中考压轴题_因动点产生的直角三角形问题

因动点产生的直角三角形问题

一．解答题（共7小题）

1．如图所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N 运动的时间为x秒．试解答下列问题：

（1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4．试问x为何值时，△PQW为直角三角形？

（3）试用含的代数式表示MN2，并求当x为何值时，MN2最小？求此时MN2的

值．

2．已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t=_________（s）时，△PBC是直角三角形；

（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？

（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s 的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？

（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q 都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．

3．将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中（如图），若斜边所在的直线为y=﹣2x+4．点B'是OA上

的动点，折叠直角三角形纸片OAB，使折叠后点B与点B'重合，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．

（1）若B'与点O重合，直接写出点C、D的坐标；

（2）若B'与点A重合，求点C、D的坐标；

（3）若B'D∥OB，求点C、D的坐标．

4．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，BC∥x轴，且BC=5，AB交y轴于点D，

．

（1）求出C的坐标．

（2）过A，C，B三点的抛物线与x轴交于点E，连接BE，若动点M从点A出发沿x轴正方向运动，同时动点N 从点E出发，在直线EB上作匀速运动，运动速度为每秒1个单位长度，当运动时间t为多少时，△MON为直角三角形．

5．（2009•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60度．

（1）求⊙O的直径；

（2）若D是AB延长线上一点，连接CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；

（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜2），连接EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行于⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C．

（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；

（2）设点D的坐标为（﹣2，4），①求MC的长；②若动点P从点A出发向点D匀速运动，速度是每秒1个单位长；同时点Q从点D出发向点C匀速运动，速度是每秒2个单位长；其中一个点到达终点时运动即结束．连接PQ 交OD于点H，当△PDH为直角三角形时，求点P的坐标．

7．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），点P是抛物线y=上的

一个动点．

（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=﹣1的相切；

（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM；

（3）是否存在这样的点P，使得△PMN为等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案与评分标准

一．解答题（共7小题）

1．如图所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N 运动的时间为x秒．试解答下列问题：

（1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4．试问x为何值时，△PQW为直角三角形？

（3）试用含的代数式表示MN2，并求当x为何值时，MN2最小？求此时MN2的

值．

考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理。

专题：计算题；证明题。

分析：（1）由根据题意可知P、W、Q分别是△FMN三边的中点，可得PW是△FMN的中位线，然后即可证明△FMN∽△QWP；

（2）由（1）得，△FMN∽△QWP，当△QWP为直角三角形时，△FMN为直角三角形，根据DM=BN=x，AN=6﹣x，AM=4﹣x，利用勾股定理求得FM2=4+x2，MN2=（4﹣x）2+（6﹣x）2，FN2=（4﹣x）2+16，然后分①当MN2=FM2+FN2时，②当FN2=FM2+MN2时，③FM2=MN2+FN2时三种情况讨论即可．

（3）根据①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，MN≥AN，AN=6﹣x，故只有当x=4时，MN的值最小即可求得答案，②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x﹣4）2+（6﹣x）2，解得x即可

解答：解：（1）由题意可知P、W、Q分别是△FMN三边的中点，

∴PW是△FMN的中位线，即PW∥MN，

∴===，

∴△FMN∽△QWP；

（2）由（1）得，△FMN∽△QWP，

∴当△QWP为直角三角形时，△FMN为直角三角形，反之亦然．

由题意可得DM=BN=x，AN=6﹣x，AM=4﹣x，

由勾股定理分别得FM2=4+x2，MN2=（4﹣x）2+（6﹣x）2，FN2=（4﹣x）2+16，

①当MN2=FM2+FN2时，（4﹣x）2+（6﹣x）2=4+x2+（4﹣x）2+16，

解得，

②当FN2=FM2+MN2时，（4﹣x）2+16=4+x2+（4﹣x）2+（6﹣x）2

此方程无实数根，

③FM2=MN2+FN2时，4+x2=（4﹣x）2+（6﹣x）2+（4﹣x）2+16，

解得x1=10（不合题意，舍去），x2=4，

综上，当或x=4时，△PQW为直角三角形．

（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，MN≥AN，AN=6﹣x，

故只有当x=4时，MN的值最小，MN2的值也最小，此时MN=2，MN2=4，（10分）

②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x﹣4）2+（6﹣x）2，

=2（x﹣5）2+2，

当x=5时，MN2取得最小值2，