
在建筑设计中的应用
01
建筑结构设计
在建筑结构设计中，利用两立体相交可以设计出更加合理的建筑结构
，提高建筑物的稳定性和承载能力。
02
建筑外观设计
在建筑外观设计中，利用两立体相交可以创造出更加独特和美观的建
06
结论与展望
研究结论
确认了两个立体相交的结论 分析了相交的影响因素
发现了相交的规律和特征 总结了相交的实践意义
研究不足与展望
研究深度有待加强
需要进一步探讨相交的机制和原 理
研究范围不够广泛
缺乏定量分析的数据支持
需要进一步拓展应用场景和实践 意义
立体与立体相交
1 小圆柱
正 交
2 大圆柱
32
擦除多余的作图线后的结果
整理课件
33
［例题十］ 补全图中所缺的交线
PV
y 圆柱 y
形作体图分步析骤 1. 求小该圆模柱型与由圆两台个的圆交线； PW 2.柱。求和其两一中圆个大柱圆圆的台柱交组与线成圆。
台同轴，小圆柱与 圆台的轴线垂直。
圆台
一般选择投影面平行面作为辅助平面
整理课件
24
［例题七］求圆柱与圆锥的交线
● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
整理课件
解题步骤：
★ 求特殊点 ★ 用辅助平面法求中间点 ★ 光滑连接各点
25
擦除多余的作图线后的结果
整理课件
26
作业
P42 P43 P44（14）
整理课件
27
［例题八］求作两曲面体的交线
作图方法
的线棱上面的是点正。平面，前面
两个棱面是与正立面倾
斜• 的求铅交垂线面正。 面投影 上虚实的分界点。
作图方法 辅助平面
２法。. 求用一一般个位正平置面点来。切
此模型，则切三棱柱前
SH
３线面 两线.的的 条为连两 交圆可线个 线弧见。棱 ， 。性注面 切 棱。分 球 面意别 面 上轮产 的 的廓生 交 交
整理课件
2
3.相贯线作图的一般方法
★ 空间分析 1.相贯两立体的表面性质（外表面或内表面）。
2.相贯两立体相互位置。
3.相贯两立体的相对大小。
整理课件
3
4.相贯两立体对投影面位置。
●
●
两立体表面相交
e
f
a
b
c
d
EA
D
C
三、曲面立体与曲面立体相交
两曲面立体相贯，其相贯线一般为光滑的封闭空间曲线。 相贯线上的点，是两曲面立体表面上的共有点。
圆柱相贯线
圆柱和圆柱相交时，如果它们的轴线垂直相交，称之为正交。一般情况下， 正交时相贯线为空间曲线，且有两个对称面，相贯线在两个柱面反映圆的视图上 的投影为圆和圆弧，相贯线在两个柱面不反映圆的视图上的投影为曲线，曲线的 求法可采用表面取点法。
【分析】内圆柱面和内圆柱面相贯时，若两孔的直径相等，产生的相 贯线的空间形状也为椭圆或椭圆弧，在柱面不反映圆的视图上的投影 也积聚为直线，只是不可见，应画成虚线。圆孔和圆孔相贯时，要特 别注意内孔的转向轮廓线，在相贯区域，孔的转向轮廓线应断开。
常见错误画法
圆柱相贯线
2）、两圆柱体直径相等且轴线相交
•c"
2" • • •1"
b"
分析：圆柱与圆锥的轴线 相互垂直，圆柱的轴线是 侧垂线，圆锥的轴线是铅 垂线。相贯线的侧面投影 积聚在圆柱侧面投影的圆 周上。用辅助平面法作图。
作图：求特殊点 A、B是 最高点和最低点；过圆柱 的最前、最后转向轮廓线 作辅助水平面，可求得相 贯线最前、最后点的投影。
求一般点 作辅助水平面。
动画
辅助平面法求锥面和球面的交线
பைடு நூலகம்
4、相贯线的特殊情况
两回转体共轴线相交: 两回转体有一个公共轴线相交时，它们的相贯线都是 平面曲线——圆。
圆柱与圆锥共轴 圆柱与球共轴 圆锥与圆球共轴
特殊情况下,相贯线为平面曲线或直线.
相贯线为圆
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2.8 两立体相交2.8.1 两平面立体相交2.8.2 平面立体与曲面立体相交2.8.3 两曲面立体相交概述两立体相交也称两立体相贯，这样的立体称为相贯体。
两立体表面的交线称为相贯线，相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点都是两立体表面的共有点。
相贯线的形状由两立体的形状和它们的相对位置所确定。
当一个立体全部贯穿另一个立体时，称为全贯，有两组相贯线；但当一个立体全部穿进另一立体后，不穿出来了，虽属全贯，便只有一组相贯线。
当两个立体互相贯穿时，称为互贯，两立体互贯时，只有一组相贯线。
相贯线各段投影的可见性，由两个立体交出这段相贯线的表面的可见性所确定：只有当两个立体的表面都是可见时，相贯线段的投影才可见；否则相贯线段的投影不可见。
2.8.1 两平面立体相交两平面立体的相贯线通常是封闭的空间折线；有时也可能是一个平面多边形，即封闭的平面折线；在特殊情况下，还可能是不封闭的。
每段折线是两个平面立体上有关表面的交线，折点则是一个立体的轮廓线与另一立体的贯穿点。
求作两平面立体的相贯线常采用两种方法：一种方法是分别作出立体的诸棱线与另一立体的贯穿点，然后将既位于一个立体的同一表面上、又位于另一立体的同一表面上的两点依次连成相贯线；另一种方法是顺次求作两立体有关表面的交线。
有时，也将这两种方法联合使用。
当立体表面的投影有积聚性时，则可利用投影的积聚性求作相贯线。
面投影。
图2.185 作两三棱柱的相贯线，并补全相贯体的正面投影(a)已知条件(b)解题分析［解］(c)作图过程和结果(d)清理图面后的投影图①补全棱线的正面投影②作出诸棱线与另一三棱柱的贯穿点③连相贯线的正面投影，并表明可见性④补全相贯体的正面投影（完成作图）体的水平投影和侧面投影。
图2.186 作三棱柱与三棱锥的相贯线，并补全投影［解］①作诸棱线的贯穿点和两立体的相贯线②补全相贯体的水平投影和侧面投影(a)已知条件(b)解题分析(c)作图过程和结果(d)清理图面后的投影图（完成作图）如图2.187a 所示，三棱锥被前后穿通了一个正三棱柱形状的贯通孔，求作孔口线的水平投影，补全这个具有三棱柱贯通孔的三棱锥的水平投影，并作出它的侧面投影。
图2.187 补全具有三棱柱孔的三棱锥的投影［解］①作未开孔时的三棱锥的侧面投影②作前后两组孔口线的水平投影和侧面投影(a)已知条件(b)解题分析(c)作图过程和结果(d)清理图面后的投影图③画出孔壁交线的投影，补全水平投影和侧面投影（完成作图）如图2.188a 所示，有一座双坡屋顶的房屋，在前墙面的中部又向前接出一座稍低的双坡屋顶的房屋，求作两座房屋的相贯线；在屋脊处，有一个前后对称的烟囱，求作烟囱与房屋的相贯线；并补全它们的水平投影和正面投影。
图2.188 作房屋的相贯线，并补全投影［解］①作两座房屋的相贯线的水平投影，并补全这个模型的水平投影②作烟囱和侧垂房屋的相贯线的正面投影，补全这个模型的正面投影(a)已知条件(b)解题分析(c)作图过程和结果（完成作图）求平面立体与曲面立体的相贯线，可归结为求平面立体的表面与曲面立体的截交线，以及求平面立体的轮廓线与曲面立体的贯穿点。
如图2.189a 所示，求作三棱柱与圆锥的相贯线，补全相贯体的三面投影。
2.8.2 平面立体与曲面立体相交图2.189 作三棱柱与圆锥的相贯线，补全三面投影(a)已知条件［解］①作出未求作相贯线时的相贯体的侧面投影轮廓②作相贯线的水平投影和侧面投影③补全相贯体的水平投影(b)用纬圆法求解(c)用素线法求解（完成作图）如图2.190a 所示，求作具有三棱柱贯通孔的圆锥的三面投影。
图2.190 具有三棱柱贯通孔的圆锥(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］具有三棱柱贯通孔的圆柱，可以看作是图2.189所示的相贯体抽掉了整个三棱柱所形成的，因此，孔口线的作法完全与相贯线的作法相同，只是抽掉了整个三棱柱后，孔口线的水平投影都可见而全部画成粗实线。
此外，还应画出三棱柱孔的三条壁面之间的交线。
图2.191 作正三棱柱与半球的相贯线，补全投影［解］如图2.191a 所示，求作正三棱柱与半球的相贯线的正面投影，补全相贯体的正面投影，并作出相贯体的侧面投影。
①作出未求作相贯线时的相贯体的侧面投影轮廓②作相贯线的正面投影和侧面投影③补全相贯体的正面投影（完成作图）(a)已知条件(b)作图过程和结果(c)清理图面后的投影图Wang chenggang 第2章画法几何 2.8 两立体相交2018/1/2011图2.192 具有三棱柱孔的半球的三面投影［解］如图2.192a 所示，求作具有三棱柱孔的半球的三面投影。
①作出未求作相贯线时的相贯体的侧面投影轮廓②作相贯线的正面投影和侧面投影③补全相贯体的正面投影（完成作图）(a)已知条件(b)作图过程和结果(c)清理图面后的投影图Wang chenggang 第2章画法几何 2.8 两立体相交2018/1/2012图2.193 作坡屋面与半圆拱屋面的交线，补全投影［解］如图2.193a 所示，作房屋的坡屋面与半圆拱屋面的交线，并补全这个房屋的水平投影。
①作出左、右坡屋面与前半拱屋面的交线的端点，并补全坡屋面屋脊线的水平投影。
②作出两条交线的若干中间点，连出两条交线的水平投影。
（完成作图）(a)已知条件(b)作图过程和结果2.8.3 两曲面立体相交两曲面立体的相贯线，在一般情况下是封闭的空间曲线；在特殊情况下可能是平面曲线；有时也可能由直线或直线和曲线所组成。
求作两曲面立体的相贯线时，除了相贯线段是直线或平行于投影面的圆可以直接求作外，通常是先作出两曲面立体表面上的一些共有点，然后将这些点连成相贯线。
求作相贯线上的点时，与求作截交线相类似，首先要在可能和作图较方便的情况下，作出能控制相贯线的形状和范围的特殊点。
特殊点包括转向轮廓线上的点；极限位置点，也就是最左、最右、最前、最后、最高、最低的点；对称的相贯线在对称平面上的点等。
然后，按需在相贯线上的点较稀疏处或曲率变化较大处求作一些一般点。
最后，将这些相贯线上的点连成相贯线。
1.用表面取点法和辅助平面法作两曲面立体的相贯线图2.194 作两圆柱的相贯线(a)已知条件(b)用表面取点法作图［解］如图2.194a 所示，求作两圆柱的相贯线。
①作相贯线上的特殊点。
②作相贯线上的一般点。
法一：用表面取点法③将作出的诸点连成相贯线。
（完成作图）如图2.194a 所示，求作两圆柱的相贯线。
［解］图2.194 作两圆柱的相贯线(c)选择辅助平面(d)用辅助平面法作图①选择辅助平面，作相贯线上的特殊点。
②作相贯线上的一般点。
法二：用辅助平面法③将作出的诸点连成相贯线。
（完成作图）(a)两实心圆柱相交图2.195 两圆柱的相贯线的三种不同形式(b)圆柱孔与实心圆柱相交图2.195 两圆柱的相贯线的三种不同形式(c)两圆柱孔相交图2.195 两圆柱的相贯线的三种不同形式(a)两实心圆柱相交(b)圆柱孔与实心圆柱相交(c)两圆柱孔相交图2.195 两圆柱的相贯线的三种不同形式如图2.196a 所示，求作具有半圆柱槽和圆柱贯通孔的半圆柱的正面投影。
图2.196 作正面投影［解］①作出未画相贯线时的这个半圆柱的正面投影。
②作铅垂圆柱贯通孔的孔口线。
③作铅垂圆柱贯通孔壁与半圆柱槽壁的左、右两组交线。
(a)已知条件(b)作半圆柱的正面投影(c)作相贯线的正面投影（完成作图）(d)清理图面后的作图结果如图2.197a 所示，作圆台与半球的相贯线，并补全相贯体的投影。
图2.197 补全相贯体的投影［解］①作相贯线上的特殊点。
②作相贯线上的一般点。
③连出相贯线的三面投影，并补全这个相贯体的侧面投影。
(a)已知条件(b)选择辅助平面(c)作图过程和结果（完成作图）(d)清理图面后的投影图2.两曲面立体在特殊情况下的相贯线如果两个曲面立体的直纹面恰巧交于共同的直线素线，则产生直线的相贯线段。
(a)相贯线由直线和曲线组成(b)相贯线由直线组成图2.198 两曲面立体的相贯线的特殊情况示例两曲面立体的相贯线为平面曲线有两种比较常见的特殊情况：(1)两同轴回转体的相贯线是垂直于轴线的圆。
(a)已知条件(b)作图结果图2.199 同轴回转体的相贯线示例(2)当两个圆柱、两个圆锥或圆柱和圆锥的轴线相交，且都平行于同一个投影面，当它们能公切于一个球时，相贯线是垂直于这个投影面两个椭圆。
图2.200 圆柱或圆锥公切于一个球面时的相贯线示例(d)正交的圆锥(a)正交等径圆柱(b)斜交的等径圆柱(c)圆柱和圆锥如图2.201所示，四根柱子支承一个十字拱顶，十字拱的外壁交线和内壁交线分别都是位于两个铅垂面内的半椭圆。
(a)立体图(b)投影图图2.201 等径十字拱的相贯线示例本节学习结束！。