工程应用数学基础_12_--矩阵序列

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矩阵的基本概念和运算

矩阵的基本概念和运算矩阵是线性代数中的基本概念之一，广泛应用于数学、工程学、计算机科学和物理学等领域。

它是一个由数字排列成的矩形阵列，其中的数字称为矩阵的元素。

本文将详细介绍矩阵的基本概念和运算。

一、矩阵的基本概念矩阵由m行n列的数字排列组成，可以表示为一个m×n的矩阵。

其中，m为矩阵的行数，n为矩阵的列数。

每个元素可以用下标表示，例如矩阵A的第i行第j列的元素可以用A(i,j)表示。

二、矩阵的表示和分类矩阵可以用方括号表示，例如A = [aij]，其中aij表示矩阵A的第i 行第j列的元素。

矩阵还可以分为不同的类型，如行矩阵、列矩阵、方阵等。

行矩阵是只有一行的矩阵，可以表示为A = [a1, a2, ..., an]，其中ai 为矩阵A的第i个元素。

列矩阵是只有一列的矩阵，可以表示为A = [a1; a2; ...; an]，其中ai 为矩阵A的第i个元素。

方阵是行数和列数相等的矩阵，可以表示为A = [aij]，其中i和j都从1到n。

三、矩阵的运算1. 矩阵的加法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法可以定义为A + B = [aij+ bij]，其中aij和bij分别为矩阵A和B的对应元素。

2. 矩阵的减法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的减法可以定义为A - B = [aij- bij]，其中aij和bij分别为矩阵A和B的对应元素。

3. 矩阵的数乘对于一个矩阵A和一个实数k，它们的数乘可以定义为kA = [kaij]，其中aij为矩阵A的元素。

4. 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，它们的乘法可以定义为C = AB，其中C的第i行第j列的元素可以表示为C(i,j) = ∑(ai,k * bk,j)，其中k从1到n，n为矩阵A和B的列数。

四、矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

例如，若A = [aij]为一个m×n的矩阵，它的转置矩阵记作AT，即AT = [aji]，其中a ji为矩阵A的第j行第i列的元素。

矩阵及应用

矩阵及应用矩阵是数学中一个非常重要的概念，它在数学和各个学科中有着广泛的应用。

在数学中，矩阵被用于解线性方程组、计算线性变换和表示向量等等。

在物理学、经济学和计算机科学等领域，矩阵也被广泛地应用于建模和计算中。

首先，让我们来了解一下矩阵的定义和基本概念。

矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，通常用方括号或圆括号表示。

一个矩阵有m行n列，可以表示为一个m×n的矩阵。

一个矩阵中的每个元素都可以用行号和列号来确定，如A[i,j]表示矩阵A的第i行第j列的元素。

矩阵的加法和数乘定义如下：设A和B是两个m×n的矩阵，k是一个数，则定义A+B和kA如下：A+B = [a[i,j] + b[i,j]]kA = [ka[i,j]]矩阵的乘法定义如下：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则定义AB如下：AB = [c[i,j]]，其中c[i,j] = a[i,1]*b[1,j] + a[i,2]*b[2,j] + ... + a[i,n]*b[n,j]矩阵的转置定义如下：设A是一个m×n的矩阵，将A的所有元素按照对角线互换得到一个n×m的矩阵，称为A的转置矩阵，记作AT。

矩阵的逆定义如下：设A是一个n×n的矩阵，如果存在一个n×n的矩阵B，使得AB = BA = In（单位矩阵），则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵。

若存在逆矩阵，则记作A-1。

接下来，我们来看看矩阵在线性方程组的求解中的应用。

对于一个线性方程组，我们可以将其转化为矩阵表示，然后通过矩阵的运算求解。

例如，对于一个二元一次方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2我们可以利用矩阵的乘法和逆矩阵来解方程组。

设A = [a1 b1; a2 b2]，X = [x, y]T，B = [c1, c2]T，则原方程组可以表示为AX = B。

如果A是可逆的，即存在A的逆矩阵A-1，则方程组的解可以表示为X = A-1B。

矩阵序列的定义

矩阵序列的定义
矩阵序列是由一系列矩阵组成的有序集合。

这种序列可以包含有限个或无限个矩阵，具体取决于问题的背景和需求。

矩阵序列在数学、线性代数、信号处理、优化问题等领域中都有广泛的应用。

一般地，如果有一个矩阵序列{A_n}，其中n 表示序列的索引（通常为整数）。

每个An都是一个矩阵。

矩阵序列可以是实数矩阵、复数矩阵或其他数域上的矩阵，具体取决于问题的背景和应用领域。

在某些情况下，矩阵序列可能满足一些特定的性质，例如收敛性、稳定性等。

例如，在数值分析中，矩阵序列的收敛性可能与某种矩阵范数有关。

在信号处理中，矩阵序列的性质可能与滤波、系统稳定性等问题有关。

矩阵序列的应用还涉及到动力系统、图论、概率论等多个领域。

在某些情况下，矩阵序列的收敛性和极限行为对于解决特定的问题非常关键。

总体而言，矩阵序列的定义是非常灵活的，具体形式会根据问题的背景和所研究的领域而有所不同。

矩阵与行列式知识点

矩阵与行列式知识点矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将介绍矩阵和行列式的基本定义与性质，以及它们在实际问题中的应用。

一、矩阵的定义与性质矩阵是由一些数按照矩形排列而成的表格。

我们用$m\timesn$表示一个矩阵，其中$m$代表矩阵的行数，$n$代表矩阵的列数。

一个矩阵的元素通常用小写字母（如$a_{ij}$）表示，其中$i$表示元素所在的行数，$j$表示元素所在的列数。

矩阵的转置是指行和列互换，转置后的矩阵用$A^T$表示。

矩阵可以进行一些基本的运算，如矩阵的加法和数乘。

对于两个相同维数的矩阵$A$和$B$，它们的加法定义为$A+B$，即将对应位置的元素相加得到新的矩阵。

对于一个矩阵$A$和一个标量$c$，它们的数乘定义为$cA$，即将矩阵$A$中的每个元素都乘以$c$得到新的矩阵。

矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

对于一个$m\times n$的矩阵$A$和一个$n\times p$的矩阵$B$，它们的乘积$AB$是一个$m\times p$的矩阵。

矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

二、行列式的定义与性质行列式是一个与方阵相关的标量值。

对于一个$n\times n$的方阵$A$，我们用$|A|$表示它的行列式。

行列式的计算主要依靠代数余子式和代数余子式矩阵。

对于方阵$A$的元素$a_{ij}$，它的代数余子式$M_{ij}$是去掉$a_{ij}$所在的行和列后的余下元素的行列式，即由$n-1$阶子方阵组成。

代数余子式矩阵$A^*$是由方阵$A$的每个元素的代数余子式按照一定的规则排布而成的矩阵。

行列式的计算方法有很多，包括拉普拉斯展开法、行列式按行展开法等。

其中，拉普拉斯展开法是最常用的方法，即选择方阵的任意一行或一列展开，并用代数余子式乘以对应元素后进行求和。

行列式具有很多重要的性质，如行列式的性质对换、行列式的性质正交等。

矩阵知识点总结图解

矩阵知识点总结图解一、矩阵的定义1.1 矩阵的概念矩阵是一个由m行n列的数域中的数字组成的矩形数组。

例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\a_{31} & a_{32} \\\end{bmatrix}\]1.2 矩阵的基本术语- 行数：矩阵中的行数为m。

- 列数：矩阵中的列数为n。

- 元素：矩阵中的每个数字称为元素，如矩阵中的a11、a12等。

- 维数：一个m行n列的矩阵的维数为m×n。

1.3 矩阵的表示矩阵可以用方括号表示，矩阵中的元素用逗号隔开，例如：\[ A = \begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}\]二、矩阵的基本运算2.1 矩阵的加法对于两个相同维数的矩阵A和B，它们的加法定义为矩阵中相应位置元素的和。

即：\[ A + B = \begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\\end{bmatrix}\]2.2 矩阵的数乘对于一个m行n列的矩阵A和一个数k，它们的数乘定义为矩阵中每个元素与k的乘积。

即：\[ kA = \begin{bmatrix}ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \\\end{bmatrix}\]2.3 矩阵的乘法对于一个m行n列的矩阵A和一个p行q列的矩阵B，若n=p，则它们的乘法定义为：\[ AB = C \]其中C是一个m行q列的矩阵，其中元素cij的计算方式为：\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} \]2.4 矩阵的转置一个m行n列的矩阵A的转置是一个n行m列的矩阵，其中元素aij转置为aji。

02《工程数学(本)》第二讲

例如
5 3
6 7
与
8 3
4 9
为同型矩阵.
2. 两个矩阵 A (aij ) 与 B (bij )为同型矩阵，并且对应元素相等，即 aij bij (i 1, 2,, m; j 1, 2,, n)
则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .
0 0 0 0
例如
0
0
0 0
0 0
0
s
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj k 1 (i 1, 2, m; j 1, 2,, n)
并把此乘积记作 C = AB．
1
例：设
A
1 0
0 1 5
1 3 1
2
0 4
,
B
0
1
3
1
3 2 1 2
4
1
1
1
5 6 7
则
AB
10 2
2 17
矩阵的定义
由 m×n 个数 aij (i 1, 2,, m; j 1, 2,, n) 排成的 m 行 n 列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵．记作
A
a11
a21
a12 a22
a1 n a2 n
纯量阵不同于对角阵
推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 E 与任何
同阶方阵都是可交换的.
(5) 矩阵的幂若 A 是 n 阶方阵，定义
Ak AAA k
显然 Ak Al Akl , (Ak )l Akl
思考：下列等式在什么时候成立？
( AB)k Ak Bk ( A B)2 A2 2AB B2 ( A B)( A B) A2 B2

矩阵和行列式基础PPT课件

也就是说：行列式对行成立的性质，对列也同样成
立，反之亦然。
11
• 性质2 对调行列式的任意两行（列），所得的行列式的绝对值不变，但符号相反。
• 推论若行列式中有两行（列）元素完全相同，则行列式为零。
性质3 某一行所有元素的公因子可提到行列式符号的外面。推论若行列式中有两行元素对应成比例，则行列式为零。
行列式和矩阵
－－－《线性代数》
1
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总体概述
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2
线性代数起源于处理线性关系问题，它是代数学的一个分支，形成于20世纪，但历史却非常久远，部分内容在东汉初年成书的《九章算术》里已有雏形论述，不过直到18—19世纪期间，随着研究线性方程组和变量线性变换问题的深入，才先后产生了行列式和矩阵的概念，为处理线性问题提供了强有力的理论工具，并推动了线性代数的发展。
21
• 矩阵的运算是线性代数的基本内容。 1849年英国数学家凯莱介绍了可逆方阵对乘法成群。凯莱 —— 毕业于剑桥三一学院，他与西勒维斯特长期合作作了大量的开创性的工作创立了矩阵论；与维尔斯特拉斯一起创立了代数型理论，奠定了代数不变量的理论基础；他对几何学的统一也有重大贡献，一生发表近千篇论文。
表示这个元素所在的行数，称为行标，第二个下标 j 表示
这个元素所在的列数，称为列标。
6
二阶行列式D的计算可用对角线法帮助记忆：主对角线上元素的乘积 - 次对角线上元素的乘积。
a11 a12＝a a －a a
a a 21 22
11 22 2112

工科数学--矩阵的概念.ppt

1 2 1
A1 A* A

1 2
0 1
2 2
2 1
B b1b2b3 0时, B可逆,
b1

B b2

b3
2019-12-2
1

b1

B 1

1 b2

1

b3
谢谢你的观看
记作
a11
A

a21
am1
a12 a22
am2

简记为 A aij mn
a1n a2n
amn
例
17 7 11 21

A 15 9 13 19
18 8 14 19
记号 A 2019-12-2
mn
实矩谢阵谢你的观看复矩阵
2019-12-2
谢谢你的观看
15
(四)方阵的行列式
定义:
由n阶方阵Ann的元素所构成的行列式, 称为方阵Ann的行列式.
记作: A 或 detA
运算规律: Ann , Bnn , 是数
1 AT A;
2 A n A;
A B. 2019-12-2 3 AB
谢谢你的观看
b3
18
解:
3 2 1 A 1 1 1
1 0 1
3 21 A 1 1 120
1 01
A11
1 11
1 0
1 1
1
A12
1 12
1 1
1 0
1
A13
1 13
1 1

矩阵与行列式的应用知识点总结

矩阵与行列式的应用知识点总结矩阵与行列式作为线性代数中的两个重要概念，在数学以及实际应用中有着广泛的应用。

本文将对矩阵与行列式的相关知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、矩阵的基本概念和运算法则1.1 矩阵的定义与表示方法矩阵是由 m 行 n 列的数按一定顺序排列成的矩形阵列。

在数学中，常用大写字母表示矩阵，例如A、B、C，其中A 是一个m×n 的矩阵，即包含 m 行 n 列。

矩阵可以用方括号表示，如 A = [a_ij]，其中 a_ij 表示矩阵 A 中第 i行第 j 列的元素。

1.2 矩阵的运算法则矩阵的加法：矩阵 A 和矩阵 B 的和记作 A + B，要求 A 和 B 的行数与列数相等，即同型矩阵，其和的计算是按照对应元素相加的规则进行的。

矩阵的减法：矩阵 A 和矩阵 B 的差记作 A - B，要求 A 和 B 的行数与列数相等，即同型矩阵，其差的计算是按照对应元素相减的规则进行的。

矩阵的数乘：矩阵 A 与一个标量 k 的乘积记作 kA，其计算是将 A的每个元素乘以 k。

矩阵的乘法：矩阵 A 和矩阵 B 的乘积记作 AB，要求 A 的列数等于B 的行数，其计算是按照矩阵乘法的规则进行的。

即 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素分别相乘，并求和。

二、行列式的基本概念和性质2.1 行列式的定义与表示方法行列式是由 n×n 的矩阵所构成的特殊数，一般用竖线或两条竖线扩起来表示，如 |A| 或 det(A)，其中 A 表示一个 n×n 的矩阵。

2.2 行列式的计算方法二阶行列式：对于二阶行列式 A = |a_ij|，其计算公式为 |A| =a_11a_22 - a_12a_21。

三阶行列式：对于三阶行列式 A = |a_ij|，其计算公式为|A| = a_11a_22a_33 + a_12a_23a_31 + a_13a_21a_32 - a_13a_22a_31 - a_11a_23a_32 - a_12a_21a_33。

矩阵的运算及在工程学中的应用

矩阵的运算及在工程学中的应用一、矩阵的运算及在工程学中的应用1、矩阵的运算矩阵是一种数学表示法，可以用来表示线性方程组或多个线性方程组之间的关联。

矩阵运算，是指对矩阵进行加、减、乘以及求逆等运算，从而，解决各种线性方程组问题。

（1）矩阵的加法矩阵的加法，是指同类型的两个矩阵相加，即两个矩阵的元素值都可以相加，形成一个新矩阵。

（2）矩阵的减法矩阵的减法，是指同类型的两个矩阵相减，形成一个新矩阵。

（3）矩阵的乘法矩阵的乘法，是指两个矩阵相乘，即每一个元素矩阵中的每一行乘以另一个矩阵的相应的列，形成一个新矩阵。

（4）矩阵的求逆矩阵的求逆，是指求出一个矩阵的逆矩阵，即一个矩阵乘以它的逆，得到的结果就是单位阵。

2、矩阵在工程学中的应用矩阵在工程学中有着广泛的应用，在解决工程问题和分析系统时都会用到矩阵。

（1）在力学中的应用矩阵在力学中有着广泛的应用，特别是与线性化理论相关的应用。

矩阵可用来表示力学系统的位置、速度和加速度，并用来分析力学系统的结构、特性和性能。

（2）在电气工程中的应用矩阵在电气工程中有着重要的应用，用矩阵可以表达不同电路的参数，如电抗，电容，电感等，并可以用矩阵运算来求解电路解析和计算过程。

（3）在电子学中的应用在电子学中，矩阵可用来表达电子元件的输入和输出参数，如电流电压系数。

矩阵运算也可用来研究及求解电子设备的性能和特性。

（4）在数据处理中的应用在数据处理中，矩阵可用来表达不同类型数据的关系，矩阵处理过程可以帮助计算机和网络等设备快速处理大量数据，从而帮助用户更快获得有用的信息。

总之，矩阵的运算是用来解决线性方程组以及处理数据关系的重要方法，在工程学中有着重要的应用，为工程师们解决工程问题提供了很大的便利。

第4讲(1)矩阵序列与矩阵函数

1 4!
A4
+L+
(−1)k (2k )!
A2k
+L
22
矩阵函数的性质
性质：设A, B为 n 阶方阵，且 AB = BA, 则 (1) d e − At = − e − At A dt (2) e AeB = eBe A = e A+B
(3) (e A )−1 = e − A
∑ Q e − At
=
∞ k=0
假设A可对角化，即存在非奇异矩阵P，使得
P −1AP
=
⎡λ1 ⎢
O
⎤ ⎥,
⎢⎣
λn ⎥⎦
则
f ( A)
=
⎡ P⎢
f
(λ1 )
O
⎤ ⎥ P −1.
⎢⎣
f (λn )⎥⎦
37
(d) Jordan标准型法
一般的，设A的Jordan标准型为J，即存在
非奇异矩阵P，使得
P −1 AP = J
⎡J1 =⎢
O
⎤ ⎥,
a
k
J
k i
收敛,
且
k=0
13
14
∞
∑ ak
J
k i
=
k=0
⎡ ⎢
f
(λi
)
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
f ′(λi ) O
1 2!
f ′′(λi )
O
L O
1 ( r −1)!
f
(r
M
−1)
(λi
)⎤ ⎥ ⎥
O
O
1 2!
f ′′(λi )
⎥ ⎥
O
f ′(λi ) ⎥
f (λi ) ⎥⎦

工程应用数学

例1–14 利用矩阵方程求解，解方程组
A

2 1
2x y 1

x

y

2
11
b 12
x

x y

则已知方程组可写为Ax=b，用A–1左乘Ax=b
的两端得A–1(Ax) = A–1b，所以x=A-1b
27
§1.2 矩阵的初等变换与逆矩阵
3 0 0
2 2 1
0 0
3 0
1 0

定理1–1 任意一个矩阵经过若干次的初等行变换可以化成阶梯形矩阵或行最简形矩阵．
12
§1.2 矩阵的初等变换与逆矩阵
例1-19
求矩阵
1 A 2
2 3
3 5
的阶梯形矩阵.
4 7 1
1 A 2
2 3
3 4

A
rrr234223rrr1
1 0 0 0
2 0 3 9
1 0 2 6
0 6 2 3
2
2
1 2

10
§1.2 矩阵的初等变换与逆矩阵
1 2 1 0 2
rr32rr43
0 0 0
3 9 0
1 0
2 3
3 | 1 0 0 6 | 4 1 0
0 6 12 | 7 0 1
即所以
B-1 B
不不存可在逆
，
1 2 3 | 1 0 0
r32r2 0 3 6 | 4
1
0
0 0 0 | 1 2 1
26
§1.2 矩阵的初等变换与逆矩阵
18
§1.2 矩阵的初等变换与逆矩阵

附录-矩阵序列与级数

mn 推论设A k A C ，，并且 k 1
lim A k A
k
Ak A 则 klim
此结论只是充分条件，反过来不一定成立。给定矩阵序列 Ak 1
Ak 显然有 lim k
F
1
k
1 k 1
和矩阵 2
1
1 0 A 1 2
lim A k lim S k 1 S k 0
k
根据例2， (A) 1 。
k
★ 级数收敛的必要条件是通项的极限为0.
充分性由 ASk = A I + A + 则有
+ A k 1 = A + A 2 +
+ Ak
Sk ASk I Ak ，( I - A) Sk = I - Ak
A
k 1

k
。
，称之为矩阵级数 A k 的前k项部分和。
k 1

S k S ，则称矩阵级数 A 收敛，若矩阵序列 S k k 1 收敛且 lim k

而矩阵S称为矩阵级数的和矩阵，记为 S = A k。不收敛的矩阵
级数称为发散的。显然，和
(i 1, 2, , m,
由 ( A) 1 ，则存在某种范数，使得 A 1 ，且（I-A）可逆又有 lim A k 0 ，根据矩阵序列极限法则，有
k
1 1 k k I A lim( I A ) I A 。 lim S lim I A ( I A ) A k k k k k 0
2 一种相容的矩阵范数，使得 A ( A) 。

矩阵知识点总结及应用

矩阵知识点总结及应用1. 矩阵基础知识矩阵是由数个元素按照行列顺序排列成的矩形阵列。

常用的表示方法是用方括号将元素括起来。

例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{bmatrix} \]2. 矩阵运算2.1 矩阵加法矩阵加法是将两个相同大小的矩阵对应位置的元素相加得到一个新的矩阵。

\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e &f \\g &h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{bmatrix} \]2.2 矩阵乘法矩阵乘法是将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列进行线性组合，得到一个新的矩阵。

\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \times\begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae+bg& af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{bmatrix} \]2.3 矩阵转置矩阵转置是将矩阵的行列互换得到一个新的矩阵。

\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^T =\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \]3. 矩阵应用3.1 线性方程组矩阵可以用来表示线性方程组，通过矩阵的加法、乘法和转置运算，可以求解线性方程组的解。

例如，对于以下的线性方程组：\[ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x - 2y = 2 \end{cases} \]可以表示为矩阵形式：\[ \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} \times\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 2\end{bmatrix} \]解矩阵方程可以得到解：\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2.2 \\ 1.4 \end{bmatrix} \]3.2 矩阵变换矩阵可以用来表示几何变换，例如平移、缩放、旋转等。

矩阵的运算及在工程学中的应用

矩阵的运算及在工程学中的应用
矩阵是数学中的一种重要工具，它可以用来表示线性方程组、线性变换、向量空间等概念。

矩阵的运算包括加法、减法、乘法等，这些运算在工程学中有着广泛的应用。

矩阵的加法和减法是比较简单的，只需要将对应位置的元素相加或相减即可。

矩阵的乘法则比较复杂，需要满足一定的条件才能进行。

矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

矩阵乘法的应用非常广泛，例如在图像处理、信号处理、机器学习等领域都有着重要的作用。

在工程学中，矩阵的应用非常广泛。

例如在电路分析中，可以使用矩阵来表示电路中的电阻、电容、电感等元件，通过矩阵运算可以求解电路中的电流、电压等参数。

在控制系统中，可以使用矩阵来表示系统的状态、输入和输出，通过矩阵运算可以设计控制器，实现对系统的控制。

在结构力学中，可以使用矩阵来表示结构的刚度矩阵、质量矩阵等，通过矩阵运算可以求解结构的应力、应变等参数。

除了矩阵的基本运算外，还有一些高级的矩阵运算，例如矩阵的转置、求逆、特征值和特征向量等。

矩阵的转置是将矩阵的行和列互换，求逆是将矩阵转化为其逆矩阵，特征值和特征向量则是矩阵在线性变换下的不变量，它们在工程学中有着重要的应用。

矩阵的运算及其在工程学中的应用是非常重要的。

熟练掌握矩阵的运算和应用，可以帮助工程师更好地解决实际问题，提高工程设计的效率和质量。

第二章矩阵

第二章矩阵§1 矩阵的定义在经济模型、工程计算等问题中，我们经常利用矩阵这一有力工具，下面我们引入矩阵的概念.线性方程组1111221211222211220,0,0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数可排列成一个m 行n 列的矩形数表1111n n nn a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这样的表叫做m n ⨯矩阵，我们用粗黑体字A 等表示，ija 叫做矩阵A 的元素，它位于矩阵A 的第i 行、第j 列的交叉处，一般情况下，有定义如下：定义1 给出个数，按一定顺序排成一个行列的矩形数表111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，此数表叫做行列矩阵，简称矩阵.上面的矩阵一般用大写字母，…表示，有时亦记为,或=或.在矩阵中，如果=，就称为阶方阵.如果矩阵的元素全为实(复就称为实(复)矩阵.只有一行的矩阵12()n a a a =A叫做行矩阵，为避免元素间的混淆，行矩阵也记作12(,,,)n a a a =A .只有一列的矩阵12n b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =叫做列矩阵.当两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O .注意不同型的零矩阵是不同的. 在n 阶方阵()ij n nA a ⨯=中，位于相同行相同列交叉位置的元素()1,2,,ii a i n =称为方阵A 的主对角线元素.下面我们介绍几种常见的特殊方阵：1.三角矩阵如果n 阶方阵()ij A a =中元素满足条件()()0,1,2,,,ij a i j i j n =>=即A 的主对角线以下的元素全为零，则称A 为n 阶上三角矩阵.即如果n 阶方阵()ij A a =中元素满足条件()()0,1,2,,,ij a i j i j n =>=即A 的主对角以上的元素全为零，则称A 为n 阶下三角矩阵.即上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角矩阵. 2.对角矩阵如果n 阶方阵()ij A a =中元素满足条件()0,ij a i j =≠即A 的主对角线以外的元素全为零，则称A 为n 阶对角矩阵.即我们也记()1122,,,nn A diag a a a =.显然对角矩阵既是上三角矩阵，也是下三角矩阵.3.数量矩阵如果在n 阶对角矩阵()ij A a =中元素满足条件(),1,2,,,ii a a i j n ==则称A 为数量矩阵.即4.单位矩阵如果在n 阶对角矩阵()ij A a =中元素满足条件()11,2,,,ii a i n ==则称A 为n 阶单位矩阵，记为nE .即在讨论企业管理的数学问题中常常用到矩阵.例如，假设在某一地区，某一物资，比如说钢铁，有s 个产地12,,,s A A A 和n 个销地12,,,s B B B ，那么一个调运方案就可用一个矩阵111212122211n n s s sn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦来表示，其中ija 表示由产地i A 运到销地j B 的数量. 在许多实际问题中，会遇到一组变量由另一组变量线性表示的问题，如变量12,,,m y y y 可由变量12,,,n x x x 线性表示，即11111221221122221122,,.n n n n m m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩将这种从变量到变量的变换称为线性变换，其系数构成一个矩阵(称为系数矩阵),这个矩阵是确定的。

工程数学第二章矩阵

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例 6 若 A 为 n 阶方阵， k 为实数，则 kA kn A .
证由于 A 为 n 阶方阵， k 为实数，根据数与矩阵乘法的定义知， kA 是将 A 的每个元素都乘以 k ，在求 kA 时，根据行列式性质的单行可提性，每一行提出一个 k ，所以 kA kn A .
1 0
(n
1) 1
成立，则
An
An1
A
1
0
(n 1) 1
1
0
1
1 0
n
1
.
所以，由数学归纳法得
An
1
0
n
1
.
设 A, B,C 为矩阵，k 为常数,且假定涉及的运算是可行的，则矩阵的乘法具有下列性质：
（1） (AB)C A(BC) ；
（2） A(B C) AB AC ；
a11 a12 L a1n
0
a22
L
a2n
；
M M
M
0 0 L ann
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主对角线上方元素全为 0 的方阵称为下三角矩阵，即
a11 0 L 0
a21
a22
L
0
；
MM
M
an1 an2 L ann
主对角线上存在非零元素，其余非主对角线上的元素都是 0 的方阵称为对角矩阵，即
a11 0 L
0
a22 L
M M
0 0 L
0
0
.
M
ann
特别地，主对角线元素全为 1 的对角阵称为单位阵，记为 I 或 E ，即
1 0 L 0

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