完全平方公式的应用

完全平方公式是多项式乘法中非常重要的一个公式。掌握其变形特点

并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。

一. 完全平方公式常见的变形有

a 2+

b 2=（a+b ）2-2ab ，

a 2+

b 2=（a-b ）2+2ab ，

（a+b ）2-（a-b ）2=4ab ，

a 2+

b 2+

c 2=（a+b+c ）2-2（ab+ac+bc ）

二. 乘法公式变形的应用

例1： 已知：x 2+y 2+4x-6y+13=0，x 、y 均为有理数，求x y 的值。 分析：逆用完全乘方公式，将

x 2+y 2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x 与y 的值即可。

解：∵x 2+y 2+4x-6y+13=0，

（x 2+4x+4）+（y 2-6y+9）=0，

即（x+2）2+（y-3）2=0。

∴x+2=0，y=3=0。

即x=-2，y=3。

∴x y =（-2）3=-8。 例已知，试求的值。216122

42a a a a a a ++=++

分析：本题巧妙地利用

a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a 2222224222221121

6016111156

1111111156136113311

+

=+-++=≠=++=++∴+=-∴++=++=+-=--=-=-()()()进行运算。解：由，可知，因此可得，。。 例3 已知：a+b=8，ab=16+c 2，求（a-b+c ）2002的值。

分析：由已知条件无法直接求得（a-b+c ）2002的值，可利用（a-b ）2=（a+b ）2-4ab 确定a-b 与c 的关系，再计算（a-b+c ）2002的值。 解：（a-b ）2=（a+b ）2-4ab=82-4（16+c 2）=-4c 2。

即：（a-b ）2+4c 2=0。

∴a-b=0，c=0。

∴（a-b+c ）2002=0。

例4 已知：a 、b 、c 、d 为正有理数，且满足a 4+b 4+C 4+D 4=4abcd 。 求证：a=b=c=d 。

分析：从a 4+b 4+C 4+D 4=4abcd 的特点看出可以化成完全平方形式，再寻找证明思路。

证明：∵a 4+b 4+C 4+D 4=4abcd ，

∴a 4-2a 2b 2+b 4+c 4-2c 2d 2+d 4+2a 2b 2-4abcd+2c 2d 2=0，

（a 2-b 2）2+（c 2-d 2）2+2（ab-cd ）2=0。

a 2-

b 2=0，

c 2-

d 2=0，ab-cd=0

又∵a 、b 、c 、d 为正有理数，

∴a=b ，c=d 。代入ab-cd=0， 得a 2=c 2，即a=c 。

所以有a=b=c=d 。

练习：

1. 已知：x 2+3x+1=0。

求：（）（）的值。11

2122

44x x x x ++ 2. 已知x ，y ，z 满足条件

x y z xy yz zx ++=++=-⎧⎨⎩310

求：（1）x 2+y 2+z 2

（2）x 4+y 4+z 4的值

3. 已知：x=a 2+b 2，y=c 2+d 2。

求证：x ，y 可表示成平方和的形式。

4. 已知：ad-bc=1

求证：a 2+b 2+c 2+d 2+ad+cd ≠1。