西南交通大学《大学物理》气体分子动理论

＝ 3 (J)

故选 B

c E
2. 若在某个过程中，一定量的理想气体的内能 E 随压强 p 的变化关系

为一直线（其延

长线过 E ~ p 图的原点），则该过程应为

. [

] (A) 等温过程

e (C) 等容过程

(B) 等压过程

(D) 绝热过程

O

p

h 解：由理想气体内能公式 E

=

M µ

CV T 和状态方程 pV

o ∑ v = Nivi = 2×10.0 + 8 × 20.0 + 6 ×30.0 + 4× 40.0 + 2 ×50.0 ≈ 28.2(m⋅ s−1)

∑ Ni

2+8 +6 + 4+ 2

粒子的最概然速率为

c vp = 20.0(m⋅ s−1)

. 粒子的方均根速率为

e v2 =
≈ 30.3(m⋅ s−1 )

n 氦（应为：氢）气传递热量：

[

] (A) 6 J

(C) 12 J

(B) 10 J (D) 5 J

i 解：氢气、氦气两种气体开始时压强 p、体积 V、温度 T 均相同，则由克拉珀龙状态方程 PV = M RT 知 µ

h 它们的摩尔数 M 也相同。
µ

z 氢气为双原子分子，其总自由度为 5，氦气为单原子分子，其总自由度为 3，故它们的摩尔热容量分

， 方均根速
RT 为常数，而平均速率为 µ

v=

8RT
，故平均速率相等

πµ

方均根速率为

v 2 = 3RT ，故方均根速率相等。 µ

三、计算题：

1. 计算下列一组粒子的平均速率、最概然速率和方均根速率：

粒子数 N i

2

8

6

4

2

速率 v i (m⋅s-1)

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

m 解：粒子的平均速率为

___________________________________________ 。

解：在压强和温度公式的推导中

视为有质量而无大小的质点

；在能均分定律中

视为 有结 构的物 体—— 质点 组，可 以发 生平动 、转动 和振 动

；在 分子 平均碰 撞自 由程的 推导 中

有一定大小(体积)的刚性小球

f( v)

vp

O2 / v p

=4
H2

a

( ) ( ) c (B) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线；

b

vp

O2 / v p

＝1/4
H2

n (C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线；

( ) ( ) v p

O2 / v p

＝1/4
H2

O

v

a (D) 图中ｂ表示氧气分 子的速率分布曲线；

( ) ( ) v p

△N =

dN = Nf (v)dv vP

w ∆N ∞

w ∫ 则分子速率处于最概然速率 v p 至∞范围内的概率

= f (v)dv

N

vP

5. 两种不同的理想气体，若它们的最概然速率相等，则它们的平均速率

率

。 (填：相等、不相等)

解：因分子的最概然速率 v p =

2RT ，则题意最概然速率相等，意味作 µ

(D) 温度升高， λ 保持不变而 z 增大

w解：理想气体体积不变时其分子数数密度 n 不变，而平均速率 v ∝ T ，则由平均自由程公式 λ =

1 2π d 2 n

w和平均碰撞频率公式 z = 2π d 2nv 知：

当理想气体体积 V 不变而温度 T 增大时， λ 保持不变而 z 增大。

故选 D

二、填空题： 1. 理想气体分子模型在气体动理论中讨论不同问题是有所不同，说明如下情况中使用的气体分子模型。在

2RT
公式知：在相
µ
2 × 10 −3 = 1 ，再 32 × 10 −3 4

z故选 B

. 6. 一定量的某种理想气体若体积保持不变，则其平均自由程 λ 和平均碰撞频率 z 与温度的关系正确的是：

[

] (A) 温度升高， λ 减少而 z 增大 (B) 温度升高， λ 增大而 z 减少

w(C) 温度升高， λ 和 z 均增大

（氧气分子视为刚性分子，摩尔气体常量 R ＝ 8.31 J·mol −1 ·K −1 ）

解：超声波源发射出的声波总能量为 ∆E = Pt （式中 P 为超声波源功率），而理想气体的内能改变为

∆E = M ⋅ i R∆T ，则由题意有氧气的温度升高为 µ2

∆T

=

Pt M5
⋅

R

=

10 ×10 5

= 4.81(K)

3

5

. 别为 CV He = 2 R, CV H2 = 2 R

M3

w现在给氦气等容加热由题意有

QHe

=

µ

⋅ R ⋅ ∆T 2

=6J

所以，升高同样的温度，应向氢气传递热量为

w M5

M3

55 5

w QH2

=

µ

⋅ R ⋅ ∆T 2

=

µ

⋅

2 R ⋅ ∆T ⋅ 3 = 3QH2

= ×6 = 10 J 3

故选 B

= R， 2

. 则由理想气体内能公式 E

=

M µ

CV T

得

he 氖气温度升高为

∆T =

∆E

1012 =

×1.6 ×10−19

= 1.28×10−7 (K)

M

1

µ CV

0.1× × 8.31 2

c 3.

已知大气中分子数密度 n

随高度 h 的变化规律

n＝n 0 exp[－

M mol gh RT

]，式中 n 0 为 h＝0

O2 / v p

＝
H2

4

n 解：因氧气摩尔质量（32）比氢气摩尔质量（2）大，故由理想气体最概然速率 v p =

hi ( ) 同温度下，氧气的最概然速率比氢气的最概然速率小，其比值为 v p O2 = ( )v p H2

µ H2 = µ O2

因速率分布曲线下面积应相等归一化，所以氧气分子的速率分布曲线要陡一些。

1 × × 8.31

µ2

2

（氧气分子视为刚性双原子分子，总自由度数为 5）

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(ln h=

n0 )RT n

(ln =

2)RT

。

M mol ⋅ g

M mol ⋅ g

h 4. 当理想气体处于平衡态时，气体分子速率分布函数为 f (v)，则分子速率处于最概然速率 v p 至∞范围内

z ∆N

的概率 =

。

N

. 解：由气体分子速率分布函数 f (v) = dN 可知： Ndv

w∞

∫ ∫ 分子速率处于最概然速率 vP 至∞之间的分子数为

别为 CVO2

=

R, 2

CV H 2

=

R 2

由理想气体状态方程 pV = M R 和题意标准状态下（两气体压强、体积相同）有 Tµ

M

（ 两气体的摩尔数之比为 µ

) O2

=

p 1V1 T1

= V1 = 1

M ( µ ) He

p2V 2 V 2 2 T2

m 根据理想气体内能公式 E = M ⋅ i RT 得 µ2

动能总和为：

[

] (A) 2 J

(C) 5 J

(B) 3 J (D) 9 J

解：由能量均分定理有一个分子的平均平动动能为 w = 3 kT, 则容器中气体分子的平均平动动能总和为
m 2

o Et

= Nw

=

M µ

N

A

⋅

3 2

kT

=

3 2

M µ

RT

=

3 2

pV

=

3 × 5 ×102 × 4 ×10−3 2

o M

c 二者内能之比为 E1

（ µ ) O2 =

⋅ iO2

=1 ⋅5= 5

E2

M ( µ ) He

iHe

23 6

故选 C

(e) .( ) 5.

设图示的两条曲 线分别表示在相同温度下氧气和氢 气分子的速率分布曲线；令

vp

O2 和 v p

分别表
H2

示氧气和氢气的最概然速率，则

( ) ( ) h [

] (A) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线；

。

m 2. 一能量为 1012 eV 的宇宙射线粒子，射入一氖管中，氖管内充有 0.1 mol 的氖气，若宇宙射线粒子的能

量全部被氖分子所吸收，则氖气温度升高了

K。

o [1eV = 1.6×10 −19 J，摩尔气体常数 R ＝ 8.31 J·mol −1 ·K −1]

3

c 解：氖气为单原子分子，其等体摩尔热容为 CV
多少？平均动能的总和是多少？(已知 760 mmHg＝1.013×105 Pa，空气分子可认为是刚性双原子分子，波
n 尔兹曼常量 k =1.38×10-23 J/K)

a 解：设管内总分子数为 N 。

N 由状态方程 p = nkT = kT 有
n V

(1) 管内空气分子数为

i N

=

pV

5 ×10−6 ×1.013×105 / 760 ×10 ×10−6 =

压 强 和 温 度 公 式 的 推 导 中 _________________________________ ； 在 能 均 分 定 律 中

_______________________________________________________ ； 在分 子平 均碰 撞自 由程 的推 导中

= 1.61×1012

个

kT

1.38 ×10−23 × 300

由能量均分定律有

h (2) 分子的平均平动动能的总和

zEt

=

N

3 2

kT

=

3 2

× 1.61 × 1012

×1.38 ×10 −23

× 300 =1.00 ×10−8

J

(3) 分子的平均转动动能的总和

.Er

=

N

2 kT 2

=

2 ×1.61×1012 ×1.38 ×10−23 × 300 = 0.67 ×10−8 2

4. 在标准状态下, 若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氦气的体积比 V1 = 1 ，则其内能之比 V2 2

E1 / E2 为：

[

] (A) 1/2

(B) 5/3
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(C) 5/6

(D) 3/10

解：氧气为双原子分子，其总自由度为 5，氦气为单原子分子，其总自由度为 3，故它们的摩尔热容量分

3

5

∑ Ni vi 2 = ∑ Ni

2 ×10.02 + 8× 20.02 + 6× 30.02 + 4 × 40.02 + 2× 50.02 2+8+ 6 +4 + 2

h 2. 一容积为 10 cm3 的电子管，当温度为 300 K 时，用真空泵把管内空气抽成压强为 5×10-6 mmHg 的高真 c 空，问此时管内有多少个空气分子？这些空气分子的平均平动动能的总和是多少？平均转动动能的总和是
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《大学物理》作业 No.10 气体分子动理论 班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______

一、选择题：

1. 在容积 V = 4×10 −3 m3 的容器中，装有压强 p = 5×10 2 P a 的理想气体，则容器中气体分子的平均平动

J

w(4) 分子的平均动能的总和

wwEk

=N

5 kT
2

=

5 ×1.61×1012 ×1.38 ×10−23 × 300 = 1.67 ×10−8 2

J

3. 一超声波源发射声波的功率为 10 W。假设它工作 10 s，并且全部波动能量都被 1 mol 氧气吸收而用于增

加其内能，问氧气的温度升高了多少？

=

M µ

RT

可得

c 理想气体的内能 E = pVCV R 可见只有当体积 V 不变时，内能 E 才和压强 p 成正比，在相图中为过坐标原点的直线。 n 故选 C

a 3. 两个相同的容器，一个盛氢气，一个盛氦气（均视为刚性分子理想气体 ），开始时它们的压强和温度都

相等。现将 6 J 热量传给氦气，使之升高到一定温度。若使氦（应为：氢）气也升高同样的温度，则应向

处的分子数密度。

n 若大气中空气的摩尔质量为 M mol ，温度为 T，且处处相同，并设重力场是均匀的，则空气分子数密度减少

a 到地面的一半时的高度为

。（符号 exp[α ]，即 e α ）

− Mmol gh
n 解：由玻尔兹曼粒子数按势能（高度）分布规律 n = n0e RT 得

i 空气分子数密度减少到地面的一半时的高度为