工程应用数学基础_12_--矩阵序列

研究生MOOC课程
(ik ) i k
第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限
1 2!
(i
k
)
(ik )
i k
(
r
1 1)!
(i
k
)(
r 1)


1 2!
(ik )

(i k )

来自百度文库 k
rr
工程应用数学基础
第12讲 矩阵级数
第12讲 矩阵级数
二、矩阵级数
1

k (k 1)
Ak
k 1
k 1 0

0
2k 3k


1 0
0
3 2

工程应用数学基础
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第12讲 矩阵级数
三、方阵幂级数
工程应用数学基础

定义3(方阵幂级数) 设 A nn ，称 ck Ak 为方阵幂级数. k 0
k
Ak

A
||1
lim
k
max
1 jn
|
a(k) ij
i 1
aij
|0

lim
k
||
Ak

A ||
0
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第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限
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证明
lim
k
Ak

A
lim
k
a(k) ij
aij (1 i m，1
|| A || 1 lim Ak O k
问题 lim Ak O || A || 1 ? 否 k
A

0.1

1
0 0.1

Ak

0.1k k 0.1k1
0
0.1k

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第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限 定理2 设 A nn ，则有
)
(ik )
ik
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(r
1 1)!
(ik
)( r 1)



1 2!
(ik
)

(ik ) ik
rr
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第12讲 矩阵级数
三、方阵幂级数

Sm (i )

Sm (i )
1 2!
Sm
(i
)
Sm(r1) (i )
(r 1)!




Sm (i )
Sm (i )



Sm (Ji )

Sm (i )
1 2!
Sm
(i
)




Sm (i )





m
Sm (i )
rr
则当 | i | R
时，lim m
Sm
(
J
i
)

lim
m
ck
二、矩阵级数
1 x x2 xk 1 1 x
1 2x 3x2
kxk1

(1
1 x)2
x 2x2 3x3
kxk
x (1 x)2
2k
3k
k 1

2
k 1
k (13)k

3 2
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所以有
lim Ak O ( A) 1
k
证明 假设A 的Jordan标准形为
J1
A

P




P
1
Js
其中 Ji 是Jordan 块( i 1，2，…，s.)
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则有
第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限
Ak

P

J1k


Js
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第12讲 矩阵级数
三、方阵幂级数
由前面的内容知，对Jordan块
i 1

Ji


i




1
i

rr
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重要公式
第12讲 矩阵级数
三、方阵幂级数
ik


J
k i






(ik ) ik
1 2!
(ik
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二、矩阵级数
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1
例
3
设
Ak

k(k
1)
0
0

2k 3k

，k
1，2，

. 求级数 Ak . k 1
解

1 1
k1 k (k 1)

k 1
2k 3k
?
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当|x|<1时
一、矩阵序列的极限
所以有
lim
k
J
k i
O
| i
| 1，i
1，2，
，s.
( A) 1
由此得到
lim Ak O ( A) 1
k
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一、矩阵序列的极限
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例
2
设
c A 3c
2c 2c
二、矩阵级数
定义2(矩阵级数) 设 Ak [ai(jk ) ]
部分和序列，若极限
l
mn ，记 Sl Ak ，称{Sl } 为 k 1
l
lim
l
Sl
lim n
k 1
Ak
S

存在，则称矩阵级数 Ak 收敛 ，其和记为S . k 1

否则称矩阵级数 Ak 发散 . k 1
3k 2 k

2
1

3
所以有
2 0
lim
k
Ak

0
3
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第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限 矩阵序列极限的性质:
设
lim
k
Ak

A，
lim
k
Bk

B
，则有
1) lkim(c1 Ak c2 Bk ) c1 A c2B
2)
lim(
1，且A的谱半径为
( A) max{1 ，2 } 2 R
23 3
所以方阵幂级数 1 Ak 收敛.
k 1 k
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三、方阵幂级数
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2)
因为幂级数


k 1
1 k2
zk
的收敛半径为R
1，且 A的谱半径为
( A) 1 R
J
k i
k 0
存在
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第12讲 矩阵级数
三、方阵幂级数

所以 当 ρ(A) < R 时， ck Ak 收敛. k 0
所以 当 ρ(A) > R 时， ck Ak 发散. k 0
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第12讲 矩阵级数
三、方阵幂级数
1
例
4
1)
图片
工程应用数学基础
第一篇：矩阵理论
第 12 讲：矩阵级数
主讲：国防科技大学 杨文强 副教授
第12讲 矩阵级数
内容提纲
1. 矩阵序列的极限 2. 矩阵级数 3. 方阵幂级数
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第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限
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定义1(收敛)设 Ak [ai(jk ) ] mn ，若存在矩阵 A [aij ] mn ，
回顾

设幂级数 ck zk 的收敛半径为R，则有 k 0

1) 当|z| < R 时， ck zk 收敛. k 0

2) 当|z| > R 时， ck zk 发散. k 0
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三、方阵幂级数

ck Ak
k 0

ck zk (z )
k 0

求极限
lim
k
Ak
.
sin k
3k
k
2

1
，
(
k
1，2，
)
k2
解
lim
k
2k 2
k k2

1

2
lim
k
sin k
k

0
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一、矩阵序列的极限
lim ek sin k
k

lim
k
sin ek
k
0
lim
k
使得
lim
k
a(k ij
)

aij
(1 i m， 1 j n)
则称矩阵序列 { Ak }收敛到 矩阵 A ，记为
lim
k
Ak

A
or Ak A
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一、矩阵序列的极限
2k 2 k 1
例
1
设 Ak

k2
ek sin k
k
Ak
Bk
)

AB
3) 若
Ak，A 可逆，则
lim
k
Ak1

A1
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第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限
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定理1 设 Ak [ai(jk ) ] mn，A [aij ] mn ，则有
m
lim
k
Ak

A
lim ||

P
1
J
k s

lim Ak
k
O

lim
k
J
k i
O，i
1，2，
，s
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第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限
设
i 1

Ji


i





1
i

rr
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则当 k r 有
ik


J
k i
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ck Ak， ck z k 之间的收敛性有什么关系?
k 0
k 0
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三、方阵幂级数
定理3

设幂级数 ck zk 的收敛半径为R，则有 k 0
1) 当 ρ(A) < R 时， ck Ak 收敛. k 0

2) 当 ρ(A) > R 时， ck Ak 发散. k 0
j n)

lim
k
|
a(k ij
)
aij
| 0
(1 i m，1
j n)
m

lim
k
i 1
|
a(k) ij

aij
|

0
(1 j n)
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lim
k
||
Ak

A
||1
0
推论
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一、矩阵序列的极限 设 A nn ，则有

，其中
c
是实常数，试求
lim
k
Ak

O
的充要条件.
解 因为A 的特征值为 1 4c，2 c
A 的谱半径为
( A) 4 | c |
lim Ak O ( A) 1 | c | 1 / 4
k
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设
A


2
0
0 2

，判断


k 1
1 k
Ak
的敛散性.
3
2)
设
A

1

2
0
1
，判断
k 1
1 k2
Ak
的敛散性.
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三、方阵幂级数
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解
1)
因为幂级数


k 1
1 k
zk
的收敛半径为R
1
A


2
0 1

2

1 2

1
0



1 2

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三、方阵幂级数
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1 k2
k 1
Ak

1 k2
k 1
2k

1 2

1
0
k


1 2

k 1
1 k2
2k

(

k (
1 )k 2 1 )k 1 2
0


(
1 2
)k

(1)k

k 1
k2

2
k 1
(1)k 1 k
0

(1)k
k 1
k2

收敛
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谢 谢！
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3) 当 ρ(A) R 时， ck Ak 待定. k 0
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证明
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三、方阵幂级数
m
记部分和 Sm (z) ck zk k 0
设A 的Jordan标准形为
J1
A

P


其中 Ji 是Jordan 块
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P
1