2020届湖南省浏阳市第一中学高三上学期第六次月考数学(理)试题含答案

浏阳市一中2020届高三第六次月考试题理科数学考试时量：120分钟 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合{}{}22|log (2),|320A x y x B x x x ==-=-+<，则A C B =A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞2. 设i 为虚数单位，若()2a iz a R i-=∈+是纯虚数，则a = A ．12 B ． 12- C ．1 D ．1- 3. 已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是A ．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B ．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2019年1~6月份的总收益低于2019年7~12月份的总收益D ．该超市2019年7~12月份的总收益比2019年1~6月份的总收益增长了90万元 4．已知3sin()322πα-=-，则2020cos()3πα+= A ．23B ．23-C ．12D ．12-5. 已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln x e x -=，则A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<6. 函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是A B C D7.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，……所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为A ．410190-米B ．5101900-米C ．510990-米D ．4109900-米8.已知函数()2sin()(0,0),()2,()082f x x f f ππωϕωϕπ=+><<==，且()f x 在(0,)π上单调.则下列说法正确的是 A ．12ω=B ．62()8f π--=C ．函数()f x 在[,]2ππ--上单调递增 D ．函数()f x 的图象关于点3(,0)4π对称 9.在AOB ∆中，OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，满足||2a b a b ⋅=-=r r r r，则AOB ∆的面积的最大值为3 B. 2C. 23210．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，12,F F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，若点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则C 的离心率是 A 2B 3C ．2D ．311. 在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为1AD ，1B C 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列4个命题中： ①存在P ，Q某一位置，使AB PQ ∥； ②BPQ V 的面积为定值；③当0PA >时，直线1PB 与直线AQ 一定异面；④无论P ，Q 运动到何位置，均有BC PQ ⊥. 其中所有正确命题的序号是A. ①②④B. ①③④C. ①③D. ②④12．若函数12()2log (0)x x f x e x a a -=+->在区间(0,2)内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是A. 22,2)eB. (0,2]C. 222,2)e + D. 3424(2,2)e +二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上）13．若25(ax x的展开式中5x 的系数为80-，则实数a =__ __． 14．在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平 面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则AB 的长为 ． 15.已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，*n N ∈，则(1)21n a -= ， (2)2111(1)i i ni i a a +=+-=∑ .16．如图，衡阳市有相交于点O 的一条东西走向的公路l 与一条南北走向的公路m ，有一商城A 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路PQ ，点,P Q 分别在公路,l m 上，且要求PQ 与椭圆形商城A 相切，当公路PQ 长最短时，OQ 的长为________千米.lm QO三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：60分．17．(本小题满分12分) 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A Ca b a +=． （1）求角B 的值；（2）若△ABC 的面积为33D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．18．(本小题满分12分) 已知正方形ABCD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，使△ACD 为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C 的大小为(0)θθπ<<. （1）证明：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上； （2）求角θ的正弦值.C BEFE19．(本小题满分12分) 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴12A A 长为4，过椭圆的右焦点为F作斜率为(0)k k ¹的直线交椭圆于B ，C 两点，直线12,BA BA 的斜率之积为34-. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:4l x =，直线11,A B A C 分别与l 相交于,M N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC EF ^20．(本小题满分12分)已知函数()e sin )(2()2xf x x a R ax π=--∈+．（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[,]ππ-上的值域； （2）对于任意120x x π<<<，都有2121()()22x x f x f x a e e π->---，求实数a 的取值范围.21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推； y 表示人数)：x 1 2 3 4 5 y (万人)2050100150180(1)试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人； (2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车OMNlCA 2A 1EyxFB最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。

遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次。

若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从k 到1k +）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。

设遥控车移到第(119)n n ≤≤格的概率为n P ，试证明{}1n n P P --是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值。

附：在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay b x xnx ==-==--∑∑.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22. (本小题满分10分) [选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，点13P （，），直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值．23. (本小题满分10分) [选修4－5：不等式选讲] 已知函数()1(1)f x x m x m m=-++>． （1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；； （2）证明：1()3(1)f x m m +≥-．参考答案考试时量：120分钟 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BADDACBCACBD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上） 13． __ -2 __． 14． 3 ．15. (1)21n a -= 32n - ， (2)2111(1)i i ni i a a +=+-=∑ 293322n n--. 16． _3_三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：60分．17．(本小题满分12分) 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A Ca b a +=． （1）求角B 的值；（2）若△ABC 的面积为33D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值． 【详解】(1)由tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=，得sin (sin 2cos )cos cos 22222A C A A C a b a +=， 即(coscos sin sin )2sin cos 222222A C A C A A a b -=，即cos sin 2A C a b A +=. 由正弦定理得sin cossin sin 2A C A B A +=，因0,sin 0,sin 02BA A π<<≠≠， 所以cossin 2A C A +=，则cos sin 2sin cos 222B B BB ==， 所以1cos(0)2222B B π=<<， 所以23B π=，即23B π=. (2)由△ABC 的面积为331sin 332ac B =12ac =. 因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC u u u r u u u r u u u r =+，所以2221(2)4BD BA BC BA BC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg =++，即222111(2cos )(2)3444BD c a ac B ac ac ac u u u r =++≥-==，当且仅当23a c ==3BD u u u r≥BD 318．(本小题满分12分) 已知正方形ABCD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，使△ACD 为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C 的大小为(0)θθπ<<. （1）证明：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上； （2）求角θ的正弦值.C BCEFEF【详解】(1)证明：过点A 作AG⊥平面BCDE ，垂足为G ，连接GC ，GD. 因为△ACD 为等边三角形，所以AC=AD ，所以点G 在CD 的垂直平分线上. 又因为EF 是CD 的垂直平线，所以点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上. 另证：过点A 作AG⊥EF，再证AG⊥CD，从而证得AG⊥平面BCDE ，即点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上(2) 解：以G 为坐标原点，GA 所在直线为z 轴，GF 所在直线为y 轴，过点G 作平行于DC 的直线为x 轴建立空间直角坐标系.设正方形ABCD 的边长为2a ，连接AF ， 则3 a ，AE= a ，EF=2 a .所以333(0,0,0),),(,,0),(,,0),(0,,0)222aG A C a a D a a E -- 设平面ADE 的一个法向量为m =(x ，y ，z)，则3302220m AD ax ay az m DE ax ay ìïï=+-=ïïíïïï=+=ïîu u u r g u u u r g ， 取y=1，得m =3(2,1,3--，又平面DEC 的一个法向量n =(0，0，1) 所以1cos 4m n m n q==g ，即15sin q=19．(本小题满分12分) 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴12A A 长为4，过椭圆的右焦点为F作斜率为(0)k k ¹的直线交椭圆于B ，C 两点，直线12,BA BA 的斜率之积为34-. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:4l x =，直线11,A B A C 分别与l 相交于,M N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC EF ^ 【详解】(1)设1122(,),(,)B x y C x y ，因点B 在椭圆上，所以2211221x y a b +=，故2222112()b y a x a=-又12(,0),(,0)A a A a -， 所以12212211,BA BA y y b k k x a x a a ==-+-g g ，即223,4b a =因124,A A = 所以2a =，所以3b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)设直线BC 的方程为(1)y k x =-，由22(1)143y k x x y ì=-ïïïíï+=ïïî，得2222(43)84120k x k x k +-+-=， Gyz xAE CBFOMN lCA 2A 1EyxFB则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++g . 直线1A B 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得1162M y y x =+； 同理2262N y y x =+； 所以12121212121263()1233()2222()4M N E y y y y kx x k x x k y x x x x x x k+++-==+==-+++++， 即点3(4,)E k -，又(1,0)F ，所以313EF BC k k k k -==-g g ，所以BC EF ^.20．(本小题满分12分)已知函数()e sin )(2()2x f x x a R ax π=--∈+．（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[,]ππ-上的值域；（2）对于任意120x x π<<<，都有2121()()22x x f x f x a e e π->---，求实数a 的取值范围. 【详解】(1) 当1a =时，()e sin 2(2)x f x x x π=--+，则()e sin c 1(os )2x f x x x x π'=+--+令()sin cos 12g x x x x π++=--，则()1cos sin 12)4g x x x x π'=+-=-.当x ππ-≤≤时，53444x πππ-≤-≤当()0g x '≤时，2sin()42x π-≥，得3444x πππ≤-≤，解得2x ππ≤≤ 当()0g x '≥时，2sin()42x π-≤，得5444x πππ-≤-≤，解得2x ππ-≤≤ 所以()g x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()02g x g π≤=即()0f x '≤，()f x 在[],ππ-上单调递减，所以minmax (4)(34)()(),()(),22e ef x f f x f ππππππ--+===-=-所以函数()f x 在区间[,]ππ-上的值域为(4)(34),22e e ππππ-⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦.(2)因为120x x π<<<，故2121()()22x x f x f x a e e π->---可化为2121()(2)()(2)22x x f x a e f x a e ππ--->---即函数()()(2)(sin )2x x G x f x a e e ax x a π=---=+-在区间(0,)π上为增函数，所以当[]0,x π∈时，()(sin cos )0xG x e ax x x '=++≥即sin cos 0ax x x ++≥恒成立. ①当0x =时，a R ∈；②当0x π<≤时，sin cos x xa x+-≤， 令sin cos ()x x h x x +=，则2(1)cos (1)sin ()x x x xh x x --+'=.当01x <≤时，(1)cos 0,(1)sin 0,()0x x x x h x '-<+>∴<，当12x π≤≤时，()0h x '<，当2x ππ<≤时，()0h x '<. 所以()h x 在[]0,π上单调递减，故min 1()()h x h ππ==-，所以1a π≥.综上，实数a 的取值范围是1[,)π+∞.21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推；y 表示人数)：x 1 2 3 4 5 y (万人)2050100150180(1)试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人； (2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。