函数与导数经典例题(含答案)(训练习题)

函数与导数

1. 已知函数3

2

()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．

【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、

函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3

2

2

()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-

(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-

（Ⅱ）解：2

2

()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2

t x t x =-=或

因为0t ≠，以下分两种情况讨论：

（1）若0,,2

t

t t x <<-则

当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x

,2t ⎛⎫-∞ ⎪⎝

⎭

,2t t ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

(),t -+∞

()f x '

+ - + ()f x

所以，()f x 的单调递增区间是(),

,,;()2t t f x ⎛

⎫-∞-+∞ ⎪

⎝⎭的单调递减区间是,2t t ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

。 （2）若0,2

t

t t >-<

则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x

(),t -∞

,2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭

,2t ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

()f x ' + - + ()f x

所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫

-∞-+∞

⎪⎝⎭

的单调递减区间是,.2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛

⎫ ⎪⎝⎭

内的单调递减，在,2t ⎛⎫

+∞

⎪⎝⎭

内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当1,22

t

t ≥≥即时，()f x 在（0，1）内单调递减， 2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-⨯+⨯+<

所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。

（2）当01,022t t <

<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫

⎪⎝⎭

内单调递增，若33177(0,1],10.244t f t t t ⎛⎫

∈=-+-≤-< ⎪⎝⎭

2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+>

所以(),12t f x ⎛⎫

⎪⎝⎭

在内存在零点。

若()3377(1,2),110.244t t f t t t ⎛⎫∈=-+-<-+<

⎪⎝⎭

(0)10f t =->

所以()0,

2t f x ⎛⎫

⎪⎝⎭

在内存在零点。 所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点。

综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。

2. 已知函数21

()32

f x x =

+，()h x x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值；

（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33

lg[(1)]2lg ()2lg (4)24

f x h a x h x --=---；

（Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1

()()[(1)(2)()]6

f n h n h h h n -+++≥．

本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．

解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥，

2()312F x x '∴=-+．

令()0F x '∴=，得2x =（2x =-舍去）．

当(0,2)x ∈时．()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0F x '<，

故当[0,2)x ∈时，()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时，()F x 为减函数． 2x =为()F x 的极大值点，且(2)824925F =-++=．

（Ⅱ）方法一：原方程可化为42233

log [(1)]log ()log (4)24

f x h a x h x --=---，

即为4222log (1)log log 4log 4a x

x a x x x --=---=-，且,14,x a x <⎧⎨<<⎩

①当14a <≤时，1x a <<，则14a x

x x

--=

-，即2640x x a -++=， 364(4)2040a a ∆=-+=->，此时620435a

x a ±-==±-，∵1x a <<，

此时方程仅有一解35x a =--．

②当4a >时，14x <<，由14a x

x x

--=-，得2640x x a -++=，364(4)204a a ∆=-+=-，

若45a <<，则0∆>，方程有两解35x a =±-； 若5a =时，则0∆=，方程有一解3x =； 若1a ≤或5a >，原方程无解．

方法二：原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-，

即222

1

log (1)log 4log 2

x x a x -+-=-，10,

40,

0,(1)(4).

x x a x x x a x ->⎧⎪->⎪⇔⎨

->⎪⎪--=-⎩214,(3) 5.x x a a x ⎧<<⎪

⇔<⎨⎪

=--+⎩ ①当14a <≤时，原方程有一解35x a =--； ②当45a <<时，原方程有二解35x a =±-； ③当5a =时，原方程有一解3x =；

④当1a ≤或5a >时，原方程无解．

（Ⅲ）由已知得(1)(2)()]12h h h n n +++=+++，

1431

()()666

n f n h n n +-=-．

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1

()()6

n S f n h n =-（*n ∈N ）

从而有111a S ==，当2100k ≤≤时，14341

166

k k k k k a S S k k -+-=-=--．

又1

[(43)(41)1]6

k a k k k k k -=+---2216(43)(41)1k k k k =⋅++--

106(43)(41)1

k k k k =

⋅>++--．